赛制中的数学问题分析

赛制中的数学问题

大峪一小白丰莲

教学目标：

１、使学生了解简单的球类比赛赛制，会画图用淘汰赛和单循环赛制解决实际问题。

２、扩展数学视野，拓宽认知领域，培养良好的思维品质和合理的思维习惯。

3、架起数学与现实生活的桥梁，培养学生运用数学知识解决生活问题的意识。教学重点：会画图运用和实施淘汰赛和单循环等赛制从而获得运用数学解决实际问题的思考方法。

教学过程

一、导入：

1、同学们，2008年北京奥运会刚刚拉下帷幕，你们一定观看了许多比赛吧！你最喜欢看什么比赛？

学生自由发言……

你们知道老师最喜欢什么比赛吗？

出示：2008女子乒乓球颁奖的画面：

2008年8月22日，在北京大学体育馆中，同时升起了三面五星红旗，张怡宁、王楠、郭跃包揽了乒乓球女子单打的金银铜牌。

我很喜欢看乒乓球比赛，看着很过瘾。

2、你知道在乒乓球比赛中，有什么样的比赛方法吗？

答：淘汰赛、循环赛（板书）

找同学演示什么是淘汰赛和循环赛：（循环赛演示时注意不重复要说明原因，勾起数线段方法的回忆）

淘汰赛：比赛的两支队，胜者进入下一轮，输者被淘汰。一般抽签决定哪两队进行比赛。

单循环赛：每一支队与组内其他队进行一场比赛。

循环赛根据比赛需求还可以设双循环，也就是每只队与其他队进行两场比赛。单循环赛和淘汰赛是球类比赛中常用的赛制。这节课，我们一起来研究赛制中的数学问题。

板书课题

二、新授：

1、出示：大峪一小五年级准备开展一次乒乓球比赛，四个班参加比赛。你能帮助设计一下比赛的形式吗？

生：单循环赛

生：淘汰赛

2、为什么选用循环赛？

生：一共4个队，想让每个队都与其他队比一次。公平。给每个队公平竞争的机会。

为什么用淘汰赛？

生：省时间。

3、你们说得都有道理，那就请两个人一组，选择你们想用的比赛方式，把比赛的过程画一个示意图，然后再算一算冠军产生，需要进行几场比赛？

4、反馈：

方案一：淘汰赛

图：1班2班3班4班A B C D

2+1=3

方案二：单循环赛：

图：1班2班3班4班

图：A B C D

3+2+1=6

看到这个示意图，你觉得熟悉吗？（联系以前学习过的数线段的方法）

师：所以我们计算循环赛的场数就是应用了我们以前学习的数线段的方法。问：采用循环赛，每支队伍进行了几场比赛？3场。

为什么不用3×4=12？

（有重复的）A与B比赛，也就是B 与A比赛。

因此在体育比赛中还有一种计算循环赛场数的方法：

这个方法就是：队数×（队数-1）÷2 = 场数

用这个方法该怎么列式计算？

我们既可以用这个方法计算循环赛的比赛场数，也可以用刚才的方法进行计算。

师：4个队参加比赛，同学们设计了两种比赛的方法。那么如果你是参加比赛的队员，你希望本次比赛采用哪种比赛形式？

师：如果参赛队不多，我们可以采取单循环赛，这样每个队都能与其他的队赛一次。如果参赛队比较多，可以分组进行循环赛，然后进行淘汰赛。或者先进行淘汰赛，再进行循环赛。循环赛和淘汰赛可以混合使用。到底采用哪种比赛方式，要根据参赛队的多少、时间限制以及场地器材等条件来决定。

