八(上)第七章二元一次方程组
八（上）第七章 二元一次方程组
7.1 谁的包裹多 一、知识点：
1、二元一次方程的有关概念：含有两个未知数，且未知数次数是1，这样的方程叫做二元一次方程。它的标准形式为：ax+by=c(a ，b ≠0)。 例1、已知二元一次方程3x+2y=6。（1）用含x 的代数式表示y ； （2）任意写出方程的3个解。
例2、已知方程3
123215m n x
y +--=是一个二元一次方程，求m 和n 的值。
2、二元一次方程的解的求法：先用含其中一个未知数的代数式表示另一个未知数（如用x 表示y ），然后给出x 的一个值，就能对应地求出y 的一个值，这样得到的每一对对应值，都是二元一次方程的解
例：写出二元一次方程3x+y=9的所有正整数解。
3、二元一次方程组：两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。它的一
般形式是：111
222
a x
b y
c a x b y c +=??+=?，常见的二元一次方程组有两种：
（1）两个二元一次方程组成的二元一次方程组
（2）一个一元一次方程和一个二元一次方程组成的方程组 二元一次方程与二元一次方程组的解之间的区别与联系
二元一次方程组的解一定是方程组中的任何一个方程的解，反之不成立。
例1：下列方程组：（1）10321
234
x y x y ?-=??
??+=??（2）4527x y x z +=??-=?（3）12xy x y =??+=?（4）23780x y y -=??-=?
其中_________是二元一次方程组。
例2、如果1ax 352211
y x x by y ?
-==
????
+=??=-?是方程组的解，求a —b 的值。
二、应用与创新
1、会列简单的二元一次方程和二元一次方程组，体会方程是刻画现实世界的有效的数学模型
例：小明给小刚出了一道数学题：如果我将二元一次方程组()()233x y x y +=???+=??①
②
中的第①个
方程y 的系数遮住，第②个方程x 的系数遮住，并且告诉你2
1x y =??=?
是这个方程组的解，你
能求出原来的方程组吗？
2、利用二元一次方程或二元一次方程组的性质求解 例1、已知方程()()2
2
3
2620m n
m x n y ---+-=是二元一次方程，求m ，n 的值
例2、方程()
()221123k x k x ky k -+++=+，当k=______时，它为一元一次方程，当k=_____时，它为二元一次方程。
3、二元一次方程（组）及其解的应用
例：某球迷协会组织36名球迷将租乘汽车赴比赛场地，为某足球队呐喊助威，可租用的汽车有两种：一种每辆可乘8人，另一种每辆可乘4人，要求租用的车子不留空座，也不超载。 （1）请你给出三种不同的租车方案；
（2）若8个座位的车子租金是300元/天，4个座位的车子租金是200元/天，请你设计费用
最少的租车方案，并简述你的理由。
三、练习：（一）选择题 1、方程：3
12
42,31,1,
2,51,x y x y xy y x x y
-=+==+=+=1,20x y z x z ++=+=中，属于二元一次方程的有（ ）
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个 2、下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
135x y A x y -=??+=?、 101xy B x y +=??+=?、 1
6
341
y C x
x y ?+=???+=?、 22120x y D x y ?-=?-=?、 3、以3
1
,22
x y =-=-
为解的二元一次方程组是（ ） 10350x y A x y --=??+-=?、 10350x y B x y -+=??++=?、 135x y C x y -=??+=-?、 1
35x y D x y -=??
+=?
、 4、某学校的男运动员比女运动员的2倍多4人，男运动员与女运动员的人数比是5：2，求男，女运动员各多少人？若设男运动员x 人，女运动员y 人，则可得方程组为（ ）
2452x y A x y =+??=?、 2425x y B x y =+??=?、 2452x y C x y =-??=?、 24
25x y D x y
=-??
=?、 5、二元一次方程3x+y=9的正整数解的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、不确定 （二）、填空题 6、设a ≠0，若2x-y=a
y ____x+2y=a,
x ?=?
?则：。
7、若()21
x=0y=135a x by x by a b ++=?????+=+???
是方程组的解，则a+b=______。 8、在4x —3y=5中用含x 的代数式表示y 的式子可以写成____________，当1
2
2
x =-时，y=_______。
9、甲班有男生x 人，女生y 人，其中男生比女生的2倍少8人，列出关于x ，y 的二元一次方程是_______________________。 10、已知2
211302
n m x
y -+-
=是关于x ，y 的二元一次方程，则m=______,n=_______。 11、若26
29
x y x y +=??
+=?，则x+y=_____。
12、若35
6-23m n x
x +-与是同类项，则m ，n 的关系是________。
（三）、解答题：
13、甲、乙两人同解方程组51542ax y x by +=??
-=-?①②
由于甲看错了方程①中的a ，得到方程组的解
为31x y =-??=-?，乙看错了方程②中的b ，得到方程组的解为54
x y =??=?，试计算2003
2002110a b ??+- ?
??的值。
14、已知方程()
()()22214a x a x a y -+-++=是二元一次方程，求a 的值。
15、请你求出二元一次方程3x+2y=21的所有正整数解。
16、有一户人家，父亲与儿子同一天过生日，有一次庆贺生日时，糊涂的舅舅说：“我忙昏了，记不清你们现在究竟是几岁了。”父亲说：“我38岁那年，儿子10岁，现在我的年龄是儿子年龄的2倍。”若设现在儿子年龄为x 岁，父亲年龄为y 岁，你能帮助舅舅列出方程组吗？
17、99名同学去春游，大车每辆可乘坐12人，小车每辆可乘坐5人，如果这些学生把租来的车都坐满，那么租车的方案有多少种？
7.2 解二元一次方程组（代入法）
一、知识点：用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
1、从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x(或y)的代数式表示y(或x)，即变成y=ax+b(或x=ay+b)的形式；
2、将y=ax+b(或x=ay+b)代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y(或x)，得到一个关于x(或y)的一元一次方程；
3、解这个一元一次方程，求出x(或y)的值；
4、把x(或y)的值代入y=ax+b(或x=ay+b)中，求出y(或x)的值。
5、用“?
?
?
”联立两未知数的值，就是方程组的解。
以上步骤可以归纳为：（1）求表达式；（2）代入消元；（3）回代求解
二、典型例题：
例1、把方程4x—y+5=0先写成用含x的代数式表示y的形式，再写成用含y的代数式表示x的形式。
例2、解方程组
33 4317 x y
x y
-=
?
?
+=
?
①
②
例3、已知关于x，y的方程组
352
8
2x+3y=
x y m
x y
m
+=+
?
+=
?
?
①
的解也是方程的解
②
，求方程
的解及m的值。
三、练习：（一）选择题：
1、已知
21
17
x ax by
y bx ay
=-+=
??
??
=+=
??
是方程组的解，则(a+b)(a—b)的值为（）
A、
35
-
3
；B、
35
3
；C、—16；D、16
2、若2x+3y —z=0，且x —2y+z=0，则x ：z 等于（ ） A 、1：3； B 、—1：1； C 、1：2； D 、—1：7
3、已知二元一次方程组59x y m
x y m
+=??-=?的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则m 的值应取
（ ） A 、3-
4； B 、34； C 、43； D 、4
-3
（二）填空题
1、已知a ：b=3：1，且a+b=8，则a —b=_________。
2、已知x+y=4,且x —y=10，则2xy=__________。
3、关于x ，y 的方程y=kx+b ，当x=2时，y=—1；当x=—1时，y=5，则k=______，b=______。 （三）、解答题：
1、把下列方程先写成含x 的代数式表示y 的形式，再写成用含y 的代数式表示x 的形式。 （1）6x+y=10；（2）
21
4053
x y -+=； (3)536x y x y +=-； (4)()3447x y x y +=-
2、用代入法解下列方程组：
()4130x y x y =-??-=? ()327224x y y x -=??=-? ()33
33417
x y x y -=-??
