浙江省专升本历年真题卷
2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷
一、填空题
1．函数x
e x x x y --=
)1(sin 2
的连续区间是 。 2．=-+-∞
→)
4(1
lim 2x x x x 。
3．（1）x 轴在空间中的直线方程是 。
（2）过原点且与x 轴垂直的平面方程是 。
4．设函数????
?
????<+=>+=--1 ,1b 1 ,1,)1(1)(2
)1(1
2
x x x a x e x x f x ,当_________,==b a 时，
函数)(x f 在点1=x 处连续。
5．设参数方程???==θ
θ
2sin 2cos 3
2r y r x ， （1）当r 是常数,θ是参数时，则=dx
dy
。
（2）当θ是常数，r 是参数时，则=dx
dy
。 二．选择题
1．设函数)(x f y =在b], [a 上连续可导，),(b a c ∈，且0)('
=c f ，则当（ ）时，)(x f 在c x =处取得极大值。
（A ）当c x a <≤时，0)('
>x f ，当b x c ≤<时，0)('>x f , （B ）当c x a <≤时，0)('
>x f ，当b x c ≤<时，0)('
>x f , （D ）当c x a <≤时，0)(' =--+→h h x f h x f h ) 2()3(lim 000（ ）。 ).(5)( ),( 4)( ),(x 3)( ),()(0'0'0'0'x f D x f C f B x f A 3．设函数?? ? ??<-=>=--0 ,0 0,0 x ,)(2 2 x e x e x f x x ，则积分 ()1 1 -=?f x dx （ ） 。 .2)( ,e 1 )( 0)( ,1)(D C B A - 5．设级数 ∑∞ =1 n n a 和级数 ∑∞ =1 n n b 都发散，则级数 ∑∞ =+1 )(n n n b a 是（ ）. （A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）可能发散或者可能收敛 三．计算题 1．求函数x x x y )1(2 +-=的导数。 2. 求函数122 3 +-=x x y 在区间（－1，2）中的极大值，极小值。 3. 求函数x e x x f 2 )(=的n 阶导数n n dx f d 。 4．计算积分 211 32--+?dx x x 。 5．计算积分?+dx e x 211 。 6．计算积分()1 2 2+-?x x x e dx 。 8.把函数1 1 += x y 展开成1-x 的幂级数，并求出它的收敛区间。 9.求二阶微分方程x y dx dy dx y d =+-22 2的通解。 10.设b a ,是两个向量，且,3,2==b a 求2 2 22b a b a -++的值，其中a 表示向量a 的模。 四．综合题 1．计算积分 2121 sin sin 22 ++? n m x xdx π ，其中m n ,是整数。 2．已知函数d cx bx ax x f +++=234)(2 3 ， 其中常数d c b a ,,,满足0=+++d c b a ， （1）证明函数)(x f 在（0，1）内至少有一个根， （2）当ac b 832 <时，证明函数)(x f 在（0，1）内只有一个根。 2005年高数（一）答案（A ）卷 一．填空题 1．连续区间是),1()1,0()0,(+∞-∞Y Y --------------------密封线--------------------------------------------------------------------------------------------------- 2． 2 1 3．（1）?? ?==0 0z y 或者001z y x ==，或者0,0,===z y t x （其中t 是参数），（2）0=x 4．1,0-==b a 5．（1）y x r 2-， （2）x y 23. 三．计算题。 1．解 ：令)1ln(ln 2 +-=x x x y ， （3分） 则x x x x x x x x x y )1)](1ln(1 ) 12([ 222 ' +-+-++--= （7分） 2．解：)43(432 '-=-=x x x x y ，驻点为3 4,021==x x （2分） （法一） 46' '-=x y ， 04)0(' '<-=y ， 1)0(=y （极大值）， （5分） 04)34(''>=y ， 27 5)34(-=y （极小值）. （7分） （5分） 当0=x 时，1=y （极大值），当34=x 时，275-=y （极小值） （7分） 3．解：利用莱布尼兹公式 x n n e n n nx x dx f d )]1(2[2-++= （7分） 4．解： ???------=--=+-0 1 01012]11 21[)2)(1(1231dx x x dx x x dx x x (3分) ＝3 4 ln 1 2 ln 1 =---x x (7分) 5．解：?+dx e x 211 ＝=+-+?dx e e e x x x 22211 (3分) ++-=)1ln(2 1 2x e x C （其中C 是任意常数） （7分） 6．解：? -+1 2)2(dx e x x x ＝=+--+?dx e x e x x x x 1 10 2 )12()2( （3分） ＝2－? +1 )12(dx e x x ＝2－)13(-e +10 2x e = ＝e e e -=-+-12233。 （7分） 8：解： =-+ =+= ]2 111[2111x x y (2分) ])2 1()1()21()21(211[2132ΛΛ+--++---+--=n n x x x x ＝∑∞ =+--01 2)1()1(n n n n x ， （5分） 收敛区间为（-1， 3）. （7分） 9.