离散傅里叶变换(DFT)试题
第一章
离散傅里叶变换（DFT ）
填空题
（1） 某序列的DFT 表达式为
∑-==1
)()(N n kn
M W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长
度为 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 。
解：N ；
M
π
2 （2）某序列DFT 的表达式是
∑-==1
0)()(N k kl
M W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度
是 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是 。
解： N
M π2
（3）如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件 。 解：纯实数、偶对称
（4）线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为2
52)
1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统
的极点为 ；系统的稳定性为 。系统单位冲激响应)(n h 的初值为 ；终值
)(∞h 。
解： 2,2
1
21-=-
=z z ；不稳定 ；4)0(=h ；不存在 (5) 采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1
-z 代表的物理意义是 ，其中时域数字
序列)(n x 的序号
n 代表的样值实际位置是 ；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际
位置又是 。
解：延时一个采样周期F T 1=，F n nT =，k N
k πω2=
（6）已知
}{}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x ，则][n x 和
][n h 的5点循环卷积为 。
解：{}]3[]2[][][][][---+?=?k k k k x k h k x δδδ
{}4,3,2,1,0;2,3,3,1,0])3[(])2[(][55==---+=k k x k x k x
（7）已知}{}{3,2,1,0;1,1,2,4][,3,2,1,0;2,0,2,3][=--===
k n h k n x 则][][n h n x 和的
4点循环卷积为 。
解：?
?
???
?
??????-=?????????????????????????--------=??????????????????????
???734620234211142111422114]3[]2[]1[]0[]0[]1[]2[]3[]3[]0[]1[]2[]2[]3[]0[]1[]1[]2[]3[]0[x x x x h h h h h h h h h h h h h h h h
（8）从满足采样定理的样值信号中可以不失真地恢复出原模拟信号。采用的方法，从时域角度看是（ ）；从频域角度看是（ ）。 解：采样值对相应的内插函数的加权求和加低通，频域截断
3.2 选择题
1.若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，理想条件下将抽样信号 通过 即可完全不失真恢复原信号 （ ） A.理想低通滤波器 B.理想高通滤波器 C.理想带通滤波器 D.理想带阻滤波器 解：A
2.下列对离散傅里叶变换（DFT ）的性质论述中错误的是( ) 是一种线性变换 具有隐含周期性
可以看作是序列z 变换在单位圆上的抽样 D.利用DFT 可以对连续信号频谱进行精确分析 解：D
3．序列x (n)=R 5(n)，其8点DFT 记为X(k)，k=0,1,…,7，则X(0)为()。 解：D
4．已知x(n)=δ(n)，N 点的DFT[x(n)]=X(k)，则X(5)=( )。 A ．N
B ．1
C ．0
D ．- N
解：B
5.已知x(n)=1,其N 点的DFT ［x(n)］=X(k),则X(0)=( )
解：A
6．一有限长序列x(n)的DFT 为X(k)，则x(n)可表达为： 。
A ．
∑-=*
-*10
])([1N k nk N W k X N B. 101N X k W N nk k N [()]-*=-∑ C ．
10
1N X k W N nk k N [()]**=-∑ D. 10
1N X k W N nk k N [()]*=-∑ 解：C
7．离散序列x(n)满足x(n)=x(N-n)；则其频域序列X(k)有： 。
A ．X(k)=-X(k) B. X(k)=X*(k) C ．X(k)=X*(-k) D. X(k)=X(N-k) 解：D
8．已知N 点有限长序列X (k )=DFT ［x (n )］，0≤n ，k N W -x (n )］=( ) A. )())((k R l k X N N + B. )())((k R l k X N N - C.km N W - D.km N W 解：B 9.有限长序列10)()() (-≤≤+=N n n x n x n x op ep ，则=-*)(n N x 。 A.)()(n x n x op ep + B.)()(n N x n x op ep -+ C.)()(n x n x op ep - D.) ()(n N x n x op ep -- 解：C 10.已知x (n )是实序列，x (n )的4点DFT 为X (k )=［1,-j ,-1,j ］，则X (4-k )为( ) A.［1，-j ，-1，j ］ B.［1，j ，-1，-j ］ C.［j ，-1，-j ，1］ D.［-1，j ，1，-j ］ 解：B 11. ()()(),01R I X k X k jX k k N =+≤≤-，则IDFT[X R (k)]是)(n x 的（ ）。 A ．共轭对称分量 B. 共轭反对称分量 C. 偶对称分量 D. 奇对称分量 解：A 12．DFT 的物理意义是：一个 的离散序列x （n ）的离散付氏变换X （k ）为x （n ）的付氏变换 )(ωj e X 在区间[0，2π]上的 。 A. 收敛；等间隔采样 B. N 点有限长；N 点等间隔采样 C. N 点有限长；取值 C.无限长；N 点等间隔采样 解：B 13．用DFT 对一个32点的离散信号进行谱分析，其谱分辨率决定于谱采样的点数N ，即 ，分辨率越高。 A. N 越大 B. N 越小 C. N=32 D. N=64 解：A 14. 对)(1n x （0≤n ≤1N -1）和)(2n x (0≤n ≤2N -1)进行8点的圆周卷积，其中______的结果不等于线性卷积。 ( ) A. 1N =3，2N =4 B. 1N =5，2N =4 C. 1N =4，2N =4 D. 1N =5，2N =5 解：D 15．对5点有限长序列［1 3 0 5 2］进行向左2点圆周移位后得到序列（ ） A ．［1 3 0 5 2］ B ．［5 2 1 3 0］ C ．［0 5 2 1 3］ D ．［0 0 1 3 0］ 解：C 16．对5点有限长序列［1 3 0 5 2］进行向右1点圆周移位后得到序列( ) A.［1 3 0 5 2］ B.［2 1 3 0 5］ C.［3 0 5 2 1］ D.［3 0 5 2 0］ 解：B 17.序列)(n x 长度为M ，当频率采样点数N 象。 A ．频谱泄露 B.时域混叠 C ．频谱混叠 C.谱间干扰 解：B 18.如何将无限长序列和有限长序列进行线性卷积（ ）。 A ．直接使用线性卷积计算 B.使用FFT 计算 C ．使用循环卷积直接计算 D.采用分段卷积，可采用重叠相加法 解：D 19.以下现象中（ ）不属于截断效应。 A. 频谱泄露 B. 谱间干扰 C ． 时域混叠 D. 吉布斯(Gibbs)效应 解：C 20.若序列的长度为M ，要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列，而不发生时域混叠现象，则频域抽样点数N 需满足的条件是 ( ) ≥M ≤M ≤2M ≥2M 解：A 21.一个理想采样系统，采样频率s =10，采样后经低通G(j)还原， ?????≥Ω<Ω=Ωπ π5 05 51)(j G ；设输入信号：t t x π6cos )(=，则它的输出信号y(t)为：（ ） A ．t t y π6cos )(=； B. t t y π4cos )(=； C ．t t t y ππ4cos 6cos )(+=； D. 无法确定。 解：B 22.一个理想采样系统，采样频率s =8，采样后经低通G(j)还原， G j ()ΩΩΩ=<≥??? 14404 π π；现有两输入信号：x t t 12()cos =π，x t t 27()cos =π，则它们相 应的输出信号y 1(t)和y 2(t)： （ ） A ．y 1(t)和y 2(t)都有失真； B. y 1(t)有失真，y 2(t)无失真； C．y1(t)和y2(t)都无失真； D. y1(t)无失真，y2(t)有失真。 解：D 23.在对连续信号均匀采样时，若采样角频率为fs，信号最高截止频率为fc，则折叠频率为( )。 22 解：D 24.在对连续信号均匀采样时，要从离散采样值不失真恢复原信号，则采样周期T s与信号最高截止频率 f h应满足关系( )。 >2/f h>1/f h <1/f h<1/(2f h) 解：D 25.设某连续信号的最高频率为5kHz，采样后为了不失真的恢复该连续信号，要求采样频率至少为________Hz。( ) 解：B 26.如果使用5kHz的采样频率对某连续信号进行无失真的数字信号处理，则信号的 最高频率为_____Hz。( ) 解：A 27.要从抽样信号不失真恢复原连续信号，应满足下列条件的哪几条( )。 (Ⅰ)原信号为带限 (Ⅱ)抽样频率大于两倍信号谱的最高频率 (Ⅲ)抽样信号通过理想低通滤波器 A.Ⅰ、Ⅱ B.Ⅱ、Ⅲ C.Ⅰ、Ⅲ D.Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 解：D 问答题 （1）解释DFT中频谱混迭和频谱泄漏产生的原因，如何克服或减弱 答：如果采样频率过低，再DFT计算中再频域出现混迭线性，形成频谱失真；需提高采样频率来克服或减弱这种失真。 泄漏是由于加有限窗引起，克服方法是尽量用旁瓣小主瓣窄的窗函数。 （2）在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。 在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形 输出波平滑化，故称之为“平滑”滤波器。 （3）用DFT 对连续信号进行谱分析的误差问题有哪些 答：混叠失真；截断效应（频谱泄漏）；栅栏效应 （4）画出模拟信号数字化处理框图，并简要说明框图中每一部分的功能作用。 答：框图如下所示 第1部分：滤除模拟信号高频部分；第2部分：模拟信号经抽样变为离散信号；第3部分：按照预制要求对数字信号处理加工；第4部分：数字信号变为模拟信号；第5部分：滤除高频部分，平滑模拟信号 （5）“一个信号不可能既是时间有限信号，又是频带有限信号”是信号分析中的常识之一，试论述之。 答：由傅里叶变换的尺度变换特性可知 )(1)(a j F a at f ω ?→ ← 信号在时域和频域中尺度的变化成反比关系，即在时域中带宽越宽，在频域中带宽越窄；反之，在时域中带宽越窄，在频域中带宽越宽。所以不可能出现在时域和频域都为无限宽或者有限宽的信号。 （6） 试述用DFT 计算离散线性卷积的方法。 答：计算长度为M,N 两序列的线性卷积，可将两序列补零至长度为M+N-1,而后求补零后两序列的DFT ，并求其乘积，最后求乘积后序列的IDFT ，可得原两序列的线性卷积。 （7） 已知X(k)、Y(k)是两个N 点实序列x(n)、y(n)的DFT 值，今需要从X(k)、Y(k)求x(n)、y(n)的值，为了提高运算效率，试用一个N 点IFFT 运算一次完成。 解：依据题意 )()(),()(k Y n y k X n x ?? 取序列 )()()(k jY k X k Z += 对)(k z 作N 点IFFT 可得序列)(n z 。 又根据DFT 性质 )()()]([)([)]()([n jy n x k Y jIDFT k X IDFT k jY k X IDFT +=+=+ 由原题可知， )(),(n y n x 都是实序列。再根据)()()(n jy n x n z +=，可得 )] (Im[)()] (Re[)(n z n y n z n x == （8）设H(z)是线性相位FIR 系统，已知H(z)中的3个零点分别为1，，1+j ，该系统阶数至少为多少 解：由线性相位系统零点的特性可知，1=z 的零点可单独出现，8.0=z 的零点需成对出现，即z= 也是其零点之一，j z +=1的零点需4个1组，其它三个j z -=1 , 21j z += ,2 1j z -=,所以系统至少为7阶。 计算题 1.计算下列序列的N 点DFT ： （1）()()n n x δ= （2）()()N n n n n x <<-=000,δ (3) ()10,-≤≤=N n a n x n （4）()N m N n N n nm N n x <<≤≤≤≤?? ? ??=0,0,0,2cos π （5）()()()N n n n u n u n x ≤≤--=000, （6）()1...,1,0,2cos 2 4-=?? ? ??=+N n n N n x π 解： （1） ()10,1)0()(1 -≤≤===∑-=N k n k X N n nk N W δδ （2） ()10,)())((01 00-≤≤=-=∑-=N k W W n R n n k X k n N N n nk N N N δ （3） ()10,11111 -≤≤--=--==∑-=N k aW a aW W a W a k X k N N k N Nk N N N n nk N n (4) ()nk N j N n mn N j mn N j N n nk N e e e W mn N k X π π π π210221 )(21)2cos(--=--=∑∑+== ()()()()? ??? ? ??--+--=+-+-----m k N j m k j m k N j m k j e e e e π πππ2222111121 ()()()()()()()()()()? ??? ? ??--+--=++-+-++-+-+-------ππππππππππm k N N j m k N j m k N j m k j m k j m k N N j m k N j m k N j m k j m k j e e e e e e e e e e 1121 ()() ()()()()() ()?? ????+++--=++--+-ππππππm k N N j m k N N j e N m k m k e N m k m k 1 1 /sin sin /sin ))sin((21 ?????-===其它或, 0,2m k m k N （5） ()()()[]k N kn N n n nk N N n nk N W W W W n n u n k X --==--=∑∑==11u 0 01 -0 1 -0 ()()()W W W W W k N k N n k N n k N n k N 2 /2/2 /12/12/1000-------= =() () () N k N k n e N n j /sin /sin 02/()120πππ--,k=0,1…,N-1 (6)()2 22414? ? ????++=-n N j n N j e e n x π π= ?? ????+++-n N j n N j e e π π442414 = 29+)2(24 1 n N j e π + n N N j e )2(24 1-π =29+ W N N 241-+W n N N )2(41-- 对照DFT 逆变换公式 ()()kn N K W k X N n x --=∑= N 2 1 1 得到???? ?????-====其它或， , 022,4 1 029 )(N k k N k N k X 2. 令)(n x 和 )(jw e X 表示一个序列及其傅立叶变换，利用)(jw e X 表示下面各序列的傅立叶变换。 （1） )2()(n x n g = （2）()? ??=为奇数为偶数n n n x n g 02) ( 解：（1）∑∑∑∞ -∞ =-∞ -∞ =-∞ -∞ =-= = = 为偶数 k k w k j n jnw n jnw jw e k x e n x e n g e G 2 )()2()()( [] ?????? -+=??????+=+=+=-+=-∞ -∞=--∞-∞ =-∞-∞=-∞ -∞=-∑∑∑∑)()(2121)(21)(21)(21))((21)(21)()1()(2 122)2(2 )2 (2 2 2 2w j w j w j w j k w jk w j k w jk j k w jk k w k j k e X e X e X e X e k x e X e e k x e k x e k x k x πππ （2）)()()2()()(222w j r w jr r rw j n jnw jw e X e r x e r g e n g e G == = = ∑∑∑∞ -∞ =-∞ -∞ =-∞ -∞ =- 3. 对有限长序列{}1,0,1,1,0,1)(=n x 的Z 变换)(z X 在单位圆上进行5等份取样，得到取样值)(k X ， 即 4,3,2,1,0,) ()(5==-=k z X k X k W z ，求)(k X 的逆傅里叶变换)(1n x 。 解： k W z n n z X k X z z z z n x z X -=---=-=+++==∑5 )()(1)()(5 325 ∑==++=+++=4 5 13 525553525)(21n kn W n x W W W W W {}0,1,1,0,2)(1=n x 4． 设()()()()34223-+-+=n n n n x δδδ （1）求()n x 的4点DFT 。 （2）若()n y 是()n x 与()()()()315-+-+=n n n n h δδδ的4点循环卷积，求()n y 及其4点DFT 。 解： （1） ()()k k n nk W W W n x k X 34243 04423++==∑= （2）()()k k n nk W W W n h k H 3443 4451++==∑= ()()()()()k k k k W W W W k H k X k Y 3443424451423++++== k k k k k k k k W W W W W W W W 64543444344342416812201015423++++++++= k k k k k k k W W W W W W W 24434344342416812201015423++++++++= k k k W W W 3424426182323+++= 由上式得到 ()()()()()32621812323-+-+-+=n n n n n y δδδδ 5. 已知 ()()()()()322313-+-+-+=n n n n n x δδδδ ()()()()()321-+-+-+=n n n n n h δδδδ 求()n x 与()n h 的5点循环卷积()n v 解：取Z 变换可得 ()()k k k n nk W W W W n x k X 352554 052331+++==∑= ()()k k k n nk W W W W n h k H 352554 51+++==∑= 由卷积定理可知())()()()()(k H k X k V n h n x n v DFT =??