+=?
()3645410x y x y -=??
+=? ()23055911s t s t -=??+=? ()8716
6534
p q p q -=??
?+=??
()()0.250.5 1.257220.6x y x y -=???
--=?? ()234082052
x y x y +-=??
?--=?? ()432962x y y x -=???-=??
3、若方程组
5x+4y=m
3x+5y=2
?
?
?
中，x，y互为相反数，则m等于多少？
4、已知方程组
2x-y=7
ax+y=b38
x by a
x y
+=
??
??
+=
??
和方程组有相同的解，则a，b各为多少？
5、已知二元一次方程组
3
1
31
1
4
52
mx ny
x
y
mx ny
-=
?=
?
?
??
=-
+=?
??
的解是，求m，n的值。
6、5分和2分的硬币共100枚，总值3元2角，问这两种硬币各有多少枚？
7、一个框装有最多55个左右的鸡蛋，某人3个一数最后剩下1个，但忘了数多少次，因此只好重数，5个一数最后剩下2个，但又忘了数多少次，准备再重数，这时好动脑筋的甲说：“不用再说了”，那人惊奇地望着甲，甲眼珠转了几下，动笔算了一下说：“共有鸡蛋52个。”你想想，甲是怎样计算出来的？
7.2 解二元一次方程组（加减法）
一、知识点：利用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
1、根据“方程两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，所得方程与原方程是同解方程”的原理，将方程组化成有一个未知数的系数的绝对值相等的形式。
2、根据“方程两边都加上（或减去）同一个数，所得方程与原方程是同解方程”的原理，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
3、解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
4、把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
5、将两个未知数的值用“{”合写在一起即可。 二、典型例题： 例1、解方程组2343319a b a b -=??+=? 例2、解方程组3213
539x y x y +=??-=?
例3、解方程组252020
60%80%50072%
x
y x y ?=-
???+=??
三、练习： （一）选择题：
1、若二元一次方程23,32,21x y x y x my +=-=-=-和有公共解，则m 的值为（ ） A 、—2； B 、—1； C 、3； D 、4
2、若211a b
a b x
y -+-+=是二元一次方程，那么a ，b 的取值分别是（ ）
A 、0，1；
B 、2，3；
C 、1，0；
D 、2，1 3、如果
652241a 134
y x
x y b a b +-与是同类项，则x ，y 的值是（ ） 1222
;2222x x x x A B C D y y y y ===-=-????????
==-==-????
、、；、；、 （二）填空题：
1、已知()2
234370x y x y +-++-=，则x=________；y=__________。
2、已知二元一次方程2x+3y —4=0，当x ，y 互为相反数时，x=______，y=_______。
3、方程组2119322
x y x y -=??
?+=??的解为___________。
4、已知方程组5325
5451x y x y ax y x by +=-=????
+=+=??
与有相同的解，则a ，b 的值为___________。 5、已知25720x y x y -+--=，则x=_______，y=________。 6、若()2
3275210a b a b +++-+=，则a=_______，b=_______。
7、若方程组111111222222
3253
4325a x b y c a x b y c x a x b y c y a x b y +=+==??????+==+=???①的解是则方程组②的解是____。
（三）、解答题：
１、用加减法解方程组：
()542544x y x y -=??
+=?１； ()4322891x y x y +=??-=-?； ()0.20.3 1.1
30.020.010.01m n m n +=??-=-?
()()()44334139225x y x y ?+=???
?-=-??； () 2.50.240510366s t s t ++=???+-=??； ()2132
254
6313205
4s t s t --?+=???++?-=??
()311
53715106x y x y
?-=???
?+=??； ()8356272x y y x -=-=
()
58259132
x y y x
+-==-； ()10432122311x y x y x y +-=+-=+-
2、m 为正整数，已知二元一次方程组2210
320mx y m x y +=??-=?
有整数解，求的值。
3、已知方程组5325
5451
x y x y ax y x by +=-=????
+=+=??与有相同的解，求a ，b 的解。 4若359
421342m n m n m
x y x y n
++--+=是关于，的二元一次方程，则
的值是多少？
5、要使方程组
216
20
x ay
x y
+=
?
?
-=
?
有正整数解，求整数a的值。
6、已知一次函数图象经过（2，8）和（—1，—7）两个点，求一次函数关系式。
7、求满足方程组
352
23
x y k
x y k
+=+
?
?
+=
?
，而x，y的值之和等于2的k的值。
8、现要制作418朵小红花，小明先做了2天，后来小亮加入一起做了2天，不但全部完成，还多制作了2朵，而如果小亮先做3天，小明加入一起做3天，那么能多制作32朵，试问小明、小亮每一天能制作几朵小红花？
9、某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1t水生产饮料所获利润y（元）是1t水价格x（元）的一次函数，如图所示，根据图中提供的信息，求y与x之间的函数关系式，并求当水价为8元/t时，1t水生产出的饮料所获利润是多少？
7.3 解三元一次方程组 一、知识点：
1、三元一次方程：含有三个未知数，并且未知数的次数是1的方程，叫做三元一次方程。 标准形式是：ax+by+cz=m ，(a ，b ，c ≠0，为常数)
2、三元一次方程组：三个三元一次方程合在一起就组成一个三元一次方程组。一般形式是：
111122223
333a x b y c z k a x b y c z k a x b y c z k
++=??
++=??++=? 3、解三元一次方程组与解二元一次方程组的基本方法一致，基本的思想就是“消元”。
二。、典型实例：
例1、解方程组：2325323z x y
x y z x y z =+??
-+=??+-=?
例2、解方程组：32106235x y z x y z x y z ++=??
++=??+-=?
三、练习：
（一）解方程组：()71422228x y x y z y z +=??++=??+=? ； ()232523236913x y z x y z y z -+=??
+-=??-=-?
()03232523x y z x y z x y z +-=??-+=??+-=?； ()3248
425514736x y z x y z x y z +-=??
+-=??-+=?
():5:25:7:2
3727x y x z x y z =??=??-+=?
； ()5239
6234x y z x y z -+=??
?==??
