2017年北京市东城区高考数学一模试卷(理科)
2017年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）
A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）已知命题，则￢p是（）
A．B．C．
D．
3．（5分）已知圆的参数方程为（θ为参数），则圆心到直线y=x+3
的距离为（）
A．1 B．C．2 D．
4．（5分）已知m是直线，α，β是两个互相垂直的平面，则“m∥α”是“m⊥β”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知向量，满足2+=0，?=﹣2，则（3+）?（﹣）=（）A．1 B．3 C．4 D．5
6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
A．B．C．1 D．
7．（5分）将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到函数y=f（x）图象在区间上单调递减，则m的最小值为（）A．B．C．D．
8．（5分）甲抛掷均匀硬币2017次，乙抛掷均匀硬币2016次，下列四个随机事件的概率是0.5的是（）
①甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多；
②甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少；
③甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多；
④乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多．
A．①②B．①③C．②③D．②④
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（5分）已知复数z满足z（1+i）=2，则|z|=．
10．（5分）在的展开式中，常数项为．（用数字作答）．11．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若S3=12，a2+a4=4，则S6=．12．（5分）天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推．排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推．已知2017年为丁酉年，那么到新中国成立100年时，即2049年为年．
13．（5分）双曲线的渐近线为等边三角形OAB的边OA，OB所在直线，直线AB过双曲线的焦点，且|AB|=2，则a=．
14．（5分）已知函数和
则g（2x）=；
若m，n∈Z，且m?g（n?x）﹣g（x）=f（x），则m+n=．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC 中，．
（Ⅰ）若c2=5a2+ab ，求；
（Ⅱ）求sinA?sinB的最大值．
16．（13分）近年来共享单车在我国主要城市发展迅速．目前市场上有多种类型的共享单车，有关部门对其中三种共享单车方式（M方式、Y方式、F方式）进行统计（统计对象年龄在15～55岁），相关数据如表1，表2所示．
三种共享单车方式人群年龄比例（表1）
不同性别选择共享单车种类情况统计（表2）
（Ⅰ）根据表1估算出使用Y共享单车方式人群的平均年龄；
（Ⅱ）若从统计对象中随机选取男女各一人，试估计男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数的概率；
（Ⅲ）现有一个年龄在25～35岁之间的共享单车用户，那么他使用Y方式出行的概率最大，使用F方式出行的概率最小，试问此结论是否正确？（只需写出结论）
17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AP⊥BP，AC⊥BC，∠PAB=60°，∠ABC=45°，D是AB中点，E，F分别为PD，PC的中点．（Ⅰ）求证：AE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在点M，使得CM∥平面AEF？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
18．（13分）已知函数f（x）=2lnx+﹣mx（m∈R）．
（Ⅰ）当m=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上为单调递减，求m的取值范围；
（Ⅲ）设0＜a＜b，求证：．
19．（14分）已知椭圆经过点，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A，B是椭圆C的左，右顶点，P为椭圆上异于A，B的一点，以原点O 为端点分别作与直线AP和BP平行的射线，交椭圆C于M，N两点，求证：△OMN的面积为定值．
20．（13分）已知集合A={a1，a2，…，a n}，a i∈R，i=1，2，…，n，并且n≥2．定
义（例如：
）．
（Ⅰ）若A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，M={1，2，3，4，5}，集合A 的子集N满足：N≠M，且T（M）=T（N），求出一个符合条件的N；
（Ⅱ）对于任意给定的常数C以及给定的集合A={a1，a2，…，a n}，求证：存在集合B={b1，b2，…，b n}，使得T（B）=T（A），且．
，i=1，2，…，2m﹣1，m≥2，（Ⅲ）已知集合A={a1，a2，…，a2m}满足：a i＜a i
+1
a1=a，a2m=b，其中a，b∈R为给定的常数，求T（A）的取值范围．
2017年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）
A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}
【分析】求解不等式得出集合A={x|﹣1＜x＜2}，
根据集合的并集可求解答案．
【解答】解：∵集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，
