苏北四市2018届高三一模数学试卷+答案

苏北四市2018届高三一模数学试卷

参考公式：1.柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面面积，h 是高．

2.圆锥的侧面积公式：1

2

S cl =

，其中c 是圆锥底面的周长，l 是母线长． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．

置．

． 1．已知集合2{0}A x x x =-=，{1,0}B =-，则A B = ▲ ．

2．已知复数2i

2i

z +=

-（i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ ． 3．函数12

log y x =的定义域为 ▲ ．

4．如图是一个算法的伪代码，运行后输出b 的值为 ▲ ．

5．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450

分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有 ▲ 人．

6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线方程为

20x y -=，则该双曲线的离心率为 ▲ ．

7．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正

注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试

时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置 作答一律无效。

5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 150 200 250 300 350 400 450 成绩/分

0.001 频率 组距 （第5题） （第170.003 0.004 0.005 a 012While 62

End While Pr int a b I I a a b b a b I I b ←←← ←+ ←+ ←+ （第4题）

方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为 ▲ ．

8．已知正四棱柱的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是35cm ，则这个正四棱柱的体积是 ▲ 3cm ．

9．若函数()sin()(0,0)f x A x A ω?ω=+>>的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标

分别是

6π，3π，23

π，则实数ω的值为 ▲ ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线:3C xy =上任意一点P 到直线:30l x y +=的距

离的最小值为 ▲ ．

11．已知等差数列{}n a 满足13579+10a a a a a +++=，228236a a -=，则11a 的值为 ▲ ．

12．在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：

222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：

22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是 ▲ ． 13．已知函数2

211()(1)1x x f x x x ?-+ ?=?- > ??，

≤，，

，函数()()()g x f x f x =+-，则不等式()2g x ≤的解集为 ▲ ．

14．如图，在ABC △中，已知32120AB AC BAC = = ∠=?，，，D 为边BC 的中点．若

CE AD ⊥，垂足为E ，则EB ·EC 的值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)

在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且

3

cos 5

A =

,1tan()3B A -=.

⑴求tan B 的值；

⑵若13c =，求ABC △的面积.

16．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=，1=AB AA ，M ，N 分别是AC ，11B C 的中点.

求证：⑴//MN 平面11ABB A ；

⑵1AN A B ⊥.

B （第14题） A D

C E 1

A 1

B N

1

C C

B

17．(本小题满分14分)

某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1．为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180°而成，如图

2．已知圆O 的半径为10 cm ，设∠BAO=θ，π

02

θ<<

，圆锥的侧面积为S cm 2． ⑴求S 关于θ的函数关系式；

⑵为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大．求S 取得最大值时腰AB 的长

度．

18．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1

2

，且

过点3

12

(，).F 为椭圆的右焦点，,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF

分别交椭圆于,C D 两点. ⑴求椭圆的标准方程；

⑵若AF FC =，求BF FD

的值；

⑶设直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在实数m ，使得21k mk =，若存

在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.

（第161

A 1

B N

M

1

C C

B A

A B C

O A B

C

O

θ

图1 图2

（第17题）

A y D O

x F

19．(本小题满分16分)

已知函数2()1()ln ()f x x ax g x x a a =++ =-∈R ，

． ⑴当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；

⑵若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．

20．（本小题满分16分）

已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2n

，

n *∈N ，λ，μ∈R .

⑴若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n *∈N ），求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵若数列{}n a 是等比数列，求λ，μ的值； ⑶若23a =，且3

2

λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列.

数学Ⅱ(附加题)

21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区．．．．．．．．域内作答．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ,CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ．

求证：2AB BE BD AE AC =?-?

A B D E F

O .

B ．[选修4

2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵1001??=??-??A ，4123??

=??

??

B ，若矩阵=M BA ，求矩阵M 的逆矩阵1-M ．

C ．[选修 4 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，

建立极坐标系，判断直线12:12x t

l y t =+??=-?

