2017年全国初中数学竞赛试题及答案

“《数学周报》杯”2017年全国初中数学竞赛 （天津赛区）试题参考答案及评分标准

一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分） （1

）设x =

(1)(2)(3)x x x x +++的值为( ). （A ）0 （B ）1

（C ）﹣1

（D ）2

【答】C ． 解：由已知得2

310x x ++=， 于是

222

2

(1)(2)(3)(3)(32)

(31)1 1.

x x x x x x x x x x +++=+++=++-=-

（2）已知x y z ，，为实数，且满足253x y z +-=，25x y z --=-，则

222x y z ++的最小值为( ).

（A ）111

（B ）0 （C ）5 （D ）

5411

【答】D ．

解：由 25325x y z x y z +-=??--=-?

，

， 可得 312.x z y z =-??=+?，

于是 2

2221125x

y z z z ++=-+．

因此，当111z =

时，222

x y z ++的最小值为5411

． （3）若1x >，0y >，且满足3y

y x

xy x x y

==，

，则x y +的值为( ). （A ）1 （B ）2

（C ）

92

（D ）

112

【答】C ．

解：由题设可知1y y x -=，于是 341

y y x yx x -

==，所以411y -=．

故1

2

y

=

，从而4=x ．于是92x y +=．

（4）设33331111

1232011

S =

++++ ，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5

（C ）6

（D ）7

【答】A ．

解：当2 3 2011k = ，，，，因为()(

)()32

111112111k k k k k k k ??<=-??-+-??， 所以3331111115

11123201122201120124

S ??<=+

+++<+-< ???? ． 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．

（5）点D E ，分别在△ABC 的边A B

A C ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ???====四边形，，，，

则13S S 与24S S 的大小关系为( ).

（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 【答】C ．

解：如图，连接DE ，设1

DEF S S ?'=， 则

14

23

S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >． 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

（6）两条直角边长分别是整数a b ，（其中2011b <），斜边长是1b +的直角三角形的个数为 .

【答】31．

解：由勾股定理,得 12)1(222+=-+=b b b a ．因为b 是整数，2011

a

是1到4023之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有31个，即2223 5 63 ，，，．因此a 一定是3，5，…，63，故满足条件的直角三角形的个数为31．

（7）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是 .

【答】

1

6

． 解： 在36对可能出现的结果中，有6对：（1，6）， （2，5）， （2，5）， （3，4），（3，4），（4，3）的和为7，所以朝上的面两数字之和为7的概率是

61

366

=.

（8）若y =a ，

最小值为b ，则22

a b +的值为 . 【答】

32

． 解：由1x -≥0，且12

x -

≥0，得1

2≤x ≤1．

21122y =

+=+ 由于

13124<<，所以当3

4x =时，2y 取到最大值1，故1a =．

当12x =

或1时，2

y 取到最小值12，故2

b =．所以，2232a b +=． （9）如图，双曲线x

y 2

=

（x ＞0）与矩形OABC 的边CB ， BA 分别交于点E ，F ，且AF=BF ，连接EF ，则△OEF 的面积为 .

【答】

32

． 解：如图，设点B 的坐标为a b （,）,则点F 的坐标为2

b a （，）.因为点F 在双曲线2

y x

=

上，所以 4.ab = 又点E 在双曲线上，且纵坐标

为b ，所以点E 的坐标为2

(

,)b b

.于是 11212222221312.22

OEF OEC FBE

OFBC S S S S b b b a b a b b ab ???=--=+-??-??-=+-=梯形（）（）（） （10）如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .

【答】84．

解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ， 则2

2

2

35a b +=＝1225． ① 又Rt △AFE ∽Rt △ACB ， 所以

FE AF CB AC =，即1212b a b

-=， 故12()a b ab +=． ②

由①②得 222

2122524a b a b ab a b +=++=++（）（），

解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以 493584a b c ++=+=． 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

（11）已知关于x 的一元二次方程2

0x cx a ++=的两个整数根恰好比方程

20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.