（二）解答题：30枚1分，2分与5分的硬币，共是7角，其中2分硬币的枚数比5分硬币的枚数的2倍多4枚，问：1分，2分，5分的硬币各有多少枚？
7.4 鸡兔同笼·简单的二元一次方程组的应用
一、1、解题的基本步骤：（1）审题；（2）设未知数；（3）列方程组；（4）解方程组；（5）检验答案；（6）答题
2、列方程组是列方程解题的关键步骤，一般来说必须满足以下要求：
（1）方程两边的数值要相等（2）同类量的单位要相同（3）方程两边的代数式表示的是同类量。
二、典型实例：
例1、“今年有牛五，养二，值金十两；牛二，养五，值金八两。牛、养各值金几何？”
例2、古题“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空。”问有多少间房？多少客人？
例3、有一个民间传说，一位父亲临死时叫他的孩子按照下列方式和顺序依次分配他的遗产：
第一个儿子分100克朗（捷克等几个欧洲国家的货币单位）与剩下财产的
1
10
；第二个儿子
分200克朗和剩下的财产的
1
10
；第三个儿子分300克朗和剩下财产的
1
10
……依次类推，结
果正好使每个儿子分得一样多，问这位父亲共有多少财产？一共有几个儿子？每个儿子分得多少财产？
例4、哥伦布15世纪发现了美洲大陆，这一年公历的各位数字之和是16，这个数字的个位与百位的积再加上千位数，就是该数的十位数，你知道哥伦布在哪一年发现新大陆吗？
例5、有三块牧场，草长得一样密，一样快，面积分别为
1
31024
3
公顷，公顷和公顷，第一
块12头牛可吃4星期，第二块21头牛可吃9星期，则第三块可供多少头牛吃18星期？
例6、A、B、C三所学校，各买甲、乙两种商品，A校计划用1051元购买甲种商品x个，乙种商品y个；B校购买时，与A校相比，甲种商品每个贵6元，乙种商品每个便宜1元，结果购买的甲种商品的个数比A校的少5个，总金额比A校多用71元；C校购买时，与A校相比，甲、乙两种商品每个各贵1元，结果购买甲种商品数量比A校少10个，
共用金额930元，如果A校准备购买甲种商品的个数是原来的2倍，购买乙种商品的个数是原来的一半，那么，两种商品共买82个，问A肖原来准备甲、乙两种商品各多少个？
三、练习：
（一）选择题：
1、元旦前，李明买了若干张贺年卡后还需再买一张，若买一张0.97元的贺年卡，则他所买的贺年卡平均每张价格是0.90元，若买一张0.73元的贺年卡，则他所买的贺年卡平均每张价格是0.87元，在这以前，李明已买贺卡的张数为（）
A、7张；
B、8张；
C、9张；
D、10张
2、有几个小孩在分梨，每个小孩分3个还差1个；若每个小孩分2个，则多2个，小孩与梨各有（）
A、4个，8个；
B、3个，8个；
C、4个，7个；
D、3个，7个
3、已知向本埠邮寄一封平信需0.6元，向外埠邮寄一封平信需0.8元，北方大学某班辅导员在假期里向本班同学发通知，共发平信52封，用去邮资38元，则该班本埠和外埠居住的各有（）
A、16人，36人；
B、36人，16人；
C、18人，34人；
D、34人，18人
（二）填空题
4、鸡兔同笼，鸡比兔多26只，共274条腿，则鸡有_______只，兔有______只。
5、学生问老师多少岁了，老师说：“我像你这么大的时候，你才4岁，你到我这么大的时候，我就58岁了。”老师是_____岁，学生是______岁。
6、兄弟两人，弟弟5年后的年龄与哥哥5年前的年龄相等，3年后兄弟两人的年龄和是他们年龄值差的3倍，则兄弟两人今年的岁数分别是_____________。
7、一个长方形的长增加6厘米，宽减少2厘米，则面积增加8平方厘米；若长减少6厘米，
宽增加6厘米，则面积不变，原来长方形的周长为_________。
8、松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天只能采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天采14个，则它这几天中，晴天有____天，雨天有______天。
9、球迷协会买了50张足球票，共用4000元，其中特级票每张100元，甲级票每张50元，则特级票有______张，甲级票有______张。
（三）解答题
10、一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，如0立方米木料可作方桌桌面50个，或制5桌腿300条，现有5立方米木料，请你设计一下，用多少木料做桌面，多少木料做桌腿，恰好配成方桌多少张？
11、某工厂在规定天数内生产一批抽水机支援抗旱，如每天生产25台，那么差50台不能完成任务；如每天生产28台，那么可以超额40台完成任务，问这批抽水机有多少台，规定几天完成任务？
12、俄国诗人莱蒙托夫是19世纪人，确切地说，他生于19世纪也死于19世纪，根据下述条件，请你想一想，他生于哪一年，死于哪一年？
（1）表示他诞辰之年的4个阿拉伯数字，与表示他逝世之年的4个阿拉伯数字相同，但它们的排列顺序不同；
（2）表示他诞辰之年的4个阿拉伯数字之和为14；
（3）表示他逝世之年的那个4位阿拉伯数字的十位数是个位数的4倍。
13、100份面包由5个人分，第2个人比第1个人多若干份，第3个人比第2个人也多得那么些，第4个人比第3个人也多得那么些，第5 个人比第4个人也多得那么些，还知道，
前两个人所得的和是其余3个人所得总数的1
7
，请你算一算5个人各得多少？
7.5 增收节支·较复杂的二元一次方程组的应用
一、知识点：1、注意题中关键词语的含义
（1）利润=总产值—总支出；（2）利润率=
-
100%
?
总产值总支出
总产值
（3）理解“增加了”、“减少了”、“增加到”、“减少到”、“翻一番”、“提前”等关键词的意义。
2、销售问题中的等量关系
售价=进价+利润=进价+进价×利润率=进价×（1+利润率）=进价×（1+提高率）×打折率利润=售价—进价
3、增长率问题中的等量关系
若设原来为x，今年增加了15%，则今年可表示为（1+15%）x，设今年为y，比去年增加了
15%，则去年为
y 115% +
.
4、浓度问题中的等量关系
混合物×浓度=纯物质（溶液×浓度=溶质
常见的液体的浓度问题一般分为三类：（1）稀释问题；（2）加浓问题；（3）配制问题
二、典型实例
例1、小明家去年积余5000元，估计今年可积余9500元，并且今年收入比去年高15%，支出比去年低10%，求去年的收入与支出各是多少？
例2、某出租车公司有出租车100辆，平均每天每车消耗的汽油费为80元，为了减少环境污染，市场推出一种叫“CNG”的改烧汽油为烧天然气的装置，每辆车的改装费用为4000元，公司第一次改装了部分车辆后核算，改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天
燃料费用的3
20
，公司第二次再改装同样多的车辆后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩
下未改装车辆每天燃料费用的2
5
。
（1）公司共改装了多少辆出租车？改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了百分之几？
（2）若公司一次性将全部出租车改装，多少天后就可以从节省的燃料费中收回成本？
例3、某商店出售A，B，C三种商品，一月份C商品的销售金额占商店总销售金额的60%，预计二月份A，B商品的销售金额减少5%，要使二月份商店总销售金额比一月份的总销售金额增长10%，那么必须使C商品的销售金额比一月份增长多少？
例4、某工厂用甲种酒精10升，乙种酒精14升，混合后浓度为60%，用甲种酒精30升，乙种酒精10升，混合后浓度为70%，求两种酒精的浓度。
例5、已知甲、乙两种商品原单价的和为300元，因市场变化，甲商品涨价10%，乙商品降价14%，调价后，这两种商品单价的和比原来提高2%，求甲、乙两种商品原来的单价各是多少？
例6、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同，安全检查中，对4道门进行了测试；当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生。
（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？
（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由。
三、练习：
（一）选择题
1、22名工人按规定定额完成1400件产品，三级工每人定额200件，二级工每人定额50件，若这22名工人中只有三级工和二级工，则（）
A、三级工人3人，二级工人19人；
B、三级工人2人，二级工人20人；
C、三级工人5人，二级工人17人；
D、三级工人4人，二级工人18人；
2、一张试卷有25道题，做对1道题得4分，做错1道扣1分，小明做了全部试题得了70分，则小明做错了（）道题。
A、19；
B、16；
C、10；
D、6；
3、振华小学有一批书捐给贫困地区的高村小学二年级学生阅读，如果每个学生6本还差6本，如果每个学生5本则多5本，那么高村小学二年级共有学生（）名。
A、8；
B、10；
C、11；
D、22
（二）填空题
4、一只轮船顺流航行，每小时20千米；逆流航行，每小时16千米，则轮船的静水速度为______，水流速度为________。
5、现有三种合金：第一种含铜60%，含锰40%；第二种含锰10%，含镍90%；第三种含铜20%，含锰50%和含镍30%；现各取适当质量的三种合金，组成一块含镍45%的新合金，质量为1千克，若新合金中第一种合金的质量是x千克，第二种合金的质量是y千克，则用x表示y的表达式是______________________。
