经济学中的常用函数
§1.6 经济学中的常用函数
一、需求函数
需求的含义：消费者在某一特定的时期内，在一定的价格条
件下对某种商品具有购买力的需要．
消费者对某种商品的需求量除了与该商品的价格有直
接关系外, 还与消费者的习性和偏好、消费者的收入、其他
可取代商品的价格甚至季节的影响有关. 现在我们只考虑
商品的价格因素, 其他因素暂时取定值. 这样, 对商品的
需求量就是该商品价格的函数, 称为需求函数. 用Q 表示
对商品的需求量, p 表示商品的价格, 则需求函数为:
()Q Q p =,
鉴于实际情况, 自变量p , 因变量Q 都取非负值.
一般地, 需求量随价格上涨而减少, 因此通常需求函数
是价格的递减函数.
常见的需求函数有:
线性需求函数: Q a bp =-, 其中a ,b 均为非负常数; 二次曲线需求函数: 2
Q a bp cp =--, 其中a , b , c 均为非负常数;
指数需求函数: bp Q ae -=, 其中a ,b 均为非负常数.
幂函数：
0,0,>>=-k a kP Q a 其中 需求函数()Q Q p =的反函数, 称为价格函数, 记作:
()p p Q =,
也反映商品的需求与价格的关系.
二、供给函数
供给的含义：在某一时间内，在一定的价格条件下，生产者愿意并且能够售出的商品．
供给量记为S , 供应者愿意接受的价格为
p , 则供给量
与价格之间的关系为: ()S S p =,
称为供给函数, p 称为供给价格, S 与p 均取非负值. 由供给函数所作图形称为供给曲线.
一般地，供给函数可以用以下简单函数近似代替： 线性函数: ,b aP Q -=, 其中a ,b 均为非负常数; 幂函数：: 0,0,>>=k a kP Q a 其中;
指数函数: bP ae Q =, 其中a ,b 均为非负常数. 需求函数与供给函数密切相关, 把需求曲线和供给曲线画在同一坐标系中, 由于需求函数是递减函数, 供给函数是递增函数, 它们的图形必相交于一点, 这一点叫做均衡点, 这一点所对应的价格0p 就是供、需平衡的价格, 也叫均
衡价格; 这一点所对应的需求量或供给量就叫做均衡需求量或均衡供给量. 当市场价格p 高于均衡价格0p 时, 产生了“供大于求”的现象, 从而使市场价格下降; 当市场价格p 低于均衡价格0p 时, 这时会产生“供不应求”的现象, 从而使市场价格上升; 市场价格的调节就是这样实现的.
应该指出, 市场的均衡是暂时的, 当条件发生变化时, 原有的均衡状态就被破坏, 从而需要在新的条件下建立新的均衡.
例1 某商品的需求量Q 与价格p 的关系由
23123Q p +=
给出, 而供给量Q 与价格p 的关系由
22099Q Q p --=-
给出, 试求市场达到供需平衡时的均衡价格和均衡需求量.
【解】 要求均衡价格和均衡需求量, 即解方程组
2220993123Q Q p Q p ?--=-?+=?
, 得到两组结果11
1201p Q =??=-? 和 22156p Q =??=?. 显然,第一组结果没有意义, 故所求均衡价格为15单位, 均衡需求量为6个单位.
三、生产函数
供需平
衡价格 供需平衡
P
生产函数刻画了一定时期内各生产要素的投入量与产品的最大可能产量之间的关系.一般说来，生产要素包括资金和劳动力等多种要素 .为方便起见，我们暂时先考虑只有一个投入变量，而其他投入皆为常量的情况 .
例 2
)(22)2()()(x g cx x g cx x g x g x a a a a ===由于间的函数关系为
与产出设投入 时，可见，当1=a 规模报酬不变；
时，当1 时，当1>a 如果投入增加一倍，产出增加不止一倍，即规模报酬递增 . 四、成本函数 成本是指生产某种一定数量产品需要的费用, 它包括固定成本和可变成本. 若记总成本为C , 固定成本为0C , Q 为产量, 1()C Q 为可变成本, 则成本函数为: 01()()C C Q C C Q ==+, 其中, 00,0,C Q ≥> 显然成本函数是递增函数, 它随产量的增加而增加. （2）平均成本函数 第三节常用经济函数 第三节常用经济函数 用数学方法解决实际问题，首先要构建该问题的数学模型，即找出该问题的函数关系. 本节将介绍几种常用的经济函数. 分布图示 ★单利与复利★例1 ★多次付息★贴现★例2 ★需求函数★供给函数 ★市场均衡★例3 ★例4 ★成本函数★例5 ★收入函数与利润函数 ★例6 ★例7 ★例8 ★例9 ★内容小结★课堂练习 ★习题1-3 内容要点 一、单利与复利 利息是指借款者向贷款者支付的报酬, 它是根据本金的数额按一定比例计算出来的. 利息又有存款利息、贷款利息、债券利息、贴现利息等几种主要形式. 单利计算公式 设初始本金为p (元), 银行年利率为r . 则 第一年末本利和为 )1(1r p rp p s +=+= 第二年末本利和为 ) 21()1(2r p rp r p s +=++= …… 第n 年末的本利和为 )1(nr p s n +=. 复利计算公式 设初始本金为p (元), 银行年利率为r . 则 第一年末本利和为 )1(1r p rp p s +=+= 第二年末本利和为 2 2)1()1()1(r p r rp r p s +=+++= …… 第n 年末的本利和为 .)1(n n r p s += 二、多次付息 单利付息情形 因每次的利息都不计入本金, 故若一年分n 次付息, 则年末的本利和为 )1(1r p n r n p s +=??? ??+= 即年末的本利和与支付利息的次数无关. 复利付息情形 因每次支付的利息都记入本金, 故年末的本利和与支付利息的次数是有关系的. 设初始本金为p (元),年利率为r , 若一年分m 次付息, 则一年末的本利和为 m m r p s ??? ??