2021年中考数学 一轮专题训练：与圆有关的位置关系(含答案)
2021中考数学一轮专题训练：与圆有关的位置
关系
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 下列直线中，一定是圆的切线的是()
A．与圆有公共点的直线B．垂直于圆的半径的直线
C．到圆心的距离等于半径的直线D．经过圆的直径一端的直线
2. 2019·泰安如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO的延长线于点P，则∠P的度数为()
A．32°B．31°C．29°D．61°
3. 2018·舟山用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是()
A．点在圆内B．点在圆上
C．点在圆心上D．点在圆上或圆内
4. 2020·武汉模拟在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以点A为圆心，4.8为半径的圆与直线BC的公共点的个数为()
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4.若以点A为圆心，4为半径作⊙A，则下列各点中在⊙A外的是()
A．点A B．点B
C．点C D．点D
6. 在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边
长均相等)．现计划修建一座以O为圆心，OA长为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为()
A．E，F，G B．F，G，H
C．G，H，E D．H，E，F
7.
如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°.过点C作圆O的切线
，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是( )
A. 25°
B. 40°
C. 50°
D. 65°
8. 如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为()
A.13
B. 5 C．3 D．2
9. 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值为()
A．5 B．4 2 C．4.75 D．4.8
10. 如图0，在Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个
动点，且满足∠P AB ＝∠PBC ，则线段CP 长的最小值为( )
图0
A.3
2
B ．2
C.813
13
D.121313
二、填空题（本大题共10道小题）
11. 如图，P A ，PB 是☉O 的切线，A ，B 为切点，点C ，D 在☉O 上.若∠P=102°，则∠A+∠C= .
12. 如图，菱形
ABOC 的边AB ，AC 分别与☉O 相切于点D ，E ，若点D 是AB
的中点，则∠DOE= .
13. (2019?河池)如图，PA 、PB 是
的切线，A 、B 为切点，∠OAB=38°，则∠
P=__________．
14. 如图，边长为
1的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，以点A 为圆心，以1
为半径画圆，则点O，B，C，D中，点________在⊙A内，点________在⊙A 上，点________在⊙A外．
15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________.
16. 2019·兴化期中已知等边三角形ABC的边长为2，D为BC的中点，连接AD.
点O在线段AD上运动(不与端点A，D重合)，以点O为圆心，
3
3为半径作圆，
当⊙O与△ABC的边有且只有两个公共点时，DO的取值范围为________．
17. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8.若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是______________．
18. 已知l1∥l2，l1，l2之间的距离是3 cm，圆心O到直线l1的距离是1 cm，如果圆O与直线l1，l2有三个公共点，那么圆O的半径为________cm.
19. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E.则⊙O的半径为________．
20. 如图，⊙M的圆心为M(－2，2)，半径为2，直线AB过点A(0，－2)，B(2，0)，则⊙M关于y轴对称的⊙M′与直线AB的位置关系是________．
三、解答题（本大题共6道小题）
21. 如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与P A相切于点C.求证：直线PB与⊙O相切．
22. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC.以AC为直径作☉O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.
(1)求证:DE是☉O的切线.
(2)若DE=，∠C=30°，求的长.
23. 如图，已知平面直角坐标系中，A(0，4)，B(4，4)，C(6，2)．
(1)写出经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标：(________，________)；
(2)判断点D(5，－2)与⊙M的位置关系.
24.
如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，P是CD的延长线上一点，且AP＝AC.
(1)求证：P A是⊙O的切线；
(2)若PD＝5，求⊙O的直径．
25. 如图，AB是☉O的直径，点C，D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.
(1)求证:CE为☉O的切线.
(2)判断四边形AOCD是否为菱形?并说明理由.
26. 已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D.
(1)如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分∠DAB；
(2)如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，求证：∠BAF＝∠DAE.
2021中考数学一轮专题训练：与圆有关的位置
关系-答案
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 【答案】C
2. 【答案】A
3. 【答案】D
4. 【答案】B
5. 【答案】C
6. 【答案】A[解析] 设小正方形的边长为1个单位长度，所以OA＝12＋22＝5.
