利用极坐标解圆锥曲线题
利用极坐标解题
知识点精析： 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条
定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．
以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ
ρcos 1e ep
-=
.
其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；
当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；
当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.
引论（1）若 1+cos ep
e ρθ
=
则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin ep
e ρθ
=
当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线
（3）1+sin ep
e ρθ
=
当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编
（1）二次曲线基本量之间的互求
例1.（复旦自招）确定方程10
53cos ρθ=
-表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。
解法一：3102
5333
1cos 1cos 55ρθθ?
==--
31053
e P ∴==，
2332555851015
103383c a c a a b a c c c
???===??????∴?????
???-===??????
52
b ∴== 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，25
54
长轴长，短轴长
解法二：转化为直角坐标
（2）圆锥曲线弦长问题
若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，
1、椭圆中，c
b c c a p 2
2=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=.
若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A 、B 两点，求弦长。
解：连结，设，由椭圆定义得，由余弦定理得，整理可得，同理可求得，则弦长
。
同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为（a 为长半轴，b 为短半轴，c 为半焦距） 结论：椭圆过焦点弦长公式：
2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。）
若M 、N 在双曲线同一支上，θ
θπθ2
22
2cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2
222
cos 2cos 1cos 1a
c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ 设双曲线，其中两焦点坐标为，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A 、B 两点，求弦长|AB|。 解：（1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点A 、B 在同一交点上，连，设，由双曲线定义可得，由余弦定理可得整理可得，同理，则可求得弦长
。
（2）当或时，如图3，直线l 与双曲线交点A 、B 在两支上，连，设，则，，由余弦定理可得，
整理可得，则
因此焦点在x 轴的焦点弦长为
同理可得焦点在y 轴上的焦点弦长公式
其中a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为半焦距，为AB 的倾斜角。
3、抛物线中，θ
θπθ2
sin 2)cos(1cos 1p
p p MN =--+-=
若抛物线与过焦点的直线相交于A 、B 两点，若的倾斜角为，求弦长|AB|？（图4）
解：过A 、B 两点分别向x 轴作垂线为垂足，设，，则点A 的横坐标为，点B 横坐标为，由抛物线定义可得 即
则
同理的焦点弦长为
的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为
例2． 已知抛物线y 2=2px （p>0），过其焦点且斜率为k 的直线交抛物线于A ，B 两点，求AB 长.
练习1：．过双曲线
22
x y
-1
45
=的右焦点，引倾斜角为
3
π
的直线，交双曲线与A、B两点，
求AB
｜｜
解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系
即得
附录直角坐标系中的焦半径公式
设P（x,y）是圆锥曲线上的点，
1、若
1
F、
2
F分别是椭圆的左、右焦点，则ex
a
PF+
=
1
，ex
a
PF-
=
2
；
2、若
1
F、
2
F分别是双曲线的左、右焦点，
当点P在双曲线右支上时，a
ex
PF+
=
1
，a
ex
PF-
=
2
；
当点P在双曲线左支上时，ex
a
PF-
-
=
1
，ex
a
PF-
=
2
；
3、若F是抛物线的焦点，
2
p
x
PF+
=.
利用弦长求面积
例3．设过椭圆1
16
25
2
2
=
+
y
x
的右焦点的弦AB=8，求三角形AOB的面积。
练习2．（08年卷）过椭圆221
54
x y
+=的焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求AOB
?的面积．
5
23cos
ρ
θ
=
-12
(,),(,)
33
A B
ππ
ρρπ+
12
||
ABρρ
=+
5580
||
7
23cos23cos()
33
ππ
π
=+=
--+
简解：首先极坐标方程中的焦点弦长公式222||1cos ep
AB e θ
=
-求弦长，然后利用公式
B 1
|B |||sin 2
AO S A OF AFO ?=
∠直接得出答案。 练习3．(2005年全国高考理科)已知点F 为椭圆2
212
x y +=的左焦点.过点F 的直线1l 与椭
圆交于P 、Q 两点，过F 且与1l 垂直的直线2l 交椭圆于M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值和最大值.
解析：以点F
为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：ρ= 设直线1l 的倾斜角θ，则直线2l 的倾斜角为0
90θ+，由极坐标系中焦点弦长公式知：
2||1cos 2
PQ θ=
-
，202||1cos (90)1sin 2
2
MN θθ=
=
-+-
用他们来表示四边形的面积
1||||2S PQ MN =
g 22111sin cos 24θθ=+g 21
11sin 2216
θ=
+ 即求21
11
sin 2216
θ+的最大值与最小值
由三角知识易知：当sin 21θ=±时，面积取得最小值16
9
；当sin 20θ=时，面积取得最大
值2
利用弦长公式解决常量问题
例4．过椭圆)0(122
2
2>>=+b a b y a x 的左焦点F ，作倾斜角为60的直线l 交椭圆于A 、B
两点，若
FB
FA 2=，求椭圆的离心率.
简解：建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。 设椭圆的极坐标方程为θρcos 1e p e -=
则0
0240cos 1,60cos 1e p
e FB e p e FA -=
-=， ∴
2
1221e
p e e p e +
?
=-，解得32=e ；