6、一次数学测试，初二（1）班得80分和90分的同学共12人，已知这12人的总成绩是1010分，则得80分和90分的同学各有_______人、________人。
7、某公司向工商银行申请了甲、乙两种贷款共计68万元，每年需付利息8.42万元，甲、乙两种贷款的年利率分别为12%和13%，则甲、乙两种贷款分别申请了_______、__________。
8、某宾馆有3人房间和2人房间共20间，总共可住旅客48人，问3人房间和2人房间各有________间、_______间。
9、某储户存入银行甲。乙两种利息的存款，共计2万元，甲种存款的年利率是3%，一种存款的年利率是1.5%，该储户一年共得利息525元，则甲、乙两种存款各是__________元。
(三)、解答题
10、甲、乙两杯中各有糖水90克，如果从甲杯倒入乙杯10克糖水，则乙杯糖水的浓度为11%；如果从乙杯倒入甲杯10克糖水，则甲杯糖水的浓度为19%，求甲、乙两杯糖水的浓度。
11、为了保护生态平衡，绿化环境，国家大力鼓励“退耕还林、还草”，其补偿政策如表1；丹江口库区某农民积极响应我市为配合国家“南水北调”工程提出的“一江清水送北京”的号召，承包了一片山坡地种树种草，所得到国家的补偿如表2，问该农户种树、种草各多少亩？
表1 种树、种草每亩每年补粮、补钱情况表
12、某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元；按定价的8.5折销售该商品8件与将定价降低35元销售该商品12件所获利润相等，求该商品进价、定价分别是多少？
13、将浓度为4%的盐水蒸发一些水分后，变成10%的盐水，再加进300克4%的盐水，混合变成为6.4%的盐水，问最初的盐水有多少克？
14、大汽车能坐54人，小汽车能坐36人，现在师生378人去春游，问要租大。小汽车各几辆，才能使每个人有座位且每辆汽车都恰好坐满？
第八章 二元一次方程组知识点及练习题及答案
第八章 二元一次方程组知识点及练习题及答案 一、选择题 1．已知1, 2 x y =??=?是二元一次方程24x ay +=的一组解，则a 的值为（ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1- 2．某小区准备新建 50 个停车位，已知新建 1 个地上停车位和 1 个地下停车位共需 0.6万元；新建 3 个地上停车位和 2 个地下停车位共需 1.3 万元，求该小区新建 1 个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？设新建 1 个地上停车位需要 x 万元，新建 1 个地下停车位需 y 万元，列二元一次方程组得（ ） A ．632 1.3x y x y +=??+=? B ．6 23 1.3x y x y +=??+=? C ．0.6 32 1.3x y x y +=??+=? D ．6 3213x y x y +=??+=? 3．已知2 2x y =-??=? 是方程kx +2y ＝﹣2的解，则k 的值为（ ） A ．﹣3 B ．3 C ．5 D ．﹣5 4．已知关于x 、y 的二元一次方程组356 310 x y x ky +=?? +=?给出下列结论：①当5k =时，此方程 组无解；②若此方程组的解也是方程61516x y +=的解，则10k =；③无论整数k 取何值，此方程组一定无整数解(x 、y 均为整数)，其中正确的是( ) A ．①②③ B ．①③ C ．②③ D ．①② 5．已知10a b +=，6a b -=，则22a b -的值是（ ） A ．12 B ．60 C ．60- D ．12- 6．端午节前夕，某超市用1680元购进A ，B 两种商品共60，其中A 型商品每件24元，B 型商品每件36元.设购买A 型商品x 件、B 型商品y 件，依题意列方程组正确的是( ) A ．6036241680x y x y +=??+=? B ．60 24361680x y x y +=??+=? C ．3624601680x y x y +=??+=? D ．2436601680x y x y +=??+=? 7．甲、乙两人同求方程ax -by =7的整数解，甲正确地求出一个解为1 1x y =??=-? ，乙把ax -by =7看成ax -by =1，求得一个解为12x y =??=?，则a ，b 的值分别为( ) A ．2 5a b =??=? B ．5 2a b =??=? C ．35a b =??=? D ．53a b =??=?
二元一次方程组的概念及解法
二元一次方程组的概念及解法 知识点梳理 知识点一二元一次方程组的概念 含有两个未知数，并且含有未知数的相的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。 把两个二元一次方程合在一起就组成了一个方程组，像这样的方程组叫做二元一次方程组。 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 典例分析 例1、在方程组、、、、 、中，是二元一次方程组的有个； 例2、已知二元一次方程2x－y＝1，若x＝2，则y＝;若y＝0，则x＝． 变式1：方程x＋y＝2的正整数解是__________. 变式2、在方程3x－ay＝8中，如果是它的一个解，那 么a的值为? ? ? = = 1 3 y x
例3 方程组???=+=-5 21 y x y x 的解是（ ） A 、 ???=-=21y x B 、???-==12 y x C 、???==21y x D 、???==12y x 例4、有一个两位数，它的两个数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，设原两位数的个位数字为，十位数字为，则用代数式表示原两位数为 ，根据题意得方程组 。 例5、我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十头，下有九十四足。问鸡兔各几何。”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？使找出问题的解。 知识点二 解二元一次方程 消元解二元一次方程???代入消元法加减消元法 典例分析 例1、 把方程2x －y －5＝0化成含y 的代数式表示x 的形式：x ＝ ． 化成含x 的代数式表示y 的形式：y = ．
二元一次方程组练习题(含答案)
二元一次方程组练习题 一、选择题： 1．下列方程中，是二元一次方程的是（） A．3x－2y=4z B．6xy+9=0 C．1 x +4y=6 D．4x= 2 4 y- 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（） A． 2 2 8 423119 (23754624) x y x y a b x B C D x y b c y x x y += +=-=?? = ?? ????+=-==-=???? 3．二元一次方程5a－11b=21 （） A．有且只有一解B．有无数解C．无解D．有且只有两解4．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（） A． 3333 ... 2422 x x x x B C D y y y y ==-==-???? ????===-=-???? 5．若│x－2│+（3y+2）2=0，则的值是（） A．－1 B．－2 C．－3 D．3 2 6．方程组 43 235 x y k x y -= ? ? += ? 的解与x与y的值相等，则k等于（） 7．下列各式，属于二元一次方程的个数有（） ①xy+2x－y=7；②4x+1=x－y；③1 x +y=5；④x=y；⑤x2－y2=2 ⑥6x－2y ⑦x+y+z=1 ⑧y（y－1）=2y2－y2+x A．1 B．2 C．3 D．4 8．某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，?则下面所列的方程组中符合题意的有（） A． 246246216246 ... 22222222 x y x y x y x y B C D y x x y y x y x +=+=+=+= ???? ????=-=+=+=+???? 二、填空题
数学第八章 二元一次方程组知识归纳总结及答案
数学第八章 二元一次方程组知识归纳总结及答案 一、选择题 1．某校运动员分组训练，若每组7人，则余3人:若每组8人，则缺5人.设运动员人数为x 人，组数为y 组，则可列方程为（ ） A ．7385y x y x =+??=+? B ．73 85y x y x =+??+=? C ．73 85y x y x =-??+=? D ．73 85y x y x =-??=+? 2．某小区准备新建 50 个停车位，已知新建 1 个地上停车位和 1 个地下停车位共需 0.6万元；新建 3 个地上停车位和 2 个地下停车位共需 1.3 万元，求该小区新建 1 个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？设新建 1 个地上停车位需要 x 万元，新建 1 个地下停车位需 y 万元，列二元一次方程组得（ ） A ．6 32 1.3 x y x y +=?? +=? B ．6 23 1.3 x y x y +=?? +=? C ．0.6 32 1.3 x y x y +=?? +=? D ．6 3213x y x y +=?? +=? 3．方程组345 3572x y x y +=?? ?-+=-?? 的解是（ ） A ．2 0.25 x y =?? =-? B ． 4.5 3 x y =-?? =? C ．1 0.5 x y =-?? =-? D ．1 0.5 x y =?? =? 4．若二元一次方程组, 3x y a x y a -=??+=?的解是二元一次方程3570x y --=的一个解，则a 为 （ ） A ．3 B ．5 C ．7 D ．9 5．在关于x 、y 的二元一次方程组321 x y a x y +=??-=?中，若232x y +=，则a 的值为（ ） A ．1 B ．-3 C ．3 D ．4 6．已知且x ＋y ＝3，则z 的值为( ) A ．9 B ．－3 C ．12 D ．不确定 7．关于x ，y 的方程组2318517ax y x by +=??-+=?（其中a ，b 是常数）的解为3 4x y =??=?，则方程组 2()3()18 ()5()17a x y x y x y b x y ++-=?? +--=-? 的解为（ ） A ．34x y =??=? B ．7 1x y =??=-? C ． 3.5 0.5x y =??=-? D ． 3.5 0.5x y =??=? 8．两位同学在解方程组时，甲同学由278ax by x cx y +=??-=? 正确地解出32x y =??=-?，乙同学因把C
