2020年上海新高一新教材数学讲义-专题17 函数的基本性质(3)教师版

专题17 函数的基本性质（3）

（函数的最值）

知识梳理

一、函数的值域

1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；

2、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；

3、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；

4、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；

5、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结； 二、函数的最值

1、设函数()y f x =定义域为A ，则当x A ∈时总有()()0f x f x M ≤=，则称当0x x =时()f x 取最大值

M ；当x A ∈时总有()()1f x f x N ≥=，则称当1x x =时()f x 取最小值N ；

2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题；

3、闭区间的连续函数必有最值。 三、函数的值域的求法 1．直接观察 2．配方

3．基本不等式/耐克函数 4．判别式法

5．分离常数法/部分分式法

6．换元 7．数形结合 8．单调性 9．奇偶性(*)

例题解析

一、特殊方法

1．直接观察

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 【例1

】求函数3y =-

的值域；

【难度】★【答案】∵故函数的值域是： 【例2】求函数213y x x =-+-的值域

【难度】★★【答案】5,2??+∞????

2．配方法

主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题．

对于求二次函数()2

0y ax bx c a =++≠或可转化为形如()()()()2

0f x a g x bg x c a =++≠????的函数的

值域（最值）一类问题，我们常常可以通过配方法来进行求解； 【例3】求函数[]

2

25,1,2y x x x =-+∈-的值域； 【难度】★

【答案】将函数配方得：

∵

由二次函数的性质可知：当x=1时，

，当时，

0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴]3,[-∞4)1x (y 2

+-=]2,1[x -∈4

y min =1x -=8

y max =

故函数的值域是：[4，8]

【例4】求二次函数[]

2

42,1,4y x x x =-+-∈的值域； 【难度】★

【答案】函数的定义域为[]

1,4，22

42(2)2y x x x =-+-=--+，从而函数为对称轴为2x =的开口向下

的二次函数，2

min 44422y ∴=-+?-=-，max 2y =.即函数的值域为[]

2,2-.

注：学过指数函数和对数函数后应用的更为广泛一些。主要就是和二次函数有关的求值域问题用此方法。 【例5】求[]2,1,56)(2

4

-∈-+=x x x x f 的最大值

【难度】★★【答案】35

【例6】设07842

2

=+++x y x ，求2

2

y x +的最值 【难度】★★【答案】[]

1,49

【例7】求函数3

22

)(2--=

x x x f 的值域

【难度】★★【答案】()1,0,2??-∞-+∞ ?

?

?

【例8】求函数x x x f -+=

1)(的值域

【难度】★★★【答案】??

3．基本不等式

对形如（或可转化为）()b f x ax x =+，可利用2222

a b

a b ab +≥+≥求得最值。注意“一正、二定、三相等”；

【例9】求函数[]1

2,2,4y x x x

=+

∈的值域； 【难度】★【答案】933,24??

????

【例10】求函数2

y =

【难度】★【答案】定义域x R ∈，

2y =≥，满足取等号的条件。

【例11】求函数()2

112,0,2

y x x x ??=-∈????

的值域；

【难度】★★【答案】10,

27??????

【例12】求2

1)(x x x x f ++=

的值域；

【难度】★★【答案】11,3

?

?-???

?

【例13】求1

)(2

2++=

x a x x f 的值域；

【难度】★★【答案】2a <时，[

),a +∞；2a ≥时，)

?+∞?

4．判别式法

一般地，形如(

)(

)()22ax bx c

f x ax b f x f x dx ex f

++=+==++的函数，我

们可以将其转化为()()()()2

0,0p y x q y x r y p y ?+?+=≠的形式，再通过

()()()2

40q y p y r y ?=-?≥????求得y 的范围；但当函数为指定区间上的函数时，用判别式法求出y 的范

围后，应将端点值代回到原函数进行检验，避免发生错误；

【例14】求函数22

5851

x x y x ++=+的值域； 【难度】★★

【答案】22

5851

x x y x ++=+可化为2

(5)8(5)0y x x y --+-= 当50y -=即5y =时，方程在实数范围内有唯一解0x =；

当50y -≠即5y ≠时，x R ∈，0∴?≥，即()2

50

64450y y -≠???--≥??

解得19y ≤≤，∴函数的值域为[]

1,9 【例15】设函数2

2

ax b

y x +=+的值域为[]1,5-，求,a b ； 【难度】★★

【答案】化归二次方程有实数解，利用判别式构造值域的不等式，借助根与系数的关系布列方程组求解.