+=1 易见本利和是随付息次数m 的增大而增加的. 而第n 年末的本利和为 mn n m r p s ??? ??+=1. 三、贴现 票据的持有人, 为在票据到期以前获得资金, 从票面金额中扣除未到期期间的利息后, 得到所余金额的现金称为贴现. 钱存在银行里可以获得利息, 如果不考虑贬值因素, 那么若干年后的本利和就高于本金. 如果考虑贬值的因素, 则在若干年后使用的未 1、绝对优势（Absolute advantage） 如果一个国家用一单位资源生产的某种产品比另一个国家多，那么，这个国家在这种产品的生产上与另一国相比就具有绝对优势。 2、逆向选择（Adverse choice） 在此状况下，保险公司发现它们的客户中有太大的一部分来自高风险群体。 3、选择成本（Alternative cost） 如果以最好的另一种方式使用的某种资源，它所能生产的价值就是选择成本，也可以称之为机会成本。4、需求的弧弹性（Arc elasticity of demand） 如果P1和Q1分别是价格和需求量的初始值，P2 和Q2 为第二组值，那么，弧弹性就等于 -（Q1-Q2）（P1＋P2）/（P1-P2）（Q1＋Q2） 5、非对称的信息（Asymmetric information） 在某些市场中，每个参与者拥有的信息并不相同。例如，在旧车市场上，有关旧车质量的信息，卖者通常要比潜在的买者知道得多。 6、平均成本（Average cost） 平均成本是总成本除以产量。也称为平均总成本。 7、平均固定成本( Average fixed cost） 平均固定成本是总固定成本除以产量。 8、平均产品（Average product） 平均产品是总产量除以投入品的数量。 9、平均可变成本（Average variable cost） 平均可变成本是总可变成本除以产量。 10、投资的β(Beta） β度量的是与投资相联的不可分散的风险。对于一种股票而言，它表示所有现行股票的收益发生变化时，一种股票的收益会如何敏感地变化。 11、债券收益(Bond yield） 债券收益是债券所获得的利率。 12、收支平衡图（Break－even chart） 收支平衡图表示一种产品所出售的总数量改变时总收益和总成本是如何变化的。收支平衡点是为避免损失而必须卖出的最小数量。 13、预算线(Budget line） 预算线表示消费者所能购买的商品X和商品Y的数量的全部组合。它的斜率等于商品X的价格除以商品Y 的价格再乘以一1。 14、捆绑销售（Bundling） 捆绑销售指这样一种市场营销手段，出售两种产品的厂商，要求购买其中一种产品的客户，也要购买另一种产品。 15、资本（Capital） 资本是指用于生产、销售及商品和服务分配的设备、厂房、存货、原材料和其他非人力生产资源。 16、资本收益（Capital gain） 资本收益是指人们卖出股票（或其他资产）时所获得的超过原来为它支付的那一部分。 17、资本主义（Capitalism） 资本主义是一种市场体系，它依赖价格体系去解决基本的经济问题：生产什么？如何生产？怎样分配？经济增长率应为多少？ 18、基数效用(Cardinal utility） 基数效用是指像个人的体重或身高那样在基数的意义上可以度量的效用（它意味着效用之间的差别，即边 §1.6 经济学中的常用函数 一、需求函数需求的含义：消费者在某一特定的时期内，在一定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要. 消费者对某种商品的需求量除了与该商品的价格有直接关系外，还与消费者的习性和偏好、消费者的收入、其他可取代商品的价格甚至季节的影响有关.现在我们只考虑商品的价格因素，其他因素暂时取定值.这样，对商品的需求量就是该商品价格的函数，称为需求函数.用Q表示对商品的需求量，〃表示商品的价格，则需求函数为: Q = Q(P\ 鉴于实际情况，自变量因变量Q都取非负值. 一般地，需求量随价格上涨而减少，因此通常需求函数是价格的递减函数. 常见的需求函数有: 线性需求函数：Q = a-bp,其中。，〃均为非负常数；二次曲线需求函数：Q = a-bp-cp-,其中d, b , c 均为非负常数；指 数需求函数：Q = ae-bp , 其中a ,b均为非负常数. 幕函数：Q = kP~a，其中。＞0,氐＞0 需求函数Q = Q(P)的反函数，称为价格函数，记作： P = P(Q), 也反映商品的需求与价格的关系. 二、供给函数 供给的含义：在某一时间内，在一定的价格条件下，生产者 愿意并且能够售出的商品. 供给量记为S,供应者愿意接受的价格为则供给量与价格之间的关系为： s = s（p）, 称为供给函数，卩称为供给价格，S与P均取非负值.由供给函数所作图形称为供给曲线. 一般地，供给函数可以用以下简单函数近似代替： 线性函数：Q = aP-b,,其中a ,b均为非负常数； 專函数：：Q = kP a中a>0,k>0; 指数函数：Q = ae bP,其中a ?均为非负常数. 需求函数与供给函数密切相关，把需求曲线和供给曲线画在 同一坐标系中，由于需求函数是递减函数，供给函数是递增函数， 它们的图形必相交于一点，这一点叫做均衡点，这一点所对应的 价格几就是供、需平衡的价格，也叫均衡价格；这一点所对应的 需求量或供给量就叫做均衡需求量或均衡供给量.当市场价格〃 高于均衡价格时，产生了“供大于求”的现象，从而使市场价 格下降；当市场价格P低于均衡价格时，这时会产生“供不应求”的现象，从而使市场价格上升；市场价格的调节就是这样实 现的. 应该指出，市场的均衡是暂时的，当条件发生变化时, 经济数学基础 第一章 函数 第三单元 经济分析中常见函数 第一节 需求与供给函数 一、学习目标 通过本节课的学习，了解经济分析中的需求函数与供给函数． 