电磁学中的类比关系

152 电磁学中的类比关系

主题

电磁学具有丰富的结构、对称性和类比。它们表现在许多现象中，通过理论描述变得更加明显。下面是几个例子：

● 库仑发现了现在用他的名字命名的关于电荷和磁荷的定律。

●一个带电体会受到两个力。这两个力通常被认为具有类比关系：一个力正比于电场强度E ，另一个力（洛仑兹力）正比于磁通量密度B 。

●在电工学中，电容器和线圈（以及电容C 和电感L ）之间具有类比关系。这种类比关系可以在振荡电路中找到。

缺点

这里我们所讨论的问题是，物理量之间的类比和它们的数学关系之间的类比都是可以被描述出来的。如果我们把一个方程中的物理量根据一定的法则用别的物理量来取代，我们将得到一个新的并且是正确的方程。

有时会隐藏这样的问题，在给定的物理学领域根据不同的描述方法可能得出一些相互竞争的类比。在电磁学中就有这样的例子。在上面提到的这些类比中就是一些竞争类比（competing analogy ）。如果我们不意识到这里会有不同的类比，就会遇到一些问题。电场强度的磁类比是什么？是B 还是H ？有时好象是B ，有时好象是H 。人们有时甚至似乎从意识形态的角度来揭示其本质：“实际的”或“真实的”磁场是B （或H ）。在有些物理教科书中干脆把磁通量密度重新命名为磁场强度。

如果我们认识到描述的方法是多元的，这个问题就能得到解决。这样，问题就不再是“哪个类比是正确的？”，而变为“对于给定的问题哪个类比是最合适的？”。

我们用三张表来列出电磁学中的三种类比关系。每一张表都有一一对应的物理量和它们的关系式。 1.E H ?u r u u r 类比

这种类比体现在麦克斯韦方程组中，见表1。 这种类比在处理静磁学问题时特别有用。H u u r 场有源和汇（sink ）。因此，画静磁学中的H u u r 线图和画静电学中的E u r 线图一样简单。大家都知道，学生（不仅

是学生）在画磁场线时会感到很困难[1]。

表1.

u r u u r 类比。在这里，自由电荷和传导电流没有相应的磁类比。

2.E B ?u r u r 类比

这种类比基于电动力学的四元矢量(four-vectors)表征法。这里，四元矢量中的时间分量对应于空间分量。正象时间对应于空间，或能量对应于动量，电荷密

度对应于电流密度，电势Ф对应于磁矢势A u r 。这两种势的空间导数（即Ф的梯度和A u r 的旋度）分别是矢量E u r 和B u r 。由此，我们得到表2中关于力的表达式。 表2.

u r u r 类比

3. U-I 类比 这种类比在电气工程中特别有用。它是E H ?u r u u r 类比的另一种形式。然而，这里的对应关系具有交叉性；电荷不是与磁荷对应，而是与磁通量对应（见表3）。

表 3. 在电气工程中很重要的一种类比。在这种类比中，不但物理量之间和物理公式之间具有对应关系，电路元件之间和电路元件布局法则之间也具有对应关系。

物理量

电荷Q ?磁通量-Ф

电压U ?电流I

电容C ?电感L

电阻R ?电导G

能量E ?能量E

能流P ?能流P

这种类比跟前面提到的两种类比有明显的不同。在这里，一个电路对应另一个电路；表格中的类比可以从左向右进行，也可以从右向左进行。有时，我们把这种类比关系叫做对偶关系。例如，我们可以将电压替换为电流，也可以将电流替换为电压；或可以将电容器替换为线圈，也可以将线圈替换为电容器；或可以将并联电路替换为串联电路，也可以将串联电路替换为并联电路。

实际上，电通量与磁荷类比是符合逻辑的。相应的电路元件照理应该是“磁容器”（magnetic capacitor ）和“磁线圈”。在这个“磁线圈”中流动着磁荷。由于没有自由磁荷和没有传导磁流（但有束缚磁荷和位移磁流），这两种元件是没有意义的。

历史 E H ?u r u u r 类比是最明显的类比。这是可以直接从经典的麦克斯韦方程组中直接得到的类比。相对论和四元矢量的描述方法导致了E B ?u r u r 类比的出现。第三种类比的出现是由于它在电工技术中的广泛应用；另外，也由于它是更广泛的电学和力学间的类比的基础（在这种类比中，电容器与弹簧对应，线圈与惯性物体对应，电阻器与阻尼器对应[2]）。 人们长期来有着这样的争论：H u u r 和B u r 这两个物理量中哪个最适合于描述“真正的”磁场？引起这个争论的原因也许有以下两个方面：

1. 人们可能只知道其中一种类比，而不知道其他两种类比，或不相信其他

两种类比。

2. 人们把物理系统“场”与物理量“场强”混同起来了。他们忽视了这样的事实：物理量是人们创造出来的。

从下面这段话中我们看得出来，甚至连伟大的德国物理学家索末菲(A. Sommerfeld)也这样认为，在诸多方法中选择其中一种方法时，我们所关心的问题是哪一种方法是正确的，而不是哪一种方法对解决问题更合适[3]：“法拉第-麦克斯韦电磁感应定律表明，电场强度E和磁感应强度B是描述强度的物理量。因此，B（而不是H）应该叫做磁场强度。……从相对论中也可清楚地看出来，B对应于E，而H对应于D。这是因为，在六元矢量（反对称张量）中，c B和i E在一边，而H和-ic D在另一边。”

建议

1. 首先，不要断言哪个量“是”“真正的”场。

2. 告诉学生，在电磁学中不至一种类比。

参考文献

[1] F. Herrmann: Historical burdens on physics, 43, The field of permanent magnets

[2] F. Herrmann: Historical burdens on physics, 60, Inductivity

[3] A. Sommerfeld: Elektrodynamik, 4. Auflage, Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig, 1964, Vorwort, S. VI

F. Herrmann

（陈敏华，2016年11月13日译毕于浙江省绍兴市柯桥区碧水金柯）