∴集合A={x|﹣1＜x＜2}，
∵A∪B={x|﹣1＜x＜3}，
故选：A．
【点评】本题考查了二次不等式的求解，集合的运算，属于容易题．
2．（5分）已知命题，则￢p是（）
A．B．C．
D．
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，可以求出￢p．
【解答】解：因为命题p是全称命题，所以利用全称命题的否定是特称命题可得：￢p．
故选：C．
【点评】本题主要考查了含有量词的命题的否定，要求掌握含有量词的命题的否定的两种形式，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
3．（5分）已知圆的参数方程为（θ为参数），则圆心到直线y=x+3
的距离为（）
A．1 B．C．2 D．
【分析】参数方程化为普通方程，即可求出圆心到直线y=x+3的距离．
【解答】解：圆的参数方程为（θ为参数），普通方程为（x+1）2+y2=2，
圆心到直线y=x+3的距离为d==，
故选：B．
【点评】本题考查参数方程化为普通方程，考查点到直线距离公式的运用，属于基础题．
4．（5分）已知m是直线，α，β是两个互相垂直的平面，则“m∥α”是“m⊥β”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】由m⊥β，α⊥β?m∥α或m?α．即可判断出结论．
【解答】解：由m⊥β，α⊥β?m∥α或m?α．
∴“m∥α”是“m⊥β”的既不充分也不必要条件条件．
故选：D．
【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．（5分）已知向量，满足2+=0，?=﹣2，则（3+）?（﹣）=（）A．1 B．3 C．4 D．5
【分析】根据2+=得出=﹣2，根据?=﹣2得出=1；再计算（3+）?（﹣）的值．
【解答】解：向量，满足2+=，
∴=﹣2；
又?=﹣2，
∴﹣2=﹣2，解得=1；
∴（3+）?（﹣）=（3﹣2）?（+2）=3=3．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是基础题．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
A．B．C．1 D．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图中右下角的三角形为底面的三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图中右下角的三角形为底面的三棱锥，
其底面面积S=×2×2=2，高h=2，
故棱锥的体积V==，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．
7．（5分）将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到函数y=f（x）图象在区间上单调递减，则m的最小值为（）
A．B．C．D．
【分析】由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，
可得，k∈Z，由此求得m的最小值．
【解答】解：将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，可得y=sin（2x+2m+）的图象；
再根据得到函数y=f（x）=sin（2x+2m+）在区间上单调递减，
∴，k∈Z，求得m=kπ+，则m的最小值为，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．
8．（5分）甲抛掷均匀硬币2017次，乙抛掷均匀硬币2016次，下列四个随机事件的概率是0.5的是（）
①甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多；
②甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少；
③甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多；
④乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多．
A．①②B．①③C．②③D．②④
【分析】甲抛掷均匀硬币2017次，乙抛掷均匀硬币2016次，每次抛掷时出现正面的概率都是0.5，出现反面的概率也都是0.5，由此能求出结果．
【解答】解：根据题意，甲抛掷均匀硬币2017次，乙抛掷均匀硬币2016次，每次抛掷时出现正面的概率都是0.5，出现反面的概率也都是0.5，
在①中，∵甲比乙多抛掷一次硬币，∴甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多的概率为0.5，故①正确；
在②中，∵甲比乙多抛掷一次硬币，∴甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少的概
率不是0.5，故②错误；
在③中，∵甲抛掷均匀硬币2017次，∴甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多的概率是0.5，故③正确；
在④中，∵乙抛掷均匀硬币2016次，
∴乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多的概率为，故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意概率的意义的合理运用．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（5分）已知复数z满足z（1+i）=2，则|z|=．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解．
【解答】解：∵z（1+i）=2，
∴，
则|z|=．
故答案为：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．
10．（5分）在的展开式中，常数项为40．（用数字作答）．
【分析】在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求出r的值，即可求出展开式的常数项．