二、内容讲解 这一节课的内容是要把学习数学和将来搞经济工作联系起来，我们把经济分析中最最常见的5种函数介绍给大家（这节课只介绍前两个）．同时我们希望通过这一节的学习能够使大家感受到数学工具在经济分析中的应用． 定义1.9——需求函数和供给函数． 大家可以想象到一个商品在市场上的需求肯定是与它的价格有关系，价格贵，需求量就少，价格便宜，买的人就多．需求和价格之间是有关系的，它们是不是函数关系呢？我们可以把它简化为一种函数关系．我们先不考虑其它因素，简单地认为价格定了需求量就随之确定，这样需求量就是价格的函数． 供给，就是厂方能够为市场提供多少产品，当然它也是和价格有关系的，产品价格高，厂方就增加生产，反之供给量就减少．我们也可以把它简化为一种函数关系．需求量与价格之间的函数就称为需求函数，供给量与价格之间的函数就称为供给函数． 现在我们讨论一种最简单的情况，认为需求函数和供给函数都是线性函数（一次函数），在这种关系下通过讨论看可以得到什么性质． )0,0(<>+=b a b ap q d d q 表示需求量，p 表示价格，b a ,表示常数． 经济数学基础 第一章 函数 )0,0(1111><+=b a b p a q s s q 表示供给量，p 表示价格，11,b a 表示常数． 我们容易理解需求量应随价格的增加而减少，所以0b ．而供给量应随着价格的增加而增加，所以01>a ，010？ 第五节 经济学中常用函数 教学目的：了解经济中常用函数的概念。结合经济现象理解需求函数、供给函数、成本函数、 收入函数、利润函数的概念. 教学重点：结合经济现象理解需求函数、供给函数、成本函数、收入函数、利润函数的概念. 教学难点：经济现象的理解. 教学内容： 一．需求函数与价格函数 一种商品的需求量Q 与该种商品的价格p 密切相关，如果不考虑其它因素的影响，则商品的需求量Q 可看作价格p 的函数。称为需求函数，记作()Q f p =。 评注: （1）一般地，当商品的价格增加时，商品的需求量将会减少，因此，需求函数()Q f p =是价格p 的减少函数。如图 （2）在企业管理和经济中常见的需求函数有 线性需求函数： Q a bp =-，其中0,0b a ≥≥均为常数； 二次需求函数： 2Q a bp cp =--，其中0,0,0a b c ≥≥≥均为常数； 指数需求函数： bp Q Ae -=，其中0,0A b ≥≥均为常数； 幂函数需求函数：Q AP α-=，其中0,0A α≥>均为常数。 二、供给函数 “供给量”是在一定价格水平下，生产者愿意出售并且有可供出售的商品量，如果不考虑价格以外的其它因素，则商品的供给量S 是价格p 的函数，记作()S S p =。 评注:（1）一般地，供给量随价格的上升而增大，因此，供给函数()S S p =是 价格p 的单调增加函数。 （2）常见的供给函数有线性函数，二次函数，幂函数，指数函数等。 （3）如果市场上某种商品的需求量与供求量相等，则该商品市场处于平衡状 态，这时的商品价格P 就是供、需平衡的价格，叫做均衡价格。Q 就是均衡数量。 例1 :已知某商品的供给函数是243S p =-，需求函数是4503 Q p =-，试求该商品处于市场平衡状态下的均衡价格和均衡数量。 解: 令S Q =，解方程组2434503Q p Q p ?=-????=-?? 得均衡价格27P =，均衡数量14Q =。 《西方经济学》中常用的符号第一章 PPC－production possibility curve(生产可能性曲线) 第二章 D－demand（需求） S－supply（供给） Q d=f(P , P′, I , T , A , E…)（需求函数） Q s=f(P , P′,C…)（供给函数） P－price（价格） I－income（收入） T－tastes（偏好） P′－prices of related goods（相关产品的价格） A－advertisement（广告） E－expectations（预期） C－cost（成本） Q d－Quantity demanded（需求量） Q s－Quantity Supplied（供给量） Ed =P P Q Q d d ?? E －elasticity （弹性） E d －price elasticity of demand （需求价格弹性） E m =Y Y Q Q d d ?? E m (其它书上常常用E I )－income elasticity of demand （需求收入弹性） E cx = △Q X Q X △Py Py E cx －cross price elasticity of demand （需求交叉弹性） Es = △Q S Q S △P P Es －price elasticity of supply （供给弹性） TR =P·Q TR －total revenue （总收益） U －utility （效用） TU －total utility （总效用） MU x －marginal utility （边际效用） P x ·Q x ＋P y ·Q y =M 有的书上写成 P x ·X ＋P y ·Y y =M X Y MRS xy ??= MRS －marginal rate of substitution （边际替代率） PCC －price-consumption curve(价格消费曲线) 第五章 Q = f ( L ,L ,N , E) Q = f ( L·K) Q －代表产量（在第二章中代表需求数量或者供给数量） L －代表劳动 K －代表资本 MUm Py MUy Px MUx ==MUm Py MUy Px MUx == 第三节 常用经济函数 用数学方法解决实际问题，首先要构建该问题的数学模型，即找出该问题的函数关系. 