大一高数复习资料 本科少课时型

高等数学（本科少学时类型）

第一章 函数与极限

第一节 函数

○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）

○邻域（去心邻域）（★） (){},|U a x x a δδ=-<

(){},|0U a x x a δδ=<-<

第二节 数列的极限

○数列极限的证明（★）

【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞

=

【证明示例】N -ε语言

1．由n x a ε-<化简得()εg n >，

∴()N g ε=????

2．即对0>?ε，()N g ε?=????，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立，

∴{}a x n x =∞

→lim

第三节 函数的极限

○0x x →时函数极限的证明（★）

【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0

lim

【证明示例】δε-语言

1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<，

∴()εδg =

2．即对0>?ε，()εδg =?，当00x x δ<-<时，

始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0

lim

○∞→x 时函数极限的证明（★）

【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞

→lim

【证明示例】X -ε语言

1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>，

∴()εg X =

2．即对0>?ε，()εg X =?，当X x >时，始终

有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞

→lim

第四节 无穷小与无穷大

○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f

函数()x f 无穷大?()∞=x f lim

○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★） （定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=????

（定理四）在自变量的某个变化过程中，若

()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f 1-为

无穷大

【题型示例】计算：()()0

lim x x f x g x →?????（或∞→x ）

1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去

心邻域()δ,0x U

内是有界的；

（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；）

2．()0lim 0

=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷

小；

（()0lim =∞

→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷

小；）

3．由定理可知()()0

lim 0x x f x g x →?=???

? （()()lim 0x f x g x →∞?=???

?） 第五节 极限运算法则

○极限的四则运算法则（★★） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则

关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算

设：()()????

?+?++=+?++=--n n n m m m b x

b x b x q a x a x a x p 1

101

10

则有()()???

??

??∞=∞→0

lim 0

b a x q x p x m n m n m n >=<

()()()

()000lim 00x x f x g x f x g x →??

?

?=∞??

???

()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠==

（特别地，当()()

0lim

x x f x g x →=

（不定型）时，通

常分子分母约去公因式即约去可去间断点便

可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）

【题型示例】求值2

3

3

lim 9

x x x →--

【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3

≠x ，所以

原

式

()()

2

3

333311

l

i

m l i 9

3

3

3x x

x x x x x x x →→

→--==

=

=

-+-+

其中3x =为函数()2

39

x f x x -=

-的可去间断点

倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）： 解：()()

2

3

3

3

2

3311lim

lim

lim

9

26

9x L x x x x x x

x '→→→'

--===

-'

-

○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）

（定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函

数，那么，()()0

lim lim x x x x f x f x ??→→??=????????

【题型示例】求值：93lim 2

3

--→x x x

【求解示例】3

lim 6

x →=

=

=

第六节 极限存在准则及两个重要极限

○夹迫准则（P53）（★★★） 第一个重要极限：1sin lim 0

=→x

x x

∵??

?

?

?

∈?2,

0πx ，x

x x tan sin <<∴1sin lim

=→x

x x

lim 11lim

lim

1sin sin sin lim x x x x x x x x

x

x →→→→==

=?? ???

（特别地，0

00

sin()lim

1x x x x x x →-=-）

○单调有界收敛准则（P57）（★★★）

第二个重要极限：e

x x

x =??? ?

?

+∞→11lim

（一般地，()()

()()

lim lim lim g x g x f x f x =?

???????

，其

中()0lim >x f ）

【题型示例】求值：1

1232lim +∞→?

?

?

??++x x x x

【求解示例】

()

()

21

1

1

212

12122121

12

21

2

2121lim

212

21232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞

→∞+→∞?++++??+++→∞+→∞++→∞+++??

???

?==+ ? ? ?+++??

???

??

??

??

???=+=+ ? ???++???

??

?

?

??

???=+ ???+????

解：()()12lim 121

2121212

122lim

1

21x x x x x x x x x e

e

e e

+→∞??

?+?

?+??+→∞+→∞???+??

+??

+??

?+?

?

====

第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较） ○等价无穷小（★★） 1．

()

~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1U

U U U U U U e +-

2．U U cos 1~2

1

2-

（乘除可替，加减不行） 【题型示例】求值：()()

x

x x x x x 31ln 1ln lim

2

+++

+→

【求解示例】

()()

()()()

()()3

13

1lim

31lim

31ln 1lim

31ln 1ln lim

,0,00

002

=++=+?+=++?+=++++=≠→→→→→x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x 所以原式即解：因为

第八节 函数的连续性 ○函数连续的定义（★）

()()()0

0lim lim x x x x f

x f

x f

x -+→→=

=

○间断点的分类（P67）（★）

??

