2018年文科数学(全国卷3-含答案)

2018年数学试题文（全国卷3）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求的.）

1．已知集合{}

B=，，，则A B=（）

=-≥，{}

012

|10

A x x

A．{}0B．{}1C．{}

，

D．{}

，，

012

2．()()

+-=（）

i i

A．3i

--B．3i

C．3i-D．3i+

3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起

来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部

分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒

头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）

4．若1

α=，则cos2α=（）

sin

10．已知双曲线

221x y C a b

-=：（00a b >>，2则点()40，到C 的渐近线的距离为（） A 2 B ．2 C 32 D ．22

11．ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若

ABC ?的面积为2

a b c

+-，则C =（） A ．2π B ．3π C ．4

D ．6

π 12．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面

上四点，ABC ?为等边三角形且其面积为3则三棱锥D ABC -体积的最大值为（）

． B

． C

．

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则

λ=

________．

14．某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其

服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________． 15．若变量x y ，满足约束条件

23024020.x y x y x ++??

-+??-?

≥，

≥，≤则13

z x y =+的最大值是________．

16．已知函数(

))ln 1f x x =+，()4f a =，则

()f a -=

________．

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证

明过程或演算步骤，第17~31题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分。

17．（12分）

等比数列{}n

a 中，1

14a a

a ==，．

⑴求{}n

a 的通项公式；

⑵记n

S 为{}n a 的前n 项和．若63

=，求m ．

18．（12分）

某工厂为提高生产效率，开展技术创

新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：

⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效

率更高？并说明理由；

⑵求40名工人完成生产任务所需时间

的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过

和不超过m 的工人数填入下面的列联表：

⑶根据⑵中的列表，能否有99%的把握

认为两种生产方式的效率有差异？

附：()

()()()()

n ad bc K

a b c d a c b d -=

++++，

()20.0500.0100.001

3.8416.63510.828

P K k k ≥．

19．（12分）

如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧

所

在平面垂直，M 是上异于C ，D 的点． ⑴证明：平面AMD ⊥平面BMC ；

⑵在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥

平面PBD ？说明理由．

20．（12分）

已知斜率为k 的直线l 与椭圆2

143x y C +=：交

于A ，B 两点．线段AB 的中点为()()10M m m >，．

⑴证明：12

k <-；

⑵设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且

FP FA FB ++=．证明:2FP FA FB =+ ．

21．（12分）

已知函数()2

x f x e +-=．

⑴求由线()y f x =在点()01-，处的切线方

程；

⑵证明：当1a ≥时，()0f x e +≥．

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题

中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程

为cos sin x y θθ=??

（θ为参数），过点()02-，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．

⑴求α的取值范围； ⑵求AB 中点P 的轨迹的

参数方程．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

设函数()211f x x x =++-． ⑴画出()y f x =的图像；

⑵当[)0x +∞∈，， ()f x ax b +≤，求a b +的最小值．

参考答案

一、选择题

1．答案：C

解答：∵{|10}{|1}A x x x x =-≥=≥，{0,1,2}B =，∴

{1,2}

A B =.故选C.

2．答案：D 解答：2

(1)(2)23i i i i i

+-=+-=+，选D.

3．答案：A

解答：根据题意，A 选项符号题意； 4．答案：B 解答：2

27cos 212sin 199

αα=-=-=

.故选B.

5．答案：B

解答：由题意10.450.150.4P =--=.故选B. 6．答案：C 解答：

22222sin tan sin cos 1cos ()sin cos sin 2sin 1tan sin cos 21cos x

x x x x f x x x x x x x x x

===+++

，∴()

f x 的周期22

T π

π==.故选C. 7．答案：B

解答：()f x 关于1x =对称，则()(2)ln(2)f x f x x =-=-.

故选B.