解：设方程2

0x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，

则方程2

0x cx a ++=的两根为1

1αβ++，，由题意得 ()()11a a αβαβ+=-++=，， ………………………………5分

两式相加，得2210αβαβ+++=，即 (2)(2)3αβ++=，

所以，2123αβ+=??+=?，； 或232 1.αβ+=-??+=-?，

………………………………10分

解得 11αβ=-??=?，； 或53.αβ=-??=-?

，

又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），

所以01

2a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，， 故3a b c ++=-，或29. ………………………………………………20分 （12）如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2

O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，

求证：点P 为CH 的中点.

证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，

连接 AH BD QB QC QH ，，，

，. 因为AB 为⊙1O 的直径，

所以∠ADB =∠90=?BDQ ．…………5分 故BQ 为⊙2O 的直径.

于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，

.

又因为点H 为△ABC 的垂心，所以AH BC BH AC ⊥⊥，

所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，

四边形ACQH 为平行四边形. ………………………………………………15分 所以点P 为CH 的中点. ………………………………………………20分 （13） 如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直

线交抛物线2

23

y x =

于P ，Q 两点. （Ⅰ）求证：∠ABP =∠ABQ ； （Ⅱ）若点A 的坐标为（0，1）， 且∠PBQ =60o，试求所有满足条件的 直线PQ 的函数解析式.

解：（Ⅰ）如图，分别过点P Q ，　

作y 轴的垂线，垂足分别为C D ，　. 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）. 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,

并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）

. 由223y kx t y x =+??

?=??

，

， 得2203x kx t --=，

于是 3

2P Q x x t =-，即 23

P Q t x x =-.于是，

222323P P Q Q

x t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333

P P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- …………5分

又因为

P Q

x PC QD x =-，所以BC PC

BD QD =. 因为∠BCP =∠90BDQ =?，所以△BCP ∽△BDQ .

故∠ABP =∠ABQ . …………………………………………………………10分

（Ⅱ）解法一 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0， 由（Ⅰ）可知

∠ABP =∠30ABQ =?，BC ，BD ，

所以 AC 2-，AD =2. 因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ .

于是

PC AC

DQ AD

=，即a b ．所以a b +=．

由（Ⅰ）中32

P Q x x t =-，即3

2ab -=-，所以32ab a b =+=，

于是，可求得2==a b

将b =

代入22

3y x =，得到点Q 12）. …………………15分

再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得=k

所以直线PQ 的函数解析式为1y =+. 根据对称性知，

所求直线PQ 的函数解析式为1y =+，或1y +. ………………20分 解法二 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（Ⅰ）可知，∠ABP =∠30ABQ =?，所以2BQ DQ =.

故 2Q x =.

将2

23

Q Q y x =

代入上式，平方并整理得 4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.

所以 2

Q x =

又由（Ⅰ），得3

322P Q x x t =-=-，32

P Q x x k +=.

若Q x =

代入上式得

P x = 从而

2()3P Q k x x =+=.

同理，若Q x =

可得2

P x =-

从而

2()3P Q k x x =+=. 所以，直线PQ 的函数解析式为

1y =+

，或1y x =+. ………………………………………20分 （14）已知0122011i a i >= ，，　，　，　，且12201

a a a <<< ，证明：122011a a a ，，，中一定存在两个数i j a a i j

<，（），使得(1)(1)

2010

i j j i a a a a ++-<．

证明：令2010

1 2 20111i i

x i a =

=+ ，，，，， ……………………………………5分 则20112010102010x x x <<<<< . …………………………………10分 故一定存在1≤k ≤2017， 使得11k k x x +-<，从而

1

20102010

111k k a a +-<++． …………………………………15分

即 11(1)(1)

2010

k k k k a a a a ++++-<． …………………………………………20分