?∞?

???

?）

无穷间断点（极限为

第二类间断点

可去间断点（相等）

跳越间断点（不等）

限存在）第一类间断点（左右极

（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）

【题型示例】设函数()???+=x

a e x f x 2 ，00

≥

样选择数a ，使得()x f 成为在R 上的连续函数？

【求解示例】

1．∵()()()2010000f e e e f a a f a -

-?++?===?

?=+=??

=??

2．由

连续函

数定义

()()()e f x f x f x x ===+

-

→→0lim lim 0

∴e a =

第九节 闭区间上连续函数的性质 ○零点定理（★）

【题型示例】证明：方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间 【证明示例】 1．（建立辅助函数）函数()()()x f x g x C

?=--在闭区间[],a b 上连续； 2．∵()()0a b ???<（端点异号）

3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点

ξ，使得()0=ξ?，即()()0

f g C ξξ--=（10<<ξ）

4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间

()b a ,内至少有一个根ξ 第二章 导数与微分

第一节 导数概念

○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）

【题型示例】已知函数()???++=b

ax e x f x 1 ，00

>≤x x 在

0=x 处可导，求a ，b

【求解示例】

1．∵()()0

01

0f e f a -+'?==??'=??，()()()000

01120012f e e f b f e -

-+?=+=+=??=??=+=??

2．由函数可导定义()()()

()()001

0002f f a f f f b -+-+

''===???====??

∴1,2a b ==

【题型示例】求()x f y =在a x =处的切线与法线

方程

（或：过()x f y =图像上点(),a f a ????处的切线与法线方程） 【求解示例】

1．()x f y '='，()a f y a x '='=|

2．切线方程：()()()y f a f a x a '-=-

法线方程：()()

()1y f a x a f a -=-

-'

第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则

○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★） 1．线性组合（定理一）：()u v u v αβαβ'''±=+ 特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=± 2．函数积的求导法则（定理二）：()uv u v uv '''=+

3．函数商的求导法则（定理三）：

2

u u v u

v v v '

''-??= ???

第三节 反函数和复合函数的求导法则 ○反函数的求导法则（★） 【题型示例】求函数()x f 1-的导数

【求解示例】由题可得()x f 为直接函数，其在定于域D 上单调、可导，且()0≠'x f ；∴

()()

1

1f x f x -'

??=

?

?

'

○复合函数的求导法则（★★★）

【题型示例】设(ln y e =+，求y '

【求解示例】

(

22

arcsi y e

x a e e e '

'=

+'

??

'

?

+=

??

??

?

=

??=

解

：?? ?

第四节 高阶导数

○

()

()()

()1n n f

x f x -'

??=?

?

（或()()11n n

n

n d y

d y dx

dx --'

??

=????

）（★）

【题型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数 【求解示例】()

1

111y x x

-'=

=++，

()()()12

111y x x --'??''=+=-?+??

， ()()()()()23

11121y x x --'??'''=-?+=-?-?+??

……

()

1

(1)

(1)(1)

n n n

y

n x --=-?-?+！

第五节 隐函数及参数方程型函数的导数

○隐函数的求导（等式两边对x 求导）（★★★）

【题型示例】试求：方程y e x y +=所给定的曲线C ：()x y y =在点()1,1e -的切线方程与法线方程 【求解示例】由y e x y +=两边对x 求导 即()y y x e '

''=+化简得1y y e y ''=+? ∴e

e

y -=

-=

'11111

∴切线方程：()e x e

y +--=-1111

法线方程：()()e x e y +---=-111

○参数方程型函数的求导

【题型示例】设参数方程()()

???==t y t x γ?，求2

2

dx y

d

【求解示例】1.()

