考研数学重要公式

高等数学重要定理及公式

作者：电子科技大学 通信学院 张宗卫

说明：本文档是笔者在考研过程中花费将近一个月的时间，总结得出的数学（一）重要公式及一些推论，并使用word 及MathType 输入成文，覆盖了微积分、线性代数、概率论这些课程。因为时间有限，难免存在一些输入错误，请读者仔细对照所学知识，认真查阅。 线性代数重要公式

1.矩阵与其转置矩阵关系：E A AA =*

2.矩阵行列式：*1

1A A A =- 1*-=n A A *1*)(A k kA n -= ?

?

???

?????=-=-<=n A r n n A r n A r A r )(,1)(,11)(,0)(* 3.矩阵与其秩：{}()min (),()()()()

(,)()()

(,)max(()())

r AB r A r B r A B r A r B r A B r A r B r A B r A r B ≤+≤+≤+≥+

4.齐次方程组0=Ax ：非0解?线性相关?n A R =)(

5.非齐次方程组b Ax =：有解??=)()(A R A R 线性表出

6.相似与合同：相似—n 阶可逆矩阵A,B 如果存在可逆矩阵P 使得B AP P =-1

则A 与B 相

似，记作：B A ~；合同—A,B 为n 阶矩阵，如果存在可逆矩阵C 使得AC C B T

=则称A

与B 合同。（等价，A 与B 等价—A 与B 能相互线性表出。）

7，特征值与特征向量：λαα=A ，求解过程：求行列式0=-A E λ 中参数λ即为特征值，再求解0)(=-x A E i λ即可求出对应的特征向量。矩阵A 的特征值与A 的主对角元及

行列式之间有以下关系：?

?

?

???????==∑∑A a n n

ii n i λλλλ...2111。上式中∑==n i ii a A 1)(tra 称为矩阵的迹。

8.特征值特征向量、相似之间的一些定理及推论：实对称矩阵A 的互异特征值对应的特征向

量线性无关；若n 阶矩阵的特征值都是单特征根，则A 能与对角矩阵相似；n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是对于A 的每一个i k 重特征根，齐次方程组0)(=-x A E i λ的基础解析由i k 个解向量组成即对应每一个i k 重特征根i λi i k n A E R -=-)(λ。

9.实对称矩阵的特征值都是实数，如果A 为一个实对称矩阵，那么对应于A 的不同特征值的特征向量彼此正交。任意n 阶实对称矩阵A 都存在一个n 阶正交矩阵C ，使得

AC C AC C T 1-=为对称矩阵。

10.施密特正交矩阵化方法：一般地，把线性无关向量组s ααα...,21化为与之等价的标准正交向量组的施密特正交过程如下：

1

111222211112

222311113331

11122211),()

,(...),(),(),(),(..........

)

,()

,(),(),()

,()

,(--------

=--

=-==s s s s s s s s s ββββαββββαββββααβββββαββββααβββββααβαβ

再令：i i

i ββγ1

=

则s γγγ...,21是一组与s ααα...,21等价的标准正交向量组。

11.正交矩阵的定义：如果实矩阵A 满足：E AA A A T

T ==则称A 为正交矩阵。

12.设A ，B 为n 阶方阵，如果存在可逆矩阵C ，使得AC C B T

=，则称A 与B 合同。

13.用正交变换化二次型为标准型步骤： a) 写出二次型对应的对称矩阵A ；

b) 求A 的特征值i λ和特征向量，（0=-A E λ）i α；

c) 将特征向量i α正交化（实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量彼此正交，多重

特征根在取特征向量时尽量取正交向量，方便计算）、单位化得i β

d) 令???

??

??

???????=n x x x X ...21 ， []n C βββ,...,21=，?????

???????=n y y y Y ...21则CY X =，是正交变换，且2

22221121...),...,,(n

n n y y y x x x f λλλ+++=。 14.如果任一非零向量X 都使得二次型0>AX X T

，则称之为正定二次型，对应的矩阵

A 为正定矩阵。二次型为正定矩阵的充要条件是矩阵A 的特征值全部为正实数、正惯性指数是n 、矩阵A 与E 合同、矩阵A 的顺序主子式全大于零，且以上条件等价。

概率论与数理统计重要知识点及公式： 1.条件概率：)

()

()|(B P AB P B A P =

如果(|)()()P A B P A P B =,则A 与B 独立。 2.常用概率公式：()()()()()()()()()(|)()P A B P A P B P A B P A B P AB P A P AB p AB P A B P B ?=+-???

