中考数学二轮复习数学勾股定理的专项培优易错试卷练习题及答案
中考数学二轮复习数学勾股定理的专项培优易错试卷练习题及答案
一、选择题
1.如图,透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为15cm ,在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,位于离容器上沿3cm 的点A 处,若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为25cm ,则该圆柱底面周长为( )
A .20cm
B .18cm
C .25cm
D .40cm
2.如图,在矩形纸片ABCD 中,AD =9,AB =3,将其折叠,使点D 与点B 重合,折痕为EF ,那么折痕EF 的长为( )
A .3
B .6
C .10
D .9
3.已知,如图,ABC ,点,P Q 分别是BAC ∠的角平分线AD ,边AB 上的两个动点,
45C ?∠=,6BC =,则PB PQ +的最小值是( )
A .3
B .23
C .4
D .32
4.圆柱形杯子的高为18cm ,底面周长为24cm ,已知蚂蚁在外壁A 处(距杯子上沿2cm )发现一滴蜂蜜在杯子内(距杯子下沿4cm ),则蚂蚁从A 处爬到B 处的最短距离为( )
A .813
B .28
C .20
D .122
5.如图,A 、B 两点在直线l 的两侧,点A 到直线l 的距离AC=4,点B 到直线l 的距离BD=2,且CD=6,P 为直线CD 上的动点, 则PA PB -的最大值是( )
A .62
B .22
C .210
D .6 6.已知△ABC 的三边分别是6,8,10,则△ABC 的面积是( ) A .24
B .30
C .40
D .48
7.如图,已知AB AC =,则数轴上C 点所表示的数为( )
A .3-
B .5-
C .13-
D .15- 8.以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是( ) A .1,2,3 B .2,3,4 C .3,4,6 D .1,3,2 9.下列各组数据,是三角形的三边长能构成直角三角形的是( )
A .2,3,4
B .4,5,6
C .2223,4,5
D .6,8,10
10.一个直角三角形的两条边的长度分别为3和4,则它的斜边长为( ) A .5
B .4
C .7
D .4或5
二、填空题
11.如图,在Rt ABC 中,90ACB ∠=?,4AC =,2BC =,以AB 为边向外作等腰直角三角形ABD ,则CD 的长可以是__________.
12.等腰三角形的腰长为5,一腰上的高为3,则这个等腰三角形底边的长为________ 13.如图,△ABC 是一个边长为1的等边三角形,BB 1是△ABC 的高,B 1B 2是△ABB 1的高,B 2B 3是△AB 1B 2的高,……B n-1B n 是△AB n-2B n-1的高,则B 4B 5的长是________,猜想B n-1B n 的长是________.
14.如图,在矩形ABCD 中,AB =6,AD =8,矩形内一动点P 使得S △PAD =1
3
S 矩形ABCD ,则点P 到点A 、D 的距离之和PA +PD 的最小值为_____.
15.如图,在ABC △中8,4,AB AC BC AD BC ===⊥于点D ,点P 是线段AD 上一个动点,过点P 作PE AB ⊥于点E ,连接PB ,则PB PE +的最小值为________.
16.《算法统宗》中有一道“荡秋干”的问题,其译文为:“有一架秋千,当它静止时,踏板上一点A 离地1尺,将它往前推送10尺(水平距离)时,点A 对应的点B 就和某人一样高,若此人的身高为5尺,秋干的绳索始终拉得很直,试问绳素有多长?”根据上述条件,秋干绳索长为________尺.
17.如图所示,“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的,记图中正方形ABCD ,正方形EFGH ,正方形MNKT 的面积分别为123,,S S S ,已知12310S S S ++=,则2S 的值是____.
18.如图,BAC 90∠=度,AB AC =,AE AD ⊥,且AE AD =,AF 平分DAE ∠交BC 于F ,若BD 6=,CF 8=,则线段AD 的长为______.