（t 为参数）与圆

2:2cos 2sin 0C ρρθρθ+-=的位置关系．

D ．[选修 4 5：不等式选讲]（本小题满分10分）

已知,,,a b c d 都是正实数，且1a b c d +++=，求证: 22221

11115

a b c d a b c d +++

++++．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写

出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB =，12AA =，E ，F ，G 分别是1AA ，

AC 和11A C 的中点．以{,,}FA FB FG 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -．

⑴求异面直线AC 与BE 所成角的余弦值；

⑵求二面角1F BC C --的余弦值．

23．（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线2:4C y x =于点P ，点F 为C 的焦点．圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨

A B C 1A 1B 1C F E

x

y z G

（第22题）

迹为曲线E ．

⑴求曲线E 的方程；

⑵若直线1l 与曲线E 相切于点(,)Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ．当线段AB 的长度最小时，求s 的值．

数学参考答案与评分标准

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置．

． 1．{1,0,1}- 2．1 3．(0,1] 4．13 5．750 6．

52 7．5

9

8．54 9．4 10．3 11．11 12．[21,21]-+ 13．[2,2]- 14．27

7

-

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．

，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（1）在ABC △中，由3

cos 5

A =

，得A 为锐角，所以24sin 1cos 5A A =-=，

所以sin 4

tan cos 3

A A A =

=，………………………………………………………………2分 所以tan()tan tan tan[()]1tan()tan B A A

B B A A B A A

-+=-+=--?. ………………………………4分

1433314133

+

==-? …………………………………………………………6分

（2）在三角形ABC 中,由tan 3B =，

所以31010

sin ,cos 1010

B B ==

， ………………………………………………8分 由1310

sin sin()sin cos cos sin 50C A B A B A B =+=+=，…………………………10分

由正弦定理sin sin b c B C =

,得31013sin 10=15sin 1310

50

c B b C ?

==，………………………12分 所以ABC △的面积114

sin 151378225

S bc A ==???=. …………………………14分

16．（1）证明：取AB 的中点P ，连结1,.PM PB

因为,M P 分别是,AB AC 的中点，

所以//,PM BC 且1

.2

PM BC =

在直三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，11BC B C =， 又因为N 是11B C 的中点，

所以1//,PM B N 且1PM B N =. …………………………………………2分 所以四边形1PMNB 是平行四边形，

所以1//MN PB ， ………………………………………………………………4分 而MN ?平面11ABB A ，1PB ?平面11ABB A ，

所以//MN 平面11ABB A . ……………………………………………………6分 （2）证明：因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BB ⊥面111A B C ， 又因为1BB ?面11ABB A ，

所以面11ABB A ⊥面111A B C ， …………………8分 又因为90ABC ∠=，所以1111B C B A ⊥， 面11

ABB A 面11111=A B C B A ，11111B C A B C ?平面，

所以11B C ⊥面11ABB A ， (10)

分

又因为1A B ?面11ABB A ， 所以111B C A B ⊥，即11NB A B ⊥，

连结1AB ，因为在平行四边形11ABB A 中，

1=AB AA ，

所以11AB A B ⊥，

又因为111=NB AB B ，且1AB ，1NB ?面1AB N ，

所以1A B ⊥面1AB N ，……………………………………………………………………12分 而AN ?面1AB N ，

所以1A B AN ⊥.……………………………………………………………………………14分 17．（1）设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ， 在AOE ?中，10cos AE θ=，220cos AB AE θ==，

…………………………………………………………2分

在ABD ?中，sin 20cos sin BD AB θθθ=?=?，

…………………………………………………………4分 所以1220sin cos 20cos 2

S θθθ=?π??

2400sin cos θθ=π，(0)2

π

θ<<

……………………6分

（2）要使侧面积最大，由（1）得：

23400sin cos 400(sin sin )S πθθπθθ==-…………8分

设3(),(01)f x x x x =-<< 则2()13f x x '=-，由2()130f x x '=-=得：33

x =

D

θ A

B

C

O

E

（第16

1

A 1

B N

M

1

C C

B A

P

当3(0,

)3x ∈时，()0f x '>，当3

(,1)3

x ∈时，()0f x '< 所以()f x 在区间3(0,)3上单调递增，在区间3

(,1)3上单调递减，

所以()f x 在3

3x =时取得极大值，也是最大值；

所以当3

sin 3

θ=时，侧面积S 取得最大值， …………………………11分

此时等腰三角形的腰长22320620cos 201sin 201()33

AB θθ==-=-= 答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB 的长度为206

cm 3

．…………14分

18．（1）设椭圆方程为2

2

221(0)x y a b a b +=>>，由题意知：22

12

191

4c a a b ?=????+=??……………2分

解之得：2

3

a b =???=??，所以椭圆方程为：22143x y += (4)

分

（2）若AF FC =，由椭圆对称性，知3(1,)2 A ，所以3

(1,)2

B --，

此时直线BF 方程为3430x y --=， ……………………………………………6分

由223430,

1,4

3x y x y --=??