-==-??=?

（对于给定如：A B ?这样的条

件，常常通过画图（如下图）来解决，直观明了）

()()()()()()

p AB p B p AB p AB p A p AB ?=-??=-??

3.全概率公式：1

()()(|)n

i

i

i P A P A P A B ==

∑

4.贝叶斯公式：1

()

()()

(|)()

()(|)

i i i i n

i j

j

j p AB p B p B A p B A p B p B p A B ==

=∑（结合条件概率公式和全概率公

式推导而出） 5.几个重要分布：

a) 二项分布（n 次重复，伯努利类型）：()(1)n

n

m n

m p A C p p -=-

b) 泊松分布：二项分布当

m,很大，p

很小且np λ=时，

{}~(

),,0,1,2...

!

k

X p p x k

e k k λ

λλ-=== c) 均匀分布：1,~(,),()0,a x b X U a b f x b a otherelse ??

<

?=-??????

d) 指数分布：,0()0,0x e x f x x λλ-??

>=??≤??

A

B

e) 正态分布：22

()221

~(,),(;,)2x X N u f x u e

μδδδπδ

--=

6.随机变量的数字特征：

A ）数学期望：存在前提

1

n

i

i i x

p =∑，()x f x dx +∞

-∞

?

要绝对可积，那么1

()n

i i i E x x p ==∑，

()()E x x f x dx +∞

-∞

=?

；

B ）方差：{}2

22

()(())()()()

D X

E x E x D X E x E x ?=-??=-??

C ）期望性质：()()()()()()E C C

E cX cE X E X Y E X E Y =??

=??+=+?

，X ，Y 独立则()()()E XY E X E Y =

D ）方差性质：2

()0()()()()()2c o v(,)D C D cX c D x D X Y D X D Y X Y =??=??±=+±?,若X ，Y 相互独立则

()()()D X Y D X D Y ±=+.。

7. 常用分布数字特征：

a) (0,1)分布();()(1)E z p D z p p ==-

b) b （n ，p ）二项分布();()(1)E z np D z np p ==-

c) 泊松分布

,(),();!

k

e E z D z k λλλλ-==

d) 均匀分布：[]2

(),,(),();212

a b b a U a b E z D z +-== e) 指数分布：2

,011

,(),();0,x e x E z D z otherelse λλλλ-??>==????

f)

正态分布：2

2

(,),(),();N E z D z μδμδ==

8.协方差： 定义式[][]{}cov(,)()()X Y E

x E x y E y =--

计算式cov(,)()()()X Y E xy E x E y =-

性 质 ： 1212cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)()X Y Y X Y X Y aX bY ab X Y Z Z D Z +=+??

=??=?

9.相关系数：cov(,)

,1;()()

xy X Y D X D Y ρρ=

≤

10.几种特殊函数的分布问题：

a) 极值分布12max(,),min(,)Z X Y Z X Y ==

12()(max(,))(,)()()()()

()(min(,))1(min(,))

1()()

1[1{}][1{}]1[1()][1()]

Z x y Z x y F z P X Y z P X z Y z P X z P Y z F z F z F z P X Y z P X Y z P X z P Y z p x z p y z F z F z =≤=≤≤=≤≤==≤=->=->>=--≤-≤=---

b ）和的分布：Z=X+Y 分分布函数是

`(){}(,);

()()(,)()(,)z x y z

z z

z F z P X Y z f x y dxdy f z F z f z y y dy

f z f x z x dx

+≤+∞

-∞

+∞-∞=+≤===-=-??

??

一般的

X

与

Y

相互独立，且22

1122~(,),~(,)X N Y N μδμδ，则

221212~(,)Z X Y N μμδδ=+++，其概率密度公式为：

2

122211(())2()

22121

1

221

1

1(;,)2()

x f z e

μμσδμμσδπσδ-+-

+++=

+。

c ）商的分布 X

Z Y =分布函数是：

/0

()()(,)()(,)(,)(,)z x y z

z F z P Z z f x y dxdy

f z yf zy y dy yf zy y dy y f zy y dy

≤+∞

+∞

-∞

-∞

=≤==-=??

?

??

