平面图形及其位置关系

平面图形及其位置关系

主要概念

1．线段、射线、直线

（1）线段：绷紧的琴弦、人行道横线都可以近似地看做线段．

线段的特点：是直的，它有两个端点．

（2）射线：将线段向一方无限延伸就形成了射线．

射线的特点：是直的，有一个端点，向一方无限延伸．

（3）直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线．

直线的特点：是直的，没有端点，向两方无限延伸．

2．线段的中点

把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做线段的中点．

利用线段的中点定义，可以得到下面的结论：

（1）因为AM=BM=1

AB，所以M是线段AB的中点．

2

AB或AB=2AM=2BM．

（2）因为M是线段AB的中点，所以AM=BM=1

2

3．角

由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边．角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的．

一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角．终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角．

4．角平分线

从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．5．平行线

在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．

平行的关系是相互的，如果AB∥CD，则CD∥AB，其中符号“∥”读作“平行”．

6．两条直线垂直

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，其交点叫做垂足，•如直线AB•与直线CD垂直，记作AB⊥CD．

7．两点之间的距离

两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离．

8．点到直线的距离

从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．

（二）主要性质

1．直线的性质

经过两点有且只有一条直线，其中“有”表示“存在性”，“只有”表示“惟一性”．

2．线段的性质

两点之间的所有连线中，线段最短．

3．与平行线有关的一些性质

（1）平行公理．

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

（2）平行公理的推论．

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

4．垂线性质

（1）经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．

（关于线）例1：1、①射线与其反向延长线形成一条直线; ②直线a, b相交于点m; ③两直线相交于两点; ④三条直线两两相交, 一定有3个交点.

A. 3个

B. 2个

C. 1个

D. 0个

2、直线a, b, c是平面上任意三条不同直线, 交点可能有()

A. 1个或2个或3个

B. 0个或1个或3个

C. 0个或1个或2个

D. 0个或1个或2个或3个

3、某市汽车站A到火车站F有四条不同的路线, 如图4-2-1所示, 其中路线最短的是()

图4-2-1

A. 从A经过到F

B. 从A经过线段BE到F

C. 从A经过折线BCE到F

D. 从A经过折线BCDE到F

4、(2011湖北黄石, 8, ★★☆) 平面上不重合的两点确定一条直线, 不同的三点最多可确定3条直线, 若平面上不同的n个点最多可确定21条直线, 则n的值为()

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

5、同一平面内有四点，每过两点画一条直线，则直线的条数是（）

A．1条B．4条C．6条D．1条或4条或6条

例2：1、如图4-2-6, 已知线段AB和CD的公共部分BD=AB=CD, 线段AB、CD的中点E、F之间距离是10 cm, 求AB、CD的长.

2、如图所示，B、C两点把线段AD分成2：4：3三部分，M是AD的中点，CD=9，求线段MC的长．

练习：1、如图，AB=8㎝,CB=5㎝，D是AC的中点，求DC的长。

2、(2012山东菏泽, 9, ★★☆) 已知线段AB=8 cm, 在直线AB上画线段BC, 使BC=3 cm, 则线段AC=.

3、某大公司员工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有60人，B区有30人，C区有20人，三个区在同一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（）

例3：利用线段的和差判断三点共线

判断以下三点A、B、C是否共线．

（1）有三点A、B、C，且AB=10cm，AC=2cm，CB=8cm；

（2）AB=10cm，AC=3cm，CB=9cm．

例4：如图4-2-7是某风景区的旅游路线示意图, 其中B, C, D为风景点, E为两条路的交叉点, 图中数据为相应两点间的路程(单位: km). 一学生从A处出发, 以2 km/h的速度步行游览, 每个景点的逗留时间均为0.5 h.

(1) 当他沿着路线A—D—C—E—A游览回到A处时, 共用了3 h, 求CE的长;

(2) 若此学生打算从A处出发后, 步行速度与在景点的逗留时间保持不变, 且在最短时间内看完三个景点返回到A处, 请你为他设计一条步行路线. (不考虑其他因素)

图4-2-7

例:5：1、（2003年黑龙江）从哈尔滨开往A市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有（）

A．4种B．6种C．10种D．12种

2、（无锡）L1与L2是同一平面内的两条相交直线，它们有１个交点，•如果在这个平面内，再画第三条直线L3，那么这3条直线最多可有_______个交点；•如果在这个平面内再画第4条直线L4，那么这4条直线最多可有_______个交点；由此我们可以猜想在同一平面内，6条直线最多可有_______个交点，n（n为大于1的整数）条直线最多可有_______个交点（用

含n的代数式表示）．

练习：1、如图两条平行直线m、n上各有4个点和5个点,任选9个点中的两个连一条直线,则一共可以连( )条直线.

A.20

B.36

C.34

D.22

2、观察下列图形(如图4-5-2所示), 回答问题:

(1) 四边形、五边形、六边形各有几条对角线?

(2) 七边形有多少条对角线?

(3) n边形有多少条对角线?

图4-5-2

（关于角）例6：1、下列说法中正确的是()

A. 由两条射线组成的图形叫做角；

B. 直线是一个平角；

C. 一条射线就是一个周角

2、(2010湖南娄底, 15, ★☆☆) 如图2, 直线AB、CD相交于点O, OE平分∠AOD, 若

∠BOD=100°, 则∠AOE=.