?+=??，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去），…………8分

故1(1)713317

BF FD --==-．…………………………………………………………………10分

（3）设00,)A x y （，则00(,)B x y --，

直线AF 的方程为00(1)1y y x x =--，代入椭圆方程22

143

x y +=，得 222

00

00(156)815240x x y x x ---+=， 因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标0

8552C x x x -=-， (12)

分

又(,)c C C x y 在直线00(1)1y y x x =

--上，所以00

00

3(1)152C c y y y x x x -=-=--，

同理，D 点坐标为0085(

52x x ++，

3)52y x +， ……………………………………………14分 所以00

00021

000003355

52528585335252y y y x x k k x x x x x --

+-===+--

+-，

即存在53m =，使得215

3

k k =． ………………………………………………………16分

19．（1）函数()h x 的定义域为(0,)+∞

当1a =时，2()()()ln 2h x f x g x x x x =-=+-+，

所以1(21)(1)

()21x x h x x x x

-+'=+-

=

………………………………………………2分 所以当1

02

x <<时，()0h x '<，当12x >时，()0h x '>，

所以函数()h x 在区间1(0,)2单调递减，在区间1

(,)2

+∞单调递增，

所以当12x =时，函数()h x 取得极小值为11

+ln 24

，无极大值；…………………4分

（2）设函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同，

则121212

()()

()()f x g x f x g x x x -''==-

所以21121212

1(ln )12x ax x a x a x x x ++--+==- ……………………………………6分 所以12122

a

x x =

-，代入21211221(ln )x x x ax x a x -=++--得：

2

22

221ln 20(*)424

a a x a x x -++--= ………………………………………………8分 设221()ln 2424a a F x x a x x =-++--，则2323

1121()222a x ax F x x x x x +-'=-++=

不妨设2000210(0)x ax x +-=>则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '>

所以()F x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x +∞上单调递增，……………10分 代入20000121=

2x a x x x -=-可得：2min 00000

1

()()2ln 2F x F x x x x x ==+-+- 设21()2ln 2G x x x x x =+-

+-，则211

()220G x x x x

'=+++>对0x >恒成立， 所以()G x 在区间(0,)+∞上单调递增，又(1)=0G

所以当01x <≤时()0G x ≤，即当001x <≤时0()0F x ≤, ……………12分

又当2

a x e

+=时22

2421()ln 2424

a a a a a F x e a e e +++=-++--

2211

()04a a e

+=-≥ ……………………………………14分 因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得(*)成立；

即存在12,x x 使得函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同．

又由12y x x =-得：21

20y x

'=--<

所以1

2(0,1)y x x

=-在单调递减，因此20000121=

2[1+)x a x x x -=-∈-∞， 所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞．…………………………………………………16分

20．（1）证明：若=0,4 =λμ，则当14n n S a -=(2n ≥),

所以1114()n n n n n a S S a a ++-=-=-， 即1122(2)n n n n a a a a +--=-，

所以12n n b b -=， ……………………………………………………………2分 又由12a =，1214a a a +=，

得2136a a ==，21220a a -=≠，即0n b ≠，

所以1

2n n b

b -=，

故数列{}n b 是等比数列．……………………………………………………………4分 （2）若{}n a 是等比数列，设其公比为q （0q ≠ ）， 当2n =时，2212S a a =+λμ，即12212a a a a +=+λμ，得

12q q +=+λμ， ① 当3n =时，3323S a a =+λμ，即123323a a a a a ++=+λμ，得

2213q q q q ++=+λμ， ② 当4n =时，4434S a a =+λμ，即1234434a a a a a a +++=+λμ，得 233214+q q q q q ++=+λμ， ③ ②-①?q ，得21q =λ ，

③-②?q ，得31q =λ ， 解得1,1 q ==λ．

代入①式，得0=μ．…………………………………………………………………8分 此时n n S na =(2n ≥)，

所以12n a a ==，{}n a 是公比为１的等比数列， 故10 ==，λμ． ……………………………………………………………………10分 （3）证明：若23a =，由12212a a a a +=+λμ，得562=+λμ， 又32+=