11.参数估计：

a) 矩估计方法：构造关于参数组成的k 阶原地矩与样本k 阶原点矩之间的等式关系：

121

1(,,...)n k

k n i i x n γθθθ==∑，解此方程组解为 12(,,...)k k n

x x x θθ=就作为k θ的矩估 计。

b ） 极大似然估计方法：基本思想是按照最大可能性的准则进行推断，把已经发生的事

件，看成最可能出现的事件，即认为它具有最大的可能性。

求法，写出最大似然函数,并求最大似然函数的最大值点，一般取最大似然函数的 对数方便运算，即求解如下的似然方程组

ln 0,1,2,3...,k

L

k m θ?==?，似然方程组 的解可能不唯一，这时需要微积分知识进一步的判定哪一个是最大值点，若似然函 数关于参数的导数不存在时，就无法得到似然方程组，因此必须回到极大似然股及

的定义式直接求解。

13.矩估计的优良性：若 ()E θθ=则称 θ是θ的无偏估计量，若 12

,θθ是θ的无偏估计量，且 12

()()D D θθ≤则称 1θ为θ的最小无偏估计量。 14.数理统计概念：1

1n

i i X X n ==∑（样本均值）

2

21

1()1n

i i S X X n ==--∑（样本方差） 1

1n k

k i i A X n ==∑（样本k 阶原点矩）

1

1()n

k k i i M X X n ==-∑（样本k 阶中心矩）

15.三个重要分布：

a) 设n 个相互独立并且都服从正态分布(0,1)N 的随机变量12,,...,n X X X 记

2

21n

i i X χ==∑

则称随机变量2

χ服从自由度为n 的2

χ分布。对于给定的正数a(0

22

()

(())()a n P n f x dx a χχ

χχ+∞

>==?的数2

()a

n χ为2()n χ的上侧临界值或上

侧分位数。

性质：2

2

(),()2E n D n χχ==

设12,Y Y 相互独立，且2

2

1122~(),~()Y n Y n χχ则有2

1212~()Y Y n n χ++

b ） 设随机变量X 与Y 相互独立，2~(0,1),~

()X N Y n χ，记

X

T Y n

=

则随机变量T 服从自由度为n 的t 分布。

c ） 设随机变量X,Y 相互独立，2212~(),~()X n Y n χχ记1

2

X n F Y n =则随机变量F 服

从第一自由度为1n 第二自由度为2n 的F 分布。

16设12,,...,n X X X 是正太总体2

(,)N μδ的样本，2

,X S 分别是样本均值和样本方差，则有

X 与2S 相互独立，则有

2222~(,)

1

~(1)~(1)/X N n n S n X t n S n

δμχδμ

???

-?-???--?

?

上式中，11

22111()()()11()()()n n i i i i n

i i i E X E X E X n n D X D X D X n n n μδ

===?

===????===??

∑∑∑

17.设121,,...,n X X X 和212,,...,n Y Y Y 分别是来自正态总体22

1122(,),(,)N N μδμδ的样本，并

且它们相互独立，22

12,,,X S Y S 分别是这两组样本的均值和样本方差，则有：

A ）22

111222

22/~(1,1);/S F F n n S δδ=--

B ）当2

2

2

12δδδ==时，121212

()()

~(2)11X Y T t n n S n n ωμμ---=

+-+

其中，

22

1122

12(1)(1)2

n S n S S n n ω-+-=+-。

18.已知随机变量X 的分布函数F(x),分布函数在x=a 处不连续，则

{}()lim ()x a

P X a F x a F x -→===-。（{}()(0)Px

a Fa Fa ==--）

19.概率密度函数满足：

()1f x dx +∞

-∞

=?

，通常用此条件求概率密度函数中的参数值。

20.多重概率密度函数同样满足：(,)1G

f x y d δ=?? G 为积分空间.

微积分部分：

1，无穷小与无穷大：当0x ->时，有下列等价无穷小

23333

3

sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,

1111~

,1cos ~,tan sin ~,22

1

ln(1)~,log (1)~,1~,1~ln ;ln arcsin ~,arctan ~,tan ~,

6331

tan sin ~2

n

x x a x x x x x x x x x x x x x x x n x x x x e x a x a a

x x x x x x x x x x x x +---++------

2，若0

lim ()0,lim ()0x x x x f x g x →→==则0

lim ()()

()lim[1()]x x f x g x g x x x f x e →→+=

3.导数概念：'

0000

()()

()lim

x f x x f x f x x

?→+?-=?

