2020届广东省清远市高三上学期期末教学质量检测数学试题(文)(解析版)

广东省清远市2020届高三上学期期末教学质量检测

数学试题（文）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，

1.已知集合{}|6M x x =<，{}1,2,3,4,5,6,,7,8,9N =，则R

M N ?=( )

A. {}6,7,8,9

B. {}7,8,9

C. {}1,2,3,4,5

D. {}1,2,3,4,5,6

【答案】A 解析依题意{}R

|6M x x =≥，所以M N ?=R {}6,7,8,9.

故选：A. 2.设复数z =i 1

1i

-

-，则|z |=( )

A. 0

B.

C.

2

D. 1

【答案】C 解析依题意()()

1111

11222i i z i i i i i ++=-

=-=-+-+，

所以2z ==

. 故选：C

3.清远市教育教学研究院想了解清远市某所中学的学生是否赞成该学校的某个新政策，由于条件限制，教学研究院不能询问每位学生的意见，所以需要选择一个合适的样本.最好的方法是询问( ) A. 由该学校推选的学生 B. 在课间遇见的学生 C. 在图书馆学习的学生

D. 从学校名单中随机选取的学生

【答案】D

解析按照随机的原则，即保证总体中每一个对象都有已知的、非零的概率被选入作为研究的对象，保证样本的代表性。随机抽样法就是调查对象总体中每个部分都有同等被抽中的可能，是一种完全依照机会均等的原则进行的抽样调查，被称为是一种“等概率”。ABC 三个抽样方法，不能保证等可能，D 选项可以保证等可能，所以最好的方法是D. 故选：D

4.已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的一条渐近线方程为0y +=，则双曲线C 的

离心率为（ ）

A. 3

B.

C. D. 9

【答案】A

解析因为渐近线方程为0y +=

故

22222883b c

b a

c a a a a

=?=?-=?=. 故选：A.

5.已知0.6

0.60.5log 0.5,0.5,log 6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）

A. a b c <<

B. c b a <<

C. a c b <<

D. b c a <<

【答案】B

解析函数0.6log y x =单调递减，故0,60.6log 0.5log 0.61a =>=. 又0.6

0.500.5

1,log 60b c <=<=<，

所以c b a <<. 故选：B.

6.函数f （x ）32

2x x cosx

x

=+在[﹣π，π]上图象大致为( ) A. B.

C. D.

【答案】A

解析由于()()32

cos 2x

x x

f x f x x

-=-=-+， 所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，由此排除BC 选项.由于()33

22

cos 022f ππππππππ

?==-<++，故D 选项错误.正确的为A. 故选：A

【点睛】本小题主要考查函数图象的的识别，属于基础题. 7.sin195°sin465°=( )

A.

4

B.

14

C.

4

D. 14

-

【答案】D

解析原式()()sin 18015sin 360105

=+?+()

sin15sin105sin15sin 9015

=-?=-?+1111

sin15cos15sin 302224

=-?=-=-?=-.

故选：D

8.已知F 为抛物线2:4C x y =的焦点，直线1y =+与抛物线C 交于点,A B ，

则||AB =（ ）

A. B. 16

C. 12

D. 【答案】C

解析由题意得(0,1)F ，所以1y =+过焦点F .

设()()1122,,,A x y B x y ， 则12||2AB y y =++.

联立24,1,

x y y ?=??=+??

得240x --=，

所以12x x +=.

又11221,1y y =+=+，

所以)1212||2412AB y y x x =++=++=.

故选：C.

9.已知函数()sin()0,0,0||2f x A x A πω?ω??

?

=+>><<

??

?

的部分图象如图所示，下述四个结论：①2ω=；②3π?=-；③12f x π??+ ??

?是奇函数；④12f x π?

?- ???是偶函数中，所有正确结论的编号是（ ）

A. ①②

B. ①③④

C. ②④

D. ①②④

【答案】D

解析由图可知，1A =，又函数周期2T π

πω

==，求得 2ω=

根据五点作图法：206

π

??+=，解得3

π

?=-

故()sin 23f x x π??

=-

??

?

，所以①②正确； sin 2sin 2sin 212123636f x x x x ππππππ?????????

?+=+-=+-=- ? ? ? ??????

???????，

此时函数不是奇函数，所以③错误；

sin 2sin 2sin 2cos212123632f x x x x x ππππππ?????????

?-=--=--=-=- ? ? ? ??????

???????，

故12f x π?

?- ???为偶函数，所以④正确.

综上所述，正确的有①②④.

故选：D.

