2019年重庆一中2019级高三下第三次月考数学试题及答案(文)

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201３年重庆一中高2019级高三下期第三次月考

数 学 试 题 卷（文科） 2019.5

第Ⅰ卷

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个正确答案） 1、设集合A={1，2}，则满足{2}A B =的集合B 可以是（ ）

A ．{1,2}

B ． {1,3}

C ． {2,3}

D ． {1,2,3}

2．将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示，则该几何体的侧视图为（ ）

3．已知a 是实数，i

i

a -+1是纯虚数，则a 等于（ ）

A 、1-

B 、1

C 、2

D 、4．已知a ，b 是实数，则“23a b >>且”是“5>+b a ”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件

C 、充分必要条件

D 、既不充分也不必要条件 5．已知函数()sin()(,0)4

f x x x R π

ωω=+

∈>的最小正周期为π，为了得到函数()sin g x x ω=的图象，

只要将()y f x =的图象（ ）

A 、向右平移

4π个单位长度 B 、向左平移4π

个单位长度 C 、向右平移8π个单位长度D 、向左平移8

π

个单位长度

6．函数2

()(0,0)f x ax bx a b =+>>在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，则8a b

ab

+的 最小值是（ ）

A 、 10

B 、 9

C 、 8

D 、 7.在△ABC 中，BC=1，∠B=

3

π

,△ABC 的面积S =3，则sinC=（ ）

A 、

13

13 B 、

5

3 C 、

5

4 D 、

13

39

2 8．过圆0102

2

=-+x y x 内一点（5,3）,有一组弦的长度组成等差数列，最小弦长为该数列的首项1a ，最大弦长为数列的末项11a ，则108642a a a a a ++++的值是（ ） A 、10 B 、 18

C 、45

D 、54

9．重庆长寿湖是重庆著名的湿地公园，每年冬天都有数以万计的各种珍贵鸟类来此栖息、觅食，有些不法分子在某边长分别为6,8,10米的三角形沼泽地内设置机关，当鸟类进入此三角形区域且靠近任一顶点距离小于2米（不包括三角形外界区域），就会被捕获，假设鸟类在三角形区域任意地点出现的概率是等可能的，则鸟类在此三角形区域中不幸被捕获的概率为（ ）

A 、

6

π

B 、

24

π

C 、

10

π

D 、

12

π

10．点P 是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>左支上的一点，其右焦点为(,0)F c ，若M 为线段FP 的中点,

且M 到坐标原点的距离为8

c

，则双曲线的离心率e 的取值范围是 ( ) A 、41,3

?? ???

B 、(]1,8

C 、45(,)33

D 、(]2,3

第Ⅱ卷

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11、已知抛物线方程2

2y x =，则它的焦点坐标为_______。 12、如图所示的程序框图输出的结果i=_______。

13、已知x ，y 满足不等式组28,

28,0,0,

x y x y x y +≤??+≤?

?≥??≥? 则目标函数3z x y =+

的最大值为______。

14、在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，设AC mAE nAD =+

则n m +=______。

15、观察下列问题：

已知2013

)

21(x -=20132013332210x a x a x a x a a +++++ ，

令0x =，可得01a =，

令1=x ，可得1)121(20132013210-=?-=++++a a a a ， 令1-=x ，可得2013201320132103)121(=?+=-++-a a a a ， 请仿照这种“赋值法”，求出

=++++2013

201333

2212222a a a a _________。 三、解答题（共6小题，共75分，每题要有必要的解题步骤和文字说明）

16．（本小题满分13分）

已知点(1,2)是函数()x

f x a =(01)a a >≠且的图象上一点,数列{}n a 的前n 项和n S ＝()1f n -.

(1)求数列{}n a 的通项公式；

S=0,i=1

(2)若n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T 17．（本小题满分13分）

已知函数2cos 4)6

2sin(2)(2+-+

=x x x f π

，

（1）求函数)(x f 的单调减区间； （2）若[

,]42

x ππ

∈求函数)(x f 的值域。

18、（本小题满分13分）

某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：

（1）求全班人数,并计算频率分布直方图中[]80,90间的矩形的高；

（2）若要从分数在[]80,100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，则在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[]90,100之间的概率．

19、(本小题满分12分)

如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，∠PDA=0

45，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．

（1）求证：AF ∥平面PCE ；

（2）求证：平面PCE ⊥平面PCD ； （3）求三棱锥C －BEP 的体积．

20、（本小题满分12分） 已知函数x x a x f ln )(+=

,且x

x

x x g x f ln )1()()(+=+， （1）若函数)(x f 在区间[)+∞,1上为减函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数)(x g 在[]2

3

,1上的最小值为e ，求实数a 的值。

21、（本小题满分12分）

已知椭圆C ：)0(,122

22>>=+b a b

y a x ，直线)(03)21()3(R m m y m x m ∈=---++恒过的定点F

为椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到焦点F 的最大距离为3,

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若直线MN 为垂直于x 轴的动弦，且M 、N 均在椭圆C 上，定点T （4,0）,直线MF 与直线NT 交

于点S

①求证：点S 恒在椭圆C 上； ②求△MST 面积的最大值。

命题人：江劲松 审题人：杨春权

201３年重庆一中高2019级高三下期第三次月考

数 学 答 案（文科） 2019.5

一、选择题

1—5 . CDBAC 6—10 .BDCDA 二、填空题

11、1(0,)8 12、 10 13、 12 14、3

2

15、1- 三、解答题

16、解： (1)把点(1,2)代入函数()x

f x a =得2a =，

所以数列{n a }的前n 项和为()1n S f n =-＝21n -. 当n ＝1时，111a S ==；

当n≥2时，11

1222n n n n n n a S S ---=-=-=，

对n ＝1时也适合．∴1

2n n a -=. (6分) (2)由于n n b n a =+，所以1

2n n b n -=+.