微分概念：00()()()y f x x f x A x o x ?=+?-=?+?称f(x)在0x 可微，dy A x =?为y ?的

线性主部。切线方程：'

000()()y y f x x x -=-法线方程：00'01

()()

y y x x f x -=-

- 4，极限存在的两个准则：单调有界准则，夹逼准则，两个重要极限。

5.导数的四则运算法则：''''''

'''2''

2

()()()()()()()()()()

()()()()()()()1()()()()u v x u x v x uv x u x v x u x v x u u x v x u x v x x v

v x v x x v

v x ?±=±?=+???-=

????=-??

6，常用导数和不定积分：

'()0C = '1()n n x nx -=

'()ln (0,1)

x x a a a a a =>≠

'()x x e e =

'1

(log )ln a x x a

=

'11(

)ln x x

= '(sin )cos x x = '(cos )sin x x =-

'2(tan )sec x x = '2(cot )csc x x =-

'(sec )sec tan x x x =

'(csc )csc tan x x x

=-

'

2

1(arcsin )1x x =

-

'2

(arccos )11x x =-

-

'2

1

(arctan )1x x

=

+ '2

(arccot )11x x =-

+ '

()shx chx =

对数求导法：sin (0),x y x x =>求'

y 。解：''ln sin ln 11

cos ln sin 1

(cos ln sin )

y x x

y x x x y x

y y x x x x

==+=+

1.两边同时取对数

2.两边同时求导

参数求导法：()()x x t y y t =???

?

=??

确定的()y y x =求dy

dx ''''()1(),()()()dy y t dy dy dt dy y t dx dx x t dx dt dx dx x t dt

====二阶导数：22[]d y d dy dt

dx dt dx dx =

反函数求导：1'

'1()()()f x f y -=

，.00

1'

'

1()()|()|y y x x f y f x -=== 高阶导数：

()sin sin()2n x x n π=+ ()cos cos()2

n x x n π

=+ ()

1[ln(1)](1)!(1)

(1)n n n

x n x -+=

--+ ()()(ln )x n n x a a a =

()()(1)(2)...(1)n n

x n x

αααααα-=

---+

()11(1)!()n n n n x x

+-= ()()!n n x n =

基本积分公式：

0dx C =?

1

11x

dx x C α

αα

+=

++? 1

ln dx x C x =+?

ln x

x

a a dx C a =+?

x x

e dx e C =+?

cos sin xdx x C

=+?

sin cos xdx x C =-+?

2sec tan xdx x C

=+?

2

csc cot xdx x

C

=-+?

sec tan sec x xdx x C

=+?

csc cot csc x xdx x C

=-+?

2

1arcsin 1dx x

x

C

=-+?

21

arctan 1dx x x C

=++?

tan ln cos xdx x C =-+?

cot ln sin xdx x C

=

+?

sec ln sec tan xdx x x C

=

++?

csc ln csc cot xdx x x C

=

-+?

2

2

1

arcsin dx a x

x C

a

=

-+?

221ln 2dx a x x a C a x a

=

--++?

2

2

22ln dx x a

x x a C

=

±+±+?

1.将复杂部分求导

2.主要处理根式部分

3.将复杂部分用新变量t 替换

4.分部积分主要处理两类函数乘积的积分

5.有理公式处理真分式积分。

6.万能代换。

7.罗尔定理：()[,](,)f x C a b D a b ∈?且()()f a f b =则(,)a b ξ?∈使得'

()0f ξ=

8.看到函数值差，联想单拉格朗日定理'

()()()(),f b f a f b a b a ξ-=->用于求极限证明不等式。

9.柯西定理：若(),()[,](,)f x g x C a b D a b ∈?且，(,),()0x a b g x ?∈≠则(,)a b ξ?∈使得

''

()()()

()()()

f b f a f

g b g a g ξξ-=- 10.驻点 0x ，'0()0f x =的点；极值点0()f x ，根据实际情况判断，通常看在0x 两侧的一阶导数的正负性有次判断是极大值或极小值；拐点 00(,())x f x ，拐点二阶导数''0()0f x =，且在0x 两侧二阶导数异号。

11.幂指数函数极限的一般处理方法：ln lim ln lim lim v

v u

v u u e

e ==对于1∞未定式，一般

1

lim lim lim[(1)],(1)v v

v u e u ααααα=+==-

12.可分离变量微分方程：

()()dy f x g y dx = 解法()()dy

f x dx

g y =??