本节将介绍几种常用的经济函数. 分布图示 ★ 单利与复利 ★ 例1 ★ 多次付息 ★ 贴现 ★ 例2 ★ 需求函数 ★ 供给函数 ★ 市场均衡 ★ 例3 ★ 例4 ★ 成本函数 ★ 例5 ★ 收入函数与利润函数 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-3 内容要点 一、单利与复利 利息是指借款者向贷款者支付的报酬, 它是根据本金的数额按一定比例计算出来的. 利息又有存款利息、贷款利息、债券利息、贴现利息等几种主要形式. 单利计算公式 设初始本金为p (元), 银行年利率为r . 则 第一年末本利和为 )1(1r p rp p s +=+= 第二年末本利和为 )21()1(2r p rp r p s +=++= …… 第n 年末的本利和为 )1(nr p s n +=. 复利计算公式 设初始本金为p (元), 银行年利率为r . 则 第一年末本利和为 )1(1r p rp p s +=+= 第二年末本利和为 2 2)1()1()1(r p r rp r p s +=+++= …… 第n 年末的本利和为 .)1(n n r p s += 二、多次付息 单利付息情形 因每次的利息都不计入本金, 故若一年分n 次付息, 则年末的本利和为 )1(1r p n r n p s +=??? ? ?+= 即年末的本利和与支付利息的次数无关. 复利付息情形 因每次支付的利息都记入本金, 故年末的本利和与支付利息的次数是有关系的. 设初始本金为p (元),年利率为r , 若一年分m 次付息, 则一年末的本利和为 m m r p s ?? ? ??+=1 易见本利和是随付息次数m 的增大而增加的. 而第n 年末的本利和为 mn n m r p s ?? ? ??+=1. 三、贴现 票据的持有人, 为在票据到期以前获得资金, 从票面金额中扣除未到期期间的利息后, 得到所余金额的现金称为贴现. 钱存在银行里可以获得利息, 如果不考虑贬值因素, 那么若干年后的本利和就高于本金. 如果考虑贬值的因素, 则在若干年后使用的未来值(相当于本利和)就有一个较低的现值. 考虑更一般的问题: 确定第n 年后价值为R 元钱的现值.假设在这n 年之间复利年利率r 不变. 利用复利计算公式有 n r p R )1(+=, 得到第n 年后价值为R 元钱的现值为 n r R p ) 1(+=, 式中R 表示第n 年后到期的票据金额, r 表示贴现率, 而p 表示现在进行票据转让时银行付给的贴现金额. 若票据持有者手中持有若干张不同期限及不同面额的票据, 且每张票据的贴现率都是相同的, 则一次性向银行转让票据而得到的现金 n n r R r R r R R p ) 1()1()1(2210+++++++= 式中0R 为已到期的票据金额, n R 为n 年后到期的票据金额. n r )1(1+称为贴现因子, 它表示在贴现率r 下n 年后到期的1元钱的贴现值. 由它可给出不同年限及不同贴现率下的贴现因子表. 四、需求函数 需求函数是指在某一特定时期内, 市场上某种商品的各种可能的购买量和决定这些购买量的诸因素之间的数量关系. 精品文档 字母定义： X:出口M:进口NX=X-M：净出口 C:消费I:投资G:政府购买性支出 To:全部税收收入，Tr：政府转移支付T政府净收入T=To-Tr 国内生产总值GDP：Y=C+I+G+NX 国内生产净值NDP；国民收入NI；个人收入PI；个人可支配收入DPI ，Yd=Y-T 一、国民收入的基本公式： 1、两部门（消费者，企业） Y=C+I （支出） Y=C+S （收入）（总需求=总供给）I=S 投资=储蓄恒等式 2、三部门（消费者，企业，政府） Y=C+I+G (支出) Y=C+S+T （收入）I=S+T-G 3、四部门（消费者，企业，政府，国外部门） Y=C+I+G+(X-M) Y=C+S+T+Kr Kr:本国居民对外国人的转移支付 二、产品市场 消费函数: c=α+βyα:自发消费，β:边际消费倾向(MPC), y是可支配收入，Yd=Y-T 储蓄函数：s=y-c=y-(α+βy)= -α+(1-β)y (1-β):边际储蓄倾向(MPS) 1、两部门的收入函数 y=c+i;c=α+βy; 联解得：y=(α+i)/(1-β) 投资乘数：总投资增加时，收入的增量是投资增量的k倍，k为投资乘数，k=1/(1-β) 2、三部门的收入函数 y=c+i+g; c=α+βYd=α+β(y-t);联解得：y=(α+i+g-βt)/(1-β) Yd=y-t 政府购买支出乘数：kg=1/(1-β) 税收乘数：kt=-β/(1-β) 政府转移支付乘数：ktr=β/(1-β) 3、四部门的收入函数进口函数m=mo+ry ;出口函数x=Xo-ry y=1/(1-β+r)*(α+i+g-βt+βtr+x-mo) 对外贸易乘数：k=1/(1-β+r) 三、货币市场 投资函数：i=e-dr e:自主投资，-dr,投资需求与利率有关，r,利率货币需求 两部门经济中： 1、货币需求 Y=(α+i)/(1-β)= (α+e-dr)/(1-β) r=(α+e)/d-(1-β)y/d IS曲线 2、货币供给 货币需求量L=(ky-hr)P P为价格指数m=ky-hr实际货币量 则有y=hr/k+m/k R=ky/h-m/h LM曲线 精品文档 第五节经济学中常用函数 教学目的：了解经济中常用函数的概念。结合经济现象理解盂求函数、供给函数、成本函数、收入函数、利润函数的概念. 教学重点：结合经济现象理解需求函数、供给函数、成本函数、收入函数、利润函数的概念. 教学难点：经济现象的理解. 教学内容： 一.需求函数与价格函数 一种商品的需求量0与该种商品的价格“密切相关，如杲不考虑其它因素的影响，则商 品的蛊求量Q可看作价格P的函数。