反函数基础练习含答案(可编辑修改word版)

反函数基础练习

(一)选择题

1. 函数 y ＝－x 2(x ≤0)的反函数是

[ ]

A ．y ＝－ x(x ≥0)

B ．y ＝ - x(x ≤0)

C ．y ＝－ - x(x ≤0)

D ．y ＝－|x|

2. 函数 y ＝－x(2＋x)(x ≥0)的反函数的定义域是

[ ] A ．[0，＋∞)

B ．[－∞，1]

C ．(0，1]

D ．(－∞，0]

3. 函数y ＝ x - 2＋1(x ≥2)的反函数是

[

]

A ．y ＝2－(x －1)2(x ≥2)

B ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥2)

C ．y ＝2－(x －1)2(x ≥1)

D ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥1)

4. 下列各组函数中互为反函数的是

[ ]

A. y ＝ x 和y ＝x 2

B. y ＝ 1 和y ＝ 1

x x

3x + 1 C ．y ＝ 3x - 1

和y ＝

3x + 1

x - 1 (x ≠1) D ．y ＝x 2 (x ≥1)和y ＝ x(x ≥0)

5. 如果 y ＝f(x)的反函数是 y ＝f -1(x)，则下列命题中一定正确的是

[

]

A. 若 y ＝f(x)在[1，2]上是增函数，则 y ＝f -1(x)在[1，2]上也是增函数

B. 若 y ＝f(x)是奇函数，则 y ＝f -1(x)也是奇函数

C.若y＝f(x)是偶函数，则y＝f-1(x)也是偶函数

D.若f(x)的图像与y 轴有交点，则f-1(x)的图像与y 轴也有交点

6．如果两个函数的图像关于直线y＝x 对称，而其中一个函数是

y＝－x 1，那么另一个函数是

[ ]

1(b)) A．y＝x2＋1(x≤0)

B．y＝x2＋1(x≥1)

C．y＝x2－1(x≤0)

D．y＝x2－1(x≥1)

7.设点(a，b)在函数y＝f(x)的图像上，那么y＝f-1(x)的图像上一定有点

[ ] A．(a，f-1(a)) B．(f-1(b)，

C．(f-1(a)，a) D．(b，f-8.设函数y＝f(x)的反函数是y＝g(x)，则函数y＝f(－x)的反函数是

[ ] A．y＝g(－x) B．y＝

－g(x)

C．y＝－g(－x) D．y＝－g-1(x)

9．若f(x－1)＝x2－2x＋3(x≤1)，则函数f-1(x)的草图是

[ ]

10．函数y＝3

的反函数是g(x)，则

[ ] A．g(2)＞g(－1)＞g(－3)

B．g(2)＞g(－3)＞g(－1)

C．g(－1)＞g(－3)＞g(2)

D．g(－3)＞g(－1)＞g(2)

(二)填空题

1.函数y＝3＋x + 2的反函数是．

2.函数y＝

2x +1

(x＞0)与函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称，

解f(x)＝．

3.如果一次函数y＝ax＋3 与y＝4x－b 的图像关于直线y＝x 对称，那a＝

，b＝．

4.函数y＝9 - x2 (－1＜x＜0)的反函数是，反函数的定

义域是．

5.已知函数y＝f(x)存在反函数，a 是它的定义域内的任意一个值，则f-

1(f(a))＝．

x - 2

6.函数y＝的反函数的值域是．

7.函数y＝?

x -1(x≥1) 的反函数是：．

??－8.函数f(x)＝2

(x＜1)