解二元一次方程组的方法技巧
???=+=-164354y x y x 解二元一次方程组的方法技巧 教学目标 知识与技能：会根据方程组的具体情况选择适合的消元法。 过程与方法：通过对具体的二元一次方程组的观察、分析，选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析能力。 情感态度与价值观：通过学生比较几种解法的差别与联系，体会透过现象抓住事物本质的这一方法。 教学重点：选用合适的方法解二元一次方程组。 教学难点：会对一些特殊的方程组灵活地选择特殊的解法。 教学过程： 一、复习导入，初步认识 1、 解二元一次方程组的基本思想是什么？ 2、 消元的方法有哪些？ 3、不解方程组，判断下列方程组用什么方法解比较简便，理由是什么？你是怎样实现消元的? ⑴ ???=+=924y x y x ⑵ （3） ⑷ 归纳总结：解二元一次方程组什么情况下用代入法简便？什么情况下用加减法简便？ 二、思考探索，获取新知 1、学生自主学习代入消元法和加减消元法解二元一次方程组 ???=-=+6 341953y x y x ?-=?+=?33234x y x y
???=+=-16 4354y x y x （1） （2）???=+=-,1225423y x y x 2、 合作探究：几种解二元一次方程组的特殊方法。 （一）整体代入法 分析:方程①及②中均含有2x + 3y 。可用整体思想解。由①得2x+3y= 2代入②而求出y 。 学生练习：用整体代入消元法解下列方程组。 （二）换元法 学生练习： （三）化繁为简法
学生练习 三、当课练习 四、课堂小结 1、解二元一次方程组的基本思想是什么？ 2、本节课我们学习了哪些解二元一次方程组的方法？ 五、课后作业布置 ()2018x-2017y=4040 12017x-2018y=4030???()()2x+y -2y=03222x+y -5=7y ?????()x y =3363x+y=-15?????
人教版初中数学第八章二元一次方程组知识点
第八章 二元一次方程组 8.1 二元一次方程组 1、 二元一次方程的定义：每一个方程都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做 二元一次方程. 2、 二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 3、 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元 一次方程有无数个解. 4、 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 1．方程组23x y x y +=+=???■的解为2x y ==???■ ，则被遮盖的两个数分别是（ B ） A ．1，2 B ．5，1 C ．2，-1 D ．-1，9 解：把x=2代入x+y=3中，得：y=1， 把x=2，y=1代入得：2x+y=4+1=5， 则被遮住得两个数分别为5，1， 2．下列方程是二元一次方程的是（ D ） A ． 2132254 y y --=- B ．2x －4y=5 C.xy=x+y D.x+(3－2y )=5 解：二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．A 、是一元一次方程，故A 错误；B 、是二元二次方程，故B 错误；C 、是二元二次方程，故C 错误；D 、是二元一次方程，故D 正确； 3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ D ） A ．12xy x y =??-=? B ．52313x y y x -=???-=?? C ．20132x z x y -=???-=?? D ．5723 x x y =???-=?? 解：A 、第一个方程值的xy 是二次的，故该选项错误； B 、1x 是分式，故该选项错误； C 、含有3个未知数，故该选项错误； D 、符合二元一次方程组的定义； 4．以方程组? ??+-=+=11x y x y 的解为坐标的点（x ，y ）位于（ C ） A ．x 轴的正半轴 B ．x 轴的负半轴 C ．y 轴的正半轴 D ．y 轴的负半轴 解：解方程组?? ?+-=+=11x y x y 可得???==10y x ，所以以方程组???+-=+=1 1x y x y 的解为坐标的点为（0，1），这个点的坐标位于y 轴的正半轴. 5．已知2-=x ，y=3是二元一次方程5ax y +=的一个解，则a = -1 . 解：把x=-2，y=3代入方程5ax y +=可得-2a+3=5，解得a=-1.
(完整版)二元一次方程组题型总结
二元一次方程组题型总结 类型一：二元一次方程的概念及求解 例（1）．已知（a －2）x －by |a |－1 ＝5是关于x 、y 的二元一次方程，则a ＝______，b ＝_____． （2）．二元一次方程3x ＋2y ＝15的正整数解为_______________． 类型二：二元一次方程组的求解 例（3）．若|2a ＋3b －7|与（2a ＋5b －1）2 互为相反数，则a ＝______，b ＝______． （4）．2x －3y ＝4x －y ＝5的解为_______________． 类型三：已知方程组的解，而求待定系数。 例（5）．已知???==1 2y x －是方程组???=++=-274123ny x y mx 的解，则m 2－n 2 的值为_________． （6）．若满足方程组?? ?=-+=-6 )12(423y k kx y x 的x 、y 的值相等，则k ＝_______． 练习：若方程组?? ?=++=-10 )1(23 2y k kx y x 的解互为相反数，则k 的值为 。 若方程组?????=+=+52243y b ax y x 与?????=-=-524 3y x by x a 有相同的解，则a = ，b= 。 类型四：涉及三个未知数的方程，求出相关量。设“比例系数”是解有关数量 比的问题的常用方法． 例（7）．已知2a ＝3b ＝4c ，且a ＋b －c ＝12 1 ，则a ＝_______，b ＝_______，c ＝_______． （8）．解方程组?? ???=+=+=+63432 3x z z y y x ，得x ＝______，y ＝______，z ＝______． 练习：若2a ＋5b ＋4c ＝0，3a ＋b －7c ＝0，则a ＋b －c = 。 由方程组? ? ?=+-=+-04320 32z y x z y x 可得，x ∶y ∶z 是（ ） A 、1∶2∶1 B 、1∶（－2）∶（－1） C 、1∶（－2）∶1 D 、1∶2∶（－1） 说明：解方程组时，可用一个未知数的代数式表示另外两个未知数，再根据比例的性质求解． 当方程组未知数的个数多于方程的个数时，把其中一个未知数看作已知常数来解方程组。 类型五：列方程组求待定字母系数是常用的解题方法． 例（9）．若???-==20y x ，?? ? ??==311 y x 都是关于x 、y 的方程|a |x ＋by ＝6的解，则a ＋b 的值为 （10）．关于x ，y 的二元一次方程ax ＋b ＝y 的两个解是?? ?-==11 y x ，???==1 2y x ，则这个二
第八章二元一次方程组及答案