称为需求函数，记作Q = /(卫)。 评注：(1)一般地，当商品的价格增加时，商品的需求量将会减少，因此，需求函数Q = f(p) 是价格〃的减少函数。如图 (2)在企业管理和经济中常见的需求函数有 线性需求函数：Q = a-bp,其中/?>0, a>0均为常数; 二次需求函数：Q = a_bp_cp2,其中^>0, b>0, c>Q均为常数； 指数需求函数：Q = A严,其中A>0, b>0均为常数；基函数需求函数：Q = AP-a ,其+ A>0, G>0均为常数。 二、供给函数 “供给量”是在一定价格水平下，生产者愿意11!售并且有可供出售的商品量，如果不考 虑价格以外的其它因素，则商品的供给量S是价格p的函数，记作S = S(p)0评注：(1) 一般地，供给量随价格的上升而增大，因此，供给函数S = S(p)是价格〃的单调增加函数。 (2)常见的供给函数有线性函数，二次函数，幕函数，指数函数等。 (3)如果市场上某种商品的需求量与供求量相等，则该商品市场处于平衡状态，这时的商品价格刁就是供、需平衡的价格，叫做均衡价格。◎就是均衡数量。 2 4 例1 :已知某商品的供给函数是S=-p-4,需求函数是Q = 50--p,试求该漓品处于市 3 3 场平衡状态下的均衡价格和均衡数量。 解: 令S=Q,解方程组< e=|/^-4 4 Q = 50--p得均衡价格p = 27,均衡数量e = 14o 奇函数：()()x f x f -=-偶函数： ()()x f x f =- 偶函数关于y 轴对称，奇函数关于原点对称。 无论奇函数还是偶函数定义域都必须关于原点对称。 求定义域三原则： 分母不为零，根号里大于或等于零，对数真数大于零 两 个 重 要极限:1sin lim 0=→x x x e x x x =?? ? ??+∞→11lim 连续函数：()()??? ??==→→x f x f x f x x x x 00lim lim 0 导数公式：()()[]()()x v x u x v x u '±'='± 隐函数求导公式：()0,=y x F y x F F y - =' 求微分：dx F F dx y dy y x '' - ='= 导数的应用 成本函数为：()q C 边际成本：()q C ' 平均成本函数为：q q C C q ) ()(= 收入函数：()pq q R =(p 为价格) 利润函数公式：()()()q C q R q L -= 边际利润函数()()()q C q R q L '-'=' 需求弹性：() ()p q p q p E p '= 积分公式：()()()c x F dx x F dx x f +='=?? ()()x f dx x f d =?; ()[]()()x f x F dx x f ='='? ()0 =?dx x f d b a ; ?=c dx 0; c x a dx x a a ++= +?1 1 1 换元 法公 式： ()()()()()()du u f x u d x u f dx x f ???==1 1 凑 微 分公式： )(sin cos x d xdx =;)(cos sin x d xdx -=; ) 0)((≠+=a b ax d adx ； )0)((21 2≠+= a b ax d a xdx x d dx x 21 =; ?? ? ??-=x d dx x 112; ()||ln 1 x d dx x = x x de dx e =;2 2 2 1x x de dx xe = 分部积分法： ??'-='vdx u uv dx v u ;??-=vdu uv udv 定 积分公 式： ()()()() b a b a x F a F b F dx x f =-=? 广义积分公式：()()dx x f dx x f b a b a ??+∞→+∞ =lim 切 线 的 斜 率 公 式 ： ()()x F y k x F y '='==的斜率为 矩阵几个公式： 字母定义： X:出口M:进口NX=X-M：净出口 C:消费I:投资G:政府购买性支出 To:全部税收收入，Tr：政府转移支付T政府净收入T=To-Tr 国内生产总值GDP：Y=C+I+G+NX 国内生产净值NDP；国民收入NI；个人收入PI；个人可支配收入DPI ，Yd=Y-T 一、国民收入的基本公式： 1、两部门（消费者，企业） Y=C+I （支出） Y=C+S （收入）（总需求=总供给）I=S 投资=储蓄恒等式 2、三部门（消费者，企业，政府） Y=C+I+G (支出) Y=C+S+T （收入）I=S+T-G 3、四部门（消费者，企业，政府，国外部门） Y=C+I+G+(X-M) Y=C+S+T+Kr Kr:本国居民对外国人的转移支付 二、产品市场 消费函数: c=α+βyα:自发消费，β:边际消费倾向(MPC), y是可支配收入，Yd=Y-T 储蓄函数：s=y-c=y-(α+βy)= -α+(1-β)y (1-β):边际储蓄倾向(MPS) 1、两部门的收入函数 y=c+i;c=α+βy; 联解得：y=(α+i)/(1-β) 投资乘数：总投资增加时，收入的增量是投资增量的k倍，k为投资乘数，k=1/(1-β) 2、三部门的收入函数 y=c+i+g; c=α+βYd=α+β(y-t);联解得：y=(α+i+g-βt)/(1-β) Yd=y-t 政府购买支出乘数：kg=1/(1-β) 税收乘数：kt=-β/(1-β) 政府转移支付乘数：ktr=β/(1-β) 3、四部门的收入函数进口函数m=mo+ry ;出口函数x=Xo-ry y=1/(1-β+r)*(α+i+g-βt+βtr+x-mo) 对外贸易乘数：k=1/(1-β+r) 三、货币市场 投资函数：i=e-dr e:自主投资，-dr,投资需求与利率有关，r,利率货币需求 两部门经济中： 1、货币需求 Y=(α+i)/(1-β)= (α+e-dr)/(1-β) r=(α+e)/d-(1-β)y/d IS曲线 2、货币供给 货币需求量L=(ky-hr)P P为价格指数m=ky-hr实际货币量 则有y=hr/k+m/k R=ky/h-m/h LM曲线办公用品领用记录 第三节 常用经济函数 用数学方法解决实际问题，首先要构建该问题的数学模型，即找出该问题的函数关系. 