()

t t dx dy ?γ''=

2.()2

2dy d y dx dx t ?'?? ???=' 第六节 变化率问题举例及相关变化率（不作

要求）

第七节 函数的微分

○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★）

()dx x f dy ?'=

第三章 中值定理与导数的应用

第一节 中值定理 ○引理（费马引理）（★） ○罗尔定理（★★★）

【题型示例】现假设函数()f x 在[]0,π上连续，在

()0,π 上可导，试证明：()0,ξπ?∈，

使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立

【证明示例】 1．（建立辅助函数）令()()sin x f x x ?=

显然函数()x ?在闭区间[]0,π上连续，在开区间()0,π上可导； 2．又∵()()00sin 00f ?==

()()sin 0f ?πππ==

即()()00??π==

3．∴由罗尔定理知

()0,ξπ?∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立

○拉格朗日中值定理（★）

【题型示例】证明不等式：当1x >时，x e e x >? 【证明示例】 1．（建立辅助函数）令函数()x f x e =，则对

1x ?>，显然函数()f

x 在闭区间[]1,x 上连续，

在开区间()1,x 上可导，并且()x f x e '=； 2．由拉格朗日中值定理可得，[]1,x ξ?∈使得等式()11x e e x e ξ-=-成立，

又∵1e e ξ>，∴()111x e e x e e x e ->-=?-，

化简得x e e x >?，即证得：当1x >时，x e e x >?

【题型示例】证明不等式：当0x >时，()ln 1x x +<

【证明示例】 1．（建立辅助函数）令函数()()ln 1f x x =+，则

对0x ?>，函数()f x 在闭区间[]0,x 上连续，在开区间()0,π上可导，并且()11f x x

'=

+；

2．由拉格朗日中值定理可得，[]0,x ξ?∈使得等式()()()1ln 1ln 1001x x ξ

+-+=-+成立，

化简得()1ln 11x x ξ

+=+，又∵[]0,x ξ∈，

∴()111f ξξ

'=

<+，∴()ln 11x x x +

即证得：当1x >时，x e e x >? 第二节 罗比达法则

○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★）

1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）

2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运

用罗比达法则的三个前提条件 A ．属于两大基本不定型（

0,0∞∞

）且满足

条件， 则进行运算：

()()

()()

lim

lim

x a

x a

f x f x

g x g x →→'='

（再进行1、2步骤，反复直到结果得出）

B ．☆

不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）

⑴0?∞型（转乘为除，构造分式） 【题型示例】求值：0

lim ln x x x α→?

【求解示例】

()1

20

1

ln ln lim ln lim

lim

lim

111lim 0

x x L x x x x x x x x x x

x

x x a

α

αα

α

αα

α∞

∞

-'→→→→→'

?===?'

??-

???

=-

=解：

（一般地，()0

lim ln 0x x x β

α→?=，其中,R αβ∈）

⑵∞-∞型（通分构造分式，观察分母）

【题型示例】求值：0

1

1lim sin x x x →??- ???

【求解示例】

2

00011sin sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x →→→--??????

-== ? ? ????????

解：

()()

()()00

2

sin 1cos 1cos sin lim

lim

lim

lim

22

2L x x L x x x x x x x x

x x ''→→→→'

'---====='

'

⑶00型（对数求极限法） 【题型示例】求值：0

lim x x x →

【求解示例】

()()0

lim ln ln 00

0002

ln ,ln ln ln 1ln ln 0lim ln lim

lim

111

lim

lim 0lim lim 1

1

x x

x

x x L x y

y x x x x x y x y x x x x

x x x y x

x x x y e e e x

→∞

∞

'→→→→→→→====

'

→=='

?? ???

==-=====-

解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有 ⑷1∞型（对数求极限法）

【题型示例】求值：()1

lim cos sin x x x x →+

【求解示例】

()()

()

()()

1

00

00lim ln ln 1

ln cos sin cos sin ,ln ,

ln cos sin ln 0lim ln lim

ln cos sin cos sin 10lim lim 1,cos sin 10lim =lim x x x x L x x y

y

x x x x y x x y x

x x y x y x

x x x x x x x

y e

e e e

→→→'→→→→+=+=+→='

+??--??====++'===解：令两边取对数得对求时的极限，从而可得

⑸0∞型（对数求极限法）

【题型示例】求值：tan 0

1lim x

x x →??

???

【求解示例】

()()tan 00

20

2

02

2

11,ln tan ln ,

1ln 0lim ln lim tan ln 1

ln ln lim

lim

lim

1sec 1tan tan tan sin sin lim

lim

li x

x x x L x x x L x y y x x x y x y x x x x x x x x

x x x x

x →→∞

∞

'

→→→'→→??

??

==? ?

???

??

??

??→=? ???

???

?'

=-=-=-??

'

??-

? ???

??