10.已知f （x ）是定义域为R 的奇函数，且f （x ）=﹣f （x +2），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x ﹣x 2，则f （﹣1），f （2

π

），f （π）的大小关系是( ) A. f （

2

π

）

2

π

）

π

）

D. f （﹣1）

π

）

【答案】C

解析由于()f x 是R 上的奇函数，且()()2=-+f x f x ，

所以()()()()4222f x f x f x f x +=++=-+=，所以()f x 是周期为4的周期函数. 当()0,2x ∈时，()2

2

22f x x x x x =-=-+.

()()()111210f f -=-=--+=-<.

()2

2

4402244f πππππππ--????

=-+==> ? ?????

.

()()()()()2

44424f f f πππππ??

=-=--=---+-??

()()268240.98041ππππ=-+=--≈->-.

所以()()12f f f ππ??

-<< ???

. 故选：C

11.我国古代在珠算发明之前多是用算筹为工具来记数、列式和计算的.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法有两种，即“纵式”和“横式”，规定个位数用纵式，十位数用横式，百位数用纵式，千位数用横式，万位数用纵式……依此类推，交替使用纵横两式.例如：

27可以表示为“”.如果用算筹表示一个不含“0”的两位数，现有7

根小木棍，能表示多少个不同的两位数( )

A. 54

B. 57

C. 65

D. 69

【答案】B

解析当十位为1时，个位可以是1,2,3,4,5,6,7,8,9，共9种； 当十位为2时，个位可以是1,2,3,4,5,6,7,8,9，共9种； 当十位为3时，个位可以是1,2,3,4,6,7,8，共7种； 当十位为4时，个位可以是1,2,3,6,7，共5种； 当十位为5时，个位可以是1,2,6，共3种；

当十位为6时，个位可以是1,2,3,4,5,6,7,8,9，共9种； 当十位为7时，个位可以是1,2,3,4,6,7,8，共7种； 当十位为8时，个位可以是1,2,3,6,7，共5种； 当十位为9时，个位可以是1,2,6，共3种； 所以总的有()99753257++++?=种. 故选：B

12.如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC .若P A =AB =BC =2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，则三棱锥P ﹣AEF 的外接球的表面积为( )

A. 3π

B. 5π

C. 6π

【答案】B

解析由于PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，由于,AB BC AB PA A ⊥?=，所以BC ⊥平面PAB ，所以,BC PB BC AE ⊥⊥，由于,E F 分别是,PB PC 的中点，所以//EF BC ，所以,EF PB EF AE ⊥⊥.而AB PA =，所以AE PB ⊥，所以,,EP EA EF 两两垂直.故可

将三棱锥P AEF -

补形成长方体，且11

1,22

EF BC AE PE PB =====，所以长方体的对角线长为

=，设三棱锥P AEF -外接球的半径为R ，则

2R =245R ππ=.

故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量a =（m ，3），b =（m 4

3

-，m ﹣1）.若a //b .则m =_____. 【答案】2

解析由于a //b ，所以()4133m m m ???-=?- ???

，即2440m m -+=，()2

20,2m m -==. 故答案为：2

14.已知实数x ，y 满足141x y x y y -≥-??

+≤??≥-?

，则z =x +2y 的最大值是_____.

【答案】

132

解析画出可行域如下图所示，向上平移基准直线20x y +=到可行域边界位置点35,22A ?? ???

，由此求得2z x y =+的最大值为

3513

2

222

+?=. 故答案为：

13

2

15.已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，a n ?a n +1=2n ，则S 15=_____. 【答案】509

解析由于111,15n n a a a +=?=，12n

n n

a a +=，所以

23413142

27

7234514152672222222,2,2,2,

,2,21222

22

a a a a a a ============，

所以()()72715212122221212

S ?-

=+?++

+=+?

-509=.

故答案为：509

16.在△ABC 中，角A ，B ，C

对边分别为a ，b ，c .已知a ，b 2+c 2=a

2bc ，BD =

2DC ，且∠BAD =90°，则△ABC 的面积为_____. 【答案】

9

5

解析∵b 2+c 2=a 2bc ，

∴可得cos A 222

222

b c a bc bc +-===-

， ∴由A ∈（0，π），可得

A 34

π

=

， ∵a ＝，BD =2DC

， ∴CD =

BD=，

∵边BC 上一点D 满足BD=2DC ，且∠BAD=90°， ∴∠CAD 4

π

=

，

的

在△ADC 中，

4

DC

b sin ADC sin

π

=

∠

b

sin ADC =

∠，可得b =2sin ∠ADC ，…①

在△ADB 中，sin ∠

ADB =

②

由①②可得

b =

. 在△ABC 中，BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB ?AC ?cos ∠BAC ， 可得18=c 2+b 2

2bc =c 212+

c

2c ，解得

c =，

b 5

=， ∴△ABC 的面积为 S 12=

bc

sin 319425525

π=?=. 故答案为：

9

5

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.

