离散数学第七章

第七章部分课后习题参考答案

7.列出集合A={2,3,4}上的恒等关系I A,全域关系E A,小于或等于关系L A,整除关系

D A.

={<2，2>,<3,3>,<4,4>}

解：I

A

={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<3,2>,<3,3>,<4,2>,<4,3>}

E

A

={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>}

L

A

D

={<2,4>}

A

13.设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>}

B={<1,3>,<2,4>,<4,2>}

求A?B,A?B, domA, domB, dom(A?B), ranA, ranB, ran(A?B ), fld(A-B).解：A?B={<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2>}

A?B={<2,4>}

domA={1,2,3}

domB={1,2,4}

dom(A∨B)={1,2,3,4}

ranA={2,3,4}

ranB={2,3,4}

ran(A ?B)={4} fld R=dom R ?ran R

A-B={<1,2>,<3,3>}，fld(A-B)={1,2,3} 14.设R={<0,1><0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>}

求R οR, R -1, R ↑{0,1,}, R[{1,2}]

解：R οR={<0,2>,<0,3>,<1,3>}

R -1,={<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>}

R ↑{0,1}={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>} R[{1,2}]=ran(R ↑{1,2})={2,3}

16．设A={a,b,c,d}，1R ，2R 为A 上的关系，其中

1

R ={

},,,,,a a a b b d

{}2,,,,,,,R a d b c b d c b

=

求23

122112,,,R R R R R R o o 。

解: R 1οR 2={,,} R 2οR 1={}

R 12=R 1οR 1={,,}

1

2

4

3 R 22=R 2οR 2={,,} R 23=R 2οR 22={,,}

22、给定

{}1,2,3,4A =，A 上的关系{1,3,1,4,2,3,2,4,3,4R =，试

（1）画出R 的关系图； （2）说明R 的性质。 解：（1）

● ●

● ●

（2）R 的关系图中每个顶点都没有自环，所以R 是反自反的，不是自反的；

R 的关系图中任意两个顶点如果有边的都是单向边，故R 是反对称的，不是对称的； R 的关系图中没有发生顶点x 到顶点y 有边、顶点y 到顶点z 有边，但顶点x 到顶点z 没有

边的情况，故R 是传递的。 26 设

{}1,2,3,4,5,6A =，R 为A 上的关系，R 的关系图如图7.13所示：

（1）求2

3,R

R 的集合表达式；

（2）求r(R), s(R), t(R)的集合表达式。

解：（1）由R 的关系图可得{1,5,2,5,3,1,3,3,4,5R =

所以{2

3,1,3,3,R R R =?=，{}3

23,1,3,3,3,5R

R R =?=，

可得{}3,1,3,3,3,5,n>=2n

R

=当；

（2）{A

r(R)=R I 1,5,2,5,3,1,3,3,4,5,1,1,2,2,4,4,5,5,6,6

=U ，

{1()R 1,5,5,1,2,5,5,2,3,1,1,3,,4,5,s R R -==U

{}232()R R ...R 1,5,2,5,3,1,,4,5,t R R R ===U U U U 36．设A={1，2，3，4}，在A ?A 上定义二元关系R ，

?,∈A ?A ，〈u,v> R ?u + y = x + v. (1)证明R 是A ?A 上的等价关系. (2)确定由R 引起的对A ?A 的划分. （1）证明：

∵任意∈A,有u+v=u+v,

∴所以<,>∈R,既R 是自反的 任意的,∈A ×A 如果R ，那么u-v=x-y ∴x-y=u-v ∴R ∴R 是对称的

任意的,,∈A ×A 若R,R 则u-v=x-y,x-y=a-b ∴u-v=a-b ∴R ∴R 是传递的 ∴R 是A ×A 上的等价关系 (2)

∏

={{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>},

{<2,1>,<3,2>,<4,3>},

{<3,1>,<4,2>},

{<4,1>}, {<1,2>,<2,3>,<3,4>}, {<1,3>,<2,4>}, {<1,4>} }

41.设A={1，2，3，4}，R为A?A上的二元关系, ?〈a，b〉，〈c，d〉∈A?A ,

〈a，b〉R〈c，d〉?a + b = c + d

(1)证明R为等价关系.

(2)求R导出的划分.

(1)证明：?

a+b=a+b

∴R

∴R是自反的

任意的,∈A×A

设R，则a+b=c+d

∴c+d=a+b ∴R

∴R是对称的

任意的,,∈A×A

若R,R

则a+b=c+d,c+d=x+y

∴a+b=x+y ∴R

∴R是传递的

∴R是 A×A上的等价关系

(2)∏={{<1,1>}, {<1,2>,<2,1>}, {<1,3>,<2,2>,<3,1>}, {<1,4>,<4,1>,<2,3>,<3,2>}, {<2,4>,<4,2>,<3,3>}, {<3,4>,<4,3>}, {<4,4>}}

43. 对于下列集合与整除关系画出哈斯图:

(1) {1,2,3,4,6,8,12,24}

(2) {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

解:

2

3

468

1

11

(1) (2)

45.下图是两个偏序集的哈斯图.分别写出集合A 和偏序关系R p 的集合表达式.

d

g

a

b

f g

(a) (b) 解: (a)A={a,b,c,d,e,f,g}

R p ={,,,,,,,,,}

A I ?

(b) A={a,b,c,d,e,f,g}

R p ={,,,,,,}A I ?

46.分别画出下列各偏序集的哈斯图,并找出A 的极大元`极小元`最大元和最小元.

(1)A={a,b,c,d,e}

R p ={,,,,,,}?I A . (2)A={a,b,c,d,e}, R p ={}?IA.

解:

a

b

c

d

e

(1) (2)

项目 (1) (2) 极大元: e a,b,d,e 极小元: a a,b,c,e 最大元: e 无 最小元: a 无

48、设

,B,S A R 和为偏序集，在集合A B ?上定义关系T 如下：

112211221212

,,,A B,,,a b a b a b T a b a Ra b Sb ?∈??∧

证明T 为A B ?上的偏序关系。 证明：（1）自反性：

1111111111

112212121111,A B R R S b Sb R b Sb ,,,,T a b a a a a a b T a b a Ra b Sb a b T a b ∈?∴∴∴∧?∧∴Q Q 任取，则：

为偏序关系，具有自反性，为偏序关系，具有自反性，又，，故满足自反性

（2）反对称性：

11221122221112122121

1221121221121122,,,A B ,,,,R S b b ,,T a b a b a b T a b a b T a b a Ra b Sb a Ra b Sb a Ra a Ra a a b Sb b Sb a b a b ∈?∧∧∴∧=∴∧=∴=任取，若且，则有：（1）（2）

，又为偏序关系，具有反对称性，所以，又为偏序关系，具有反对称性，所以，故满足反对称性

（3）传递性：

112233112222331122121222332323

12231312231313131133,,,,A B ,,,,,,,,,R ,S b Sb b Sb ,,T a b a b a b a b T a b a b T a b a b T a b a Ra b Sb a b T a b a Ra b Sb a Ra a Ra a Ra b Sb b Sb a Ra a b T a b ∈??∧?∧∴∧∴∧∴∧?任取，，若且，则有：又为偏序关系，具有传递性，所以又为偏序关系，具有传递性，所以，故满足传递性。

综合（1）（2）（3）知T 满足自反性、反对称性和传递性，故T 为A B ?上的偏序关系。