'

==='

解：令两边取对数得对求时的极限，0

lim ln ln 0

2sin cos m

0,

1lim =lim 1

x x y

y

x x x x

y e

e e →→→→?====从而可得

○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路

（★★）

00001∞??∞-∞??→←???∞←???∞?∞?∞

(1)(2)(3)

⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换） ⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式） ⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）

第三节 泰勒中值定理（不作要求） 第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性 ○连续函数单调性（单调区间）（★★★） 【题型示例】试确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间

【求解示例】

1．∵函数()f x 在其定义域R 上连续，且可导

∴()261812f x x x '=-+ 2．令()()()612

0f x x x '=--=，解得：

121,2x x ==

4．∴函数()f x 的单调递增区间为

(][),1,2,-∞+∞；

单调递减区间为()1,2

【题型示例】证明：当0x >时，1x

e x >+ 【证明示例】 1．（构建辅助函数）设()1x x e x ?=--，（0x >）

2．()10x x e ?'=->，（0x >）

∴()()00x ??>=

3．既证：当0x >时，1x e x >+

【题型示例】证明：当0x >时，()ln 1x x +< 【证明示例】 1．（构建辅助函数）设()()ln 1x x x ?=+-，（0x >） 2．()1101x x

?'=

-<+，（0

x >）

∴()()00x ??<=

3．既证：当0x >时，()ln 1x x +<

○连续函数凹凸性（★★★）

【题型示例】试讨论函数2313y x x =+-的单调性、

极值、凹凸性及拐点

【证明示例】

1．()()2

36326661y x x x x y x x '?=-+=--??

''=-+=--??

2．令()()320

610

y x x y x '=--=???''=--=??解得：120,21x x x ==??=?

+ + - - 2313y x x =+-(0,1)

,(1,2) 单调递增区间为(,0-∞,(2,)+∞；

⑵函数2313y x x =+-的极小值在0x =时取

到，为()01f =，

极大值在2x =时取到，为()25f =；

⑶函数2313y x x =+-在区间(,0)-∞,(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,)+∞上凸； ⑷函数2313y x x =+-的拐点坐标为()1,3

第五节 函数的极值和最大、最小值 ○函数的极值与最值的关系（★★★）

⑴设函数()f x 的定义域为D ，如果M x ?的某个邻域()M U x D

?

，使得对()M x U x ?∈

，都

适合不等式()()M f x f x <，

我们则称函数()f x 在点(),M M x f x ????处有极

大值()M f x ；

令{}123,,,...,M M M M Mn x x x x x ∈

则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值M 满足：

()(){}123max ,,,,...,,M M M Mn M f a x x x x f b =； ⑵设函数()f x 的定义域为D ，如果m x ?的某个邻域()m U x D

?

，使得对()m x U x ?∈

，都适

合不等式()()m f x f x >，

我们则称函数()f x 在点(),m m x f x ????处有极

小值()m f x ；

令{}123,,,...,m m m m mn x x x x x ∈

则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最小值m 满足：

()(){}123min ,,,,...,,m m m mn m f a x x x x f b =；

【题型示例】求函数()33f x x x =-在[]1,3-上的最值

【求解示例】

1．∵函数()f x 在其定义域[]1,3-上连续，且可

导

∴()233f x x '=-+

2．令()()()3110f x x x '=--+=，

解得：121,1x x =-=

4．又∵()()()12,12,318f f f -=-==- ∴()()()()max min 12,318f x f f x f ====-

第六节 函数图形的描绘（不作要求） 第七节 曲率（不作要求）

第八节 方程的近似解（不作要求） 第四章 不定积分

第一节 不定积分的概念与性质

○原函数与不定积分的概念（★★） ⑴原函数的概念：

假设在定义区间I 上，可导函数()F x 的

导函数为()F x '，即当自变量x I ∈时，有

()()F x f x '=或()()dF x f x dx =?成立，则称()F x 为()f x 的一个原函数

⑵原函数存在定理：（★★）

如果函数()f x 在定义区间I 上连续，则在

I

上必存在可导函数()F x 使得()()F x f x '=，

也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续）

⑶不定积分的概念（★★）

在定义区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项C 的原函数称为()f x 在定义区间I 上的不定积分，即表示为：()()f x dx F x C =+? （

?称为积分号，()f x 称为被积函数，

()f x dx 称为积分表达式，x 则称为积分变量）

○基本积分表（★★★）

○不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★）

()()()()1212k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+?

?????? 第二节 换元积分法

○第一类换元法（凑微分）（★★★）

（()dx x f dy ?'=的逆向应用）

()()()()f x x dx f x d x

????'?=

????????

?????

?

?

【题型示例】求2

2

1dx

a x

+?

【求解示例】

2

22

2

111

1

1

arctan 11x x dx dx d C a x

a a a

a x x a a ??===+ ?+????

??++ ?