因为OE＝2＜OA，所以点E在⊙O内；
OF＝2＜OA，所以点F在⊙O内；
OG＝1＜OA，所以点G在⊙O内；
OH＝22＋22＝2 2＞OA，
所以点H在⊙O外．
故选A.
7. 【答案】B 【解析】∵∠A＝25°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝65°.如解图，连接OC.∵OB＝O C，∴∠ABC＝∠BCO＝65°.∵CD是⊙的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∴∠BCD＝90°－∠BCO＝25°，∴∠D＝∠ABC－∠BCD＝65°－25°＝40°.
解图
8. 【答案】B[解析] ∵PQ与⊙O相切，∴∠OQP＝90°，∴PQ＝OP2－OQ2＝OP2－22，∴当OP最小时，PQ最小．而OP的最小值是点O到直线l的距离3，∴PQ的最小值为32－22＝ 5.故选B.
9. 【答案】D[解析] 如图，设PQ的中点为F，⊙F与AB的切点为D，连接FD，FC，CD.
∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴∠ACB＝90°，
∴PQ为⊙F的直径．
∵⊙F与AB相切，∴FD⊥AB，FC＋FD＝PQ，而FC＋FD≥CD，
∴当CD为Rt△ABC的斜边AB上的高且点F在CD上时，PQ有最小值，为CD 的长，即CD为⊙F的直径．
∵S
△ABC ＝
1
2BC·AC＝
1
2CD·AB，∴CD＝4.8.故PQ的最小值为4.8.
10. 【答案】B[解析] ∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP＋∠PBC＝90°.
∵∠P AB＝∠PBC，
∴∠ABP＋∠P AB＝90°，∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上，设圆心为O，连接OC交⊙O于点P，此时CP 最小．
在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴OC＝5，OP＝OB＝3，∴PC＝OC－OP＝5－3＝2，∴PC的最小值为2.
二、填空题（本大题共10道小题）
11. 【答案】219°[解析]连接AB，
∵P A，PB是☉O的切线，
∴P A=PB.
∵∠P=102°，
∴∠P AB=∠PBA=(180°-102°)=39°.
∵∠DAB+∠C=180°，
∴∠P AD+∠C=∠P AB+∠DAB+∠C=180°+39°=219°.
12. 【答案】60°[解析]
连接OA，
∵四边形ABOC是菱形，
∴BA=BO，
∵AB与☉O相切于点D，
∴OD⊥AB.
∵D是AB的中点，
∴OD是AB的垂直平分线，∴OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOD=∠AOB=30°，
同理∠AOE=30°，
∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°，
故答案为60°.
1
13. 【答案】76
【解析】∵是的切线，∴，∴，∴
，
∴，故答案为：76．
14. 【答案】O B，D C[解析] ∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，AO ＝BO＝CO＝DO.
设AO＝BO＝x.
由勾股定理，得AO2＋BO2＝AB2，即x2＋x2＝12，解得x＝
2
2(负值已舍去)，
∴AO＝
2
2＜1，AC＝2＞1，∴点O在⊙A内，点B，D在⊙A上，点C在⊙
A外．
15. 【答案】3＜r＜5[解析] 连接BD.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝3，则BD ＝32＋42＝5.由题图可知3＜r＜5.