三、练习：

门头沟社区要进行一场足球比赛，一共有16个队参赛。

1、如果让你来设计比赛的方案，你准备怎么设计呢？

生：分组循环赛

生：淘汰赛

生：先分组，再淘汰

2、同学生说得都有道理，考虑到了很多因素。想看看本次活动的组织者制定的比赛方案吗？

出示：本次比赛分两个阶段进行：第一阶段分4个小组进行单循环赛，各小组前2名的队进入第二阶段比赛；第二阶段比赛采用淘汰制，最后决出冠亚军。这个比赛方案你看懂了吗？

3、出示分组情况

A 组

B 组

A1A2A3A4B1B2B3B4

C 组

D 组

C1C2C3C4D1D2D3D4

4、解决问题：

（1）小组单循环赛中，每个小组内进行多少场比赛？

3+2+1=6或4×3÷2=6

（2）4个小组一共进行了多少场比赛？

6×4=24

（3）各小组前2名的队进入下一轮比赛，采用淘汰制，一共有多少个队进行淘汰赛？（8）

（4）请你绘制这8个队的对阵图，并计算出16支参赛队一共要进行多少场比赛才能产生冠军？

为了作图方便，这8个队分别用A B C D E F G H 来表示。

A B C D E F G H

6×4+4+2+1=31（场）

可能有同学会考虑倒季军的问题。

四、小结

同学们，今天我们学习并解决了赛制中的一些数学问题。你有什么收获？还有什么疑问？

图示很直观，画图是一种很好的解决数学问题的方法。而且我们的生活中处处充满数学，学好数学，可以帮助我们解决生活中的很多问题。

板书设计

单循环赛淘汰赛

A B C D A B C D

初二数学（20）

可逛2007-11-22

一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），由于中途有1名选手弃权退出比赛，一共只赛了24局，根据上述条件，你能确定原来参加比赛的选手的人数，以及那位中途弃权的选手弃权的局数吗？你可以先思考下面的问题：如果中途没有选手退出比赛，设一共需比赛n局，怎样列出一元二次方程求解？

设一共有x名选手一共需比赛n局

x×(x-1)÷2=n

x^2-x-2n=0

由题意得

n>24 n-24<="" pre="">

A题主客场双循环赛制下的赛程安排

某企业赞助一项体育比赛。比赛有四个队参加（设为甲、乙、丙、丁四个

队），分别代表4个城市，采用主客场双循环制，主场设在该队所在城市。为了

节省时间和体力，运动队和工作人员来往于各城市之间均乘坐飞机，费用全部由主办方承担。一个队在一个城市参加完一场比赛后，于第二天飞抵下一个比赛城市，进行简单休整和赛前适应性训练，然后进行下一场比赛。所有比赛结束后，各队飞回自己城市。各城市间飞机票价如表一。

表一：各城市间飞机票价列表

城市城市飞机票价（元）

甲乙400

甲丙700

甲丁1400

乙丙1040

乙丁1020

丙丁1600

某工作人员想到，尽管在住宿费等、场馆费、广告费、劳务费等方面的费用与赛程安排无关，但乘坐飞机的花费（以下称为交通费）却是和赛程安排有关的，所以希望找到一个交通费最少的赛程安排。请解决如下问题。

问题一：计算表二中的赛程安排的交通费。

问题二：建立数学模型，计算共有多少种不同的赛程安排？

问题三：求解所有赛程安排中交通费最少的安排方案，给出求解步骤。

问题四：比较最初的赛程安排和交通费最少的赛程安排的优劣。你能求得一个更合适的方案吗？请给出数学模型和求解结果。

与单循环赛相关的计数问题例析

计算n个球队进行单循环比赛（每两队之间只赛一场）的总场数P．可这样来考虑：由于单循环赛中每一个球队都和其它的球队进行一场比赛，即每一个球队比赛（n-1）场，n个球队应赛n（n-1）场，但两个球队之间只需比赛一场，

故实际进行比赛的总场数P的计算公式是P =n（n-1）（n为不小于2整数）．这个公式及其推导的思维方法在数学中应用较广，现举几例，供七年级同学参考．

一、代数问题

例1参加一次朋友聚会的每两人都握了一次手，6位朋友共握手多少次？

分析：把每“一人”看成每“一个球队”，握“一次手”看成打“一场比赛”，则每一个人要与(6－1)个人握手，6个人要握手6(6－1)次，由于两个人之间只

需握一次手，所以共握手的次数是×6×(6－1)＝15．推广：n个朋友要握n （n-1）次手．

例2 参加一次商品交易会的每两家公司都要签订一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？[新课程人教版九年级数学上册P46．7题]

分析：把“公司”看成“球队”，“一份合同”看成“一场比赛”，设共有x家公司（x个球队）参加交易会，仿例1有，x(x－1)＝45，解得，x＝10（家）．

二、几何问题

例3 平面上5条直线两两相交，最多有多少个交点？

分析：视每条“直线”为每个“球队”，两条直线的“交点”为两个队的一

场“比赛”，则五条直线两两相交，共有×5×（5-1）= 10个交点（如图1）.推广：平面上n条直线两两相交共有n（n-1）个交点.