220yx ax y b -+-=

()22242840a y y b y by a ?=--=-++≥解集为[]1,5-

，解得8a b =±=

5．分离常数法/部分分式法

对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，因为分子分母都有变量，利用函数单调性确定其值域较困难，因此，我们可以采用凑配分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，而此时的分式，只有分母上含有变量，进而可利用函数性质确定其值域． 【例16】求函数125

x

y x -=

+的值域；

【难度】★★

【答案】()5x 227215x 2275x 2215

x 2x

1y ++-=+++-

=+-=

，因为05x 227≠+，则2

1y -≠， 故函数5x 2x 1y +-=的值域为????

??

-≠21y |y 。

【例17】（1）21

21

x y x -=+；（2）2221x x y x ++=+；

【难度】★★

【分析】对于分式函数一般采用分离常数的方法，先将分式函数变为基本函数，再通过基本函数的图像和性质求值域。分式函数分离之后可能变为：反比例型)0(≠=k x k y 函数；耐克函数)0(>+=a x

a

x y ；二次型函数)0()1()1

(2

≠++=a c x

b x

a y 等。

【解答】（1）11

22

1122121212≠+-=+-+=+-=

x x x x x y 所以原函数的值域是()()+∞∞-,11,

（2）因为1

1

11222+++=+++=x x x x x y

当1->x 时，01>+x ，所以2≥y 当且仅当0=x 时等号成立；

当1-

【例18】

求函数y =

【难度】★★【答案】()10,1,5??+∞?

???

【巩固训练】

1．求二次函数[]

2

63,2,7y x x x =-+∈的值域； 【难度】★【答案】[]

6,10-

2．求函数()112,0,2

y x x x ??=-∈????

的值域。

【难度】★【答案】10,8

??????

3．求函数2

2

11x x y x ++=+的值域．

【难度】★★

【答案】原函数化为关于x 的一元二次方程2

(1)10y x x y --+-=．

（1）当1y ≠时，x ∈R ，2

(1)4(1)(1)0y y ?=----≥，解得

1322

y ≤≤； （2）当1y =时，0x =，而13122??∈????，．故函数的值域为1322

??

????

，．

4．已知函数()()22201

x bx c

f x b x ++=<+的值域为[]1,3，求实数,b c 的值；

【难度】★★

【答案】变形有（y -2）x 2-bx+（y -c ）=0，⊿=b —4（y -2）（y -c ）=4y 2-4（2+c ）y+8c -b 2＞0， 其解集为[1，3]，解得b=-2，c=2，y=2时也适合.

5．求函数21

22

x y x x +=

++的值域；

【答案】先将此函数化成隐函数的形式得: 012)12(2

=-+-+y x y yx

这是一个关于x 的一元二次方程, 原函数有定义, 等价于此方程有解, 即方程的判别式

0)12(4)12(2≥---=?y y y ,解得: 2121≤≤-y . 故原函数的值域为: ],[21

21-∈y .

评注：①在解此类题的过程中要注意讨论二次项系数是否为零；②使用此法须在x ∈R 或仅有个别值（个别值是指使分母为0的值，处理方法为将它们代入方程求出相应的y 值，若在求出的值域中则应除去此y 值）

不能取的情况下，否则不能使用，如求函数22

11x x y x ++=+，(23)x ∈，的值域，则不能使用此方法．

6．求函数[]51

,3,142

x y x x -=

∈--+的值域。 【难度】★★【答案】[]57,3,1484y x x =

-∈--+，值域8,35??????

二、通用方法

6．换元法

有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，通过换元，我们常常可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．

【例19】求()f x x = 【难度】★

0t =≥，则2

1(0)x t t =-≥，2

22

155

()(1)1244

f x f t t t t ??=-=-+=-+≤ ???，

所以函数值域为5??-∞ ???