图2

3、如图3, ∠AOB=∠COD, 则()

图3

A. ∠1> ∠2

B. ∠1=∠2

C. ∠1< ∠2

D. ∠1与∠2的大小无法比较

4、把一个圆分成四个扇形, 它们圆心角度数的比为4∶3∶5∶6, 求这四个扇形的圆心角度

数.

练习：1、如图4-4-4, 已知∠AOC=∠BOD=90°, ∠AOD=150°, 则∠BOC=.

图4-4-4

2、(2012广东广州, 11, ★☆☆) 已知∠ABC=30°, BD是∠ABC的平分线, 则∠ABD=

3、如图4-4-1, OC是∠AOB的平分线, OD是∠AOC的平分线, 且∠COD=25°, 则∠AOB等于()

图4-4-1

A. 50°

B. 75°

C. 100°

D. 120°

例7:1、从3时到6时, 钟表的时针旋转角的度数是()

A. 30°

B. 60°

C. 90°

D. 120°

2、（山西）时钟在3点半时，它的时针和分针所成的锐角是（）

A．70°B．75°C．85°D．90°

3、钟表现在是1点15分，分针再转多少度，时针与分针首次重合．

练习：时钟5点整时, 时针和分针之间的最小夹角是()

A. 210°

B. 30°

C. 150°

D. 60°

例8：(2014河北赵县期末, 24, ★★★) 已知∠AOB是一个直角, 在角的内部作射线OC, 再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD和OE.

(1) 如图4-4-6①, 当∠BOC=60°时, 求∠DOE的度数;

(2) 如图4-4-6②, 当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时, ∠DOE的大小是否发生变化? 若变化, 说明理由; 若不变, 求∠DOE的度数.

图4-4-6

例9：如图4-3-5所示:

(1) 在∠AOB内引一条射线时, 图4-3-5①中共有个角;

(2) 在∠AOB内引两条射线时, 图4-3-5②中共有个角;

(3) 在∠AOB内引三条射线时, 图4-3-5③中共有个角;

(4) 在∠AOB内引n条射线(n为自然数) 时, 则共有个角, 你发现什么规律了吗?

例10：一张饼上切七刀，最多可得到几块饼．

作业

1.下列说法正确的是（ ）

A.一条直线上有两条射线

B.以B 为端点的射线有射线AB 和BA

C.延长线段AB 相当于反向延长线段BA

D.一条直线只能经过两个点

2.下列说法正确的有( ) ①直线是射线长度的2倍; ②线段AB 为直线AB 的一部分; ③延长射线OA 到B; ④直线、射线、线段中, 线段最短.

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

3、如图，把矩形ABCD 沿EF 对折，若∠1＝50°，则∠AEF 等于（ ）A 、115° Ｂ.130° Ｃ.120° Ｄ.65°

4、如图，把矩形ABCD 沿EF 对折，若∠1＝50°，则∠AEF 等于（ ）Ａ.115° Ｂ.130° Ｃ.120° Ｄ.65°

5、（04江苏常州）已知α、β是两个钝角，计算()β+α6

1的值，甲、乙、丙、丁四位同学算出四种不同答案分别是24°、48°、76°、86°，其中只有一个是正确的，则正确的答案是（ ）.A.86° B.76° C.48° D.24°

6、如图,AB=20cm,C 是AB 上一点,且AC=12cm,D 是AC 的中点,E 是BC 的中点,求线段DE 的长. E C A D B

7、已知:如图,B 、C 两点把线段AD 分成2:4:3三部分,M 是AD 的中点,CD=6, 求线段MC 的长. C M A D

B

8、已知线段AB=6cm,在直线AB 上画线段BC=4cm,若M 、N 分别是AB 、BC 中点

(1)求M 、N 间的距离.

(2)若AB=acm,BC=bcm,其他条件不变,此时M 、N 间的距离是多少?

(3)分析(1)(2)的解答过程,从中你发现了什么规律? 在同伴间交流你得到的启迪?

A

B C D E F 1

9、如图,∠AOD=∠BOC=90°,∠COD=42°,求∠AOC 、∠AOB 的度数.

O

C A D

B

10、如图,BD 平分∠ABC,BE 分∠ABC 分2:5两部分,∠DBE=21°,求∠ABC 的度数.

D

C

A E

B

11、(1)如图,已知∠AOB=90°,∠BOC=30°,OM 平分∠AOC,ON 平分∠BOC, 求∠MON 的度数.

(2)如果(1)中的∠AOB=α,其他条件不变,求∠MON 的度数.

(3)如果(1)中的∠BOC=β (β为锐角),其他条件不变,求∠MON 的度数.

(4)从(1)、(2)、(3)的结果中能得出什么结论?

O

C M

A

B

N

12、小明下午6点多钟外出时，看到表上的时针与分针的夹角为100°，等他下午7点多回家再看表，发现时针与分针的夹角刚好也是100°.问小明离家时间有多长.

13、一块正方形木板有4个角, 每次锯掉一个角? 锯一次后最多还有几个角? 锯两次后最多还有几个角? 锯三次后最多还有几个角? 锯n 次后呢. (n 为正整数)