=?2r?x10﹣5r，
【解答】解：由于展开式的通项公式为T r
+1
令10﹣5r=0，解得r=2，故展开式的常数项是40，
故答案为40．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
11．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若S3=12，a2+a4=4，则S6= 6．
【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S3=12，a2+a4=4，
∴3a1+3d=12，2a1+4d=4，解得a1=6，d=﹣2．
则S6=×（﹣2）=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（5分）天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推．排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推．已知2017年为丁酉年，那么到新中国成立100年时，即2049年为己巳年．
【分析】由题意可得数列天干是以10为等差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，以2017年的天干和地支分别为首项，即可求出答案．
【解答】解：天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从2017年到2049年经过32年，且2017年为丁酉年，以2017年的天干和地支分别为首项，
则32÷10=2余2，则2049的天干为己，
32÷12=2余8，则2049的地支为巳，
故答案为：己巳
【点评】本题考查了等差数列在实际生活中的应用，属于中档题．
13．（5分）双曲线的渐近线为等边三角形OAB的边OA，
OB所在直线，直线AB过双曲线的焦点，且|AB|=2，则a=．
【分析】由等边三角形和双曲线的对称性，可得，∠OAF=30°，再由渐近线方程，可得b=a，再由a，b，c的关系和c的值，即可计算得到a．
【解答】解：由于△OAB（O为坐标原点）是等边三角形，
则由对称可得，∠AOF=30°，
双曲线的渐近线方程为y=±x，
即有tan30°=，即b=a，
又c==a=，
则a=．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线方程和性质，考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，属于基础题．
14．（5分）已知函数和
则g（2x）=；
若m，n∈Z，且m?g（n?x）﹣g（x）=f（x），则m+n=4．
【分析】依次令0≤2x＜1，2x＜0或2x≥1得出g（2x）的分段区间，再得出g （2x）；令x=0，可求出m，求出f（x）+g（x）的解析式，根据2g（nx）=f（x）+g（x）得出关于n的不等式组，求出n即可得出m+n的值．
【解答】解：令0≤2x＜1得0≤x＜，
令2x＜0或2x≥1得x＜0或x，
∴g（2x）=．
令x=0得，mg（0）﹣g（0）=f（0），即m﹣1=1，
∴m=2，
∴2g（nx）=f（x）+g（x）=，
∴，∴n=2．
∴m+n=4．
故答案为g（2x）=；4．
【点评】本题考查了分段函数的意义，函数值的计算，属于中档题．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，．
（Ⅰ）若c2=5a2+ab，求；
（Ⅱ）求sinA?sinB的最大值．
【分析】（Ⅰ）根据题意，结合余弦定理可得5a2+ab=a2+b2+ab，变形可得b2=4a2，即b=2a，由正弦定理分析可得答案；
（Ⅱ）根据题意，，可得B=﹣A，将sinA?sinB变形可得sinA?sinB=
﹣，结合A的范围，分析可得﹣即sinA?sinB的范围，即可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab，又由c2=5a2+ab，则有5a2+ab=a2+b2+ab，
变形可得b2=4a2，即b=2a，
则==2；
（Ⅱ）根据题意，，则A+B=，即B=﹣A，sinA?sinB=sinA?sin （﹣A）=sinA?[cosA ﹣sinA]
=sinAcosA ﹣sin2A=﹣
=﹣，
又由A+
B=，则0＜A ＜，
则＜2A +＜，
进而有0＜﹣≤，
即0＜sinA?sinB ≤，
故sinA?sinB 的最大值为．
【点评】本题正弦、余弦定理的综合运用，涉及三角函数的恒等变换，关键是依据余弦定理，发现a、b的关系．
16．（13分）近年来共享单车在我国主要城市发展迅速．目前市场上有多种类型的共享单车，有关部门对其中三种共享单车方式（M方式、Y方式、F方式）进行统计（统计对象年龄在15～55岁），相关数据如表1，表2所示．
三种共享单车方式人群年龄比例（表1）
不同性别选择共享单车种类情况统计（表2）
（Ⅰ）根据表1
估算出使用Y
共享单车方式人群的平均年龄；
（Ⅱ）若从统计对象中随机选取男女各一人，试估计男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数的概率；
（Ⅲ）现有一个年龄在25～35岁之间的共享单车用户，那么他使用Y 方式出行的概率最大，使用F 方式出行的概率最小，试问此结论是否正确？（只需写出结论）
【分析】（Ⅰ）由题意，a%=1﹣0.2﹣0.55﹣0.2=0.05，求出a ，利用组中值估算出使用Y 共享单车方式人群的平均年龄；
（Ⅱ）若从统计对象中随机选取男女各一人，分类讨论，即可估计男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数的概率； （Ⅲ）用Y 方式出行与使用F 方式出行没有关系．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，a%=1﹣0.2﹣0.55﹣0.2=0.05，∴a=5， ∴使用Y 共享单车方式人群的平均年龄=
+
+
+
=31；