→←*= ()()()k X k H k V = k k k k k k k k k k k k k k k W W W W W W W W W W W W W W W 65 55 45 35 55 45 35 25 4535255352552332332332331+++++++++++++++= k k k k k k W W W W W W 655545352552589741++++++= k k k k W W W W 453525589766++++= 由上式得到 ()()()()()()483927166-+-+-+-+=n n n n n n v δδδδδ 6. 已知序列()()()()312-+-+=n n n n x δδδ的5点DFT 为()k X ，求()()k X k Y 2=的DFT 逆变 换 ()n y 。 解 ：对x(n)进行傅里叶变换得 ()()k k n nk W W W n x k X 3554 52++==∑= ()()k X k Y 2= k k k k k k k k W W W W W W W W 6545354525535522224++++++++= k k k k W W W W 45352552454++++= 由上式进行逆变换得 ()()()()()()42342154-+-+-+-+=n n n n n n v δδδδδ 7. 已知一个有限长序列 ()()()52-+=n n n x δδ （1） 求它的10点离散傅里叶变换()k X 。 （2） 已知序列 ()n y 的10点离散傅里叶变换为()()k X W k Y k 210 =，求序列()n y 。 （3） 已知序列()n m 的10点离散傅里叶变换为()()()k Y k X k M =，求序列()n m 。 解：（1）对()n x 取傅里叶变换得 ()()()()[]∑∑-==-+==1 09 01052N n n nk nk N W n n W n x k X δδ ()9...,1,0,1212121510 2510 =-+=+=+=-k e W k k j k π （2）由()()k X W k Y k 210= 可以知道，()n y 是()n x 向右循环移位2的结果，即 ()()()()()722210-+-=-=n n n x n y δδ （3）由()()()k Y k X k M =可以知道()n m 是()n x 与()n y 的10点循环卷积。 一种方法是先计算()n x 与()n y 的线性卷积 ()()()()(){}∑∞ -∞ ==-= *=l l n y l x n y n x n u 4,0,0,0,0,4,0,0,0,0,1,0,0 然后由下式得到10点循环卷积 ()()(){} ()() 74250,0,4,0,0,0,0,5,0,01010-+-==?? ? ???-=∑∞-∞=n n n R l n u n m l δδ 另一种方法是先计算 ()n y 的10点离散傅里叶变换 ()()()()[]k k N n n nk nk N W W W n n W n y k Y 71021010 9 0102722+=-+-==∑∑-==δδ 再计算乘积 ()()()()()k k k k k k k k k W W W W W W W W W k Y k X k M 710 210 1210 710 710 210 710210510 45422221+=+++=-+== 由上式得到 ()()()7425-+-=n n n m δδ 8. 若长为N 的有限长序列x （n)是矩形序列x(n)=N R 。 （1）求x （n)的Z 变换，并画出其极零点的分布图。 （2）求频谱X ()jw e ，并画出幅度()jw X e 的函数曲线。 （3）求x(n ）的DFT 的闭式表示，并与()jw e 对照。 解： （1）X （z)= ()()11 1111 1 n --=--==----=-∞ ∞ =∑∑z z z z z z z n R N N N N n N n N = ()() () 1 1 121 11 1 10 1--=--=---=-∏∏∏? ??? ??-= -= --N N K k N j N N k k N N N k k N z e z z W z z z W z π 极点：0z =0（N-1阶）；零点：pk z =k N j π2e ，k=1,2,…,N-1 图（a)是极零点分布图 X ()jw e =()z X │ jw e =z =? ??? ??-? ??? ??-=--------222222 1e 1w j w j w j w N j N j N j jw jwN e e e e e e e =212sin 2sin --??? ????? ??N j e w w N () ()ωω?ωω 21,2sin 2sin e X j --=? ? ? ??? ?? ??= N N 图（b ）所示的是频谱幅度()ωj X e 的函数曲线。 （3）X （k)= ()()ω ππj k N j j k N Nk N nk N N N e X e e W W W n R =--=--=---=∑221 n 1111│ k 2N πω= =?? ?-==1 ,,2,1,00, N k k N K 可见，X （k)等于X ()()上的取样值个间隔频率点在1,1,0k 2e -==N k N N j Λπ ωω 9.已知序列 ()()()()()322134x -+-+--=n n n n n δδδδ 和它的6点离散傅里叶变换()k X （1） 若有限长序列()n y 的6点离散傅里叶变换为()()k X W k k 48Y =求()n y 。 （2） 若有限长序列()n u 的6点离散傅里叶变换为()k X 实部，即 ()k U =()[]k X Re ，求()n u 。 （3） 若有限长序列()n v 的3点离散傅里叶变换()()k X k V 2= ()0,1,2k =， 求()n v 。 解：（1）由)k ()k (46X W Y k =知，()n y 是()n x 向右循环移位4的结果，即 ()()()()()125344))4((y 6-++-+-=-=n n n n n x n δδδδ （2） ()()()()[]nk n W n n n n X 65 322134)k (∑=-+-+-+=δδδδ k k k W W W 36266234+++= ()k k k W W W k X 3626-6*234--+++= ()[]()()[] k X k X k X *2 1 Re += []k k k k k k W W W W W W 362663626623423421 ---+++++++= [] k k k k k k W W W W W W 364656362662323821 ++++++= [] k k k k k W W W W W 56463626632223821 +++++= 由上式得到 ()()()()()()()52 3 4321234u -+-+-+-+-+=n n n n n n n δδδδδδ （3） ()()()()nk n nk n nk n nk n W n x W n x W n x W n x X 35 3 3 2 3 5 026 5 )k 2(∑∑∑∑====+=== ()()()332 03 2 03+==∑∑++=n k n nk n W n x W n x ()()nk n k nk n W n x W W n x 32 033 3 2 03∑∑==++= ()()[]2,1,0,332 =++=∑=k W n x n x nk n 由于 ()()()()()[]2,1,0,3232 3 2 =++===∑∑==k W n x n x k X W n v k V nk n nk n 所以 ()()()2,1,0,3v =-+=n n x n x n 即 ()()()5300v =+=x x ()()()3411v =+=x x ()()()2522v =+=x x 或 ()()()()22135v -+-+=n n n n δδδ 10. 设()n x 是长为N 的序列，()z X 是它的Z 转换。用()n x 构成下列3个长为2N 的序列 (1) ?? ?-≤≤-≤≤=12, 01 0,)()(1N n N N n n x n x (2) ()()()N n x n x n x --=2 (3) ?????=为奇数为偶数 n n n x n x , 0,)2()(3 用 ()z X 的取样表示每个序列的2N 点DFT. 解：（1）因为 ()()()n k N N n nk N N n nk N N n W n x W n x W n x X 21 021 021 2011)k (∑∑∑-=-=-==== ()()n k N j N n n k N j N n e n x e n x ---=--=∑∑==)(2210 2 210 π π 所以 )()k (221k N j e X X π-= 即 )k (1X 等于在单位圆上等间隔的2N 点上对)z (X 的取样值。 （2） ()()()[]nk N N n nk N N n W N n x n x W n x X 21 21 20 22)k (∑∑-=-=--== ()()n k N N n n k N N n W N n x W n x 21 21 ∑∑-=-=--= 因为)n (x 的Z 变换是)z (X ，)n (N x - 的Z 变换是()z X z N - ，所以 ()())() (222 221 021 k N j n k N j N n n k N N n e X e n x W n x ππ==--=-=∑∑ ()())(1)() (22222221 k N j k k N j N k N j n k N N n c X e X e W N n x πππ-==---=∑ 最后得到 ()()[] ????? =-+=为奇数， 为偶数，k 0)(2)(1122222k e X e X k X k N j k N j k ππ （3）因 ()()()()()2 210 21 3120 3 32z z X z r x z r x z n x X r N r r N r n N n --=--=--=∑∑∑=== 所以 ()()12,...,1,0k )()(k k 2k 223nk 2120 3 3-==== ∑-=N e X e X W n x X N j N j N N n ，ππ 这意味着)(3k X 是由两个)(k X 衔接起来得到的。 