图１

例4 八边形共有多少条对角线？

分析：视八边形的每一个“顶点”为一个“球队”，每一个顶点和其它顶点形成的“线段”看成是“比赛”，除相邻两个顶点的线段“不是对角线”（不能比赛）外，从一个顶点出发共有（8－3）条对角线，因两个顶点之间只有一条对

角线，故八边形共有×8×（8－3）＝20条对角线．推广：n边形共有n（n －3）条对角线．

注：这个问题推出的结果虽然不符合上述计算公式，但其思维方法与单循环赛场数计算公式的推导思维方法是一致的．

望同学们在解题时注意规律的发现并从中总结出相应的计算公式，以求快速解题．

练习：1．要组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间只赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加赛？

2．同一条直线上的20个点共能产生多少条线段？

3．图2中共有多少个三角形？试写出你的推导过程．

图２

第一节循环赛的方法与编排

一、循环赛的种类与特点

（一）循环赛的种类

1、概念循环赛又称循环法。指参赛队（人）之间，都相互轮流比赛，最后按照各参赛队在全部比赛中的胜负场数、得分多少排定名次的比赛方法。

2、分类循环赛包括单循环、双循环和分组循环三种。

单循环是所有参赛队（人）相互轮赛一次；一般在参赛队人不太多，场地和时间比较充裕时采用。

双循环是所有参赛队（人）相互轮赛二次；一般在参赛队人不多，场地和时间比较充裕时采用。

分组循环是参赛队（人）较多时，采用种子法，把强队（人）分散在各组，先进行小组循环，再根据小组名次组织第二阶段的比赛。一般在参赛队人多，场地和时间较紧时采用。

（二）循环赛的优缺点

优点：参赛队机会均等，实战和相互观摩学习的机会多，能准确反映出参赛队之间真正的技术水平的高低，客观地排定参赛队的名次，比赛结果的偶然性和机遇小。

缺点：

1、比赛总的期限长，站用场地和时间多，当参赛队人多时，直接采用大循环有一定的困难，应用范围具有一定的局限性。

2、如何合理安排比赛的顺序，避免在比赛时间、间隙、地点、场次和比赛条件等方面出现不均衡现象。

3、当比赛结果有两个或两个以上队人的胜负场数相同，得失分相等时，如何根据不同项目的特点，科学地解决好最后的名次排定。

二、循环赛的轮数与场数计算

（一）循环赛的轮数

每个参赛队赛完一场（轮空队除外），称为一轮结束。计算循环赛的轮数的目的在于计划整个比赛所需要的时间和期限，是比赛日程

安排的主要依据。

计算方法：

1、单循环

当N=2n时，Y=N-1

当N=2n-1时，Y=N （其中Y=轮次数，N=参赛对数）

2、双循环和多循环为单循环的倍数。

（二）循环赛的场数

循环赛的场数是指参赛队人之间相互轮流比赛全部结束的总场数。计算其的目的在于计划安排人力、物力、比赛日程与场地。其计算方法：

1、单循环

X=C N2=N×（N-1）÷2 （其中X为比赛场数，N为参赛队数）如8个队参加单循环，其比赛种场数X= C82=8×（8-1）÷2=28

2、双循环和多循环为单循环的倍数。

如8个队参加双循环，其比赛种场数X=2×C82=2×8×（8-1）÷2=56

如8个队参加三循环，其比赛种场数X=3×C82=2×8×（8-1）÷2=84

三、循环比赛顺序的编排方法与注意事项

（一）单循环比赛顺序的编排方法

1、“1”固定左上角逆时针旋转法（轮转法I）

第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮第七轮

[1]-7 [1]-6 [1]-5 [1]-4 [1]-3 [1]-2

8-6 7-5 6-4 5-3 4-2 3-8 3-6 2-5 8-4 7-3 6-2 5-8 4-7 4-5 3-4 2-3 8-2 7-8 6-7 5-6

第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮第七轮

[1]-7 [1]-6 [1]-5 [1]-4 [1]-3 [1]-2

0-6 7-5 6-4 5-3 4-2 3-0 3-6 2-5 0-4 7-3 6-2 5-0 4-7 4-5 3-4 2-3 0-2 7-0 6-7 5-6 “1”固定左上角逆时针旋转法（轮转法I）是对抗性竞赛中，尤其是对抗性求类竞赛中采用循环制时最常用的确定竞赛秩序的编排方法。在羽毛球、乒乓球等项目竞赛规则中，这种编排方法及其竞赛秩序被明文规定，成为规范。