，4．

【例20】求函数2y x =+

【答案】设1t x =-则t ≥0

∴x =1-t 2代入得y =f (t )=2×(1-t 2)+4t =-2t 2+4t +2=-2(t -1)2+4 ∵t ≥0∴y ≤4∴所求值域为(],4-∞

7．数形结合

对于一些函数（如二次函数、分段函数等）的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图像来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程大大简化；

【例21】求函数2223(20)

()23(03)

x x x f x x x x ?+--≤

【难度】★

【答案】求分段函数的值域可作出它的图像，则其函数值的整体变化情况就一目了然了，从而可以快速地求出其值域． 解：作图像如图所示．

(1)(1)4f f -==-∵，(2)3f -=-，(3)0f =，(0)3f =-，

∴函数的最大值、最小值分别为0和4-，即函数的值域为[40]-，

．

【例22】求函数()

()

2

2

28y x x =-+

+的值域。

【难度】★★

【答案】

原函数可化简得：

上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），间的距离之和。 由上图可知，当点P 在线段AB 上时， 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时， 故所求函数的值域为：

【例23

】求函数y =

【难度】★★

【答案】原函数变形为()f x =4、宽为3的矩形ABCD ，再切割成12个单位正方形。设HK=x ,则EK=2x -,

KF=2x +

AK+KC ≥AC=5。 当A 、K 、C 三点共线时取等号。∴原函数的知域为｛y|y ≥5｝。

【例24】对,a b R ∈，记{},max ,,a a b a b b a b ≥?=?

，求函数(){}max 1,2,f x x x x R =+-∈的最小值。

【难度】★★【答案】3

2

【巩固训练】

7

．求函数3y x = 【难度】★

【答案】函数的定义域为2,5?

?-∞ ??

?

，令t =0t ≥，225t x -=

|8x ||2x |y ++-=)8(B -10|AB ||8x ||2x |y ==++-=10|AB ||8x ||2x |y =>++-=],10[+∞

2

2223563597

355355660

t y t t t t -????∴=?+=--+=--+ ? ?????。∴当56t =

56=也即47180x =

时，函数有最大值

9760；函数无最小值.∴函数的值域为97,60?

?-∞ ??

?.

点评：对于形如()f x ax b =+±a 、b 、c 、d 为常数，0ac ≠）的函数，我们可以利用换元法求其值域.

8．已知函数()f x 的值域为35,89??????

，求函数()

y f x =

【难度】★★

【答案】令21)(,)(212

t x f t x f -=

=-则，

21212122++-=+-=∴t t t t y 由?????≥-≤≤0

)(2195)(83

x f x f 得：21)(83≤≤x f 210≤≤∴t ，??????∈∴87,21y ∴所求值域为??????87,21。 评注：利用引入的新变量t ，使原函数消去了根号，转化成了关于t 的一元二次函数，使问题得以解决．用换元法求函数值域时，必须确定新变量的取值范围，它是新函数的定义域．

9．求函数y = 【难度】★★ 【答案】令

，则

（1）当时，

，当且仅当t=1，即时取等号，所以

（2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为： 注：先换元，后用不等式法

)

0t (2x t ≥+=1t 3x 2

+=+0t >21

t 1t 11t t y 2≤

+=+=

1x -=21y 0≤

????

?21,

10．求函数13y x x =-+-的值域. 【难度】★

【答案】此题首先是如何去掉绝对值,将其做成一个分段函数.

24,(,1],2,(1,3),24,[3,),x x y x x x -+∈-∞??=∈??-∈+∞?

在对应的区间内,

画出此函数的图像, 如图1所示, 易得出函数的值域为),2[+∞.

11．求函数(

)f x =

【难度】★★ 【答案】()225222++-++=

x x x x x f =

()()114122++-++x x =

()()()()2222101201-++--++x x ，

显然，求f(x)的最大值就是求点A(x,0)分别到B(-1,2),C(-1,1)的距离之差的最大值.如图1所示：

()()22201-++x =|AB|,()()22101-++x =|AC|,且|BC|=1.

显然f(x)=|AB|-|AC|≥|BC|=1当且仅当A,B,C 三点共线时取到等号，即当X=-1时()[]1max =∴x f .

三、函数性质

8．单调性

单调性法是求函数值域的常用方法，就是利用我们所学的基本初等函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域．

对于形如()f x ax b =++a 、b 、c 、d 为常数，0ac >）或者形如1

()()()

f x

g x g x =+而使用不等式法求值域却未能凑效的函数，我们往往可以考虑使用单调性法.

【例25】求函数()2

f x x R =

∈的值域；

【难度】★★

【答案】2

()f x =

=若用不等式法，=

即23x =-，显然这样的实数不存在，那么我们就不能使用不等式法来求解了.

为了简化函数，我们不妨先进行一下换元，t =（2t ≥），则函数就转化为1

y t t

=+，[

)2,t ∈+∞，

现在我们考查一下函数1y t t

=+的单调性：

函数在[)1,0-、(]0,1上都单调递减；而在(],1-∞-、[

)1,+∞上单调递增.

