电容的充放电过程及其应用

电容的充放电过程及其应用

一、实验目的

1．观察RC电路的矩形脉冲响应。

2．了解RC微分电路、积分电路及耦合电路的作用及特点。

3．学习双踪示波器的使用方法。

二、实验原理

1．RC串联电路的充放电过程

在由电阻R及电容C组成的直流串联电路中，暂态过程即是电容器的充放电过程（图1），当开关K打向位置1时，电源对电容器C

化的具体数学描述为q＝CUc，而I = dq / dt ，故

dt

dUc

C

dt

dq

i=

=（1）

E

iR

Uc=

+（2）

将式(1)代人式(2)，得

E

RC

Uc

RC

dt

dUc1

1

=

+

考虑到初始条件t=0时，u C=0，得到方程的解：

[]

()

()

?

?

?

??

?

?

-

=

-

=

-

=

=

RC

t

E

U

E

U

RC

t

R

E

i

RC

t

E

U

C

R

/

exp

/

exp

）

/

-

（

exp

-

1

C

上式表示电容器两端的充电电压是按指数

增长的一条曲线，稳态时电容两端的电压等于电

源电压E，如图2(a) 所示。式中RC=具有时

间量纲，称为电路的时间常数，是表征暂态过程

进行得快慢的一个重要的物理量，由电压u c上

升到0.63E，1/e≈0.37，所对应的时间即为。

当把开关k1打向位置2时，电容C通过电阻R放电，放电过程的数学描述为

将

dt

dUc

C

i=，代人上式得0

1

=

+Uc

RC

dt

dUc

由初始条件t＝0时，Uc＝E，解方程得

?

?

?

?

?

-

-

=

-

-

=

-

=

)

/

exp(

)

/

exp(

)

/

exp(

RC

t

E

U

RC

t

R

E

i

RC

t

E

Uc

R

表示电容器两端的放电电压按指数律衰减到零，也可由此曲线衰减到0.37E所对应的

图2 RC电路的充放电曲线

（a）电容器充电过程（b）电容器放电过程

U R

Uc

K

1

2

V

E

R

C

图1 RC串联电路

时间来确定。充放电曲线如图2所示。 2. 半衰期T 1/2

与时间常数τ有关的另一个在实验中较容易测定的特征值，称为半衰期T 1/2，即当U C （t ）下降到初值（或上升至终值）一半时所需要的时间，它同样反映了暂态过程的快慢程度，与t 的关系为：T 1/2 =τln2 = 0.693τ（或τ= 1.443T 1/2）

3. RC 电路的矩形脉冲响应。

若将矩形脉冲序列信号加在电压初值为零的RC 串联电路上，电路的瞬变过程就周期性地发生了。显然，RC 电路的脉冲响应就是连续的电容充放电过程。如图3所示。

图3 RC 电路及各元件上电压的变化规律

若矩形脉冲的幅度为U ，脉宽为t p 。电容上的电压可表示为：

??

???≤≤?≤≤-=-

-211

0)1()(t t t e U t t e U t

u t

t c τ

τ

电阻上的电压可表示为：

??

???

≤≤?-≤≤?=-

-2

110)(t t t e U t t e U t u t

t

R ττ

即当10t t ≤≤时，U t u i =)(，电容被充电；当21t t t ≤≤时，电容器经电阻R 放电。 4．RC 电路的应用

（1）微分电路。取RC 串联电路中的电阻两端为输出端，并选择适当的电路参数使时间常数τ<

u c (t )接近等于输入电压u i (t )，这时输出电压为：

(t u i )(t R )

(t C )(t u i (t u R (t u C u

u

u

-t

t

t

dt

t du RC dt du RC i R t u i c c )

()(0?≈?

=?= 上式说明，输出电压)(0t u 近似地与输入电压)(t u i 成微分关系，所以这种电路称微分电路。微分电路在矩形脉冲电压)(t u i 的作用下，输出正、负尖脉冲信号。如图 4所示。在矩形正脉冲波形的前沿输出正尖脉冲波，在其后沿输出负尖脉冲波。尖脉冲在实际应用中可作为触发信号。

（a ）基本原理图 （b ）输出波形图

图4 RC 微分电路及输入和输出电压波形

（2）RC 耦合电路

若改变上述电路的参数，使得τ>>t p ，微分电路转变为耦合电路。其输出波形如图5所示。这种电路在多级交流放大电路中经常作为级间耦合电路。

（3）RC 积分电路

如果将RC 电路的电容两端作为输出端，电路参数满足τ>>t p 的条件，则成为积分电路。由于这种电路电容器充放电进行得很慢，因此电阻R 上的电压)(t u R 近似等于输入电压

)(t u i ，其输出电压)(0t u 为：

(t u i )

(0t

-(0t u )

(t u i

(0u (u i t

t

图5 RC 耦合电路电压波形

dt t u RC dt R t u C dt t i C t u t u i R c c ?≈?=?=

=?