19.如图,△ABC 中,AB=AC=13,BC=10,AD 是BAC ∠的角平分线,E 是AD 上的动点,F 是AB 边上的动点,则BE+EF 的最小值为_____.
20.如图,直线4
23
y x =
+与x 轴、y 轴分别交于点B 和点A ,点C 是线段OA 上的一点,若将ABC ?沿BC 折叠,点A 恰好落在x 轴上的'A 处,则点C 的坐标为______.
三、解答题
21.(1)计算:1
3122
48233?÷ ? (2)已知a 、b 、c 满足2|2332(30)0a b c -+-=.判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形?若能构成三角形,说明此三角形是什么形状?并求出三角形的面积;若不能,请说明理由.
22.如图,已知ABC ?中,90B ∠=?,8AB cm =,6BC cm =,P 、Q 是ABC ?边上的两个动点,其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动,且速度为每秒1cm ,点Q 从点B
开始沿B C →方向运动,且速度为每秒2cm ,它们同时出发,设出发的时间为t 秒.
(1)当2t =秒时,求PQ 的长;
(2)求出发时间为几秒时,PQB ?是等腰三角形?
(3)若Q 沿B C A →→方向运动,则当点Q 在边CA 上运动时,求能使BCQ ?成为等腰三角形的运动时间. 23.阅读与理解:
折纸,常常能为证明一个命题提供思路和方法.例如,在ABC 中,AB AC >(如图),怎样证明C B ∠>∠呢?
分析:把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折,因为AB AC >,所以,点C 落在AB 上的点
C '处,即AC AC '=,据以上操作,易证明AC
D AC D '△△≌,所以AC D C '∠=∠,又因为AC D B '∠>∠,所以C B ∠>∠.
感悟与应用:
(1)如图(a ),在ABC 中,90ACB ∠=?,30B ∠=?,CD 平分ACB ∠,试判断
AC 和AD 、BC 之间的数量关系,并说明理由;
(2)如图(b ),在四边形ABCD 中,AC 平分BAD ∠,16AC =,8AD =,
12DC BC ==,
①求证:180B D ∠+∠=?; ②求AB 的长.
24.如图,在ABC 中,90BAC ∠=?,AB AC =,点D 是BC 上一动点、连接AD ,过点A 作AE AD ⊥,并且始终保持AE AD =,连接CE , (1)求证:ABD ACE ?;
(2)若AF 平分DAE ∠交BC 于F ,
①探究线段BD ,DF ,FC 之间的数量关系,并证明;
②若3BD =,4CF =,求AD 的长,
25.如图, ABD 为边长不变的等腰直角三角形,AB AD =,90BAD ∠=?,在 ABD 外取一点 E ,以A 为直角顶点作等腰直角AEP △,其中 P 在
ABD 内部,90EAP ∠=?,2AE AP ==,当E 、P 、D 三点共线时,7BP =.
下列结论:
①E 、P 、D 共线时,点B 到直线AE 的距离为5; ②E 、P 、D 共线时, 13ADP ABP S S ??+=+;
=5
32
ABD S ?+③;
④作点 A 关于 BD 的对称点 C ,在 AEP 绕点 A 旋转的过程中,PC 的最小值为
5+232-;
⑤AEP △绕点A 旋转,当点E 落在AB 上,当点P 落在AD 上时,取BP 上一点N ,使得
AN BN =,连接 ED ,则AN ED ⊥.
其中正确结论的序号是___.
26.我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理,这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2),其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成,恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:
(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述); (2)证明勾股定理;
(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2
a b +的值.
27.定义:在△ABC中,若BC=a,AC=b,AB=c,若a,b,c满足ac+a2=b2,则称这个三角形为“类勾股三角形”,请根据以上定义解决下列问题:
(1)命题“直角三角形都是类勾股三角形”是命题(填“真”或“假”);
(2)如图1,若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”,其中AB=BC,AC>AB,请求∠A的度数;
(3)如图2,在△ABC中,∠B=2∠A,且∠C>∠A.