本节将介绍几种常用的经济函数. 分布图示 ★ 单利与复利 ★ 例1 ★ 多次付息 ★ 贴现 ★ 例2 ★ 需求函数 ★ 供给函数 ★ 市场均衡 ★ 例3 ★ 例4 ★ 成本函数 ★ 例5 ★ 收入函数与利润函数 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-3 内容要点 一、单利与复利 利息是指借款者向贷款者支付的报酬, 它是根据本金的数额按一定比例计算出来的. 利息又有存款利息、贷款利息、债券利息、贴现利息等几种主要形式. 单利计算公式 设初始本金为p (元), 银行年利率为r . 则 第一年末本利和为 )1(1r p rp p s +=+= 第二年末本利和为 )21()1(2r p rp r p s +=++= …… 第n 年末的本利和为 )1(nr p s n +=. 复利计算公式 设初始本金为p (元), 银行年利率为r . 则 第一年末本利和为 )1(1r p rp p s +=+= 第二年末本利和为 2 2)1()1()1(r p r rp r p s +=+++= …… 第n 年末的本利和为 .)1(n n r p s += 二、多次付息 单利付息情形 因每次的利息都不计入本金, 故若一年分n 次付息, 则年末的本利和为 )1(1r p n r n p s +=??? ? ?+= 即年末的本利和与支付利息的次数无关. 复利付息情形 因每次支付的利息都记入本金, 故年末的本利和与支付利息的次数是有关系的. 设初始本金为p (元),年利率为r , 若一年分m 次付息, 则一年末的本利和为 m m r p s ?? ? ??+=1 易见本利和是随付息次数m 的增大而增加的. 而第n 年末的本利和为 mn n m r p s ?? ? ??+=1. 三、贴现 票据的持有人, 为在票据到期以前获得资金, 从票面金额中扣除未到期期间的利息后, 得到所余金额的现金称为贴现. 钱存在银行里可以获得利息, 如果不考虑贬值因素, 那么若干年后的本利和就高于本金. 如果考虑贬值的因素, 则在若干年后使用的未来值(相当于本利和)就有一个较低的现值. 考虑更一般的问题: 确定第n 年后价值为R 元钱的现值.假设在这n 年之间复利年利率r 不变. 利用复利计算公式有 n r p R )1(+=, 得到第n 年后价值为R 元钱的现值为 n r R p ) 1(+=, 式中R 表示第n 年后到期的票据金额, r 表示贴现率, 而p 表示现在进行票据转让时银行付给的贴现金额. 若票据持有者手中持有若干张不同期限及不同面额的票据, 且每张票据的贴现率都是相同的, 则一次性向银行转让票据而得到的现金 n n r R r R r R R p ) 1()1()1(2210+++++++= 式中0R 为已到期的票据金额, n R 为n 年后到期的票据金额. n r )1(1+称为贴现因子, 它表示在贴现率r 下n 年后到期的1元钱的贴现值. 由它可给出不同年限及不同贴现率下的贴现因子表. 四、需求函数 需求函数是指在某一特定时期内, 市场上某种商品的各种可能的购买量和决定这些购 《宏微观经济学》符号一览表1（微观部分） 注： 2．1不同商品或要素的价格，表现为不同的下标，如X、Y、L、K。2．2有时是需求量Q d，有时是供给量Q s，有时就表示产量或其他的数量。2．3有时又表示为e p,有时又简称为需求弹性或价格弹性。 2．4有时就简称为交叉弹性。 2．5有时就简称为供给弹性。 4．1既可能是短期总成本，也可能是长期总成本，有时又写作C。 4．2既可能是短期平均成本，也可能是长期平均成本。 4．3既可能是短期边际成本，也可能是长期边际成本。 4．4也就是后面的短期总不变成本，又称为固定成本。 4．5也就是后面的短期总可变成本，又称为变动成本。 4．6又称为经济利润，或超额利润。 4．7有时也用Q表示。 4．8如可变的投入是其他要素，可加上不同的下标。 《宏微观经济学》符号一览表2（宏观部分） 注： 9.1其中，C 0是自发性消费；cY 是引致性消费。 9.2与GDP 的区别在于前者是以生产者的国籍作为标准；而后者是以生产地作为标准。 10.1经常用来表示国民收入，亦可表示总需求和总供给。 10.2在上述的消费函数中，边际消费倾向即是b 。 10.3两部门经济时，Y=C+S 。 10.4两部门经济时，MPC+MPS=1，APC+APS=1。 10.5这儿的乘数应是指投资乘数，两部门时，b K -= 11。 14.1这仍是两部门经济下（不考虑税收）的乘数。 14.2这是三部门经济下（考虑税收）的乘数。 15.1 M 0—流通中现金；RE －存款准备金。 15.2D －派生存款；MR －原始存款；rd-法定准备金率。 15.3 M 1－货币供给；M h —基础货币。 17.1s －储蓄率，s=S/Y ；J －资本产出比率，J=K/Y 。 因时间仓促，如有遗漏或错误，希望大家及时指正，多谢。 16 经济学中的常用函数 一、需求函数 需求的含义：消费者在某一特定的时期内，在一定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要． 消费者对某种商品的需求量除了与该商品的价格有直截了当关系外, 还与消费者的习性和偏好、消费者的收入、其他可取代商品的价格甚至季节的阻碍有关. 