特点：

●各轮比赛的实力搭配相当均匀。

●体现了对种子，尤其是“1”的照顾；

●最有可能成为冠亚军之争的“1-2”安排在最后一轮，使整个

竞赛在结束阶段达到高潮。

缺点：

●当N为奇数时，号码“N-1”上的参赛者从第四轮起，始终

是每轮比赛都与上一轮刚刚“轮空”的参赛者交锋。这种竞

赛秩序的不均等，对于对抗激烈、消耗大、容易出现伤害事

故的竞赛项目，是致命的缺陷。

2、“1”固定左上角顺时针旋转法（轮转法II）

第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮第七轮

[1]-4 [1]-6 [1]-8 [1]-7 [1]-5 [1]-3

3-8 2-7 4-5 6-3 8-2 7-4 5-6

5-7 3-5 2-3 4-2 6-4 8-6 7-8 这种轮转法，首先排除最后一轮各场比赛秩序，然后讲[1]固定，其他各号按顺时针方向转动，逐轮倒推出前面场次的比赛秩序。从上表不难看出，其是轮转I的翻版。但其最大的优点是：最后一轮安排了实力均衡的最激烈的比赛场次，在结束阶段将整个比赛推向高潮。缺点是：实力接近的比赛过分集中，造成各轮比赛的强弱搭配不均匀。在对抗性比赛中，在特殊需要的情况下使用。（既调整法）

3、偶方参赛[1]固定左上角，奇方[0] 固定左上角的逆时针旋转法（轮转III）

摔跤、柔道、散手等重竞类项目多采用这种方法。在古典式、自由式摔跤竞赛规则中对此作了明文规定：“编排比赛顺序时，从左上角的[1]号位开始，依次将各号按逆时针方向转圈排列，从第二轮开始[1]固定不动。如是奇数，1号位位[0]。

第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮第七轮

3-6 2-5 8-4 7-3 6-2 5-8 4-7 4-5 3-4 2-3 8-2 7-8 6-7 5-6

第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮第七轮

[0]-6 [0]-5 [0]-4 [0]-3 [0]-2 [0]-1

7-5 6-4 5-3 4-2 3-1 2-7 2-5 1-4 7-3 6-2 5-1 4-7 3-6 3-4 2-3 1-2 7-1 6-7 5-6 4-5 从奇数方来看，完全克服了1固定的弊端。但也有缺陷，即在最后一轮比赛中，实力最强的[1]轮空，且比赛实力悬殊，比赛可看性不强。

4、最大号或[0]固定右上角逆时针旋转法（轮转IV）

国际羽联主办的“汤姆斯杯”和“尤伯杯”采用此法。

第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮第七轮1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 1-7 2-7

3-7 4-7 2-3 2-4 2-5 2-6 3-6

4-6 5-6 5-7 6-7 3-4 3-5 4-5

第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮第七轮1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 1-7 1-8

4-6 4-7 5-7 3-8 3-4 3-5 3-6

5-8 5-6 6-8 6-7 7-8 4-8 4-5 解读上述编排方法即为最大号或[0]固定右上角逆时针旋转法，然后按下列原则调整：

1、每轮的第一场比赛按1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 1-7 1-N 或2-N顺序进行调整。

2、每轮按小号排前，小号场次优先的原则进行调整。

第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮第七轮1-[8] 7-[8] 6-[8] 5-[8] 4-[8] 3-[8] 2-[8]

2-7 1-6 7-5 6-4 5-3 4-2 3-1

3-6 2-5 1-4 7-3 6-2 5-1 4-7

4-5 3-4 2-3 1-2 7-1 6-7 5-6

第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮第七轮1-[0] 7-[0] 6-[0] 5-[0] 4-[0] 3-[0] 2-[0]

2-7 1-6 7-5 6-4 5-3 4-2 3-1

3-6 2-5 1-4 7-3 6-2 5-1 4-7

4-5 3-4 2-3 1-2 7-1 6-7 5-6

5、最大号摆动于左右上角的逆时针轮转法（轮转法V）

在《国际象棋竞赛规则》《中国象棋竞赛规则》《围棋竞赛规则》

的附录中，均列初竞赛的对局次序表。其编排方法是按“首尾连接，末号摆动，邻近相对，号前执先”。若参赛队为单数，则末号为轮空号。

第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮第七轮1-8 8-5 2-8 8-6 3-8 8-7 4-8