16. 【答案】0 3 3或 2 3 3 为BC的中点， ∴AD⊥BC，BD＝1，AD＝ 3. 分四种情况讨论： (1)如图①所示，当0 3 3时， ⊙O与△ABC的BC边有且只有两个公共点， (2)如图②所示，当DO＝ 3 3时， ⊙O与△ABC的边有三个公共点； (3)如图③所示，当⊙O经过△ABC的顶点A时，⊙O与△ABC的边有三个公共 点，则当 3 3 2 3 3时，⊙O与△ABC的边有四个或三个公共点． (4)如图④所示，当2 3 3 综上，当0 3 3或 2 3 3 故答案为0 3 3或 2 3 3 17. 【答案】R＝4.8或6 形的面积公式，得1 2AB·CD＝ 1 2AC·BC，解得CD＝4.8，所以R＝4.8；当⊙C与 AB相交时，如图②，此时R大于AC的长，而小于或等于BC的长，即6 18. 【答案】2或4 [解析] 设圆O 的半径为r cm 如图①所示，r －1＝3，得r ＝4； 如图②所示，r ＋1＝3，得r ＝2. 19. 【 答 案 】 254 【解析】如解图，连接EO 并延长交AD 于点F ，连接OD 、OA ，则OD ＝OA.∵B C 与⊙O 相切于点E ，∴OE ⊥BC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴EF ⊥ AD ，∴DF ＝AF ＝ 1 2 AD ＝6，在Rt △ODF 中，设OD ＝r ，则OF ＝EF －OE ＝AB －OE ＝8－r ，在Rt △O DF 中，由勾股定理得DF 2＋OF 2＝OD 2，即62＋(8－r)2＝r 2，解得r ＝25 4.∴⊙O 的 半径为254. 解图 20. 【答案】相交 [解析] ∵⊙M 的圆心为M (－2，2)，则⊙M 关于y 轴对称的⊙ M ′的圆心为M ′(2，2)．因为M ′B ＝2>点M ′到直线AB 的距离，所以直线AB 与⊙M ′相交． 三、解答题（本大题共6道小题） 21. 【答案】 证明：如图，连接OC ，过点O 作OD ⊥PB 于点D . ∵⊙O 与P A 相切于点C ， ∴OC ⊥P A . ∵点O 在∠APB 的平分线上，OC ⊥P A ，OD ⊥PB ， ∴OD ＝OC ，∴直线PB 与⊙O 相切． 22. 【答案】 解:(1)证明:如图，连接OD ， ∵OC=OD ，AB=AC ， ∴∠1=∠C ，∠C=∠B. ∴∠1=∠B. ∵DE ⊥AB ，∴∠2+∠B=90°. ∴∠2+∠1=90°， ∴∠ODE=90°， ∴DE 为☉O 的切线. (2)连接AD ， ∵AC 为☉O 的直径，∴∠ADC=90°. ∵AB=AC ，∴∠B=∠C=30°，BD=CD. ∴∠AOD=60°. ∵DE=， ∴BD=CD=2， ∴OC=2， ∴的长=π×2=π. 23. 【答案】 解：(1)2 0 ，52 ＝22＋42＝M A 的半径M ∵⊙(2) ， 52 ＜13＝（5－2）2＋22＝MD 线段 ∴点D 在⊙M 内． 24. 【答案】 解：(1)证明：如图，连接OA. ∵∠B＝60°， ∴∠AOC＝2∠B＝120°. 又∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°. 又∵AP＝AC， ∴∠P＝∠OCA＝30°， ∴∠OAP＝∠AOC－∠P＝90°， ∴OA⊥P A. 又∵OA是⊙O的半径， ∴P A是⊙O的切线． (2)在Rt△OAP中， ∵∠P＝30°， ∴PO＝2OA＝OD＋PD. 又∵OA＝OD， ∴PD＝OD＝OA. PD ∵ ＝ 5 ， ＝ 2 ∴2 PD OA ， ＝ 5 2 O ∴⊙ 的直径为 .5 2 25. 【答案】 解:(1)证明:如图，连接OD， ∵点C，D为半圆O的三等分点， ∴∠AOD=∠COD=∠COB=60°. ∵OA=OD， ∴△AOD为等边三角形， ∴∠DAO=60°， ∴AE∥OC. ∵CE⊥AD， ∴CE⊥OC， ∴CE为☉O的切线. (2)四边形AOCD为菱形. 理由:∵OD=OC，∠COD=60°， ∴△OCD为等边三角形， ∴CD=CO. 同理:AD=AO. ∵AO=CO， ∴AD=AO=CO=DC， ∴四边形AOCD为菱形. 26. 【答案】 证明：(1)如图①，连接OC. ∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l. 又∵AD⊥l，∴AD∥OC， ∴∠DAC＝∠ACO. ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO， ∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB. (2)如图②，连接BF. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°， ∴∠BAF＝90°－∠B. ∵∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋∠DAE，又由圆内接四边形的性质，得∠AEF＋∠B＝180°，∴90°＋∠DAE＋∠B＝180°， ∴∠DAE＝90°－∠B， ∴∠BAF＝∠DAE.