①当∠A=32°时,你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗?若能,请在图2中画出分割线,并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数;若不能,请说明理由;
②请证明△ABC为“类勾股三角形”.
28.如图1, △ABC和△CDE均为等腰三角形,AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a,且点A、D、E在同一直线上,连结BE.
(1)求证: AD=BE.
(2)如图2,若a=90°,CM⊥AE于E.若CM=7, BE=10, 试求AB的长.
(3)如图3,若a=120°, CM⊥AE于E, BN⊥AE于N, BN=a, CM=b,直接写出AE的值(用a, b 的代数式表示).
29.2ABCD中,点O是对角线AC的中点,E是线段OA上一动点(不包括两个端点),连接BE.
(1)如图1,过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ,连接BF 交AC 于点G . ①求证:BE EF =;
②设AE x =,CG y =,求y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围. (2)在如图2中,请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形. 30.已知ABC 是等边三角形,点D 是BC 边上一动点,连结AD
()1如图1,若2BD =,4DC =,求AD 的长;
()2如图2,以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=,分别交AB ,AC 于点E ,F .
①小明通过观察、实验,提出猜想:在点D 运动的过程中,始终有AE AF =,小明把这
个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的两种想法
想法1:利用AD 是EDF ∠的角平分线,构造角平分线的性质定理的基本图形,然后通过全等三角形的相关知识获证.
想法2:利用AD 是EDF ∠的角平分线,构造ADF 的全等三角形,然后通过等腰三角形的相关知识获证.
请你参考上面的想法,帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)
②小聪在小明的基础上继续进行思考,发现:四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关
系.若用S 表示四边形AEDF 的面积,x 表示AD 的长,请你直接写出S 与x 之间的关系式.
【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除
一、选择题
1.D 解析:D 【分析】
将容器侧面展开,建立A 关于EG 的对称点A ′,根据两点之间线段最短可知A ′B 的长度即为最短路径,由勾股定理求出A ′D 即圆柱底面周长的一半,由此即可解题. 【详解】
解:如图,将圆柱展开,EG 为上底面圆周长的一半,
作A 关于E 的对称点A ',连接A B '交EG 于F , 则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF BF +的长, 即 25cm AF BF A B '+==, 延长BG ,过A '作A D BG '⊥于D ,
3cm AE A E '==,153315cm BD BG DG BG AE ∴=+=+=-+=, Rt A DB '∴△中,由勾股定理得:2222251520cm A D A B BD ''=--=,
∴该圆柱底面周长为:20240cm ?=,
故选D . 【点睛】
本题考查了平面展开---最短路径问题,将图形展开,利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.
2.C
解析:C 【分析】 做点F 做FH
AD ⊥交AD 于点H ,因此要求出EF 的长,只要求出EH 和HF 即可;由折叠
的性质可得BE=DE=9-AE ,在Rt ABE △中应用勾股定理求得AE 和BE ,同理在
Rt BC F 'Rt ABE △中应用勾股定理求得BF ,在Rt EFH 中应用勾股定理即可求得EF . 【详解】
过点F 做FH AD ⊥交AD 于点H .
∵四边形EFC B '是四边形EFCD 沿EF 折叠所得, ∴ED=BE ,CF=C F ',3BC CD '== ∵ED=BE ,DE=AD-AE=9-AE ∴BE=9-AE
∵Rt ABE △,AB=3,BE=9-AE ∴()2
2293AE AE -=+ ∴AE=4 ∴DE=5
∴9C F BC BF BF '=-=- ∴Rt BC F ',3BC '=,9C F BF '=- ∴()2
2293BF BF -+= ∴BF=5,EH=1
∵Rt EFH ,HF=3,EH=1 ∴22223110EF EH HF =+=+故选:C .
【点睛】
本题考查了翻折变换,矩形的性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.