解：特征方程为0122 =+-λλ，特征值为1=λ（二重根）， 齐次方程022 2=+-y dx dy dx y d 的通解是x e x c c y )(~21+=，其中21,c c 是任意常数. (3分) x y dx dy dx y d =+-22 2的特解是2+=*x y ， （6分） 所以微分方程的通解是x e x c c x y y y )(2~ 21+++=+=* ，其中21,c c 是任意常数 （7分） 10．解：2 2 22b a b a -++＝=--+++)2()2()2()2(b a b a b a b a οο (3分) ＝26)(222 =+b a . （7分） 四．综合题： 1．解：（法一） ?++π 0212sin 212sin xdx m xdx n ＝－dx x m n x m n ])cos()1([cos 21 --++?π （4分） ＝???????==-++-≠=---++++-?π ππ0 0 ,21 ]1)1[cos(21 ,0])sin(1)1sin(11[21 m n dx x m n m n x m n m n x m n m n （10分） （法二）当m n ≠时 ?++π0212sin 212sin xdx m xdx n ＝－dx x m n x m n ])cos()1([cos 21 --++?π （ 4分） ＝0])sin(1)1sin(11[ 210=---++++-π x m n m n x m n m n （7分） 当m n =时 ?++π0212sin 212sin xdx m xdx n ＝??=+-=+π ππ0 00221])12cos(1[21212sin x dx x n xdx n ＝2 π （10分） 2．证明：（1）考虑函数dx cx bx ax x F +++=2 34)(, （2分） )(x F 在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，0)1()0(==F F ， 由罗尔定理知，存在)1,0(∈ξ，使得0)(' =ξF ，即 0)()(' ==ξξf F ，就是=)(ξf 02342 3 =+++d c b a ξξξ, 所以函数)(x f 在（0，1）内至少有一个根. （7分） （2）c bx ax x F x f 2612)()(2 ' '' ++== 因为ac b 832 <，所以0)83(129636)2)(12(4)6(2 2 2 <-=-=-ac b ac b c a b ， )(' x f 保持定号，)(x f 函数)(x f 在（0，1）内只有一个根. （10分） 2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷 一、填空题 1 ．=n 。 2 ．函数2()(23)(5) f x x x x =---的间断点是 。 3 ．若1 (), 0 x f x x A x ?≠?=??=?在0x =处连续，则=A 。 4 ．设ln(y x x =，则 =dy dx 。 5．3 22 2 (1)cos 1sin -+=+?x x dx x π π 。 8．微分方程2(21)x x y dy x e dx +-=+的通解=y 。 二．选择题 1． 函数()f x 的定义域为[]0,1，则函数1 1()()55 f x f x ++-的定义域（ ）。 ()A 14,55??- ???? ()B 16,55?????? ()C 14,55?? ???? ()D []0,1 2． 当0x →时，与x 不是等价无穷小量的是（ ）。 ()A 2sin x x - ()B 2sin x x - ()C 3tan x x - ()D sin x x - 3．设0 ()()x F x f t dt = ? ，其中2,01 ()1,12 ?≤<=?≤≤?x x f x x ，则下面结论中正确（ ）。 ()A 31,01()3, 12?≤ ()3 3, 12 ?-≤ ()C 3 1,01()3 1,12?≤ 1,013 ()2,123?≤ x x F x x x 4．曲线(1)(2),(02)y x x x x =--≤≤与x 轴所围图形的面积可表示为（ ）。 ()A 2 0(1)(2)x x x dx ---? ()B 1 2 1 (1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx -----?? ()C 1 2 0 1 (1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx ---+--?? ()D 2 0(1)(2)x x x dx --? 5．设,a b r r 为非零向量，且a ⊥r b r ，则必有（ ）。 ()A a b a b +=+r r r r ()B a b a b +=-r r r r ()C a b a b +=-r r r r ()D a b a b +=-r r r r 三．计算题 1．计算1 2 3lim( )6 x x x x -→∞++。 2．设[cos(ln )sin(ln )]y x x x =+，求 dy dx 。 3．设函数2222 cos sin t t x e t y e t ?=?=? ，求dy dx 。 4．计算不定积分 221 sin cos dx x x ?。 5．计算定积分 1 0x x dx e e -+?。 6．求微分方程223 22x d y dy y e dx dx -+=满足0,10 0====x x dx dy y 的特解。 7．求过直线3210 23220 x y z x y z +--=?? -++=? ，且垂直于已知平面2350x y z ++-=的平面方程。 8．将函数2 ()ln(32)f x x x =++展开成x 的幂级数，并指出收敛半径。 10．当a 为何值时，抛物线2 y x =与三直线,1,0x a x a y ==+=所围成的图形面积最小， ------------------------------- 求将此图形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积。 