11、设()n h 1 是一个8=N 并关于5.3=n 对称的序列。()n h 2是()n h 1的4点循环移位序列，即 ()()()()n R n h n h δδ412-= （1）求()n h 1的DFT 与()n h 2的DFT 之间的关系。 （2）由()n h 1和()n h 2各构成一个FRI 数字滤波器，试问它们是线性相关数字滤波器吗为什么如果是，时 延是多少 （3）如果()n h 1 对应于一个截止频率为π/2的 低通滤波器，那么()n h 2也对应于一个截止频率为π/2的 低通滤波器吗为什么 解 （1）因为()()n N h n h --=111和()()N N h n h --=122,所以当8=N 时，有 ()()()()∑∑∑=-=--=+==7 48 218 8 2110 11n nk j n nk j N n nk N e n h e n h n h k H ππω ()()∑∑=-=--+=7 4 8 213 8 217n nk j n nk j e n h e n h π π ()()()∑∑=+----=??????+=??????+=31828 21)7(82823 1σππππn k n j nk j k n j nk j k n e e n h e e n h ()()()∑=+-? ? ????+=3 01828222n k n j nk j e e n h k H π π 由于 ()()n h n h -=321， 3,2,1,0=n 所以 ()()()()()()∑∑=---=+-? ? ????+=??????+-=3048238 223 018282213n k n j k n j n k n j nk j e e n h e e n h k H ππππ ()()()k H e e e n h e k j n nk j k n j k j 23 08 21822 48 2ππππ -=-+-=??????+=∑ 由上式得 ()()k H k H 21=和()()πθθ-=k k 21 （1） 因为()n h 1 和()n h 2都具有对称性，所以它们都是线性相位数字滤波器。时延为 ()5.32/1=-=N n （2） 由（1）的结果知道，()n h 1和()n h 2的幅度响应相等，所以可以认为()n h 2也是 一个截止频率为π/2的低通滤波器。 12、某系统由两个LTI 子系统并联而成，其中一个子系统的单位脉冲响应为 )()3 1 ()(1n u n h n =，并联后系统的频率响应为 ω ωω ω 2712512)(j j j j e e e e H ---+-+-= （1）求另一个子系统的单位脉冲响应)(2n h 。 （2）假设系统的输入为)()2 1 () (n u n x n =，用频域分析法分别求两个子系统的输出)()(21n y n y 和。 （3）在相同输入的情况下，求并联系统的输出y(n)。 （4）写出并联系统联系输入和输出的差分方程，并画出模拟框图。 解：（1）因为ω ω j j e e H --= 3 111 )(1，且)(1n h 和)(2n h 是并联的，所以有 ω ωωωωωωωωωωωj j j j j j j j j j j j e e e e e e e e e e H e H e H -----------= --+-+-= -- --+-=-=48)4)(3(31251233)4)(3(512) ()()(12 所以)()41 (2) (2n u n h n -=。 （2）)()21()(n u n x n =傅里叶变换为 ωω j j e e X ---= 2 111)(，所以 ωωωωωωωj j j j j j j e e e e e X e H e Y ------ -=-?-==3 112 211331112111)()()(11 所以)(])3 1(2)21(3[)(1n u n y n n -=。 同理 ω ωωωω ωωj j j j j j j e e e e e X e H e Y ------ -=-?--==2 114411*********)()()(22 所以)(])2 1(4)41(2[)(2n u n y n n -= （3） )(])3 1(2)21()41(2[)()()(21n u n y n y n y n n n --=+= （4）差分方程为)1(5)(12)2()1(7)(12-+-=-+ --n x n x n y n y n y 图略。 13、用某台FFT 仪做谱分析。使用该仪器时，选用的抽样点数N 必须是2的整数次幂。已知待分析的信号中，上限频率1025≤kHz 。要求谱分辨率5≤Hz 。试确定下列参数：1.一个记录中的最少抽样点数；2.相邻样点间的最大时间间隔；3.信号的最小记录时间。 解：因为待分析的信号中上限频率 kHz f m 25.1≤ 所以抽样频率应满足：kHz f f m s 5.22=≥ 因为要求谱分辨率 kHz N f s 5≤，所以5005 1000 5.2=?≥N 因为选用的抽样点数N 必须是2的整数次幂，所以一个记录中的最少抽样点数512=N 相邻样点间的最大时间间隔ms ms f f T s s 4.05 .21 211min === = 信号的最小记录时间ms ms T N T p 8.2044.0512min =?=?= 14、 设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力 Hz 10≤，如果采用的抽样时间间隔为，试确定：（1）最小记录长度；（2）所允许处理 的信号的最高频率；（3）在一个记录中的最少点数。 解： （1） 因为Hz F F T 10,1 00 0≤= 而，所以 s T 10 10≥ 即最小记录长度为 （2） 因为 kHz T f s 10101 .0113=?== ，而 h s f f 2> 所以 kHz f f s h 52 1 =< 即允许处理的信号最高频率为5kHz 。 （3） 1000101 .01.030=?=≥ T T N ，又因N 必须为2的整数幂，所以一个记录中的最少点数为 1024210==N 。 XXXX大学 2012届学士学位论文 离散傅里叶变换的分析与研究 学院、专业物理与电子信息学院 电子信息工程 研究方向数字信号处理 学生姓名XX 学号 XXXXXXXXXXX 指导教师姓名XXX 指导教师职称讲师 2012年4月26日 离散傅里叶变换的分析与研究 XX 淮北师范大学物理与电子信息学院 235000 摘要离散傅里叶变换是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，是对连续时间信号频谱分析的逼近。离散傅里叶变换不仅在理论上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起着核心作用。 本文首先介绍了离散傅里叶变换的定义及性质，然后介绍了离散傅里叶变换的应用，主要包括对线性卷积的计算和对连续信号的谱分析。在理解理论的基础上，在matlab环境下实现了线性卷积和对连续信号频谱分析的仿真。仿真结果表明：当循环卷积长度大于或等于线性卷积长度时，可利用循环卷积计算线性卷积；利用DFT对连续信号进行频谱分析必然是近似的，其近似的结果与信号带宽，采样频率和截取长度都有关。 关键词离散傅里叶变换；线性卷积；谱分析 The Analysis and Research of Discrete Fourier Transform XX School of Physics and Electronic Information, Huai Bei Normal University, Anhui Huaibei, 235000 Abstract The discrete Fourier transform is the form that the continuous Fourier transform are discrete both in the time domain and frequency domain,it is a approach to the analysis of continuous time signal spectrum . The discrete Fourier transform not only has important significance in theory, but also plays a central role in all kinds of signal processing . This paper introduced the definition and properties of the discrete Fourier transform first of all.Then introduced the application of the discrete Fourier transform, which mainly including the calculation of linear convolution and analysis of continuous signal the spectral. On the basement of understanding theory, we realized the linear convolution and analysis of continuous signal spectrum on the Matlab environment . The simulation results show that when the length of the cyclic convolution is equal to or greater than linear convolution,we can use cyclic convolution to calculate linear convolution;It is approximately use continuous DFT spectrum to analyze the frequency domain of continuous time signal, the approximation of the results is related to the signal bandwidth, sampling frequency and intercept length. Keywords The discrete Fourier transform; Linear convolution; Spectrum analysis 快速傅里叶变换实验报告 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期: ? 