8．答案：A 解答：

由直线20x y ++=得(2,0),(0,2)A B --，∴

||AB ==2

2(2)

x y -+=的圆心为(2,0)，∴圆心到直线

20x y ++=

=P 到直线

x y ++=的距离的取值范围为d ≤≤+

d ≤≤，∴1

||[2,6]2

ABP

AB d ?=

?∈.

9．答案：D 解答：

当0x =时，2y =，可以排除A 、B 选项；

又因为3

424(22

y x

x x x x '=-+=-+

-，则()0f x '>的解

集为2(,(0,)22

-∞-

，()f x 单调递增区间为(,2

-∞-

，

(0,

；()0f x '<的解集为2((,)22

+∞，()f x 单调递减

区间为()+∞.结合图象，可知D 选项正确. 10．答案：D 解答：

由题意

c e a

==1b

=，故渐近线方程为

x y ±=，则点(4,0)到渐近线的距离为

d ==.故选

11．答案：C

解答：

2222cos 1cos 442

ABC

a b c ab C S ab C

?+-===，又1

sin 2

ABC

ab C ?=，

故tan 1C =，∴4

C π=.故选C. 12．答案：B 解答：

如图，ABC ?为等边三角形，点O 为A ，B ，C ，

外接球的球心，G 为ABC ?的重心，由93

ABC

?=，得

AB =，取BC 的中点H ，∴sin 6033AH AB =??=，∴

233

AG AH =

=，∴球心O 到面ABC 的距离为224(23)2

d =-=，∴三棱锥D ABC -体积最大值

93(24)183

D ABC V -=??+=.

二、填空题 13．答案：12 解答：

2(4,2)

a b +=，∵//(2)c a b +，∴1240λ?-?=，解得12

λ=. 14．答案：分层抽样

解答：由题意，不同龄段客户对其服务的

评价有较大差异，故采取分层抽样法.

15．答案：3 解答：

由图可知在直线240x y -+=和2x =的交点(2,3)处

取得最大值，故1

2333

z =+?=.

16．答案：2- 解答：())

ln 11()

f x x

x x R -=++∈，

()())1)1

f x f x x x +-=+++22ln(1)22

x x =+-+=，

∴()()2f a f a +-=，∴()2f a -=-. 三、解答题 17．答案：（1）1

2n n

-=或1

(2)n n

-=-；（2）6.

解答：（1）设数列{}n

a 的公比为q ，∴2

4a q

a =

=，

∴2q =±.

∴1

2n n

-=或1

(2)n n

-=-.

（2）由（1）知，

1221

n n S -==--或

1(2)1[1(2)]

123

n n n S +-==--+， ∴2163

m m

=-=或1

[1(2)]633

m m

=--=（舍），

∴6m =. 18．解答：

（1）第一种生产方式的平均数为1

84x =，第

二种生产方式平均数为2

74.7

=，∴

x x >，所以第一种生产方式完成任务的平

均时间大于第二种，∴第二种生产方式的效率更高.

（2）由茎叶图数据得到80m =，∴列联表为

（3）

()40(151555)10 6.635

()()()()20202020

n ad bc K a b c d a c b d -?-?===>++++???，∴有99%

的把握认为两种生产方式的效率有差异. 19．

解答：（1）∵正方形ABCD ⊥半圆面CMD ， ∴AD ⊥半圆面CMD ，∴AD ⊥平面MCD . ∵CM 在平面MCD 内，∴AD CM ⊥，又∵M 是半

圆弧CD 上异于,C D 的点，∴CM MD ⊥.又∵AD DM D

=，

∴CM ⊥平面ADM ，∵CM 在平面BCM 内，∴平面BCM ⊥平

面ADM .

（2）线段AM 上存在点P 且P 为AM 中点，证

明如下：

连接,BD AC 交于点O ，连接,,PD PB PO ；在矩形

ABCD

中，O 是AC 中点，P 是AM 的中点；

∴//OP MC ，∵OP 在平面PDB 内，MC 不在平面

PDB

内，∴//MC 平面PDB .