四．综合题 1． （本题8分）设函数()f t 在[0,1]上连续，且()1f x <，证明方程： x 2()1x f t dt -=?在(0,1)内有且仅有一实根。 2．（本题7分）证明：若0,0,0m n a >>>，则()() m n m n m n m n m n x a x a m n ++-≤+。 3．（本题5分）设()f x 是连续函数，求证积分 2 (sin )(sin )(cos )4 f x I dx f x f x ππ ==+? 。 2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷（A 卷）答案 一．填空题 1 ．5n =。 2 ．函数()f x =3x =。 3 ．若1 (), 0 x f x x A x ?≠?=??=?在0x =处连续，则1A = 4． 。设ln(y x x = ，则dy dx =。 5． 3 2 2 2 (1)cos 1sin 2x x dx x π ππ -+=+? 8．微分方程2(21)x x y dy x e dx +-=+的通解为y =2ln()x x e C ++，其中C 为任意常数。 二．选择题 1、C 2、D 3、D 4、C 5、B 三．计算题 1．计算1 2 3lim( )6 x x x x -→∞++。 解：1 23lim( )6x x x x -→∞++=631 ( ) ()3623lim(1)6x x x x x + ---+→∞-+ 3L L L 分 又因为 6 33lim(1)6 x x e x + -→∞- =+ 5L L L 分 313 lim() ()622 x x x →∞ -- =-+ 6L L L 分 所以12 3lim( )6 x x x x -→∞++=3 2e -。 7L L L 分 2．设[cos(ln )sin(ln )]y x x x =+，求dy dx 。 解； 11 [cos(ln )sin(ln )][sin(ln )cos(ln )]dy x x x x x dx x x =++-+ 4L L L 分 =()2cos ln x 7L L L 分 3．设函数2222 cos sin t t x e t y e t ?=?=? ，求dy dx 。 解： 2222cos 2sin cos t t dx e t e t t dt =- L L L 2分 2222sin 2sin cos t t dy e t e t t dt =+ L L L 4分 2222222(cos sin cos )(cos sin cos ) 2(sin sin cos )(sin sin cos ) t t dy dy e t t t t t t dt dx dx e t t t t t t dt ++=== -- L L L 7分 4．计算不定积分22 1 sin cos dx x x ?. 解：222222 1sin cos sin cos sin cos x x dx dx x x x x +=?? L L L 3分 =2211 []cot tan sin cos dx x x C x x +=-++? L L L 7分 5．计算定积分 1 0x x dx e e -+?。 解： 1 12 0 01x x x x dx e dx e e e -=++? ? L L L 3分 = 1 2 0() 1()x x d e dx e +? L L L 5分 = 1 0 arctan arctan 4 x e e π =- 。 L L L 7分 6．求微分方程22322x d y dy y e dx dx -+=满足001,0,x x dy y dx ====的特解。 解：微分方程223 22x d y dy y e dx dx -+=对应的特征方程为 2320(1)(2)0r r r r -+=?--= 特征根为121,2r r == L L L 1分 而1λ=，所以11r λ==为单根， L L L 2分 对应的齐次方程的通解为212x x Y C e C e =+ L L L 3分 非齐次方程的通解为*x y Cxe λ=代入原方程得2C =- L L L 4分 有通解2122x x x y C e C e xe =+- L L L 5分 有 000,1x x dy y dx ====12121210,1220 C C C C C C +=???==? +-=? 有解22x x y e xe =- L L L 7分 7．求过直线321023220x y z x y z +--=??-++=? ，且垂直于已知平面2350x y z ++-=的平面方程。 解：通过直线3210 23220 x y z x y z +--=?? -++=?的平面束方程为 321(2322)0x y z x y z λ+--+-++=即 (32)(23)(12)(12)0x y z λλλλ++-+-++-+= L L L 3分 要求与平面2350x y z ++-=垂直，则必须 1(32)2(23)3(12)0λλλ?++?-+?-+= 4202λλ+=?=- L L L 6分 所求平面方程为8550x y z -++= L L L 7分 8．将函数2 ()ln(32)f x x x =++展开成x 的幂级数，并指出收敛半径。 解：()ln(1)(2)ln(1)ln(2)f x x x x x =++=+++ L L L 2分 =ln 2ln(1)ln(1)2 x x ++++ L L L 3分 =1 100 11 ln 2(1)()(1)121n n n n n n x x n n +∞ ∞+==+-+-++∑∑ =11 10 112ln 2(1) ()12n n n n n x n +∞ ++=++-+∑ L L L 6分 收敛半径1R = L L L 7分 10．当a 为何值时，抛物线2 y x =与三直线,1,0x a x a y ==+=所围成的图形面积最小，求将此图形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积。 