??)(1)(1)(1)()(0 上式表明，输出电压)(0t u 与输入电压)(t u i 近似地成积分关系。其输入、输出波形如 图6所示。

图6 积分电路及输入和输出电压波形

3．测定RC 电路时间常数的方法。

本实验使用双踪示波器，可以同时观察电路的输入、输出信号。

在RC 电路输入矩形脉冲信号，将示波器的输入端接在电容两端，将示波器的垂直增益“微调”旋钮位于校准位置，同时将时基扫描速度“微调”旋钮位于校准位置。Y 轴输入开关置于“DC ”档。调节示波器使荧光屏上呈现出一个稳定的指数曲线。利用荧光屏上的坐标尺，测出电容器电压的最大值U m 的格数。

)格(的格数A U m =

取0.63U m =B （格）交纵轴于M ，过M 点引水平线交指数曲线于Q 点，则Q 点对应的横坐标即为时间常数τ。根据MQ 的格数及所选用的“扫描时间”标称值（t /div ），就可以算出τ，见图7所示。

()div /t MQ ?=格τ

图7 RC 电路时间常数的测量三、实验仪器

信号发生器、双踪示波器、电容箱、电阻箱、大电容、万用表。其中信号发生器能够产生一定频率的正弦波、方波、锯齿波等，我们这次实验主要使用方波。使用时首先选择频率范围，一排按键哪个按下就说明信号发生器这时产生的最大信号频率为按键标定值，调节频率用仪器左边旋钮。

四、预习要求

（1）已知矩形脉冲的频率f =200Hz ，周期T= 秒。拟在示波器的荧光屏上看到

)

(t (t u i (0t u )

(t u i 23

1t

)

(t (t u i

二个完整周期的矩形脉冲，“扫描时间”旋钮选择在 档较合适（2ms/div 、5ms/div 、1ms/div 、0.5ms/div 、0.2ms/div ）（注意：荧光屏为格1010?）。

（2）试计算表1-7-2中各项时间常数，将计算结果填入表中，并说明是否满足该电路的条件，取脉冲宽度T t p 2

1

=

。 （3）微分电路的输出电压u o (t )是从RC 电路的 两端取出。积分电路的输出电压

u o (t )从 两端取出。

五、实验内容

1．观察大电容，记录电容型号 ，电容值 ，耐压大小 。仔细观察电容哪个是正极，哪个是负极。把万用表旋转到二极管和通断测量档（这两个功能在一个档，即200欧姆电阻档左边），用万用表红黑表笔接触大电容正负两级，观察万用表显示，过一会等万用表稳定后反接正负极，观察万用表上读数变化， 根据测量情况，分析现象原因： 。

2.调节信号发生器，产生方波，根据示波器图形分析，输出波形为1000Hz ，即1kHz ，观察矩形脉冲波形，将波形画在表1中。并测出矩形波的U m 、、、T （取T t p 2

1

=

）。 U m 为 div （格），示波器的垂直标称值 V ／div ，则U m = V 。

T 为 div （格），时基扫描速度标称值 （time ／div ），则T= ms 。 3．观测RC 电路的矩形脉冲响应，并测定时间常数τ，按表1取RC 值，用电容箱、电阻箱按图7接线，完成表1中的内容，信号发生器1000Hz 输出。

电容电压的最大值U m 为 div(格)，示波器的垂直标称值 V/div ，则U m = V 。 τ为 div ，时基扫描速度标称值 time/div ，τ= ms 。 3．观察微分电路的输出波形。信号发生器1000Hz 输出。 4．观察积分电路的输出波形。信号发生器1000Hz 输出。 5．观察耦合电路的输出波形。信号发生器1000Hz 输出。

以上各项内容均按表1选择RC 参数，完成表1中各项内容并记录在表中。

表1

六、实验总结

1．根据测绘的RC电路瞬变过程曲线，用实测的电路时间常数，与预算值进行比较。

2．根据实验结果说明RC串联电路用作微分电路和积分电路时的参数条件。

3．输入矩形波频率改变时（变大或变小），输出信号波形是否发生变化？怎么变？为什么？