现在我们只考虑商品的价格因素, 其他因素临时取定值. 如此, 对商品的需求量确实是该商品价格的函数, 称为需求函数. 用Q 表示对商品的需求量, p 表示商品的价格, 则需求函数为: ()Q Q p =, 鉴于实际情形, 自变量 p , 因变量Q 都取非负值. 一样地, 需求量随价格上涨而减少, 因此通常需求函数是价格的递减 函数. 常见的需求函数有: 线性需求函数: Q a bp =-, 其中a ,b 均为非负常数; 二次曲线需求函数: 2Q a bp cp =--, 其中a , b , c 均为非负 常数; 指数需求函数: bp Q ae -=, 其中a ,b 均为非负常数. 幂函数： 0,0,>>=-k a kP Q a 其中 需求函数()Q Q p =的反函数, 称为价格函数, 记作: ()p p Q =, 也反映商品的需求与价格的关系. 二、供给函数 供给的含义：在某一时刻内，在一定的价格条件下，生产者情愿同时能够售出的商品． 供给量记为S , 供应者情愿同意的价格为 p , 则供给量与价格之间的 关系为: ()S S p =, 称为供给函数, p 称为供给价格, S 与p 均取非负值. 由供给函数所作图形称为供给曲线. 一样地，供给函数能够用以下简单函数近似代替： 线性函数: ,b aP Q -=, 其中a ,b 均为非负常数; 幂函数：: 0,0,>>=k a kP Q a 其中; 指数函数: bP ae Q =, 其中a ,b 均为非负常数. 需求函数与供给函数紧密有关, 把需求曲线和供给曲线画在同一坐标系中, 由于需求函数是递减函数, 供给函数是递增函数, 它们的图形必相交于一点, 这一点叫做均衡点, 这一点所对应的价格0p 确实是供、需平稳的价 格, 也叫均衡价格; 这一点所对应的需求量或供给量就叫做均衡需求量或均衡供给量. 当市场价格p 高于均衡价格0p 时, 产生了“供大于求”的现象, 从而使市场价格下降; 当市场价格 p 低于均衡价格0p 时, 这时会产生“供不应求”的现象, 从而使市场价格上升; 市场价格的调剂确实是如此实 现的. 应该指出, 市场的均衡是临时的, 当条件发生变化时, 原有的均衡状态就被破坏, 从而需要在新的条件下建立新的均衡. 例1 某商品的需求量Q 与价格p 的关系由 23123Q p += 给出, 而供给量Q 与价格p 的关系由 22099Q Q p --=- 给出, 试求市场达到供需平稳时的均衡价格和均衡需求量. 【解】 要求均衡价格和均衡需求量, 即解方程组 2220993123Q Q p Q p ?--=-?+=?, 得到两组结果111201p Q =??=-? 和 22156p Q =?? =?. 明显,第一组结果没有意义, 故所求均衡价格为15单位, 均衡需求量 为6个单位. 三、生产函数 供需平 衡价格 供需平稳0P 经济学常用词汇（中英对照） A accounting 会计 accounting cost 会计成本 accounting profit 会计利润 adverse selection 逆向选择 allocation 配置 allocation of resources 资源配置 allocative efficiency 配置效率 antitrust legislation 反托拉斯法 arc elasticity 弧弹性 Arrow's impossibility theorem 阿罗不可能定理Assumption 假设 asymetric information 非对称性信息 average 平均 average cost 平均成本 average cost pricing 平均成本定价法 average fixed cost 平均固定成本 average product of capital 资本平均产量average product of labour 劳动平均产量average revenue 平均收益 average total cost 平均总成本 average variable cost 平均可变成本 B barriers to entry 进入壁垒 base year 基年 bilateral monopoly 双边垄断 benefit 收益 black market 黑市 bliss point 极乐点 boundary point 边界点 break even point 收支相抵点 budget 预算 budget constraint 预算约束 budget line 预算线 budget set 预算集 C capital 资本 capital stock 资本存量 capital output ratio 资本产出比率 capitalism 资本主义 学习情景一：常见经济函数第一部分：学习任务分解 第二部分：学习内容 一、总成本函数、总收入函数、总利润函数 产品成本是以货币形式表现的企业生产和销售产品的全部费用支出, 成本函数表示费用总额与产量(或销售量)之间的依赖关系, 产品成本可分为固定成本和变动成本两部分. 其中固定成本F 指在一定时期内不随产量变动而支出的费用，如厂房、设备的固定费用和管理费用等；可变成本V 是指随产品产量变动而变动的支出费用，如税收、原材料、电力燃料等。一般地, 以货币计值的(总)成本C 是产量x 的函数, 即 )0()(≥=x x C C 称其为(总)成本函数. 当产量0=x 时, 对应的成本函数值)0(C 就是产品的固定成本值. 固定成本和可变成本是相对于某一过程而言的。在短期生产中，固定成本是不变的，可变成本是产量x 的函数，所以()()C x F V x =+，在长期生产中，支出都是可变成本，此时0F =。