3.D
解析:D 【分析】
先根据等腰三角形的性质得出AD 是线段QE 垂直平分线,再根据垂直平分线的性质、两点之间线段最短得出PB PQ +最小值为BE ,最后根据垂线段最短、直角三角形的性质得出BE 的最小值即可得. 【详解】
如图,作QE AD ⊥,交AC 于点E , ∵AD 平分∠BAC , ∴∠BAD=∠CAD ,
AD ∴是线段QE 垂直平分线(等腰三角形的三线合一)
PQ PE ∴=
PB PQ PB PE ∴+=+
由两点之间线段最短得:当点,,B P E 共线时,PB PE +最小,最小值为BE 点,P Q 都是动点
BE ∴随点,P Q 的运动而变化
由垂线段最短得:当BE AC ⊥时,BE 取得最小值 在Rt BCE ?中,456,C C B ∠=?=
2
322
BE CE BC ∴==
= 即PB PQ +的最小值为32 故选:D .
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、两点之间线段最短等知识点,利用两点之间线段最短和垂线段最短确认PB PQ +的最小值是解题关键.
4.C
解析:C 【解析】
分析:将杯子侧面展开,建立A 关于EF 的对称点A ′,根据两点之间线段最短可知A ′B 的长度即为所求.
详解:如图所示,将杯子侧面展开,作A 关于EF 的对称点A ′,
连接A ′B ,则A ′B 即为最短距离,
A ′
B 2222=1216A D BD '++ (cm ) 故选C.
点睛:本题考查了勾股定理、最短路径等知识.将圆柱侧面展开,化曲面为平面并作出A 关
于EF 的对称点A ′是解题的关键.
5.C
解析:C 【解析】
试题解析:作点B 关于直线l 的对称点B ',连接AB '并延长,与直线l 的交点即为使得
PA PB -取最大值时对应的点.P
此时.PA PB PA PB AB -=-'=' 过点B '作B E AC '⊥于点,E 如图,
四边形B DCE '为矩形,
6, 2.B E CD EC B D BD ∴=====''
2.AE ∴=
22210.AB AE B E ''+=
PA PB -的最大值为:210.
故答案为:210.
6.A
解析:A 【解析】
已知△ABC 的三边分别为6,10,8,由62+82=102,即可判定△ABC 是直角三角形,两直角边是6,8,所以△ABC 的面积为
1
2
×6×8=24,故选A . 7.D
解析:D 【分析】
根据勾股定理求出AB 的长,即为AC 的长,再根据数轴上的点的表示解答. 【详解】
由勾股定理得,AB ==
∴AC AB ==
∵点A 表示的数是1
∴点C 表示的数是1-故选D. 【点睛】
本题考查了勾股定理、实数与数轴,熟记定理并求出AB 的长是解题的关键.
8.D
解析:D 【分析】
根据勾股定理的逆定理,只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形. 【详解】
解:A 、12+22=5≠32,故不符合题意; B 、22+32=13≠42,故不符合题意; C 、32+42=25≠62,故不符合题意;
D 、12
+
2
=4=22
,符合题意.
故选D. 【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理,已知三条线段的长,判断是否能构成直角三角形的三边,简便的方法是:判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可.
9.D
解析:D 【分析】
根据勾股定理的逆定理对各选项进行判断即可. 【详解】
解:A 、∵22+32=13≠42,∴不能构成直角三角形,故本选项不符合题意; B 、∵42+52=41≠62,∴不能构成直角三角形,故本选项不符合题意;
C 、∵222222(3)(4)337(5)+=≠,∴不能构成直角三角形,故本选项不符合题意;
D 、∵62+82=100=102,∴能构成直角三角形,故本选项符合题意. 故选:D . 【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理,熟知如果三角形的三边长a ,b ,c 满足a 2+b 2=c 2,那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键.