17.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1>0，a 8﹣a 4﹣a 3=1，a 4是a 1和a 13的等比中项. （1）求数列{a n }的通项公式；

（2）证明：对一切正整数n .有12

11

134

n S S S +

++

<. （1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，

由题意，()12

1111

21

(3)120

d a a d a a d a -=??+=+??>?，解得132a d =??=?，

∴数列{a n }的通项公式为a

n =3+2（n ﹣1）=2n +1；

（2）证明：由（1）知，()()12

322

n n n S n n n -?=+

=+.

∴

()()

()

12

1111111

1

132435

112n S S S n n n n +++

=++++

+

???-++

1

2=

[1111111111

32435

112

n n n n -+-+-++

-+--++]3111342124n n ??=-+< ?+??.

18.广东省的生产总值已经连续30年位居全国第一位，如表是广东省从2012年至2018年7年的生产总值以人民币（单位：万亿元）计算的数据：

（1）从表中数据可认为x 和y 的线性相关性较强，求出以x 为解释变量、y 为预报变量的线性回归方程（系数精确到0.01）；

（2）广东省2018年人口约为1.13亿，德国2018年人口约为0.83亿.从人口数量比较看，广东省比德国人口多，但德国2018年的生产总值为4.00万亿美元，以（1）的结论为依据，预测广东省在哪年的生产总值能超过德国在2018年的生产总值？ 参考数据：7

1

i =∑

y i =52.81，

7

1

i =∑

x i y i =230.05，

7

1

i =∑

y i 2=411.2153，

7

1

i =∑

x i 2=140.

货币兑换：1美元≈7.03元人民币

参考公式：回归方程y b =x a +中斜率b 和截距a

的最小二乘估计公式分别为：

()()1

1

22

21

1

()?

n

n

i

i

i i i i n

n

i i

i i x x y

y x y

nx y b x x x

nx ====---?=

=--∑∑∑∑，a y b x =-.

解：（1）1234567

47

x ++++++=

=，711 7i y ==∑y i =52.81=7.544，

1

2

2

2

1

230.05547.544

2.8314074

n

i i

i n

i

i x y nx y

b x

nx ==-?-??=

=

≈-?-∑∑，a y b x =-=7.544﹣2.83×4≈﹣3.78. ∴线性回归方程为 2.83 3.78y x =-；

（2）由题意，德国2018年的生产总值为4.00万亿美元≈4.00×7.03=28.12万亿元. 由2.83x ﹣3.78>28.12，解得x ≈11.27.

∴预测广东省在2023年的生产总值能超过德国在2018年的生产总值.

19.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =45°，PD ⊥平面ABCD ，AP ⊥BD .

（1）证明：BC ⊥平面PDB ， （

2）若AB =

PB 与平面APD 所成角为45°，求点B 到平面APC 的距离.

（1）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，BC 在平面ABCD 内，BD 在平面ABCD 内， ∴PD ⊥BC ，PD ⊥BD ，

又AP ⊥BD ，AP ∩PD =P ，且AP ，PD 均在平面APD 内， ∴BD ⊥平面APD ， 又AD 在平面APD 内， ∴BD ⊥AD ，

又底面ABCD 为平行四边形， ∴BC ⊥BD ，

又PD ∩BD =D ，且都在平面PBD 内， ∴BC ⊥平面PDB ；

（2）解：由（1）知，PB 与平面APD 所成角即为∠BPD ，故∠BPD =45°，

又AB

=

DAB =45°，

∴1AD BD PD AP PC =======，AC ==， ∴AP 2+PC 2=AC 2，即AP ⊥CP ，

∴122

APC

S

=

=

，11

1222

ABC

S =?=， 又V P ﹣ABC =V B ﹣P AC ，

∴

1

133

ABC

PAC

S PD S h ?=?，即112?=，解得h =

，

即点B 到平面APC 的距离为

20.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，点(2,0)N 椭圆的右顶点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点(0,2)H 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，直线NA 与直线NB 的斜率和为1

3

-，求直线l 的方程.

解：（1）因为点(2,0)N 是椭圆的右项点，

所以2a =. 又

c a =

，所以c = 又222b c a +=，所以22b =

所以椭圆的方程为22

142

x y +=.