13.(,)(,)k

f tx ty t f tx ty =令1

t x

=

有(,)(,)(1,)()y y f x y f tx ty f x x ?≡==称之为其次方程，

引入变量y u x =则dy

du u x dx

dx =+带入方程

()dy y dx x ?=得()du u x u dx ?+=两边同时积分求解。

14.一阶线性非齐次方程：

()()dy

P x y Q x dx +=通解为：()()[()]p x dx p x dx y e Q x e c -??=+? 15.伯努利方程：()()n dy P x y Q x y dx +=，令1n z y -=则(1)n dz dy n y dx dx

-=-，即11n d y d z y d x n d x -=-带入原式得

(1)()(1)()dz n P x z n Q x dx

+-=-。 16.'''

(,)y f x y =型高阶微分方程求解：令'p y =则原式化为(,)dp f x p dx

=用上述方法求解可得'1(,)y x C ?=，于是再积分可得12(,)y x C dx C ?=+?

17.''

'

(,)y f y y =型高阶微分方程求解：可令'

()y p y =，则'''

dy dp dp dy dp

y p

dx dx dy dx dx

====于是'''

(,)y f y y =变为(,)dp

p

f y p dy

=求得通解为1(,)p y C ?=即1(,)dy y C dx ?=，分离变量积分得

21(,)dy

x C y C ?=+?。

18.二阶常系数齐次线性微分方程解法：''

'

0y py qy ++=（p ，q 为常数）即

2()0D pD q y ++=（D 为微分算子）

，可得特征方程2

0r pr q ++=，特征方程的两个根为21,242

p p q

r -±-=，分三种情况:

a) 当2

40p q ->解为1212r x

r x y C e

C e --=+

b) 当240p q -=解为12()rx y C C x e -=+

c) 当2

40p q -<，特征方程有一队共轭复根12,r i r i αβαβ=+=-，则通解为

12(cos sin )x y e C x C x αββ=+

19.二阶线性非齐次线性方程的解法:一般形式'''()y py qy f x ++=（p 、q 为常数）

()()x m f x p x e λ=，p （x ）是m 次多项式

1.λ不是对应的齐次方程的特征方程的根，则*()x m y Q x e λ=

2.

λ是单根，则对应的特解为

*()x m y xQ x e λ=

3.

λ是重根，则对应的特解为

*2()x m y x Q x e λ=

()[()cos sin ]x l n f x e P x x P x λωω=+ *(1)(2)

[cos sin ]k x m m y x e R x R x λωω=+，其中(1)(2)

(),m m

R x R 是系数待定的m 次多项式，max{,}m l n =而k 按i λω+不是或是特征

方程的根分别取0或1.

20.多元函数微分：(,)z f x y =在点00(,)x y 处的全微分0000(,)(,)dz A x y dx B x y dy =+，其中0

00(,)(,)|x y z A x y x δδ=

，0000(,)

(,)|x y z

B x y y δδ=。 21.(,)0F x y =，可由

x y

F dy

dx F =-求得导函数，对于(,,)0F x y z =偏导数可由x z F z x F δδ=-，y z

F z

y F δδ=-求得。 22.空间曲线L 的参数方程

:(),(),(),;L x x t y y t z z t a t b ===≤≤

曲线上一点000(,,)M x y z ，则向量'

'

'

000((),(),())s x t y t z t =就是曲线L 在点M 处切线的方向向量，也称为切向量，于是在M 点的切线方程为

000

'''000()()()

x x y y z z x t y t z t ---==，法平面方程为'''

000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z -+-+-=。

23.空间曲线由两平面方程确定{(,,)0(,,)0F x y z G x y z =???

?=??，则可确定曲线L ：()()y y x z z x =??

??=??