(x＜－1)，则f -1(－

)＝．

(三)解答题

1 - x

2 3

1.求函数y＝x + 2＋1的反函数，并作出反函数的图像．

ax + 5

2.已知函数f(x)＝．

x + 2

(1)求函数y＝f(x)的反函数y＝f-1(x)的值域；(2)若点P(1，2)是y＝f-1(x) 的图像上一点，求函数y＝f(x)的值域．

3.已知函数y＝f(x)在其定义域内是增函数，且存在反函数，求证y＝f(x)的反函数y＝f-1(x)在它的定义域内也是增函数．

4.设函数f(x)＝2x + 3

，函数y＝g(x)的图像是y＝f -1 (x＋1)的图像x -1

关于y＝x 对称，求g(2)的值．

1 -x

(一)选择题

参考答案

1．(C)．解：函数y=－x2(x≤0)的值域是y≤0，由y=－x2 得x=

－－y，∴反函数f -1 (x) = －－x(x≤0)．

2．(D)．解：∵y=－x2－2x=－(x＋1)2，x≥0，∴函数值域y≤0，即其反函数的定义域为x≤0．

3．(D)．解：∵y = x－2＋1，x≥2，∴函数值域y≥1，由y = ＋1，得反函数f－1(x)=(x－1)2＋1，(x≥1)．

4．(B)．解：(A)错．∵y=x2 没有反函数．(B)中如两个函数互为反

3x＋1 x＋1

函数．(C)中函数y =

x－1 (x≠1)的反函数是y =

x－3

(x≠3)而不是y =

3x＋1

．(D)中函数y = x2 (x≥1)的值域为y≥1．应是其反函数的定义域x 3x－1

≥1．但y = x中的定义域x≥0，故(D)中两函数不是互为反函数．

5．(B)．解：(A)中．∵y=f(x)在[1，2]上是增函数．∴其反函数y=f-1(x)在[f(1)，

f(2)]上是增函数，∴(A)错．(B)对．(C)中如y=f(x)=x2 是偶函数但没有反函

数．∴(C)错．(D)中如函数f(x)=x2＋1(x≥0)的图像与y 轴有

交点，但其反函数f -1 (x) = x－1(x≥1)的图像与y轴没有交点．∴(D)错．6．(A)．解：∵函数y = －

＋1(x≤0)．选(A)．

x－1的值域y≤0；其反函数f -1 (x) = x2＋7．(D)．解：∵点(a，b)在函数y=f(x)的图像上，∴点(b，a)必在其反函数y=f-1(x)

的图像上，而a=f-1(b)，故点(b，f－1(b))在y=f-1(x)的图像上．选

(D)．8．(B)．解：∵y=f(x)的反函数是y=f-1(x)即g(x)=f-1(x)，而y=f(－

x)的反

函数是y=－f-1(x)=－g(x)，∴选(B)．

9．(C)．解：令t=x－1．∵x≤1，∴t≤0，f(t)=t2＋2(t≤0)，即f(x)=x2＋2(x≤0)，

x－2

值域为 f(x)≥2，∴反函数 f -1(x)的定义域是 x ≥2，值域 y ≤0，故选(C)．

10．(B)．解：∵g(x) = 1 x 3

在(－∞，0)上是减函数，又－3＜－1＜

0，∴0＞g(－3)＞g(－1)而g(2) = 1 23

＞0，∴g(2)＞g(－3)＞g(－1)．故选

(B)．

(二)填空题

1．解：∵函数y = 3＋ x ≥3)

x ＋2的值域y ≥3，其反函数y = x 2 －6x ＋7(

2．解：y =

1 2x ＋1

(x ＞0)的值域y ＜1，其反函数f(x) = 1－x

(x ＜1)．

3．解：函数y = 4x －b 的反函数是

1 b 1 b ＋，则 x ＋ = ax

＋3，

y = 4 x

4 4 4

比较两边对应项系数得a = 4

，b = 12．

4．解：函数y = 9－x 2 (－1＜x ＜0)的值域y ∈(2 2，3)，反函数f -1

(x) = － 5．a

9－x 2 ．反函数的定义为(2 2，3)．

6．[0，2)∪(2，＋∞)

??x 2 ＋1 (x ≥1) 7．f -1

(x) = ?

??1－x 2

(x ＜0)

8．－2

(三)解答题

1．解：∵x ≥－2，得值域为y ≥1．由y = x ＋2＋1得反函数f -1 (x) =

(x －1)2－2，(x ≥1)，其图像如右图．

2．解(1)：∵y=f(x)的定义域是{x|x≠1，x∈R，∴y=f-1(x)的值域是{y|y≠1，y

∈R}．

解(2)：∵点P(1，2)在，y=f-1(x)的图像上，点P(1，2)关于直线y=x

2a＋5 1

的对称点为P′(2，1)一定在y = f(x)的图像上，即由

2＋2 = 1得a = －

，

∴f(x) = 10－x

，其反函数f -1 (x) =

10－4x

．∵f -1 (x)的定义域为{x|x≠－

2x＋4 12x＋1

2 ，x∈R}，∴y = f(x)的值域为{y|y≠－

，y∈R}．

3．证明略．

4．略解；f(x) = 2x＋3

的反函数是f -1 (x) =

x＋3

，∴ f 1 (x＋1) = x－1 x－2

x＋4 x＋4

x－1 ，由

x－1

= 2得x = 6即g(2) = 6．