快速傅里叶变换实验报告 机械34班 刘攀 2０1３0105５8 一、 基本信号（函数)的FF Ｔ变换 1. 000()sin()sin 2cos36x t t t t π ωωω=+++ 1) 采样频率08s f f =,截断长度N ＝１６； 取02ωπ=ｒad/ｓ，则0f =1Hz ，s f =8Ｈz ，频率分辨率 f ?=s f f N ?= =0.5Hz 。 最高频率c f ＝30f =３Hz ，s f ＞2c f ,故满足采样定理,不会发生混叠现象。 截断长度02T T =,整周期截取,不会发生栅栏效应。理论上有一定的泄漏,但在整周期 截取的情况下，旁瓣上的采样都约为 0，泄漏现象没有体现出来。 频谱图如下: 幅值误差0A ?=,相位误差0??=。 2) 采样频率08s f f =，截断长度N=3２; 取02ωπ=rad/s ，则0f =１Hz,s f ＝８Hz ，频率分辨率f ?=s f f N ?==０.2５Hz 。 最高频率c f =30f =3H ｚ,s f >２c f ,故满足采样定理,不会发生混叠现象。 截断长度04T T =,整周期截取,不会发生栅栏效应。理论上有一定的泄漏，但在整周期 截取的情况下,旁瓣上的采样都约为 0，泄漏现象没有体现出来。 频谱图如下： 幅值误差0A ?=，相位误差0??=。 2. 00()sin()sin116x t t t π ωω=++ 1) 采样频率08s f f =,截断长度N=16； 取02ωπ=ra ｄ/s,则0f =１Hz ，s f =８Hz,频率分辨率f ?=s f f N ?==0．5H ｚ。 最高频率c f =110f =11H ｚ,s f <２c f ，故不满足采样定理，会发生混叠现象。 截断长度02T T =,整周期截取，不会发生栅栏效应。理论上有一定的泄漏,但在整周期 截取的情况下，旁瓣上的采样都约为 0，泄漏现象没有体现出来。 频谱图： 1 / 7 信息工程学院实验报告 课程名称：信号与系统 实验项目名称：实验 3 傅里叶变换及其性质实验时间： 2013-11-29 班级： 姓名：学号： 一、实验目的: 1、学会运用MATLAB 求连续时间信号的傅里叶（Fourier ）变换； 2、学会运用MATLAB 求连续时间信号的频谱图； 3、学会运用MATLAB 分析连续时间信号的傅里叶变换的性质。 二、实验环境: 1、硬件：在windows 7 操作环境下； 2、软件：Matlab 版本7.1 三、实验原理： 3.1傅里叶变换的实现 信号()f t 的傅里叶变换定义为：() [()] ()j t F F f t f t e dt ， 傅里叶反变换定义为： 1 1()[()] ()2 j t f t F F f e d 。 信号的傅里叶变换主要包括MATLAB 符号运算和MATLAB 数值分析两种方法，下面分别加以探讨。同时， 学习连续时间信号的频谱图。 3.1.1 MATLAB 符号运算求解法 MATLAB 符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换与傅里叶反变换的函数fourier( )和ifourier( )。 Fourier 变换的语句格式分为三种。 （1）F=fourier(f)：它是符号函数 f 的Fourier 变换，默认返回是关于的函数。 （2）F=fourier(f,v) ：它返回函数F 是关于符号对象 v 的函数，而不是默认的 ，即 ()()j v t Fv fte d t 。 （3）F=fourier(f,u,v)：是对关于u 的函数f 进行变换，返回函数F 是关于v 的函数，即 ()()jvu F v f t e du 。 傅里叶反变换的语句格式也分为三种。（1）f=ifourier(F)：它是符号函数F 的Fourier 反变换，独立变量默认为 ，默认返回是关于 x 的函数。 （2）f=ifourier(F,u)：它返回函数 f 是u 的函数，而不是默认的 x 。 （3）f=ifourier(F,u,v) ：是对关于v 的函数F 进行反变换，返回关于 u 的函数f 。 成 绩： 指导教师（签名）： 实验四：离散傅里叶变换 实验原理： DFT的快速算法FFT利用了的三个固有特性：（1）对称性（2）周期性（3）可约性。FFT算法基本上可以分为两大类，即按时间抽选法(DIT,Decimation-In-Time)和按频率抽选法(DIF,Decimation-In-frequency)。 MATLAB中提供了进行快速傅里叶变换的fft函数： X=fft(x)，基2时间抽取FFT算法，x是表示离散信号的向量；X是系数向量； X=fft(x,N),补零或截断的N点DFT，当x得长度小于N时，对补零使其长度为N，当x的长度大于N时，对x截断使其长度为N。 实验内容： =60; n=[0:1:k/2]; xa1=2*sin(10*pi*n/k)+cos(18*pi*n/k); subplot(321) stem(n,xa1) xlabel('N');ylabel('x(n)'); xk1=fft(xa1);xk1=abs(xk1) subplot(322) stem(n,xk1) xlabel('k');ylabel('X(k)'); n=[0:1:k*]; xa1=2*sin(10*pi*n/k)+cos(18*pi*n/k); subplot(323) stem(n,xa1) xlabel('N');ylabel('x(n)'); xk1=fft(xa1);xk1=abs(xk1) subplot(324) stem(n,xk1) xlabel('k');ylabel('X(k)'); n=[0:1:k*2]; xa1=2*sin(10*pi*n/k)+cos(18*pi*n/k); subplot(325) stem(n,xa1) xlabel('N');ylabel('x(n)'); xk1=fft(xa1);xk1=abs(xk1) subplot(326) stem(n,xk1) xlabel('k');ylabel('X(k)'); 实验报告 课程名称： 信号分析与处理 指导老师： 成绩：__________________ 实验名称：离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 实验类型： 基础实验 同组学生姓名： 第二次实验 离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 一、实验目的 1.1掌握离散傅里叶变换（DFT ）的原理和实现； 1.2掌握快速傅里叶变换（FFT ）的原理和实现，掌握用FFT 对连续信号和离散信号进行谱分析的方法。 1.3 会用Matlab 软件进行以上练习。 二、实验原理 2.1关于DFT 的相关知识 序列x (n )的离散事件傅里叶变换（DTFT ）表示为 n j n j e n x e X Ω-∞ -∞ =Ω ∑= )()(， 如果x (n )为因果有限长序列，n =0,1,...,N-1，则x (n )的DTFT 表示为 n j N n j e n x e X Ω--=Ω ∑=1 )()(， x (n )的离散傅里叶变换（DFT ）表达式为 )1,...,1,0()()(21 -==--=∑N k e n x k X nk N j N n π， 序列的N 点DFT 是序列DTFT 在频率区间[0,2π]上的N 点灯间隔采样，采样间隔为2π/N 。通过DFT ，可以完成由一组有限个信号采样值x (n )直接计算得到一组有限个频谱采样值X (k )。X (k )的幅度谱为 )()()(22k X k X k X I R += ，其中下标R 和I 分别表示取实部、虚部的运算。X (k )的相位谱为 ) () (arctan )(k X k X k R I =?。 离散傅里叶反变换（IDFT ）定义为 )1,...,1,0()(1)(21 -==∑-=N n e k X N n x nk N j N n π 。 2.2关于FFT 的相关知识 快速傅里叶变换（FFT ）是DFT 的快速算法，并不是一个新的映射。FFT 利用了n N j e π2-函数的周期性 和对称性以及一些特殊值来减少DFT 的运算量，可使DFT 的运算量下降几个数量级，从而使数字信号处 装 订 线 离散信号的变换（MATLAB 实验） 一、实验目的 掌握用Z 变换判断离散系统的稳定与否的方法，掌握离散傅立叶变换及其基本性质和特点，了解快速傅立叶变换。 二、实验内容 1、已经系统函数为 5147.13418.217.098.2250 5)(2342-++--+=z z z z z z Z H (1) 画出零极点分布图，判断系统是否稳定； (2)检查系统是否稳定； (3) 如果系统稳定，求出系统对于u(n)的稳态输出和稳定时间b=[0,0,1,5,-50];a=[2,-2.98,0.17,2.3418,-1.5147]; subplot(2,1,1);zplane(b,a);title('零极点分布图'); z=roots(a); magz=abs(z) magz = 0.9000 0.9220 0.9220 0.9900 n=[0:1000]; x=stepseq(0,0,1000); s=filter(b,a,x); subplot(2,1,2);stem(n,s);title('稳态输出'); （1）因为极点都在单位园内，所以系统是稳定的。 （2）因为根的幅值（magz ）都小于1，所以这个系统是稳定的。 （3）稳定时间为570。 2、综合运用上述命令，完成下列任务。 (1) 已知)(n x 是一个6点序列： ???≤≤=其它,050,1)(n n x 计算该序列的离散时间傅立叶变换，并绘出它们的幅度和相位。 要求：离散时间傅立叶变换在[-2π,2π]之间的两个周期内取401个等分频率上进行数值求值。 n=0:5;x=ones(1,6); k=-200:200;w=(pi/100)*k; X=x*(exp(-j*pi/100)).^(n'*k); magX=abs(X);angX=angle(X); subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);grid;title('幅度'); subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX);grid;title('相位'); (2) 已知下列序列： a. ,1000),52.0cos()48.0cos()(≤≤+=n n n n x ππ； b ．)4sin()(πn n x =是一个N ＝32的有限序列； 试绘制)(n x 及它的离散傅立叶变换 )(k X 的图像。 a ． n=[0:1:100];x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n); subplot(2,1,1);plot(n,x);title('x(n)的图像'); X=dft(x,101); magX=abs(X); subplot(2,1,2);plot(n,magX);title('丨X(k)丨的图像'); 戶幵,戈丿、弟实验报告 课程名称：彳 _____________ 指导老师 _____________ 成绩： ____________________ 实验名称：离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 实验类型: _________________ 同组学生姓名： 一、实验目的和要求(必填) 二、实验内容和原理(必填) 三、主要仪器设备(必填) 四、操作方法和实验步骤 五、实验数据记录和处理 六、实验结果与分析(必填) 七、讨论、心得 一、实验目的和要求 1. 掌握DFT 的原理和实现 2. 掌握FFT 的原理和实现，掌握用 FFT 对连续信号和离散信号进行谱分析的方法。 二、实验内容和原理 2.1 DTFT 和 DFT N 1 如果x(n)为因果有限长序列,n=0,1,...,N-1，则x(n)的DTFT 表示为：X(e j ) x(n)e n 0 序列的N 点DFT 是DTFT 在［0,2 n 上的N 点等间隔采样，采样间隔为2 d N 。通过DFT , 可以完成由一组有限个信号采样值 x(n)直接计算得到一组有限个频谱采样值 X(k)。X(k)的幅 度谱为X(k) v 'x R (k ) X |2(k ) , X R (k)和X i (k)分别为X(k)的实部和虚部。X(k)的相位谱 为(k) 列吩 序列x(n)的离散事件傅里叶变换(DTFT )表示为: X(e j ) x( n)e x(n)的离散傅里叶变换(DFT )表达式为: X(k) x(n)e n 0 j^nk N (k 0,1,…,N 1) IDFT )定义为 x(n)丄 N \(k)e j_Nnk (n 0,1，…，N 1) N n 0 2.2 FFT 快速傅里叶变换(FFT )是DFT 的快速算法，它减少了 DFT 的运算量，使数字信号的处理 速度大大提高。 三、主要仪器设备 PC 一台，matlab 软件 四、实验内容 4.1第一题 x(n)的离散时间 傅里叶变换(DTFT ) X(e j Q )并绘图。 0 其2他n 2; (2)已知 x(n) 2n 0 n 10。 0其他 4.1.1理论分析 1) 由DTFT 计算式, X (Q)是实数，可以直接作出它的图像。 离散傅里叶反变换 求有限长离散时间信号 (1)已知 x(n) X( ) x(n)e j n e 2j 1 5j e 1 e j e 2? e 2? 0.5j e 0.5 j e sin(2.5 ) 第三章离散傅里叶变换 离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。 § 3-1 引言 一.DFT是重要的变换 1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。 二.DFT是现代信号处理桥梁 DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。 傅氏变换 § 3-2 傅氏变换的几种可能形式 一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换 对称性： 时域连续，则频域非周期。 反之亦然。 二.连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数 时域信号 频域信号 连续的 非周期的 非周期的 连续的 t ? ∞ ∞ -Ω-= Ωdt e t x j X t j )()(:? ∞ ∞ -ΩΩ Ω= d e j X t x t j )(21 )(:π 反 *时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2π/Tp 三.离散时间、连续频率的傅氏变换 --序列的傅氏变换 p T 0= Ω时域信号 频域信号 连续的 周期的 非周期的 离散的 ? -Ω-= Ω2 /2 /00)(1 )(:p p T T t jk p dt e t x T jk X 正∑ ∞ -∞ =ΩΩ= k t jk e jk X t x 0)()(:0反 实验四离散傅里叶变换的性质 一、实验目的 1. 熟悉matlab软件中离散傅里叶变换的实现方法及FFT函数的使用方法； 2. 通过软件仿真，加深对离散傅里叶变换性质的理解。 二、实验内容 1. 验证离散傅里叶变换的线性性质； 2. 掌握用matlab实现圆周移位的方法； 3. 验证圆周卷积与线性卷积的关系。 三、实验步骤 1. 验证线性性质 设两个有限长序列分别为xn1=[3,1,-2,2,3,4]，xn2=[1,1,1,1]，做4DFT[xn1]+2DFT[xn2],及DFT[4xn1+2xn2]的运算，比较它们的结果。 代码如下： clear,N=20;n=[0:1:N-1]; xn1=[3,1,-2,2,3,4];n1=0:length(xn1)-1; %定义序列xn1 xn2=[1,1,1,1];n2=0:length(xn2)-1; %定义序列xn2 yn1=4*xn1;yn2=2*xn2;[yn,ny]=seqadd(yn1,n1,yn2,n2); %计算4xn1+2xn2 xk1=fft(xn1,N);xk2=fft(xn2,N); %分别求DFT[xn1] 和DFT[xn2] yk0=4*xk1+2*xk2; %计算4DFT[xn1]+2DFT[xn2] yk=fft(yn,N); %计算DFT[4xn1+2xn2] subplot(2,1,1);stem(n,yk0);title('傅里叶变换之和') %显示4DFT[xn1]+2DFT[xn2] subplot(2,1,2);stem(n,yk);title('序列和之傅里叶变换') %显示DFT[4xn1+2xn2] 运行结果如图1所示，从图中可知，用两种方法计算的DFT完全相等，所以离散傅里叶变换的线性性质得到验证。 电 子 科 技 大 学 实 验 报 告 学生姓名：项阳 学 号： 2010231060011 指导教师：邓建 一、实验项目名称：离散时间傅里叶变换 二、实验目的： 熟悉序列的傅立叶变换、傅立叶变换的性质、连续信号经理想采样后进行重建，加深对时域采样定理的理解。 三、实验内容： 1. 求下列序列的离散时间傅里叶变换 (a) ()(0.5)()n x n u n = (b) (){1,2,3,4,5}x n = 2. 设/3()(0.9),010,j n x n e n π=≤≤画出()j X e ω并观察其周期性。 3. 设()(0.9),1010,n x n n =--≤≤画出()j X e ω并观察其共轭对称性。 4. 验证离散时间傅里叶变换的线性、时移、频移、反转（翻褶）性质。 5. 已知连续时间信号为t a e t x 1000)(-=，求： (a) )(t x a 的傅里叶变换)(Ωj X a ； (b) 采样频率为5000Hz ，绘出1()j X e ω,用理想内插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论； (c) 采样频率为1000Hz ，绘出2()j X e ω，用理想内插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论。 四、实验原理： 1. 离散时间傅里叶变换(DTFT)的定义： 2．周期性：()j X e ?是周期为2π的函数 (2)()()j j X e X e ??π+= 3．对称性：对于实值序列()x n ，()j X e ?是共轭对称函数。 *()() Re[()]Re[()] Im[()]Im[()]()() ()() j j j j j j j j j j X e X e X e X e X e X e X e X e X e X e ??????????-----===-=∠=-∠ 4．线性：对于任何12,,(),()x n x n αβ，有 1212[()()][()][()]F x n x n F x n F x n αβαβ+=+ 5．