10.D
解析:D 【分析】
根据题意,可分为已知的两条边的长度为两直角边,或一直角边一斜边两种情况,根据勾
股定理求斜边即可. 【详解】
当3和4为两直角边时,由勾股定理,得:
22345+=;
当3和4为一直角边和一斜边时,可知4为斜边. ∴斜边长为4或5. 故选:D . 【点睛】
本题考查了勾股定理,关键是根据题目条件进行分类讨论,利用勾股定理求解.
二、填空题
11.210或213或32 【分析】
在ABC 中计算AB ,情况一:作AE CE ⊥于E ,计算AE ,DE ,CE ,可得CD ;情况二:作BE CE ⊥于E ,计算BE ,CE ,DE ,可得CD ;情况三:作DE CE ''⊥,计算
,,DF DE CE '',可得CD .
【详解】
∵90ACB ?∠=,4,2AC BC ==, ∴25AB =,
情况一:当25AD AB ==时,作AE CE ⊥于E ∴
1122BC AC AB AE ?=?,即45AE =,145DE = ∴2285
5
CE AC AE =
-=
∴22213CD CE DE =+=
情况二:当25BD AB ==时,作BE CE ⊥于E , ∴
1122BC AC AB BE ?=?,即55BE =,55
DE =
∴2225
5
CE BC BE =
-=
∴22210CD CE DE =+=
情况三:当AD BD =时,作DE CE ''⊥,作BE CE ⊥于E ∴
11
22
BC AC AB BE ?=?, ∴455
BE =
35
CE ∴=
∵ABD △为等腰直角三角形 ∴1
52
BF DF AB ==
= ∴95
5
DE DF E F DF BE ''=+=+=
2535
555
CE EE CE BF CE ''=-=-=-
=
∴2232CD CE E D ''=+=
故答案为:1021332【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的探索,勾股定理的计算等,熟知以上知识是解题的关键.12.310或10
【详解】
分两种情况:
(1)顶角是钝角时,如图1所示:
在Rt△ACO中,由勾股定理,得AO2=AC2-OC2=52-32=16,
∴AO=4,
OB=AB+AO=5+4=9,
在Rt△BCO中,由勾股定理,得BC2=OB2+OC2=92+32=90,
∴BC=310;
(2)顶角是锐角时,如图2所示:
在Rt△ACD中,由勾股定理,得AD2=AC2-DC2=52-32=16,
∴AD=4,
DB=AB-AD=5-4=1.
在Rt△BCD中,由勾股定理,得BC2=DB2+DC2=12+32=10,
∴10;
综上可知,这个等腰三角形的底的长度为1010.
【点睛】
本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质,难度适中,分情况讨论是解题的关键.
13
33
【分析】
根据等边三角形性质得出AB1=CB1=1
2
,∠AB1B=∠BB1C=90°,由勾股定理求出BB1=
3 2,求出△ABC的面积是
3
4
;求出
11
3
ABB BCB
S S
==
B1B23
,由勾股定理求出BB2,根据
11221
ABB BB B AB B
S S S
=+代入求出B2B333
=,
B 3B 4=B 4B 5=,推出B n ﹣1B n =2
n . 【详解】
解:∵△ABC 是等边三角形, ∴BA =AC , ∵BB 1是△ABC 的高, ∴AB 1=CB 1=
1
2
,∠AB 1B =∠BB 1C =90°,
由勾股定理得:BB 1=;
∴△ABC 的面积是12×1=;
∴11
12ABB BCB S S
==?,
1
2
=×1×B 1B 2,
B 1B 2,
由勾股定理得:BB 234
=, ∵1
12
21
ABB BB B AB B S S
S
=+,
231311
2422
B B =???,
B 2B 3=8,
B 3B 4=16,
B 4B 5, …,
B n ﹣1B n =
2
n
.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质,勾股定理,三角形的面积等知识点的应用,关键是能根据计算结果得出规律.
14.