实际应用中，产量x 为正数，所以总成本函数是产量x 的单调增加函数，常用以下初等函数来表示： （1）线性函数 C a bx =+, 其中0b >为常数. （2）二次函数 2C a bx cx =++,其中0,0c b ><为常数. （3）指数函数 ax C be =, 其中,0a b >为常数. 成本函数是单调增加函数, 其图象称为成本曲线. 设)(x C 为成本函数, 称)0()(>=x x x C C 为单位成本函数或平均成本函数. 例1-1 某工厂生产某产品，每日最多生产100个单位。日固定成本为130元，生产每一个单位产品的可变成本为6元，求该厂每日的总成本函数及平均单位成本函数. 解 设每日的总成本函数为C 及平均单位成本函数为C ，因为总成本为固定成本与可变成本之和，据题意有 ()1306(0100)130()6(0100)C C x x x C C x x x ==+≤≤==+<≤ 总收益函数是指生产者出售一定产品数量（x ）所得到的全部收入，常用R 表示，即 ()R R x = 其中x 为销售量. 显然，0(0)0Q R R ===，即未出售商品时，总收益为０. 若已知需求函数()Q Q p =，则总收益的为1()()R R Q P Q Q p Q -==?=? 平均收益：()R x R x =，若单位产品的销售价格为p ，则R p x =?，且R p =. 经济数学常用公式 Prepared on 22 November 2020 奇函数：()()x f x f -=- 偶函数：()()x f x f =- 偶函数关于y 轴对称，奇函数关于原点对称。 无论奇函数还是偶函数定义域都必须关于原点对称。 求定义域三原则： 分母不为零，根号里大于或等于零，对数真数大于零 两个重要极限:1sin lim 0=→x x x e x x x =?? ? ??+∞→11lim 连续函数：()()??? ??==→→x f x f x f x x x x 00 lim lim 0 导数公式：()()[]()()x v x u x v x u '±'=' ± ()()[]()()x dv x du x v x u d ±=± dx u y dx y dy x ''='= ()0='c ()1-='a a ax x ()x x 1ln =' ()a x x a ln 1 log = ' ()1,0≠>a a ()()1,0ln ≠>='a a a a a x x ()x x e =' ()x x cos sin =' ()x x sin cos -=' ()x x 2cos 1tan = ' ()x x 2sin 1cot - =' 隐函数求导公式：()0,=y x F y x F F y - =' 求微分：dx F F dx y dy y x '' -='= 导数的应用 成本函数为：()q C 边际成本：()q C ' 平均成本函数为： q q C C q ) ()(= 收入函数：()pq q R = (p 为价格) 利润函数公式：()()()q C q R q L -= 边际利润函数 ()()()q C q R q L '-'=' 需求弹性：() ()p q p q p E p '= 积分公式：()()()c x F dx x F dx x f +='=?? ()()x f dx x f d =?; ()[]()()x f x F dx x f ='='? ()0=?dx x f d b a ;?=c dx 0;c x a dx x a a ++= +?1 1 1 c x dx x +=?ln 1 c a a dx a x x +=?ln c e dx e x x +=? ?+=c x xdx sin cos ?+-=c x xdx cos sin c x dx x +=?tan cos 12 c x dx x +-=?cot sin 1 2 换元法公式： ()()()()()()du u f x u d x u f dx x f ???==1 1 凑微分公式：)(sin cos x d xdx =; )(cos sin x d xdx -=; )0)((≠+=a b ax d adx ；)0)((21 2≠+=a b ax d a xdx x d dx x 21=; ??? ??-=x d dx x 112; ()||ln 1 x d dx x = x x de dx e =; 2 2 2 1x x de dx xe = 分部积分法：??'-='vdx u uv dx v u ; ??-=vdu uv udv 定积分公式：()()()()b a b a x F a F b F dx x f =-=? ()()()a F x F dx x f x a -=? ()()()du u f u x u dx x f b a ??=β α 1 vdx u uv dx v u b a b a b a ?? '-=' 广义积分公式：()()dx x f dx x f b a b a ?? +∞→+∞=lim 切线的斜率公式：()()x F y k x F y '='==的斜率为 矩阵几个公式：()()T T T T T T A B AB B A B A =+=+, ()()()T T A A A B AB 11111,-----== 若B A X B AX 1-==，则第三节 常用经济函数
经济学常用词汇解释及翻译
1.6经济学中的常用函数.doc
经济数学 第三单元 经济分析中常见函数
第五节 经济学中常用函数
《西方经济学》中常用的符号汇总
常用经济函数
宏观经济学基本公式word版本
第五节经济学中常用函数.docx
经济数学常用公式
宏观经济学基本公式
第三节 常用经济函数
西方经济学中常用的符号
16 经济学中的常用函数
经济学常用词汇(中英对照)
常见经济函数
经济数学常用公式