第八章二元一次方程组一、选择题 1．方程2x－1 y =0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y－2x=0，x2－x+1=0中，二元一次 方程的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．关于x，y的二元一次方程组 5 9 x y k x y k += ? ? -= ? 的解也是二元一次方程2x+3y=6的 解，则k的值是（） A．k=－3 4 B．k= 3 4 C．k= 4 3 D．k=－ 4 3 3．方程3x+y=7的正整数解的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．已知x，y满足方程组 4 5 x m y m += ? ? -= ? ，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（） A．x+y=1 B．x+y=－1 C．x+y=9 D．x+y=9 5．如果│x+y－1│和2（2x+y－3）2互为相反数，那么x，y的值为（） A． 1122 ... 2211 x x x x B C D y y y y ==-==-???? ????==-=-=-???? 6．若 2,1 17 x ax by y bx by =-+= ?? ?? =+= ?? 是方程组的解，则（a+b）·（a－b）的值为（） A．－35 3 B． 35 3 C．－16 D．16 二、填空题（每小题3分，共24分） 7．若2x2a－5b+y a－3b=0是二元一次方程，则a=______，b=______． 8．a－b=2，a－c=1 2 ，则（b－c）3－3（b－c）+ 9 4 =________． 9．已知 32 111 x x y y ==- ?? ?? == ?? 和都是ax+by=7的解，则a=_______，b=______． 10．若2x5a y b+4与－x1－2b y2a是同类项，则b=________．11．方程mx－2y=x+5是二元一次方程时，则m________． 12．方程组 23 32 s t s t +- ==4的解为________． 三、解答题13．解方程组
二元一次方程解法大全
二元一次方程解法大全 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m. 例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= （2）解：9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=
当b^2-4ac≥0时，x+=± ∴x=(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2是X的平方） 解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2 将二次项系数化为1：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2 配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2=. 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac ≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。 例3．用公式法解方程2x2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2,b=-8,c=5 b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) ∴原方程的解为x1=,x2=. 4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程：
二元一次方程组(培优)精编版
二元一次方程组培优讲义 类型一：二元一次方程的概念及求解 例（1）．已知（a －2）x －by |a |－1＝5是关于x 、y 的二元一次方程，则a ______，b _____． 如果25mx y x -=+是关于x 、y 的二元一次方程，则m _____． （2）．二元一次方程3x ＋2y ＝15的正整数解为_______________． 类型二：二元一次方程组的求解 例（3）．若|2a ＋3b －7|与（2a ＋5b －1）2 互为相反数，则a ＝______，b ＝______． （4）．2x －3y ＝4x －y ＝5的解为_______________． 类型三：已知方程组的解，而求待定系数 例（5）．已知???==1 2y x －是方程组???=++=-274123ny x y mx 的解，则m 2－n 2的值为_________． （6）．若满足方程组???=-+=-6 )12(423y k kx y x 的x 、y 的值相等，则k ＝_______． 练习：若方程组? ??=++=-10)1(232y k kx y x 的解互为相反数，则k 的值为 。 若方程组?????=+=+52243y b ax y x 与?????=-=-5 243y x by x a 有相同的解，则a = ，b= 。 类型四：涉及三个未知数的方程，求出相关量。设“比例系数”是解有关数量比的问题的常用方法． 例（7）．已知2a ＝3b ＝4c ，且a ＋b －c ＝12 1，则a ＝_______，b ＝_______，c ＝_______． （8）．解方程组?? ???=+=+=+63432 3x z z y y x ，得x ＝______，y ＝______，z ＝______． 练习：若450x y -=，那么125125x y x y -+=_________． 由方程组? ??=+-=+-0432032z y x z y x 可得，x ∶y ∶z 是（ ） A 、1∶2∶1 B 、1∶（－2）∶（－1） C 、1∶（－2）∶1 D 、1∶2∶（－1） 说明：解方程组时，可用一个未知数的代数式表示另外两个未知数，再根据比例的性质求解． 当方程组未知数的个数多于方程的个数时，把其中一个未知数看作已知常数来解方程组。
1认识二元一次方程组教学设计.doc
第五章二元一次方程组 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在七年级上册已学过一元一次方程，学生已经具备列一元一次方程解决实际问题的经验基础，为本节的学习已做好知识储备，估计学生应有能力经过自主探索和交流列出二元一次方程组，解决简单的实际问题. 学生活动经验基础：本节所涉及的实际问题包括：老牛、小马驮包裹问题、公园的门票问题等，这些问题均为全体学生所熟悉的情境，容易被学生接受和理解，从而也容易建立相应的数学模型来解题. 二、教学任务分析 《谁的包裹多》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第五章《二元一次方程组》的第一节，本节内容安排1个课时完成?具体内容是：让学生通过对实际问题的分析，体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型；同时了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解? 二元一次方程是继一元一次方程后，又一个体现符号表示思想的内容，它是刻画现实世界的一个有效数学模型，在数学上有着广泛的应用，同时也是学习物理、化学等其他学科知识的一个重要基础.它既是一元一次方程知识的延伸和拓广，又是今后学习一般线性方程组及平面解析几何等知识的基础，具有承上启下 的作用.列方程（组）解应用题是联系实际的重要方面，突显了方程作为一种数学模型的重要特征，这既是培养学生逻辑思维能力的良好载体，也是培养学生应用意识和实践能力的良好题材? 基于学生对一元一次方程理解的基础上，教科书从实际问题出发，通过引导学生经历自主探索和合作交流的活动，学习二元一次方程、二元一次方程组及其解等基本概念.在学习过程中，要突出强调建模思想，展现方程是刻画现实世界的有效数学模型，是贯穿方程与方程组的一条主线?为此，本节课的教学目标是： （1）理解二元一次方程（组）及其解的概念，能判别一组数是否是二元一
二元一次方程组精选(内附)
二元一次方程组解法练习题精选 一．解答题（共16小题） 1．求适合的x，y的值． 2．解下列方程组 （1） （2） （3）（4）．3．解方程组： 4．解方程组：
5．解方程组： 6．已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b 的解有和． （1）求k，b的值． （2）当x=2时，y的值． （3）当x为何值时，y=3？ 7．解方程组： （1）；（2）．8．解方程组： 9．解方程组：
10．解下列方程组： （1） （2） 11．解方程组：（1）（2） 12．解二元一次方程组：（1）； （2） ．
13．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a ，而得解为，乙看错了方程组 中的b ，而得解为． （1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？ （2）求出原方程组的正确解． 14． 15．解下列方程组： （1）（2）．16．解下列方程组：（1）（2）