20．解答：

（1）设直线l 方程为y kx t =+，设1

(,)A x y ,2

(,)B x y ,

3y kx t x y =+???+=??联立消y 得2

22(43)84120

x ktx t +++-=，

则22

22644(412)(34)0

k t t k ?=--+>，

得2

43k

t +>…①，

且12

34kt

x x

k -+=

=+，1

122

6()2234t

y y

k x x t m

k +=++=

=+，

∵0m >，∴ 0t >且0k <. 且

2344k t k

-…②.

由①②得

(34)4316k k k ++>

，

∴12k >或12

k <-. ∵0k <，∴ 12

k <-. （2）0FP FA FB ++=，20FP FM +=, ∵(1,)M m ，(1,0)F ，∴P 的坐标为(1,2)m -.

由于P 在椭圆上，∴ 2

14143

m +=，∴34m =，3

(1,)2

M -，又

11143

x y +=，

22143

x y +=，

两式相减可得12

34y

x x x x

y y -+=-?-+，

又1

x x

+=，1

y y

，∴1k =-，

直线l 方程为3(1)4y x -=--，即74y x =-+， ∴

2274143y x x y ?

=-+????+=??

，

消去y 得2

285610

x -+=

，1,2

1414

±=

，

1||||(3

FA FB x +==，

||(12

FP =-=

∴||||2||FA FB FP +=.

21．

解答：（1）由题意：()2

x f x e +-=得

222(21)(1)22

()()x x x x

ax e ax x e ax ax x f x e e +-+--+-+'==

，

∴2

(0)21f '==，即曲线()y f x =在点()0,1-处的切线

斜率为2，∴(1)2(0)y x --=-，即210x y --=；

（2）证明：由题意：原不等式等价于：

1210

x e ax x +++-≥恒成立；令1

2()1x g x e

ax x +=++-，

∴1

()21

x g x e

ax +'=++，1

()2x g x e

+''=+，∵1a ≥，∴()0

g x ''>恒成立，∴()g x '在(,)-∞+∞上单调递增，∴()g x '在(,)-∞+∞上存在唯一0

x 使0

()0g x '=，∴01

0210

x e

ax +++=，即01

021

x e

ax +=--，

且()g x 在0

(,)x -∞上单调递减，在0

(,)x +∞上单调递增，∴0

()()g x g x ≥.

又01

220

000000()1(12)2(1)(2)

x g x e

ax x ax a x ax x +=++-=+--=+-，

111

()1

a g e a

-'-=-，∵1a ≥，∴11011

e -

≤-<-，∴0

≤-

，

∴0

()0g x ≥，得证.

综上所述：当1a ≥时，()0f x e +≥. 22．解答：（1）

的参数方程为

cos sin x y θθ

=??

=?，∴

的普通方程为2

x y +=，当90α=?时，直线：:0l x =与

有两个

交点，当

90α≠?时，设直线l 的方程为tan y x α=-

直线l 与

<，得2

tan 1α>，∴

tan 1

α>或tan 1α<-，∴4590α?<

(45,135)

α∈??.

（2）点P 坐标为(,)x y ，当90α=?时，点P 坐标

为(0,0)，当90α≠?时，设直线l

的方程为y kx =-1122(,),(,)

A x y

B x y

，∴

221x y y kx ?+=??=-??①②

有2

2(1

kx +-=

，整理得22(1)10

k x +-+=

，∴1

1x x

k +=

，1

1y y

k -+=

+，∴

2211x k y k ?=??+?

?=?+?

③④得x k y

代入④得2

x y ++=.当点(0,0)P 时

满足方程2

y ++=，∴AB 中点的P

的轨迹方程是

220

x y ++=

，即2

(22

y ++

，由图可知，22

A -

，

(22

B -

，则02

y -

<<，故点P

的参数方程为

cos 222

x y ββ?=

???

?=-+??（β为参数，0βπ<<）.