?

??

??

?

?

?解：【题型示例】求1

?

【求解示例】

()()

12

1212

x x C

=

+=

+=

??

?解

○第二类换元法（去根式）（★★）

（()dx x f dy ?'

=的正向应用） ⑴对于一次根式（0,a b R ≠∈）：

t =，于是2

t b x a

-=

，

则原式可化为

t

⑵对于根号下平方和的形式（0a >）：

tan x a t =（2

2

t π

π

-

<<

），

于是arctan

x

t a

=，则原式可化为sec a t ；

⑶对于根号下平方差的形式（0a >）：

a

sin

x a t =（2

2

t π

π

-<<

），

于是arcsin

x t a

=，则原式可化为cos a t ；

b se

c x a t =（02

t π

<

<），

于是arccos a t x

=，则原式可化为tan a t ；

【题型示例】求?（一次根式）

【求解示例】

2221

t x t dx tdt tdt dt t C C

t =-

=??==+=?

??

解【题型示例】求?（三角换元） 【求解示例】

()()2

sin ()

2

2

2

2

arcsin cos 2

2

cos 1cos 22

1sin 2sin cos 222x a t t x t a

dx a t

a

a tdt t dt

a a t t C t t t C

ππ=-<<

==??????

→=

+??

=

++=++ ???

???解

第三节 分部积分法 ○分部积分法（★★）

⑴设函数()u f x =，()v g x =具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：udv uv vdu =-??

⑵分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指”

○运用分部积分法计算不定积分的基本步骤： ⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序；

⑵就近凑微分：（v dx dv '?=）

⑶使用分部积分公式：udv uv vdu =-??

⑷展开尾项vdu v u dx '=???，判断

a ．若v u dx

'??是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分

表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）；

b ．若v u dx '??依旧是相当复杂，无法通过a 中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C

【题型示例】求2x e x dx ?? 【求解示例】

()

()

2

2

2

22

2

2

2

2

222222x

x

x x

x

x x

x

x

x

x

x

x

x

x

e x dx x

e dx x

de x e e d x x e x e dx x e x d e

x e xe e dx x e xe e C

?=

=

=-

=-?=-?=-+=-++???????解：

【题型示例】求sin x e xdx ?? 【求解示例】

()()

()

()

sin cos cos cos cos cos cos sin cos sin sin cos sin sin x

x

x

x

x

x x

x

x

x

x

x

x

x

e xdx e d x e x xd e

e x e xdx e x e d x e x e x xd e e x e x e

xdx

?=-=-+

=-+

=-+

=-+-=-+-

???????解：

()sin cos sin sin x

x

x

x

e xdx e x e x xd e

?=-+-??即：

∴()1sin sin cos 2

x x

e xdx e

x x C ?=

-+?

第四节 有理函数的不定积分

○有理函数（★） 设：

()()

()()1011

01m

m m n

n n

P x p x a x a x

a Q x q x

b x b x

b --=++?+=

=++?+

对于有理函数

()()

P x Q x ，当()P x 的次数小于

()Q x 的次数时，有理函数

()()

P x Q x 是真分式；当

()P x 的次数大于()Q x 的次数时，有理函数

()()

P x Q x 是假分式

○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★）

⑴将有理函数

()()

P x Q x 的分母()Q x 分拆成两个

没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式()k

x a -；而另一个多项式可以表示为二次质因式

()

2

l

x px q ++，（240p q -<）；

即：()()()12Q x Q x Q x =? 一般地：n m x n m x m ??

+=+

?

?

?

，则参数n a m =-

22b c ax bx c a x x a

a ??++=+

+

??

?

则参数,b c p q a

a

=

=

⑵则设有理函数

()()

P x Q x 的分拆和式为：

()()

()

()

()

()

122

k

l

P x P x P x Q x x a x

px q =

+

-++

其中

()

()

()

()

11

2

2

...k

k

k

P x A A A x a

x a x a x a =

+

++

----

()

()

()

()

21122

2

2

2

2

2

...l

l l

l

P x M x N M x N x px q

x

px q x

px q M x N x

px q ++=

+

+++++++++

++

参数12

1212,,...,,,,...,l k l

M M M A A A N N N ??????

???由待定系数法（比较法）求出

⑶得到分拆式后分项积分即可求解 【题型示例】求2

1

x

dx x +?

（构造法）

【求解示例】

()()()2

2

111111

1

111ln 112

x x x x

dx dx x dx x x x xdx dx dx x x x C

x +-++?