于是在点

0M 处的切向量为

0''

(1,(),())|M s y x z x =。 24.方向导数:设函数(,)z f x y =在点00(,)p x y 处可微，则函数在此点处存在沿任一方向的l 的方向导数，则方向导数00(,)(cos cos )|x y df df df

dl dx dy

αβ=+，其中cos ,cos αβ为l 方向上的方向余弦。 25.梯度：f f gradf i j x y

??=

+??，它是一个向量，可将二元函数(,)f x y 沿任一方向l 的方向导数写成向量内积的形式：

cos f

gradf l gradf l

θ?==? ，θ是l 与grad f 之间的夹角。 方向导数的最大值为22

(

)()f f gradf x y

??=+??，当0θ=，即l 的方向就是gradf 的方向时，

f

l

??最大，也就是沿着梯度方向，函数的变化率最大，函数值增长最快。θπ=时，l 取负梯度方向-grad f 时，方向导数达到最小值22

()()f f gradf x y

??-=-+??也就是沿负梯度方向函数值减少最快。

26.极值的充分条件：设函数(,)f x y 在点00(,)x y 额某一邻域内具有二阶连续偏导数且有

0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==，

令00000000(,),(,)(,),(,)xx xy yx yy f x y A f x y f x y B f x y C ====，函数在点00(,)x y 的黑塞矩阵为：000000(,)

(,)

(,)xx

xy f yx yy x y x y f f A B H x y f f B C ????==

? ?????

，则有一下结论： 1）若2

0,0,AC B A ->>则f H 为正定矩阵，故00(,)f x y 为极小值。 2）若2

0,0,AC B A -><则f H 为负定矩阵，故00(,)f x y 为极大值。 3）若2

0,AC B -<则f H 为不定矩阵，故00(,)f x y 为不是极值。

27.有界区域上的最大值与最小值：求出(,)f x y 在D 内所有的驻点和驻点处的函数值，求出(,)f x y 在边界上的最大（小）值，对比上面求出的函数值，其中最大的就是(,)f x y 在

D 上的最大值，最小的就是最小值。

28.条件极值和拉格朗日数乘法：12(,,...,)n u f x x x =在

m

个条件

12(,,...,)0(1,2,...,)i n x x x i n ?==下的极值。求解步骤如下：

a) 构造拉格朗日函数：121122(,,,,)(,,)(,,)(,,)F x y z f x y z x y z x y z λλλ?λ?=++ b) 对F 求12,,,,x y z λλ的偏导数并令其为零，即

1212000

(,,)0(,,)0

x y z F F F F x y z F x y z λλ??=======

c) 求解00012(,,),,x y z λλ。

d) 根据问题性质判断000(,,)x y z 是否为极值点。

29.二重积分的计算，熟悉x 型y 型积分区域的计算，以及改变积分顺序。 30.极坐标cos sin x r y r θθ=??

?

?=??则d rdrd δθ=，那么(,)(cos ,sin )D D

f x y d f r r rdrd δθθθ=????，

使用时注意积分上下限的变换。

31.柱坐标下的极坐标变换：c o

s s i n x r y r z z θθ=??

=??=?

，dV rdrd dz θ=那么

(,,)(c o s ,s V

V

f x

y z dV f r

r rdrd dz θθθ=??????。

32.球坐标下计算三重积分：0,0,02ρ?πθπ≤<+∞≤≤≤≤

sin cos sin sin cos x y z ρ?θρ?θρ?=??=??=?

， 2

s i n d V d d d ρ?ρ?θ

= 则球坐标下三种积分的计算公式为：

2(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin V

V

f x y z dV f d d d ρ?θρ?θρ?ρ?ρ?θ=???

???

33.曲线的弧长：曲线L ：(),()y y x a x b =≤≤弧微分'

1()ds y x dx =+，则曲线弧段的长

为'21()b

a

s y x dx =

+?

；曲线参数方程(),(),()x x t y y t t αβ==≤≤，弧微元为

'2'2

()()ds x t y t dt

=+，

'2'2()()s x t y t dt

β

α

=+?

同理，三元函数有

'2'2'2()()()s x t y t z t dt β

α

=++?

。平面曲线由()c

o ()s i n x r y r θθθθ

=??=?确定，则'

2'

22

'2

()()()()d s

x y d r r d θθθθθθ=+

=

+长度为2'2()()s r r d β

α

θθθ=

+?。

34.第一类曲线积分的计算：设函数(,)f x y 平面弧线L 上连续，L 的参数方程为

()

()()x x t t y y t αβ=?≤≤?=?，则'2'2(,)[(),()]()()()L

f x y ds f x t y t x t y t dt βα

αβ=+

1(

)()xy

D z z s dxdy x y

??=

++????