2-7 6-4 3-1 7-5 4-2 1-6 5-3

3-6 7-3 4-7 1-4 5-1 2-5 6-2

4-5 1-2 5-6 2-3 6-7 3-4 7-1 轮转法秩序的编排

第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮第七轮

1-（8）（8）-5 2-（8）（8）-6 3-（8）（8）-7 4-（8）2-7 6-4 3-1 7-5 4-2 1-6 5-3

3-6 7-3 4-7 1-4 5-1 2-5 6-2

4-5 1-2 5-6 2-3 6-7 3-4 7-1

6、贝格尔编排法及其竞赛秩序

在国际排球比赛中，普遍采用贝格尔法进行编排。其编排秩序是：

第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮第七轮

1-（8）（8）-5 2-（8）（8）-6 3-（8）（8）-7 4-（8）2-7 6-4 3-1 7-5 4-2 1-6 5-3

3-6 7-3 4-7 1-4 5-1 2-5 6-2

4-5 1-2 5-6 2-3 6-7 3-4 7-1

四、双循环制的编排方法

双循环是每个参加者都必须轮流相互比赛两次。也就是单循环二次。编排方法是单循环制重复排列二次。其编排方法可以重复，也可进行重新排列。

五、分组循环制的编排方法

分组循环是先将参加者分成若干小组举行预赛，后将各小组相同名次，组成决赛。预赛、决赛均采用单循环进行，决出比赛全部名次。

1、预赛阶段

按竞赛规程将参赛队分成N小组，各小组参照单循环编排，排出小组比赛表，然后确定种子的位置。

（1）分组方法

抽签进行小组定位

分组循环一般按种子的组数或2倍确定种子。

I. 若种子数=组数，则将种子分别排列在1号位置；

II. 若种子数=2组数，则采用蛇行法，将种子依次排列在1、2号位置；

1 4 5 8

2 3 6 7

种子确定的方法：（1）在领队会上协商确定种子队；

（2）抽签方法：种子队先抽签，确定各种子队的组别，直接布在1、2号位上；然后其他队分别抽签确定组别和位置。

蛇行法进行小组定位（多用于有直接依据的比赛）

第一组第二组第三组第四组

1 2 3 4

8 7 6 5

9 10 11 12

16 15 14 13

2、决赛阶段

各队在预赛阶段分组单循环赛中的名次，将决定其进入决赛阶段比赛的位置。在预赛阶段已经相遇过的队，比赛成绩依然有效，决赛阶段不在进行比赛。其常用的方法有：

（1）同名次赛：就是将各小组预赛中相同名次编排在一起进行比赛，如预赛四小组的第一名编排在一起进行单循环，决出1~4名；如预赛四小组的第二名编排在一起进行单循环，决出5~8名；余类推。这种赛制积极鼓励各参赛队必须在小组比赛中取得优异成绩，全部比赛竞争相当激烈。

（2）分段赛：将各小组的名次分为几段，同一段名次的队编排在一起决出总名次，如预赛两小组的前二名编排在一起进行单循

环，决出1~4名；预赛二小组的第3、4名编排在一起进行单循环，决出5~8名；余类推。这种赛制，各队可以根据比赛的实际情况，指定适合自己的战术安排，比赛后阶段比赛比较激烈。（3）交叉赛：各组的前两名交叉比赛，两场胜者进行决赛争夺第1、2名，两场负者争夺3、4名，各组3、4名用同样比赛争夺5~8名，余类推。

A1 A3

B2 B4

A2 A4

B1 B3

（4）录取名次赛：根据竞赛规程规定的录取名次，在各小组中取数量相等的对进入决赛（参加第二阶段决赛队的数量应等于或略高于录取蜜柑次的队数）。如竞赛规程规定取前8名，预赛分成二组，则每组前4名进入决赛，8队再进行循环赛，决出比赛名次。

六、循环比赛日程编排的注意事项

循环赛要求每各队人和其他参赛队人之间都要进行比赛。从比赛公平角度来看，必须保证比赛条件和机会均等。在组织比赛中必须注意：（P34）

第二节淘汰赛的方法和编排