（Ⅱ）记男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数为事件M ，则 男性使用2种，女性使用1种的概率=0.35×0.5=0.175， 男性使用3种，女性使用1种的概率=0.45×0.5=0.225， 男性使用3种，女性使用2种的概率=0.45×0.4=0.18， ∴P （M ）=0.175+0.225+0.18=0.58； （Ⅲ）不正确．
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AP⊥BP，AC⊥BC，∠PAB=60°，∠ABC=45°，D是AB中点，E，F分别为PD，PC的中点．（Ⅰ）求证：AE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在点M，使得CM∥平面AEF？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【分析】（Ⅰ）推导出PD=AD，从而△PAD是等边三角形，进而AE⊥PD，再求出CD⊥AB，从而CD⊥平面PAB，进而CD⊥AE，由此能证明AE⊥平面PCD．（Ⅱ）以A为原点，作Ax∥DC，以AB所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PA﹣C的余弦值．
（Ⅲ）在平面ABP中，延长AE交BP为G，取BG中点M，推导出G为PM中点，此时，=从而DM∥平面AEF，推导出面CDM∥面AEF，从而得到CM∥面AEF．
【解答】证明：（Ⅰ）∵AP⊥BP，D是AB中点，
∴PD=AD，
又∠PAB=60°，∴△PAD是等边三角形，
又E为PD的中点，∴AE⊥PD，
∵AC⊥BC，∠ABC=45°，
又D是AB的中点，∴CD⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABC，又平面PAB∩平面ABC=AB，
∴CD⊥平面PAB，∵AE?平面PAB，∴CD⊥AE，
又CD∩PD=D，∴AE⊥平面PCD．
解：（Ⅱ）以A为原点，作Ax∥DC，以AB所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，
设AB=2a，则A（0，0，0），B（0，2a，0），C（a，a，0），D（0，a，0），P（0，
），
∵CD⊥平面PAB，∴平面PAB的一个法向量为=（﹣a，0，0），
设平面PAC的一个法向量为=（x，y，z），
则，令x=1，得=（1，﹣1，），
设二面角B﹣PA﹣C的平面角为θ，
由图知，二面角B﹣PA﹣C为锐角，
∴cosθ===，
∴二面角B﹣PA﹣C的余弦值为．
（Ⅲ）PB上存在M，使得CM∥平面AEF，此时．
证明：在平面ABP中，延长AE交BP为G，
取BG中点M，∵M为BG中点，D为AB中点，
∴DM∥AG，又E为PD中点，∴G为PM中点，
此时，=，∴DM∥AE，
∵DM?面AEF，AE?面AEF，
∴DM∥平面AEF，
∵E，F分别是PD，PC的中点，
∴CD∥EF，CD?面AEF，EF?平面AEF，
∴CD∥平面AEF，CD∩DM=D，CD?面CDM，DM?面CDM，
∴面CDM∥面AEF，
∵CM?面CDM，∴CM∥面AEF．
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线满足线面平行的点的确定与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．
18．（13分）已知函数f（x）=2lnx+﹣mx（m∈R）．
（Ⅰ）当m=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上为单调递减，求m的取值范围；
（Ⅲ）设0＜a＜b，求证：．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，问题转化为m≥﹣在x∈（0，+∞）恒成立，令g （x）=﹣，（x＞0），根据函数的单调性求出m的范围即可；
（Ⅲ）取m=1，根据函数的单调性得到f（）＜f（1），即2ln+﹣＜0，从而证明结论即可．
【解答】解：（Ⅰ）m=﹣1时，f（x）=2lnx++x，
∴f′（x）=﹣+1，f（1）=2，f′（1）=2，
故切线方程是：y﹣2=2（x﹣1），
即2x﹣y=0；
（Ⅱ）f′（x）=﹣﹣m≤0在x∈（0，+∞）恒成立，
即m≥﹣在x∈（0，+∞）恒成立，
令g（x）=﹣，（x＞0），
∴m≥g（x）max，
g（x）=﹣+1，当=1时，g（x）max=1，
故m≥1；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）m=1时，
f（x）=2lnx+﹣x在x∈（0，+∞）上递减，
∵0＜a＜b，∴＞1，
∴f（）＜f（1），
∴2ln+﹣＜0，
lnb﹣lna＜，
即．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．
19．（14分）已知椭圆经过点，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A，B是椭圆C的左，右顶点，P为椭圆上异于A，B的一点，以原点O 为端点分别作与直线AP和BP平行的射线，交椭圆C于M，N两点，求证：△OMN的面积为定值．
【分析】（Ⅰ）由椭圆经过点，且离心率为，列出方程给求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），当M（x1，y1），N（x2，y2）在x轴同侧，不妨设x1＞0，x2＜0，y1＞0，y2＞0，推导出，，且，过M，N作x轴的垂线，垂足分别为M′，N′，
﹣=﹣，由，得，
由此求出．当M（x 1，y1），N（x2，y2）在x轴异侧，同理得，由此能证明△OMN的面积为定值．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆经过点，且离心率为，
∴，解得a=2，b=，
∴椭圆C的方程为．
证明：（Ⅱ）设P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），
①M（x1，y1），N（x2，y2）在x轴同侧，不妨设x1＞0，x2＜0，y1＞0，y2＞0，射线OM的方程为y=，射线ON的方程为y=，
∴，，且，
过M，N作x轴的垂线，垂足分别为M′，N′，
﹣
=
=
===﹣，
由，得，