（2）若直线l 与x 轴垂直，则(0,A B ，则

413

NA NB N NB k k k k ==+≠-， 所以直线l 的斜率存在.

设直线l 的方程为()()11222,,,,y kx A x y B x y =+，

联立22214

2y kx x y =+???+=??，消去y ，得()22

21840k x kx +++=

则有121222

84

,2121

k x x x x k k -+=

=++ ()2221

(8)421402

k k k =-?+?>?>

△ 直线NA 的斜率为1

12y x -，直线NB 的斜率为）222

y x -，

所以

()()()()

122112121222122223y x y x y y x x x x -+-+==-----. 又11222,2y kx y kx =+=+

()()()()()()

122112121222222222kx x kx x y y x x x x +-++-+=----()()121212122(22)81

243

kx x k x x x x x x +-+-=

=--++，

化简得()1212(61)(46)200k x x k x x ++-+-=.

又121222

84

,2121

k x x x x k k -+=

=++， 所以2

248(61)(46)2002121

k

k k k k -+?+-?-=++， 化简得220--=k k ，解得12k =或21k =-， 又21k =-时，过点N ，故舍去， 所以直线l 的方程为22y x =+. 21.设函数()ln a

f x x x

=

+. （1）讨论函数()f x 的单调性；

（2）若1a ，证明1

()x f x e

>

恒成立. （1）解：由题意得0x >，22

1()a x a f x x x x '

-=-+=

. ①当0a ≤时，()0f x '

，故函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；

期末考试数学试题

②当0a >时，在区间(0,)a 上，()0f x '<，在区间(,)a +∞上，()0f x >， 故函数()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增. （2）证明：

要证1()x f x e >

，只需证

1

ln x

a x x e +> 又0x >，故只需证ln x x

a x x e

+>即可.

设()ln g x a x x =+，则()1ln g x x '

=+， 在区间10,

e ?? ???

上，()0g x '<，在区间1,e ??

+∞ ???上，()0g x '>， 故函数()g x 在区间10,e ?? ???

上单调递减，在区间1,e ??

+∞ ???上单调递增，

所以11()g x g a e e

??

=-

???

. 设()x x h x e =

，则1()x

x h x e '

-=，

在区间(0,1)上，()0h x '>，在区间(1,)+∞上，()0h x '<， 故函数()h x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，

所以1

()(1)h x h e =

. 又1a ≥，所以111a e e

--. 又因为2e >，所以2

1e

>，

所以11

1e e

->，

故在(0,)+∞上，()()g x h x >， 综上，1

()x f x e

>

恒成立. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

选修4-4：坐标系与参数方程

.

22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2

212,22x t t

y t t ?=++????=+??（t 为参数），曲线2C 的参

数方程为2,

x y αα

?=+??=??，（α为参数）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标

系.

（1）求曲线2C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐极方程为4

π

θ=，直线l 与曲线1C 和2C 分别交于不同于原点的,A B 两点，

求||AB 的值.

解：（1

）由2,,x y αα?=??=??

得2,

,

x y αα=-= 两式平方相加，得22(2)2x y -+=，

又222

,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，

所以曲线2C 的极坐标方程为2

4cos 20ρρθ-+=.

（2）由2

2

12,22,

x t t y t t ?=++???

?=+??

得2

2

2

221142,2,4y t x t x t t ??=+

+=++ ??

?

消去t ，得2

4,4y x x =，

曲线1C 的极坐标方程为22(sin )4cos sin 4cos ,42ρθρθρθθρ=?=. 设12,

,,44

A B ππρρ?

??? ? ?

?

?

?

?

， 所以12

4cos

4sin 4

π

ρπ

=

=

(2

22

2220ρρ-+=-=

解得2ρ=

12|||AB ρρ=-==

故AB = 选修4-5：不等式选讲

23.已知0a b >>，函数2

4

()()

f x x a x b a b =-++-.

（1）若1,2b a ==，求函数()f x 的最小值； （2）证明：()8f x . （1）解：当1,2b a ==时，

()44f x x x =-++()()448x x ≥--+=

当且仅当[]

4,4x ∈-时取得 故()f x 的最小值为8. （2）证明：

()22

2

444

()()()()

f x x a x x a x a b a b b a b b a b ??=-++

--+=+

??

---??

，

故2

4

()()

f x a b a b +

-.

又()2(a b a b b a b =+--2

416()

b a b a -，2222

2416

16

8()a a a b a b a

a

+

+?

=-， 当且仅当2,1a b ==时等号成立，故()8f x .