那么当[

)2,t ∈+∞，函数是单调递增函数，故当2t =2=也即0x =时，函数有最小值

[]min 5()(0)2f x f ==

，∴函数()f x 的值域为5,2??+∞????

.

【例26】求函数23y x =-+.

【难度】★

【答案】函数的定义域为[

)1,+∞，显然函数在其定义域上是单调递增的，∴当1x =时，函数有最小值min 1y =-，故函数的值域为[)1,-+∞.

【例27】求函数y =

【难度】★★

【答案】

y =

1x ≥y =

此当1x =时，max y =0y >，∴(

y ∈。

【例28】求函数()f x x =的值域

【难度】★★★ 【答案】[)[)1,01,-+∞

9．奇偶性(*)

适用于一些解析式非常复杂，但是经过整理后有一定规律的函数，或是抽象函数；在求函数最值的问题中，

可以利用奇偶性直接得出答案；

【例29】若()(),x g x ?都是奇函数，()()()2f x a x b g x ???=++在()0,+∞上有最大值5，则()f x 在

(),0-∞上有（）

A ．最小值5-

B ．最大值5-

C ．最小值1-

D ．最大值3-

【难度】★★ 【答案】C

【解析】)(x ?、()g x 为奇函数，∴)()(2)(x bg x a x f +=-?为奇函数． 又()f x 有最大值5， ∴－2在（0，＋∞）上有最大值3．

∴()f x －2在(,0)-∞上有最小值－3，∴()f x 在(,0)-∞上有最小值－1．答案为C ．

【巩固训练】

12．求函数y =

【难度】★★

【答案】此题可以看作v u y +=和63+=

x u ,x v --=8的复合函数, 显然函数63+=x u 为单调递

增函数, 易验证x v --=8亦是单调递增函数, 故函数x x y --+=

863也是单调递增函数. 而此函

数的定义域为]8,2[-.当2-=x 时, y 取得最小值10-.当8=x 时, y 取得最大值30.

故而原函数的值域为]30,10[-.

13．求函数y x =- 【难度】★★

【答案】易知定义域为1,2??-∞ ??

?，而y x =1,2

??-∞ ??

?

上均为增函数，

∴1122y ≤

=，故y ∈1,2?

?-∞ ??

?

14．函数()2

1

,1f x x x x

=+

≤-的值域是________________________. 【难度】★★

【答案】函数2

y x =和1

y x

=

在(1]-∞-，上都是减函数，所以min (1)0y f =-=，所以函数()f x 的值域为[0)+∞，．

15．设函数()32222x x x x

f x x x

+++=

+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=___________.

【难度】★★【答案】2

四、综合及应用

【例30】若关于x 的不等式232366++-≥x x x ax 在[]

2,10上恒成立，则a 的取值范围是_____. 【难度】★★★【答案】12a ≤

【例31】已知函数()[)22,1,x x a

f x x x

++=

∈+∞； （1）当1

2

a =

时，求函数()f x 的最小值；

（2）若对任意[

)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围；

【难度】★★【答案】错解分析：考生不易考虑把求a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决.

技巧与方法：解法一运用转化思想把()0f x >转化为关于x 的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得.

(1)解：当12a =

时，()122f x x x

=++ ∵()f x 在区间[)1,+∞上为增函数，∴()f x 在区间[

)1,+∞上的最小值为()7

12

f =. (2)解法一：在区间[

)1,+∞上，()0f x >恒成立?220x x a ++>恒成立. 设2

2y x x a =++,[

)1,x ∈+∞

∵()2

2

211y x x a x a =++=++-单调递增，

∴当1x =时，min 30y a =+>，故3a >- 解法二：()2a

f x x x

=+

+，[)1,x ∈+∞ 当0a ≥时，函数()f x 的值恒为正；

当0a <时，函数()f x 递增，故当1x =时，()min 3f x a =+ 当且仅当()min 30f x a =+>时，函数()0f x >恒成立，故3a >-

【例32】函数()()2,01

,0

x a x f x x a x x ?-≤?

=?++>??