时移 [()][()]()j k j j k F x n k F x n e X e e ωωω---== 6．频移 00()[()]()j n j F x n e X e ωωω-= 7．反转（翻褶） [()]()j F x n X e ω--= 五、实验器材（设备、元器件）： PC 机、Windows XP 、MatLab 7.1 六、实验步骤： 本实验要求学生运用MATLAB 编程产生一些基本的离散时间信号，并通过MATLAB 的几种绘图指令画出这些图形，以加深对相关教学内容的理解，同时也通过这些简单的函数练习了MATLAB 的使用。 [()]()()(), ()j j jn z e n n F x n X e X z x n e x n ωωω∞-==-∞∞=-∞===<∞∑∑收敛条件为： 第三讲 Part3 DFT 的理论难点 1、抽样定理 连接离散信号与连续信号的桥梁。 ()(){ ()()j t a a j j n s n X j x t e dt X e x nT e ω ω∞ -Ω-∞ ∞ -=-∞ Ω== ?∑ 根据频域卷积定理推导 () ()()() {1()()()()()2j j j j j y n x n h n Y e X e H e X e H e d πωωωθωθπ θ π--==*=? 得到：1 ()()j a s k s X e X j jk T ω ∞ =-∞ = Ω-Ω∑ 2、FT 中的待研究的理论难点与关键之处 2．1 DFT 与DTFT 的关系 两种论述方法： 方法1：书P119-P120的论述；请同学看书后，上黑板叙述推演相关的过程。 方法2：书P121，连续频谱的抽样也必然使原来的时域信号变成周期的。 2.2 DFT 的()X k 是“()x n 的傅里叶变换”的某种程度上的近似。 用DFT 对连续信号和离散信号进行谱分析的基本原理和方法 2.2.1 怎样理解DFT 对FT 的近似？ 由于用DFT 对连续信号做频谱分析的过程中隐含了频域和时域的两个周期延拓，又由于信号时宽和带宽的制约关系，因此，做DFT 得到的()N X k ，及由()N X k 做IDFT 得到的 ()N x n 都是对原()a X j Ω及()a x t 的某种近似。 如果s T 选得足够小，则式1 ()|()s j a T a s l s X e X j jl T ω ω∞ =Ω=-∞ = Ω-Ω∑ 中将避免或大大减轻 频域的混叠。 如果N 选得足够大，一方面可以减轻式()()*()j j j a X e X e D e ω ω ω =的窗口效应，另一方面也会减轻式()(),0,1, (1) l x n x n lN n N ∞ =-∞ = +=-∑的时域混叠。 结论：在这两个条件均满足的情况下，上述的近似误差将减小到可接受的程度，从而 实验二离散时间傅里叶变换和离散傅里叶变换 一．实验目的 1.深刻理解离散时间信号傅里叶变换的定义，与连续傅里叶变换之间的关系； 2.深刻理解序列频谱的性质（连续的、周期的等）； 3.能用MATLAB编程实现序列的DTFT，并能显示频谱幅频、相频曲线； 4.深刻理解DFT的定义、DFT谱的物理意义、DFT与DTFT之间的关系； 5.能用MATLAB编程实现有限长序列的DFT； 6.熟悉循环卷积的过程，能用MA TLAB编程实现循环卷积运算。 二．实验原理 1.离散时间信号的频谱和图示化 2.离散傅里叶变换的定义和图示化 三．实验结果 w=[0:2:500]*pi*2/500; h=(1+0.9*exp(-j*w))./(1-0.9*exp(-j*w)); magh=abs(h); plot(w/pi,magh);grid;xlabel('f');ylabel('|H(w)|'); n=[0:127]; m=[0:127]; x=exp(j*2*pi/128*m.*n); [xk]=dft(x,128); stem(n,xk);xlabel('n');ylabel('xk'); n=[0:127]; m=[0:127]; x=cos(2*pi/128*m.*n); [xk]=dft(x,128); stem(n,xk);xlabel('n');ylabel('xk'); n=[0:127]; m=[0:127]; [xk]=dft(x,128); stem(n,xk);xlabel('n');ylabel('xk'); n=[0:127];m=[0,127]; x=sin(n); [xk]=dft(x,128); stem(n,xk);xlabel('n');ylabel('xk'); 第五章 离散傅里叶变换及其快速算法 1 离散傅里叶变换(DFT)的推导 (1) 时域抽样： 目的：解决信号的离散化问题。 效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。 (2) 时域截断： 原因：工程上无法处理时间无限信号。 方法：通过窗函数(一般用矩形窗)对信号进行逐段截取。 结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。 (3) 时域周期延拓： 目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。 方法：周期延拓中的搬移通过与)(s nT t -δ的卷积来实现。 表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。 结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。 (4) 1。 图1 DFT 推导过程示意图 (5) 处理后信号的连续时间傅里叶变换：∑∑ ∞ -∞=-=π--δ???? ? ????= k N n N kn j s kf f e nT h f H )()()(~ 010/2 (i) )(~f H 是离散函数，仅在离散频率点S NT k T k kf f = ==00处存在冲激，强度为k a ，其余各点为0。 (ii) )(~ f H 是周期函数，周期为s s T NT N T N Nf 1 00= == ，每个周期内有N 个不同的幅值。 (iii) 时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期(或离散间隔)互为倒数。 2 DFT 及IDFT 的定义 (1) DFT 定义：设()s nT h 是连续函数)(t h 的N 个抽样值1,,1,0-=N n ，这N 个点的宽度为 N 的DFT 为：[])1,...,1,0(,)()(1 0/2-=??? ? ? ?==? -=π-∑N k NT k H e nT h nT h DFT s N n N nk j s s N (2) IDFT 定义：设??? ? ??s NT k H 是连续频率函数)(f H 的N 个抽样值1,,1,0-=N k ， 这N 个点的宽度为N 的IDFT 为： ())1,...,1,0(,11 0/21 -==??? ? ? ?=???????????? ???-=π--∑ N k nT h e NT k H N NT k H DFT s N k N nk j s s N (3) N nk j e /2π-称为N 点DFT 的变换核函数，N nk j e /2π称为N 点IDFT 的变换核函数。它们 互为共轭。 (4) 同样的信号，宽度不同的DFT 会有不同的结果。DFT 正逆变换的对应关系是唯一的， 或者说它们是互逆的。 (5) 引入N j N e W /2π-= (i) 用途： (a) 正逆变换的核函数分别可以表示为nk N W 和nk N W -。 (b) 核函数的正交性可以表示为：() )(* 1 0r n N W W kr N N k kn N -δ=∑-= (c) DFT 可以表示为：)1,,1,0(,)(10 -==? ??? ??∑ -=N k W nT h NT k H N n nk N s s (d) IDFT 可以表示为：)1,,1,0(,1 )(1 0-=??? ? ? ?= ∑ -=-N n W NT k H N nT h N k nk N s s (ii) 性质：周期性和对称性： (a) 12==π-j N N e W (b) 12 /-==π-j N N e W (c) r N r N N N r N N W W W W ==+ (d) r N r N N N r N N W W W W -=-=+2/2/ (e) )(1Z m W m N ∈?= (f) ),(/2/2Z n m W e e W n N N n j m N m n j m n m N ∈?===π-π- 3 离散谱的性质 (1) 离散谱定义：称)(Z k NT k H H S k ∈???? ? ?=? 为离散序列)0)((N n nTs h <≤的DFT 离散谱，简称离散谱。 (2) 性质： (i) 周期性：序列的N 点的DFT 离散谱是周期为N 的序列。 (ii) 共扼对称性：如果)0)((N n nTs x <≤为实序列，则其N 点的DFT 关于原点和N /2都 时域信号 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 线性 2 时域平移 3 频域平移, 变换2的频域对应4 如果值较大，则会收缩 到原点附近，而会扩 散并变得扁平. 当 | a | 趋向 无穷时，成为 Delta函数。 5 傅里叶变换的二元性性质。通过 交换时域变量和频域变量 得到. 6 傅里叶变换的微分性质 7 变换6的频域对应 8 表示和的卷积—这 9 矩形脉冲和归一化的sinc 函数 10 变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，sinc 函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。 11 tri 是三角形函数 12 变换12的频域对应 13 高斯函数 exp( ? αt 2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当 Re(α) > 0时，这是可积的。 