，同理在yoz 面上的投影为yz D ，则有22

1(

)()yz

D x x s dzdy z y

??=

++????

，在z o x 上的投影为zx D ，则有22

1(

)()zx

D y y s dxdz z x

??=++????。 36.第一类曲面积分的计算:设函数(,,)f x y z 在曲面S 上连续，S 的方程为(,)z z x y =，S 在

xoy 面上的投影区域为xy D ，函数(,)z z x y =在xy D 上具有一阶连续偏导数，则：

22(,,)[,,(,)]1(,)(,)D xy

x y S

f x y z dS f x y z x y z x y z x y dxdy =++??

??。

37.第二类曲线积分：

''

(,)(,)(,){[(),()]()[(),()]()}L

L

P x y dx Q x y dy F x y d s P x t y t x t Q x t y t y t dt β

α

+==+???

38.对于()y y x =计算公式可为

'

(,)(,){[,()][,()]()}b

a L

P x y dx Q x y dy P x y x Q x y x y x dt +=+??。应用质点沿着曲线L 运动，在场力 (,,)(,,)(,,)(,,)F x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++

的作用下所做的功为 (,,)(,,)(,,)(,,)L

L

W F x y z ds P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ==++??。

39.第二类曲面积分：曲面S ，曲面面积微元向量0dS n ds =

，(,,)(,,)(,,)(,,)F x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++

则： (,,)(,,)(,,)(,,)S

S

F x y z d S P x y z dydz Q x y z dxdz R x y z dxdy =++??

?? 。 40.第二类曲面积分的计算——分面投影法：将

(,,)(,,)(,,)S

P x y z dydz Q x y z dxdz R x y z dxdy ++??的三项分别化在坐标平面

,,yoz zox xoy 上的二重积分，其中函数(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在S 上连续，求解步

骤：

1）将被积函数(,,)R x y z 中的变量z 换为表示曲面的函数(,)z z x y =

确定正负号，曲面S 取上侧，即单位法向量0n 与z 轴的正向夹角为锐角，则 取正号，若曲面S 取下侧，即单位法向量0n 与z 轴的正向夹角为钝角，则取

负号。

2）对函数[,,(,)]R x y z x y 在曲面S 的投影区域xy D 上计算二重积分。

(,,)[,,(,)]xy

s

D R x y z dxdy R x y z x y dxdy =±????

3）同理：

(,,)[(,),,]yz

s

D P x y z dydz P x y z y z dydz =±????

(,,)[,(,),]zx

s

D Q x y z dzdx Q x y x z z dzdx =±????。

41.第二类曲面积分的计算——合一投影法：将第二类曲面积分

(,,)(,,)(,,)S

P x y z d y d z Q x y z d x d z R x y z d x d y +

+??中的三项都化为某一坐标平面上的

二重积分。 计算步骤：

1. 计算法向量n 并确定正负号，若曲面S 取上侧，即法向量n 与z 轴的正向夹角为锐 角时，则取正号；若曲面S 取下侧，即单位法向量n 与z 轴的正向夹角为钝角时，则 取负号。

2. 将被积函数(,,)F x y z 中的变量在z 换为表示曲面的函数(,)z x y ，并与向量n 或n -

做点积。

3. 对点积F n 或()F n -

在曲面S 的投影区域xy D 上计算二重积分。 (,,1)x y n z z =--

(,,)[,,(,)][(,)]xy

s

D F x y z dS F x y z x y n x y dxdy =±????

同理，投影到其他平面上有：

(,,)[,(,),][(,)]zx

s

D F x y z dS F x y z x z n z x dxdz =±???? ，(,1,)x

z

n y y =--

(,,)[(,),,][(,)]zx

s

D F x y z dS F x y z y z n y z dydz =±???? ，(1,,)y

z

n x x =--

42.微积分基本定理的推广：

格林公式：设D 是由分段光滑的曲线L 围成的平面单连通区域，函数(,),(,)P x y Q x y 在D 上具有一阶连续偏导。则有1式。其中L 是D 的取正向的边界曲线。

设D 是由分段光滑的曲线1L 与2L 围成的平面复联通区域，函数(,),(,)P x y Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数，则有2式。其中1L 是D 的取正方向的外边界曲线，2L 是D 的取正向的内边界的曲线。

1.