λμ，解得112

==，λμ．…………………………………………………12分

由12a =，23a =，

1

2λ= ，1μ=，代入1n n n S na a λμ-=+得34a =，

所以1a ，2a ，3a 成等差数列，

由12n n n n S a a -=

+，得1112n n n n S a a +++=+，

两式相减得：111122

n n n n n n n

a a a a a ++-+=-+-

即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----= 所以21(1)20n n n na n a a ++---=

相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+= 所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=

所以2

21111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=

-+- 1

321(2)(2)(1)2

n a a a n n --=

=-+-， ……………………………………14分 因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=，

即数列{}n a 是等差数列.………………………………………………………………16分

数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准

21．A ．证明：连接AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD BD ⊥，

又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，

所以BD BE BA BF ?=?． …………………………………………………………5分 又△ABC ∽△AEF ，

所以AB AC AE AF

=

，即AB AF AE AC ?=?， ∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ?-?=?-?=?-=． …………10分 B ．因为411041230123M BA -??????

===??????--??????

， ………………………………………5分 所以1

3110101

255M -??-??=????-????． ………………………………………………………10分

C .把直线方程12:12x t

l y t =+??=-?

化为普通方程为2x y +=． ……………………………3分

将圆:C 22cos 2sin 0ρρθρθ+-=化为普通方程为22

220x x y y ++-=，

即22

(1)(1)2x y ++-=． (6)

分

圆心C 到直线l 的距离222

d =

=，

所以直线l 与圆C 相切.…………………………………………………………………10分

D ．证明：因为2222

[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c d a b c d

++++++++++++++

2(1111)1111a b c d

a b c d a b c d

+?++?++?++?++++≥

2()1a b c d =+++=， …………………………………………5分 又(1)(1)(1)(1)5a b c d +++++++=， 所以2222111115

a b c d a b c d +++≥++++．…………………………………………10分

22．（1）因为11,2AB AA ==，则1131

(0,0,0),(,0,0),(,0,0),(0,,0),(,0,1)2222

F A C B E -，

所以(1,0,0)=-AC ，13

(,,1)22

=-BE ， ………………………………………2分

记直线AC 和BE 所成角为α，

则221122cos |cos ,|||413

()()122

α-?

=<>==+-+AC BE ， 所以直线AC 和BE 所成角的余弦值为2

4

． ………………………………………4分

（2）设平面1BFC 的法向量为111(,,)x y z =m ，

因为3(0,

,0)2FB =，11

(,0,2)2

FC =-， 则1111

3021202

FB y FC x z ??==?????=-+=??m m ，取14x =得：(4,0,1)=m ……………………………6分

设平面1BCC 的一个法向量为222(,,)x y z =n ，

因为13

(,,0)22

CB =，1(0,0,2)CC =，

则2212

13

02220CB x y CC z ??=+

=????==?n n ，取23x =得：(3,1,0)=-n ………………………8分 222222

43(1)010251

cos ,17

(3)(1)0401?+-?+?∴<>=

=?+-+?++m n 根据图形可知二面角1F BC C --为锐二面角，

所以二面角1F BC C --的余弦值为

251

17

； ……………………………………10分 23．（1）因为抛物线C 的方程为24y x =，所以F 的坐标为(1,0)，

设(,)M m n ，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴，

所以圆M 的半径为n ，点P 2(,2)n n ， 则直线PF 的方程为2

1

21

y x n n -=-，即22(1)(1)0n x y n ---=，………………………2分 所以

22

2

2

2(1)(1)(2)(1)

n m n n n n n ---=+-，又,0m n ≠，

所以22

211m n n --=+，即210n m -+=，

所以E 的方程为2=1y x -(0)y ≠ ………………………………………………4分 （2）设2(1,)+Q t t ， 1(0,)A y ，2(0,)B y ， 由（1）知，点Q 处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0>t ，

由1

21'=

-y x ，所以1221

1211AQ t y k t t -=

=++-，222

2111

BQ t y k t t -==-+-+， 所以11

22=-t y t

，3223=+y t t ， ……………………………………………………6分

所以33151

|23|2(0)2222t AB t t t t t t t

=+-+=++>． (8)

分

令351

()222f t t t t

=++，0t >，

则422

22

511251()6222t t f t t t t +-'=+-=，

由()0f t '>得57324t -+>

，由()0f t '<得573

024

t -+<<， 所以()f t 在区间573(0,)24-+单调递减，在573(,)24

-++∞单调递增， 所以当573

24

t -+=

时，()f t 取得极小值也是最小值，即AB 取得最小值 此时21973

124

s t +=+=．……………………………………………………………10分