14 15 16 a>0 17 变换本身就是一个公式 18 δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这 个变换展示了狄拉克δ函数的重要 性：该函数是常函数的傅立叶变换 19 变换23的频域对应 20 由变换3和24得到. 21 由变换1和25得到，应用了欧拉公 式: cos(at) = (e iat + e?iat) / 2. 22 由变换1和25得到 23 这里, n是一个自然数. δ(n)(ω) 是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这 个变换是根据变换7和24得到的。 将此变换与1结合使用，我们可以变 换所有多项式。 24 此处sgn(ω)为符号函数；注意此变 换与变换7和24是一致的. 25 变换29的推广. 26 变换29的频域对应. 27 此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换 根据变换1和31得到. 实验三 离散傅里叶变换 一 实验目的 1、理解和加深DFS 和DFT 的概念及其性质； 2、学习利用离散傅里叶变换分析信号的频谱。 二 实验设备 1、计算机 2、MA TLAB R2007a 仿真软件 三 实验原理 离散傅里叶变换在时域和频域都离散有限的特点，使其成为信号分析与处理中的一个最根本的也是最常用的变换。然而，但序列的长度N 很大时，直接计算DFT 需要很大的计算量。快速傅里叶变换使DFT 的运算效率提高数个数量级，为数字信号处理技术应用与各种信号的实时处理创造了良好的条件。MA TLAB 提供了用于快速计算DFT 的fft 函数，其调用格式为：y=fft(x) 或 y=fft(x,N);fft 函数用来计算序列)(n x 的N 点DFT ，如果序列的长度小于N ，则函数在序列的尾部补零至N 点；而当序列的长度大于N 时，函数对序列进行截短。为了提高运行速度，通常将N 取为2的整数次幂。 四 实验内容 1、上机实验前，认真阅读实验原理，掌握DFS 和DFT 的基本概念； 2、掌握离散傅里叶变换分析信号频谱的MATLAB 实现方法。 实例1：求周期序列)()(~ 5 ~ n R n x ，周期分别为N=20 和N=60时的)(~ k X 。 将下列指令编辑到“exlfft.m ”文件中： clc; close all; clear all; L=5;N1=20;N2=60; xn1=[ones(1,L),zeros(1,N1-L)]; xn2=[ones(1,L),zeros(1,N2-L)]; n1=0:N1-1; n2=0:N2-1; Xk1=fft(xn1,N1); Xk2=fft(xn2,N2); magXk1=abs(Xk1); magXk2=abs(Xk2); k1=[-N1/2:N1/2]; 第2章信号分析 本章提要 信号分类 周期信号分析--傅里叶级数 非周期信号分析--傅里叶变换 脉冲函数及其性质 信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量信号分析：从信号中提取有用信息的方法 和手段 §2－1 信号的分类 两大类：确定性信号，非确定性信号 确定性信号：给定条件下取值是确定的。 进一步分为：周期信号， 非周期信号。 非确定性信号（随机信号）：给定条件下 取值是不确定的 按取值情况分类：模拟信号，离散信号数字信号：属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。 信号描述方法 时域描述 如简谐信号 频域描述 以信号的频率结构来描述信号的方法:将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。 傅里叶级数的三角函数展开式 （n=1, 2, 3，…） 傅立叶系数： 式中Ｔ--周期；0--基频, 0=2/T。 三角函数展开式的另一种形式：周期信号可以看作均值与一系列谐波之和--谐波分析法 频谱图 周期信号的频谱三个特点：离散性、谐波性、收敛性 例1：求周期性非对称周期方波的傅立叶级数并画出频谱图 解： 解： 信号的基频 傅里叶系数 n次谐波的幅值和相角 最后得傅立叶级数 频谱图 幅频谱图相频谱图 二、周期信号傅里叶级数的复指数形式 欧拉公式 或 傅立叶级数的复指数形式 复数傅里叶系数的表达式 其中a n，b n的计算公式与三角函数形式相同，只是n包括全部整数。 一般c n是个复数。 因为a n是n的偶函数，b n是n的奇函数，因此# 即：实部相等，虚部相反，c n与c-n共轭。 c n的复指数形式 共轭性还可以表示为 即：c n与c-n模相等，相角相反。 傅立叶级数复指数也描述信号频率结构。它与三角函数形式的关系 对于n>0 第一章 离散傅里叶变换（DFT ） 填空题 （1） 某序列的DFT 表达式为 ∑-==1 0)()(N n kn M W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长 度为 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 。 解：N ； M π 2 （2）某序列DFT 的表达式是 ∑-==1 0)()(N k kl M W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度 是 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是 。 解： N M π2 } （3）如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件 。 解：纯实数、偶对称 （4）线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为2 52) 1(8)(2 2++--=z z z z z H ，则系统 的极点为 ；系统的稳定性为 。系统单位冲激响应)(n h 的初值为 ；终值 )(∞h 。 解： 2,2 1 21-=- =z z ；不稳定 ；4)0(=h ；不存在 (5) 采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1 -z 代表的物理意义是 ，其中时域数字 序列)(n x 的序号 n 代表的样值实际位置是 ；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际 位置又是 。 解：延时一个采样周期F T 1=，F n nT =，k N k πω2= （6）已知 }{}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x ，则][n x 和 ][n h 的5点循环卷积为 。 解：{}]3[]2[][][][][---+?=?k k k k x k h k x δδδ {}4,3,2,1,0;2,3,3,1,0])3[(])2[(][55==---+=k k x k x k x [ （7）已知}{}{3,2,1,0;1,1,2,4][,3,2,1,0;2,0,2,3][=--=== k n h k n x 则][][n h n x 和的 4点循环卷积为 。 第四章 离散系统分析和离散傅里叶变换 4-1概述 在上一章中我们已经介绍了连续时间信号（周期的或非周期的）的傅里叶变换。在第一、二章中介绍了离散信号和离散系统的概念，在这一章中主要讨论离散信号的傅里叶变换。 4-2离散信号的傅里叶变换 时域抽样定理告诉我们，连续时间信号可以由它的样本值恢复出来，即 ]2 ) ([ )()(∑ ∞ -∞ =-Ω= n s nT t Sa nT f t f 当抽样频率s Ω给定时，抽样函数]2 ) ([ nT t Sa s -Ω就确定了，唯一与信号相关的是信号的样本值)(nT f ，换句话说传载)(t f 中信息的是样本值)(nT f 。因此研究连续时间信号)(t f 中的信息，就转 变为研究样本值)(nT f 中的信息。当抽样频率s Ω给定时，T 也就一定了，样本值)(nT f 就可以抽象为序列)(n f ，也就是说离散信号的数学抽象是序列。以后我们就用序列)(n f 表示离散信号（样本值）。 由于序列的变量是整数变量，与连续信号的变量不同，因此对序列的处理方法与连续时间变量的处理方法也必定不同。先来看看序列的傅里叶变换，连续非周期时间信号)(t f 的傅里叶变换为 ? ∞ ∞ -Ω-= =Ωdt e t f t f F t j )(])([)(F ? ∞ ∞ -ΩΩΩ= Ω=d e F F t f t j -)(21 )]([)(1 π F 假定)(n f 是非周期的，仿照连续时间信号的傅里叶变换形式可以定义序列的傅里叶变换： ∑∞ -∞ =-= n jn j e n f e F ω ω )()( （4-1） ?- = π πωω ωπ d e e F n f jn j )(21 )( （4-2） 式中ω为数字角频率。（4-1）式和（4-2）式构成了序列的傅里叶变换对，前者称为序列的傅里叶正变换，后者称为序列的傅里叶逆变换。注意到序列傅里叶正变换公式是个和式，这是因为序列)(n f 的变量是离散的整数，序列的傅里叶逆变换公式是个积分式，由此也说明序列的傅里叶变换是ω的连续函数，也就是说，离散信号的傅里叶变换是频域中连续的函数。此外因离散傅里叶变换的分析与研究
快速傅里叶变换实验报告
实验三傅里叶变换及其性质
实验四-离散傅里叶变换
离散傅里叶变换和快速傅里叶变换
离散信号的傅里叶变换(MATLAB实验)
离散傅里叶变换和快速傅里叶变换
离散傅里叶变换
实验四 离散傅里叶变换的性质
实验2 离散时间傅里叶变换
第二讲 Part3 离散傅里叶变换_难点
实验离散时间傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散傅里叶变换及其快速算法
常用傅立叶变换表
实验三离散傅里叶变换
傅里叶变换公式
离散傅里叶变换(DFT)试题
离散系统分析和离散傅里叶变换讲解