(

)L D

Q P

dxdy Pdx Qdy x y

??-=+????? 2.

12

(

)L D

L Q P

dxdy Pdx Qdy x y Pdx Qdy

??-=++??+????

高斯公式：设空间区域V 是由分片光滑的闭曲面S 所围成，函数

(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在V 上具有

一阶连续偏导数则有右式成立，其中S 是V

的边界曲面的外侧。

(

)V

S

Pdydz Qdxdz P Q R

dV Rdxdy x y z +???++=+????????

斯托克斯公式：设L 为分段光滑的空间有向闭曲线，S 为以L 为边界额分片光滑的有向曲面，函数(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在包含曲面S 在内的一个空间区域内有一阶连续偏导数，则有右式成立，其中，L 的方向与S 的侧符合右手规则，即用右手四指表示L 的方向，大拇指的防线与曲面S 的侧同向。

(

)()()S L

R Q P R Q P dydz dzdx dxdy y z z x x y

Pdx Qdy Rdz

??????-+-+-??????=++???

通常写为：

cos cos cos L

S

S

Pdx Qdy Rdz dydz dxdz dxdy

x y z P Q R dS x y z P

Q

R

αβγ++=

?

??

=????????????

??

43.曲线积分与路径的无关性：

a) 设D 为平面上的单连通区域，函数(,),(,)P x y Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数，

则以下四个命题等价：

i. 对于D 内任一分段光滑的简单闭曲线L 有：

(,)(,)0L

P x y d x Q x y d y

+

=? ii.曲线积分

(,)(,)L

P x y dx Q x y dy +? 的值在D 内与路径无关。

iii.被积表达式(,)(,)P x y dx Q x y dy +在D 内是某个二元函数(,)u x y 的全微分，即

(,)(,)du P x y dx Q x y dy =+

iv.在D 内每一点都满足

P Q

y x

??=?? b ）设G 为空间一维单连通区域，函数(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z ，在G 内有一阶 连续偏导，则以下四个命题等价：

i.对于G 内的任一分段光滑的简单闭曲线L ，有

0L

Pdx Qdy Rdz ++=?

ii.曲线积分

L

Pdx Qdy Rdz ++? 的值在G 内与路径无关。

iii.被积表达式Pdx Qdy Rdz ++在G 内是某个三元函数(,,)u x y z 的全微分，即 du Pdx Qdy Rdz =++

iv 。在G 内每一点满足

0i

j k

x y z

P

Q

R

??

?

=???，

即满,,R Q P R Q P y z z x x y ??????===??????， 称函数000(,,)

(,,)

(,,)x y z x y z u x y z Pdx Qdy Rdz =

++?

，其积分路径可选取平行于

坐标轴的折线，则

000(,,)(,,)(,,)(,,)x x y

z

y z u x y z P x y z dx Q x y z dy R x y z dz

=++???

44.全微分方程：(,)(,)(,)du x y P x y dx Q x y dy =+，求解方法：先积x ，将y 看做x 的常数函数，或者使用积分路径无关性来求解。

45.场论初步——一个与时间无关的向量场可以用一个向量值函数

(,,)(,,)(,,)(,,)A x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++，那么函数(,,u x y z 的

梯度u u u

Gradu i j k x y z

???=

++???，它也是一个向量场，也称为梯度场。 46.通量与散度：给定向量场(,,)(,,)(,,)(,,)A x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++，S 为场内某有向曲面，S 上值顶一侧的单位法向量为0

n ，向量场A 沿曲面S 的第二类曲面积分，

S

S

A dS A n dS

?=?????称为向量场A 通过有向曲面S 制定一侧的通量。如果S 是一分片光

滑的闭曲面，0

n 为外法向量，V 为S 所包围的空间区域，由高斯公式

0(

)S

S

S

V

A dS A n dS

P Q R

Pdydz Qdzdx Rdxdy dV x y z

?=????=++=++???????????? ，

将P

Q R x

y z ???+

+??? 称为(,,)A x y z 的散度，记P Q R

divA x y z

???=++???于是高斯公式可以写成如下的向量形式：

V

S

divAdV A dS

=?????? 。

47. 级 数

1

n

n u

∞

=∑的部分和数列

{}

n S ，有极限S ，即lim n n S S

→∞

=，则称级数

1

n

n u

∞

=∑收敛并称