解：设所围面积为()S a 33 1 2(1)()3 a a a a S a x dx ++-= =? L L L 2分 ' 2 2 ()(1)21S a a a a =+-=+ 令' 1 ()02S a a =?=- L L L 3分 '' ()20S a =>，所以11()212 S -=为最小的面积 L L L 4分 11122212 24 50 - 022580 x V y dx x dx x ππππ====?? L L L 7 分 四；综合题 1·设函数()f t 在[0,1]上连续，且()1f x <，证明方程 x 2()1x f t dt -=?在(0,1)内有且仅有一实根。 证明：令 0 ()2()1x F x x f t dt =- -? ， 则在[0,1]上()F x 连续， L L L 2分 1 1 (0)10,(1)2()11()0F F f t dt f t dt =-<=--=->??， L L L 4分 由闭区间上连续函数的介值定理知道在(0,1)内至少存在一点C ，使得()0F C = L L L 5分 又因为' ()2()10F x f x =->>，所以()F x 单调上升，()0F x =在[]0,1内最多有一 个根，所以 x 2()1x f t dt - =? 在()0,1内有且仅有一个实根。 L L L 7分 2．证明：若0,0,0m n a >>>，则()() m n m n m n m n m n x a x a m n ++-≤+。 证明：令()()m n F x x a x =- L L L 2分 '111111()()()()[()]()[()] m n m n m n m n F x mx a x nx a x x a x m a x nx x a x ma m n x ------=---=---=--+令' ()0ma F x x m n =?= +，（当,1m n ≠时，0,x x a ==，此时(0)()0)F F a == ' '211 ()(1)()()2()()m n m n ma ma na ma na F m m mn m n m n m n m n m n ---=--++++++ +112 23 (1)( )()0()n n m n m n m n ma na m n a n n m n m n m n --+--+--=-<+++ L L L 5分 所以( )ma F m n +是()F x 在(),-∞+∞上的极大值，有唯一性定理知：()ma F m n +是最大值，故()()() m n m n m n ma m n F x F a m n m n ++≤=++ L L L 7分 3．设()f x 是连续函数，求积分 2 (sin ) (sin )(cos ) f x I dx f x f x π=+? 的值。 解： 令,2 x t dx dt π = -=- 22 0 0(sin )(cos )(sin )(cos ) (sin )(cos )f x f x I dx dx f x f x f x f x π π==++? ? 2 (sin )(cos )2(sin )(cos )24 f x f x I dx I f x f x πππ +==?=+? . 2007年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷 一、填空题 1．函数() 2lg 1 -= x y 的定义域是 。 2．设x y 3 sin 5=，则 =dx dy 。 3．极限=+? ∞ →dx x x n n 10 21lim 。 4．积分 ?=+dx x x sin 1cot 。 5．设,1111x x y -+ +=则()=5y 。 6．积分 =-? π 97sin sin dx x x 。 8．微分方程( ) 03 2=+++dy y y y x xdx 的通解 。 二．选择题 1．设()()?? ???+? ?? ??--+=x x x x x f ln 2311sin 132 11≥ 1 =+∞→n n n a a ，则n n a ∞→lim 存在， （B ）若A a n n =∞→lim ，则1lim lim lim 1 1==∞ →+∞ →+∞→n n n n n n n a a a a ， （C ）若A a n n =∞ →lim ，B b n n =∞ →lim ，则B b n n A a n =∞ →) (lim ， （D ）若数列{}n a 2收敛，且0122→--n n a a ()∞→n ，则数列{}n a 收敛。 3．设()?=x dt t t x 0sin α，()()?+=x t dt t x sin 0 11β，则当0→x 时，()x α是()x β的 （ ）。 （A ）高阶无穷小 （B ）等价无穷小 （C ）同阶但非等价无穷小 （D ）低阶无穷小 4．已知函数?? ?? ? == t t y t t x ln ln ，则=→dx dy e x lim （ ）。 （A ）2e （B ） 21e （C ）2 e - （D ）21e - 三．计算题 1．设x x y 42ln 1cos ln +=，求 dx dy 。 2．由方程22ln arctan y x x y +=所确定的y 是x 的函数，求dx dy 。 3．计算极限x x x cos 1lim 0 -+ →。 4．计算积分xdx e x cos 2sin 3? +。 5．计算积分 () ?+dx e xe x x 2 1。 6．计算积分 ()? +40 2 21tan π dx x e x 。 7．求经过点()1,1,1且平行于直线? ??=--=--1520 32z y x z y x 的直线方程。 9．任给有理数a ，函数()x f 满足()()10 +-=?x dt t a f x f ，求()x f 10．将函数()x x x f --=31 在点10=x 处展开成幂级数，并指出收敛区间（端点不考虑）。 四．综合题 1．设直线ax y =与抛物线2 x y =所围成的图形的面积为1S ，直线1,==x ax y 与抛物线