根据S △PAD =
1
3
S 矩形ABCD ,得出动点P 在与AD 平行且与AD 的距离是4的直线l 上,作A 关于直线l 的对称点E ,连接DE ,BE ,则DE 的长就是所求的最短距离.然后在直角三角形ADE 中,由勾股定理求得DE 的值,即可得到PA+PD 的最小值. 【详解】
设△PAD 中AD 边上的高是h . ∵S △PAD =1
3
S 矩形ABCD , ∴
1
2 AD ?h =13AD ?AB , ∴h =
2
3
AB =4, ∴动点P 在与AD 平行且与AD 的距离是4的直线l 上,
如图,作A 关于直线l 的对称点E ,连接BE ,DE ,则DE 的长就是所求的最短距离.
在Rt △ADE 中,∵AD =8,AE =4+4=8, DE 22228882AE AD ++=
即PA +PD 的最小值为2 . 故答案2. 【点睛】
本题主要考查了轴对称-最短路线问题,三角形的面积,矩形的性质,勾股定理,两点之间线段最短的性质.得出动点P 所在的位置是解题的关键.
1515【分析】
根据题意点B 与点C 关于AD 对称,所以过点C 作AB 的垂线,与AD 的交点即点P ,求出CE 即可得到答案 【详解】
∵8,AB AC AD BC ==⊥ ∴点B 与点C 关于AD 对称
过点C 作CE ⊥AB 于一点即为点P ,此时PB PE +最小 ∵8,4,AB AC BC AD BC ===⊥
在Rt △A BC 中, 222282215AD AB BD =-=-=
∵S △ABC=
11
22
BC AD AB CE ??=?? ∴42158CE ?= 得15CE = 故此题填15
【点睛】
此题考察最短路径,根据题意找到对称点,作直角三角形,利用勾股定理解决问题 16.5 【分析】
设绳索x 尺,过点B 向地面及AO 作垂线BE 、BC ,构成直角三角形OBE ,利用勾股定理求出x 的值 【详解】
如图, 过点B 作BC ⊥OA 于点C ,作BD 垂直于地面,延长OA 交地面于点D 由题意知AD=1,BE=5,BC=10 设绳索x 尺,则OA=OB=x ∴OC=x+1-5=x-4
在Rt △OBC 中,OB 2=OC 2+BC 2 ∴2
2
2
(4)10x x =-+ 得x=14.5(尺) 故填14.5
,
【点睛】
此题考察勾股定理的实际运用,理解题意作辅助线构建直角三角形是解题关键.
17.
103. 【分析】
根据八个直角三角形全等,四边形ABCD ,EFGH ,MNKT 是正方形,得出CG=NG ,
CF=DG=NF ,再根据()21S CG DG =+,2
2S GF =,()2
3S NG NF =-,
12310S S S ++=,即可得出答案.
【详解】
∵八个直三角形全等,四边形ABCD ,EFGH ,MNKT 是正方形 ∴CG=NG ,CF=DG=NF
∴()2
222122S CG DG CG DG CG DG GF CG DG =+=++=+
22S GF =
()2
2232S NG NF NG NF NG NF =-=+-
∴22222
12322310S S S GF CG DG GF NG NF NG NF GF ++=+?+++-?==
∴2
103
GF = 故2103
S =
故答案为
103
. 【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用,用到的知识点由勾股定理和正方形、全等三角形的性质.
18.65
【分析】
由“SAS”可证ABD ≌ACE ,DAF ≌EAF 可得BD CE =,4B ∠∠=,
DF EF =,由勾股定理可求EF 的长,即可求BC 的长,由勾股定理可求AD 的长. 【详解】
解:如图,连接EF ,过点A 作AG BC ⊥于点G ,
AE AD ⊥,
DAE DAC 290∠∠∠∴=+=,
又
BAC DAC 190∠∠∠=+=, 12∠∠∴=,
在ABD 和ACE 中