分组求和可得：2212

n n n n

T +=+- (13分) 17、解: x x x x x x f 2cos 2)2

1

2cos 232(sin 22cos 4)6

2sin(2)(2-?+?

=+-+

=π

)6

2sin(22cos 2sin 3π

-

=-=x x x （4分）

（1）)(65,32326

22

2Z k k k k x k ∈??

????

++?+

≤-

≤+

πππππππ

π

π为减区间（8分） （2） 5[

,

],2[,]426

36

x x ππ

π

ππ

∈-

∈

? 值域 [1,2] （13分） 18、解：（1）由茎叶图知，分数在[)50,60之间的频数为2，频率为0.008100.08?=， 全班人数为

2

250.08

=． 所以分数在[)80,90之间的频数为25271024----= 频率分布直方图中[)80,90间的矩形的高为

4

100.01625

÷=． (7分) （2）将[)80,90之间的4个分数编号为1,2,3,4，[]90,100之间的2个分数编号为5,6，在[]80,100之间的试卷中任取两份的基本事件为：

()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,3，()2,4，()2,5，()2,6，()3,4，()3,5，()3,6()4,5，()4,6，()5,6共15个，

其中，至少有一个在[]90,100之间的基本事件有9个，

故至少有一份分数在[]90,100之间的频率是9

0.615

=． (13分) 19、解：证明: （1）取PC 的中点G ，连结FG 、EG ∴FG 为△CDP 的中位线 ∴FG

21//

CD

∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点

∴AB 21//

CD

∴FG

//

AE

∴四边形AEGF 是平行四边形 ∴AF ∥EG 又EG ?平面PCE ，AF ?平面PCE

∴AF ∥平面PCE (4分) （2）∵ PA ⊥底面ABCD

∴PA ⊥AD ，PA ⊥CD ，又AD ⊥CD ，PA AD=A ∴CD ⊥平面ADP

又AF ?平面ADP ∴CD ⊥AF 直角三角形PAD 中，∠PDA=45°

∴△PAD 为等腰直角三角形 ∴PA ＝AD=2 ∵F 是PD 的中点 ∴AF ⊥PD ，又CD PD=D

∴AF ⊥平面PCD ∵AF ∥EG

∴EG ⊥平面PCD 又EG ?平面PCE

平面PCE ⊥平面PCD (8分) （3）三棱锥C －BEP 即为三棱锥P －BCE PA 是三棱锥P －BCE 的高， Rt △BCE 中，BE=1，BC=2， ∴三棱锥C －BEP 的体积

VC －BEP=VP －BCE=1111121223

32323BCE S PA BE BC PA ??=????=????=

(12分) 20、解:（1）[)恒成立，在∞+≤+-=

'10)

ln (1)(2

x x a x f

[)1

11,1ln 1,ln 1≥∴=∞+--≥a x x x a 时，有最大值当上为减函数，在又变量分离得到：

（2）x

a

x x a x x x x a x x x x g -=-=+-+=

ln ln ln ln )1()(

[][][]e

a a a g x g a e e a e

a e a e g x g e x g e x g a a a a x g a ii a a g e x g a i x

a x x a x x g -=?=+-=--≤≤-≤-≤-=?=-=↓-<>=?==↑<<-<-↑+∞-↓-<-=?=-=+∞≥+=+=

'23

1)ln()()(113)

(2

231)()(1)(a e a -22

3

-a 23-a 1g x g e 1)(01,11),(,)0)(0)

(2

3

23)1(1),0)(0)(1)(22最小值为时，即、舍去的最小值为

，上，在时，即、（舍去）

）（）的最小值为

（，上，在时，即、，在（时，）当（舍去为上单调递增，最小值

，上单调递增，在在（时，当 综上所述，e a -= （13分）

21、解：(1) 直线)(03)21()3(R m m y m x m ∈=---++可化为

1

3

4.1,23)

0,1(0330

12033)12(22=+==?=+????=-+=--?=-++--y

x c a c a F y x y x y x y x m 椭圆方程为（4分）

（2）①设直线MN 的方程为1243),(,,,2

2

=+-=t s t s t s N t s M s x 满足、且）坐标设为（

()分）

得证（显然成立化简得到代入椭圆方程）（

交点的直线方程为：的直线方程为：8,1243,)52(12368531243,523,5285)4(4

);1(122222

22=+-=+-?=+------=--=t s s t s y x s t

s s S x s t y NT x s t y MF

②直线MS 过点F （1,0），设方程为),(),,(,12211y x S y x M my x +=

)

14(2

9

411810

3

1

310196

191

)

13()43(1),1(1,)43(118439

436096)43(124314)(2

33212

2222

2222212212

22

22122121分，故其最小值为），，（），在（利用勾函数的性质得到设联立=?≤↑∞+↓+++=+=++≥=+++=???????

+-=+-=+?=-++????=++=-+=-??=

???MST MST

MST S u u u

u u u m m u u m m m S m y y m m y y my y m y x my x y y y y y y S