参考答案 一、1，B ；2，B ；3，C ；4，D ；5，B ；6，C ；7，B ；8，C ；9，C ；10，D . 二、11，ax 2+bx +c 、≠0、常数；12，x ＝1；13，y ＝2x 2+1；14，答案不唯一.如：y ＝x 2+2x ； 15，C ＞4的任何整数数；16， 1 12 ；17，二；18，x ＝3、1＜x ＜5. 三、19， 4 3 ；20，（1）设这个抛物线的解析式为c bx ax y ++=2由已知，抛物线过)0,2(-A ，B （1，0）， C （2，8）三点，得??? ??=++=++=+-82400 24c b a c b a c b a 解这个方程组，得 4,2,2-===c b a ∴ 所求抛物线的解析式为y ＝ 2x 2+2x －4.（2）y ＝2x 2+2x －4＝2(x 2+x －2)＝2(x + 12 )2 －92；∴ 该抛物线的顶点坐标为)2 9,21(--. 21，（1）y ＝－x 2+4x ＝－(x 2－4x +4－4)＝－(x －2)2+4，所以对称轴为：x ＝2，顶点坐标：(2，4).（2）y ＝0，－x 2+4x ＝0，即x (x －4)＝0，所以x 1＝0，x 2＝4，所以图象与x 轴的交点坐标为：(0，0)与(4，0). 22，（1）因为AD ＝EF ＝BC ＝x m ，所以AB ＝18－3x .所以水池的总容积为1.5x (18－3x )＝36，即x 2－6x +8＝0，解得x 1＝2，x 2＝4，所以x 应为2或4.（2）由（1）可知V 与x 的函数关系式为V ＝1.5x (18－3x )＝－4.5x 2+27x ，且x 的取值范围是：0＜x ＜6.（3）V ＝－4.5x 2+27x ＝－92(x －3)2+812 .所以当x ＝3时，V 有最大值 81 2 .即若使水池有总容积最大，x 应为3，最大容积为40.5m 3. 23，答案：①由题意得y 与x 之间的函数关系式 30y x =+（1160x ≤≤，且x 整数） ②由题意得P 与x 之间的函数关系式 二元一次方程组解法练习题精选（含答案） 参考答案与试题解析 一．解答题（共16小题） 1．求适合 的x ，y 的值． 考点： 解二元一次方程组． 分析： 先把两方程变形（去分母），得到一组新的方程，然后在用加减消元法消去未知数x ， 求出y 的值，继而求出x 的值． 解答： 解：由题意得： ， 由（1）×2得：3x ﹣2y=2（3）， 由（2）×3得：6x+y=3（4）， （3）×2得：6x ﹣4y=4（5）， （5）﹣（4）得：y=﹣， 把y 的值代入（3）得：x= ， ∴． 点评： 本题考查了二元一次方程组的解法，主要运用了加减消元法和代入法． 2．解下列方程组 （1） （2） （3） （4）．
第八章二元一次方程组练习题及答案
第八章 二元一次方程组 §8.1二元一次方程组 一、填空题 1、二元一次方程4x-3y=12，当x=0，1，2，3时，y=____ __。 2、在x+3y=3中，若用x 表示y ，则y=__ ___，用y 表示x ，则x=_ _____。 3、已知方程(k 2-1)x 2+(k+1)x+(k-7)y=k+2，当k=______时，方程为一元一次方程；当k=______时，方程为二元一次方程。 4、对二元一次方程2(5-x)-3(y-2)=10，当x=0时，则y=___ ___；当y=0时，则x=__ ____。 5、方程2x+y=5的正整数解是___ ___。 6、若(4x-3)2+|2y+1|=0，则x+2=_____ _。 7、方程组???==+b xy a y x 的一个解为 ???==3 2y x ，那么这个方程组的另一个解是 。 8、若21=x 时，关于y x 、的二元一次方程组? ??=-=-212by x y ax 的解互为倒数，则=-b a 2 。 二、选择题 1、方程２ｘ－３ｙ＝５，ｘｙ＝3，33=+y x ，３ｘ－ｙ+２ｚ＝０，62=+y x 中是二元一次方程的有（ ）个。 Ａ、１ Ｂ、２ Ｃ、３ Ｄ、４ 2、方程2x+y=9在正整数范围内的解有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
3、与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是（ ） A 、10x+2y=4 B 、4x-y=7 C 、20x-4y=3 D 、15x-3y=6 4、若是m y x 25与2214-++n m n y x 同类项，则n m -2的值为 （ ） A 、1 B 、－1 C 、－3 D 、以上答案都不对 5、在方程(k 2-4)x 2+(2-3k)x+(k+1)y+3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k 值为（ ） A 、2 B 、-2 C 、2或-2 D 、以上答案都不对． 6、若???-==1 2y x 是二元一次方程组的解，则这个方程组是（ ） A 、?? ?=+=-5253y x y x B 、???=--=523x y x y C 、???=+=-152y x y x D 、???+==132y x y x 7、在方程3)(3)(2=--+x y y x 中，用含x 的代数式表示y ，则 （ ） A 、35-=x y B 、3--=x y C 、35+=x y D 、35--=x y 8、已知ｘ＝３－ｋ，ｙ＝ｋ＋２，则ｙ与ｘ的关系是（ ） Ａ、ｘ＋ｙ＝５ Ｂ、ｘ＋ｙ＝１ Ｃ、ｘ－ｙ＝１ Ｄ、ｙ＝ｘ－１ 9、下列说法正确的是（ ） Ａ、二元一次方程只有一个解 Ｂ、二元一次方程组有无数个解 Ｃ、二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解 Ｄ、三元一次方程组一定由三个三元一次方程组成 10、若方程组? ??=+=+16156653y x y x 的解也是方程３ｘ＋ｋｙ＝１０的解，则ｋ的值是（ ） Ａ、ｋ＝６ Ｂ、ｋ＝１０ Ｃ、ｋ＝９ Ｄ、ｋ＝101
七年级二元一次方程组知识点总结
组解的情况：①无解，例如：? x + y = 1 ， ? ；②有且只有一组解，例如：? x + y =1 ；③有无数组解，例如： ?2x +2y =6 ?x + y = 6 ?2x + y = 2 ? x + y =1 .】 ?2x +2y =2 ?3n -2=1 ? n = 1 例 4、若 ?x = 2 是方程组 ? 2x - 3m = 1 的解，求 m 、n 的值. ?nx - my = -5 解：∵ ?x = 2 是方程组 ? 2x - 3m = 1 的解 ∴ ?? 解得 ? m = 1 ?2n -3m =-5 ? y = 3 ?nx - my = -5 ?n = -1 ? ? ? ? ?n = -1 人教版七年级下册第八章第一课时认识二元一次方程组 一、二元一次方程及其解 （1）二元一次方程：含有两个未知数（x 和 y ），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元 一次方程，它的一般形式是 ax + by = c(a ≠ 0, b ≠ 0) . （2）二元一次方程的解：一般地，能够使二元一次方程的左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的 解. 【二元一次方程有无数组解】 二、二元一次方程组及其解 （1）、二元一次方程组：含有两个未知数（x 和 y ），并且含有未知数的项的次数都是1，将这样的两个或几个一次 方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组. （2）、二元一次方程组的解：二元一次方程组中的几个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.【二元一次方程 ? x +y =1 ? ? ? 例 1、若方程 x 2m -1 + 5 y 3n -2 = 7 是关于 x 、y 的二元一次方程，求 m 、 n 的值. 解：∵方程 x 2m -1 + 5 y 3n -2 = 7 是关于 x 、y 的二元一次方程 ∴ ?2m -1=1解得 ?m = 1 ? ? 例 2、将方程10 - 2(3 - y) = 3(2 - x) 变形，用含有 x 的代数式表示 y . 解:去括号得，10 - 6 + 2 y = 6 - 3x 移项得， 2 y = 6 - 10 + 6 - 3x 合并同类项得， 2 y = 2 - 3x 系数化为 1 得， y = 2 - 3x 2 例 3、方程 x + 3 y = 10 在正整数范围内有哪几组解？ 解：有三组解，分别是 ? x = 1 , ? x = 4 , ? x = 7 ? y = 3 ? y = 2 ? y = 1 ? ? ? y = 3 4-3m =1 ? ? ? 例 5、已知 (m + 1)x n + (n - 1) y m = 1 是关于 x 、y 的二元一次方程，求 n m 的值. ?m + 1 ≠ 0 解：∵ (m + 1)x n + (n - 1) y m = 1 是关于 x 、y 的二元一次方程∴ ? m = 1 解得 ? m = 1 ? ? n -1 ≠ 0 ?? n = 1 ∴ n m = (-1)1 = -1
解二元一次方程组的两种特殊方法
解二元一次方程组的两种特殊方法 一、合并法。 一组方程组中两道方程不能直接用代入法或加减法消元，但是相加（或相减）后两未知数的系数相同，这时适合用合并法来解。 例 ?? ?=+=+② ①12 54223y x y x 解：（①+②）÷7 ③2=+y x ③×3－① ④2-=x ④代③ ④4 =y （1）???? ?-=+=+②①10 651056y x y x （2） ?????? ?=-=+② ①3 4 1526 411517 y x y x
（3）???? ?=+=+②①61 71379 137n m n m （4）????? -=+-=+② ①106 1911741119t s t s （5）???? ?-=++--=++-② （）（ ①）（）（ 42)20172018792517201720183922y x y x
二、换元法。 一组方程中两道方程都含有较复杂的相同代数式，用一半方法消元比较麻烦，这时可以用换元法。 例 ?????? ?-=+---=++-②① 23 25323 253x y y x x y y x 解： 考虑到两式中代数式3 25 3x y y x +-和相同，所以可以设 3 2,53x y n y x m +=-= 。原方程变为 ???? ? -=--=+④ ③2 2n m n m 解得 ???? ?=-=⑥⑤0 2 n m 即 ?? ?=+-=-?????? ?=+-=-⑩⑨⑧⑦0 210 303 2253y x y x x y y x 解⑨⑩组成的方程组得.4,2=-=y x ?? ?=-=∴4 2y x 方程组得解为 练习B ： ?????=++--=+--②①）（62 32)(4)(51x y y x y x y x ???????=++--=--+② ①）（3 142 3 3143)(42)(32x y y x y x y x