?=

=

-+

?+++??=

-+

=

-++++??

???

?

第五节 积分表的使用（不作要求）

第五章 定积分极其应用

第一节 定积分的概念与性质 ○定积分的定义（★）

()()0

1

lim n

b i i a

i f

x dx f x I

λξ→==?=∑?

（()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达

式，x 则称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[],a b 称为积分区间） ○定积分的性质（★★★） ⑴()()b

b a

a

f x dx f u du =

??

⑵()0a a

f x dx =?

⑶()()b b

a a kf x dx k f x dx =???

??? ⑷（线性性质）

()()()()1212b b

b

a

a a k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+?????

??

⑸（积分区间的可加性）

()()()b c b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx =

+

?

?

?

⑹若函数()f x 在积分区间[],a b 上满足

()0f x >，则()0b

a f x dx >?；

（推论一）

若函数()f x 、函数()g x 在积分区间[],a b 上

满足()()f x g x ≤，则()()b

b a a

f x dx

g x dx ≤

??

；

（推论二）

()()b b a

a

f

x dx f

x dx ≤

?

?

○积分中值定理（不作要求） 第二节 微积分基本公式

○牛顿-莱布尼兹公式（★★★）

（定理三）若果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数，则

()()()b a

f x dx F b F a =-?

○变限积分的导数公式（★★★）（上上导―

下下导）

()(

)

()()()()()x x d

f t dt f x x f x x dx ?ψ??ψ

ψ''=-?????????

【题型示例】求2

1cos 2

lim

t

x

x e dt

x

-→?

【求解示例】

()2

2

1100

cos cos 2

2

lim

lim

解：t

t

x

x

x L x d

e

dt

e dt

dx x

x --'→→='

?

?

()

(

)

()()2

2

2

2

2

2

1

cos cos 0

0cos 0

cos cos 0

cos

01

0sin sin lim

lim

22sin lim 2cos sin 2sin cos lim 2

1lim sin cos 2sin cos 2112

2x

x

x x x

L x x

x

x x

x e

e

x x e

x

x

d

x e

dx

x x e x e

x x

e x x x x e

e

---→→-'→--→-→-?-?-?==?='

?+??=??

=+??

?

=

?=

第三节 定积分的换元法及分部积分法

○定积分的换元法（★★★） ⑴（第一换元法）

()()()()b b a

a

f x x dx f x d x ????'?=

??????????????

?

【题型示例】求20

121

dx

x +?

【求解示例】

()[]2

220

111121ln 2121

2

21

2

1ln 5ln 5ln 12

2

解：dx d x x x x =

+=

?+???

++=-=

??

⑵（第二换元法）

设函数()[],f x C a b ∈，函数()x t ?=满足：

a ．,αβ?，使得()(),a

b ?α?β==； b ．在区间[],αβ或[],βα上，()(),f t t ??'????连续

则：()()()b

a

f x dx f t t dt β

α

??'=

??????

【题型示例】求40

dx ?

【求解示例】

()2

2

10,4

3

2

2

0,1

1

4,3

3

2

3

3

231

1

1

32

213111332

2

2352293

3

解：t

t x x t x t t

dx

t

t t dt t dt t x t

=

-====+???→+??=??=

+=+ ???=-

=

??

?

?

⑶（分部积分法）

()()()()()()()()()()()()

b b

a a

b

b

b a

a

a

u x v x dx u x v x v x u x dx u x dv x u x v x v x du x ''=-

=-

?

????

???

○偶倍奇零（★★）

设()[],f x C a a ∈-，则有以下结论成立： ⑴若()()f x f x -=，则()()0

2a a

a

f x dx f x dx -=?

?

⑵若()()f x f x -=-，则()0a a

f x dx -=?

第四节 定积分在几何上的应用（暂时不作要

求）

第五节 定积分在物理上的应用（暂时不作要

求）

第六节 反常积分（不作要求）

如：不定积分公式2

1arctan 1dx x C

x

=++?

的证明。

很多同学上课时无法证明，那么在学期结束时，我

给出这样一种证明方法以说明问题：

()tan 2

2arctan 2

2

2

2

2

2

1

1

tan 11tan

1

1

1cos sec

cos cos arctan x t t t x

dx t dt x

t

dt t dt dt

t t

t

t C x C

π

π??=-<< ?

??='??????→??++=

?

?=

?

?=

=+=+?????

如此，不定积分公式2

2

11arctan x dx C

a x

a

a

=++?

也

就很容易证明了，希望大家仔细揣摩，认真理解。