，若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（ ） A ．[]1,2- B ．[]1,0- C ．[]

1,2 D ．[]

0,2

【难度】★★

【分析】由分段函数可得当x=0时，f （0）=a 2，由于f （0）是f （x ）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a 2≤x++a ，x ＞0恒成立，运用基本不等式，即可得到右边的最小值2+a ，解不等式a 2≤2+a ，即可得到a 的取值范围．

【解答】解：由于f （x ）=，

则当x=0时，f （0）=a 2， 由于f （0）是f （x ）的最小值， 则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0， 则有a 2≤x++a ，x ＞0恒成立，

由x+≥2=2，当且仅当x=1取最小值2，

则a 2≤2+a ，解得﹣1≤a≤2． 综上，a 的取值范围为[0，2]． 故选：D ．

【例33】某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为()2

152

R x x x =-(万元)()05x ≤≤,其中x 是产品售出的数量（单位：百台） （1）把利润表示为年产量的函数； （2）年产量多少时，企业所得的利润最大？ （3）年产量多少时，企业才不亏本？ 【难度】★★

【答案】(1）利润y 是指生产数量x 的产品售出后的总收入R (x )与其总成本C (x )之差，由题意，当x ≤5时，产品能全部售出，当x >5时，只能销售500台，所以

y =?????>-≤≤--=???

????

>+-?-?≤≤+--)1( 25.012)50(5.02

175.4)5)(25.05.0()52155()50)(25.05.0(215222x x x x x x x x x x x (2）在0≤x ≤5时，y =－

21x 2+4.75x －0.5,当x =－a

b

2=4.75(百台）时，y max =10.78125(万元），当x >5(百台）时，y ＜12－0.25×5=10.75(万元），

所以当生产475台时，利润最大.

(3）要使企业不亏本，即要求???≥->???

??≥-+≤≤025.012505.075.42

15

02x x x x x 或

解得5≥x ≥4.75－5625.21≈0.1(百台）或5＜x ＜48(百台）时，即企业年产量在10台到4800台之间时，企业不亏本.

【巩固训练】

16．设12,x x 为方程24420x mx m -++=的两个实根，当m =_________时，22

12x x +有最小值_________.

【难度】★★ 【答案】1-；2

1

17．已知函数()()2

426f x x ax a a R =-++∈

（1）若函数的值域为[

)0,+∞，求a 的值；

（2）若函数的值均为非负数，求函数()23g a a a =-+的值域。 【难度】★★

【答案】（1）()()2

2

2426f x x a a a =--++，即24260a a -++=，1a =-或

3

2

（2）31,2a ??∈-????，()2

23173224g a a a a ?

?=--+=-++ ??

?值域19,44??-????

18．对于函数()()()12,,f x f x h x ，如果存在实数,a b 使得()()()12h x a f x b f x =?+?，那么称()h x 为

()()12,f x f x 的生成函数.

（1）判断下面函数，()h x 是否分别为()()12,f x f x 的生成函数？并说明理由；

()21f x x x =-,()221f x x x =++,()21h x x x =-+;

（2）设()1f x x =；()21

f x x

=,1a =,1b =生成函数()h x ，若不等式()()2320h x h x t ++≤在[]1,2x ∈上有解，求实数t 的取值范围；

（3）设()()10f x x x =>,()()21

0f x x x

=

>,取0,0a b >>,生成函数()h x 图像的最低点为()2,8，若对于任意的正实数12,x x ，且121x x +=，试问是否存在最大的常熟m ，使()()12h x h x m ≥恒成立？如果存在，求出这个m 的值；如果不存在，请说明理由. 【难度】★★★

【答案】（1）不是；（2）95

4

t ≤-；（3）289m ≤

反思总结

1、函数值域的问题，也要先求定义域，或者题目给定的范围内求；然后根据解析式的特征选择合适的方法；

2、大多题目都需要各种方法综合运用，所以换元、配方、部分分式、单调性尤其要熟练掌握；

3、不等式的恒成立、方程的有解，本质上都是函数值域和最值的问题，灵活运用参变分离法；

课后练习

1、函数2

11

,2

y x x x =+

≤-的值域是（）

A.7,4??-∞- ???

B.7,4??-+∞????

C.2??+∞?????

D.,2?-∞ ??

【难度】★★ 【答案】B

2、函数y x =

A.(],1-∞

B.(],1-∞-

C.R

D.[

)1,+∞ 【难度】★ 【答案】A

3、函数2y =的值域为________________.

【难度】★ 【答案】[

)2,+∞

4、函数[)(]1

,1,33,53

y x x =∈-的值域为________________.

【难度】★