(完整版)二元一次方程组知识点整理
第五章 二元一次方程组 知识点整理 知识点1：二元一次方程（组）的定义 1、二元一次方程的概念 含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程 注意：1、(1)方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数. (2)含有未知数的项的次数都是1. (3)二元一次方程的左右两边都必须是等式. （三个条件完全满足的就是二元一次方程） 2.含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为1。 即若ax m +by n =c 是二元一次方程，则a ≠0，b ≠0且m=1,n=1 例1：已知（a －2）x －by |a|－1 ＝5是关于x 、y 的二元一次方程，则a ＝______，b ＝_____． 例2：下列方程为二元一次方程的有_________ ①y x =-52，②14=-x ，③2=xy ，④3=+y x ，⑤22 =-y x ，⑥22=-+y x xy ，⑦71 =+y x ⑧y x 23+，⑨1=++c b a 【巩固练习】 下列方程中是二元一次方程的是（ ） A ．3x-y 2 =0 B ．2x +1y =1 C ．3x -5 2 y=6 D ．4xy=3 2、二元一次方程组的概念 由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组 注意：①方程组中有且只有两个未知数。②方程组中含有未知数的项的次数为1。③方程组中每个方程均为整式方程。 例：下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A 、2284 23119 (23754624) x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=??=??? ? ? ?+=-==-=???? 【巩固练习】1，已知下列方程组：（1）32x y y =??=-?，（2）324x y y z +=??-=?，（3）1310x y x y ?+=?? ??-=?? ，（4）30x y x y +=??-=?， 其中属于二元一次方程组的个数为（ ） A ．1 B. 2 C ． 3 D ． 4 1、 若75331 3=+--m n m y x 是关于x 、y 二元一次方程，则m =_________，n =_________。 知识点2：二元一次方程组的解定义
认识二元一次方程组
一、教材分析 从教材作用上看，初中阶段方程问题共出现了三次：一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程。本节的概念教学作为多元方程的开端，为二元一次方程组的解法和应用打下基础，既是对一元一次方程内容的充实与提高，又为以后学习一次函数、一元一次不等式组和一般线性方程组做了必要的准备。 本节教材编写从现实问题出发，创设了具有趣味性的问题情境以引出二元一次方程的概念；利用“做一做”引发学生自主探究，从而体会二元一次方程解的无穷多性，同时便于学生观察出二元一次方程组的解的公共性，自然导出二元一次方程组解的概念。本节教材的最大特点便是将抽象的数学概念还原回具体的现实生活中，让学生从“现实的、有意义的、富有挑战性的”问题中去自主探索数学知识。 二、学情分析 1、知识基础：在七年级上册已学过一元一次方程，学生已经具备列一元一次方程解决实际问题的经验基础，为本节的学习已做好知识储备，估计学生应有能力经过自主探索和交流列出二元一次方程组，解决简单的实际问题。 2、生活经验：本节所涉及的实际问题包括：CBA篮球联赛的积分方法、公园的门票问题、三个和尚挑水问题等，学生中的体育爱好者会对球赛积分问题很熟悉，其余两个问题均为全体学生所熟悉的情境。 三、教学目标 知识技能：通过实例了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。 数学思考：学生通过对实际问题的分析，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。 解决问题：学生能初步具备利用数学知识分析解决实际问题的意识能力，同时发展交流合作、归纳概括能力。 情感与态度：初步认识数学与人类生活的密切联系，体会数学的趣味性。 四、教学活动 1、预学汇报、生活引入 问题一：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场扣1分。 四班打了5场比赛，共积了4分，问我班赢了几场，输了几场？
用适当的方法解二元一次方程组
选择适当的方法解二元一次方程组 教学目标: 1.会根据方程组的具体情况选择适合的消元法. 2.通过对具体的二元一次方程组的观察、分析，选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析能力. 3.通过学生比较两种解法的差别与联系，体会透过现象抓住事物本质的这一认识方法. 教学重点: 会根据方程组的具体情况选择合适的消元法. 教学难点: 在解题过程中进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想. 教学过程: 一、目标导学 1、解二元一次方程组的基本思想是什么？ 2、消元的方法有哪些？ 二、质疑自学 解下列方程组，并思考：什么情况下用代入法简单？什么情况下用加减法简单？
?-=? +=?25342x y x y ?+=? =?254x y x ?+=? +=?3286921x y x y ?-=? +=?332 34x y x y 总结规律： 代入法：当有一个未知数的系数为１或-１时 加减法：①当相同字母的未知数的系数相同时; ②当相同字母的未知数的系数相反时; ③当相同字母的未知数的系数不相同或相反时，如果同一个未知数的系数互为倍数 [设计意图] 既复习了旧知识，又引出了新课题，最后设置悬念，增强了学生的学习兴趣. 三、拓展拔高 问题1：下列方程组将如何求解？
分析:方程①及②中均含有2x + 3y。可用整体思想解。由①得2x+3y= 2代入②而求出y。 学生书写解题过程。 问题2: 分析: 本题含有相同的式子，可用换元法求解。 学生书写解题过程。 问题3: 学生分组讨论后解方程组，组代表演板。 问题4:
提示: 上述方程中两个未知数系数呈交叉形式，可作整体相加，整体相减而解出。 学生分组讨论后解方程组，组代表展示解题过程。 四、当堂检测 1、用适当的方法解二元一次方程组: ()()2x+y -2y=03 222x+y -5=7y ?? ??? ()2018x-2017y=404012017x-2018y=4030??? ()x y =3363x+y=-15????? 2、已知方程组
二元一次方程组的解法和应用一对一辅导讲义(可编辑修改word版)
教学目标 1、学会用方程描述问题中数量之间的相等关系； 2、通过对多种实际问题中数量关系的分析，使学生初步感受方程是刻画现实世界的有效模型； 3、能够根据具体问题中的数量关系，列出方程； 4、会解二元一次方程组。 重点、难点 理解题意，寻求数量间的等量关系并列出方程；列方程组。 考点及考试要求 考点 1：列方程 考点 2：解二元一次方程组 教 学 内 容 第一课时 二元一次方程组的解法和应用知识梳理 课前检测 1、若代数式 6x-5 的值与- 1 互为倒数,则 x 的值为( ) 4 A. 1 B.- 1 C. 7 D. 3 6 6 8 2 2、解下列方程 （1）3x+7=5x+11; （2）5(x-2)=4-(4-x) 3、若关于 x 的方程：3x 3n -2 +7=0 是一元一次方程,则 n= . 4、国家规定存款利息的纳税办法是：利息税=利息×20％，银行一年定期储蓄的年利率为 1.98％， 今年小刚取出一年到期的本金及利息时，缴纳了 3.96 元利息税，则小刚一年前存入银行的钱为 . 5、某种商品因换季准备打折出售，如果按定价七五折出售，则赔 25 元，而按定价的九折出售将赚 20 元。问这种商品的定价是多少？
知识梳理 1.二元一次方程组的有关概念 二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程． 二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集． 二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．2.二元一次方程组的解法 代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法． 加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法． 3.二元一次方程组的应用 对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤： （1）选定几个未知数； （2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组； （3）解方程组，得到方程组的解； （4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解． 第二课时二元一次方程组的解法和应用典型例题