《现代控制理论》课后习题答案5.pdf

《现代控制理论》第5章习题解答

5.1 已知系统的状态空间模型为Cx y Bu Ax x

=+=, ，画出加入状态反馈后的系统结构图，写出其状态空间表达式。

答：具有状态反馈的闭环系统状态空间模型为：

u Kx =?+v ()x

A BK x Bv y Cx

=?+=

相应的闭环系统结构图为

闭环系统结构图

5.2

画出状态反馈和输出反馈的结构图，并写出状态反馈和输出反馈的闭环系统状态空间

模型。

答：具有状态反馈的闭环系统状态空间模型为

u Kx =?+v ()x A BK x Bv y Cx

=?+=

相应的反馈控制系统结构图为

具有输出反馈的闭环系统状态空间模型为

u Fy =?+v ()x A BFC x Bv y Cx

=?+=

相应的反馈控制系统结构图为

5.3 状态反馈对系统的能控性和能观性有什么影响？输出反馈对系统能控性和能观性的影

响如何？

答：状态反馈不改变系统的能控性，但不一定能保持系统的能观性。输出反馈不改变系统的能控性和能观性。

5.4 通过检验能控性矩阵是否满秩的方法证明定理5.1.1。 答：加入状态反馈后得到闭环系统K S ，其状态空间模型为

()x A BK x Bv y Cx

=?+=

开环系统的能控性矩阵为

0S 1[,][]n c A B B

AB A B ?Γ="

闭环系统K S 的能控性矩阵为

1[(),][()()]n cK A BK B B A BK B A BK B ?Γ?=??"

由于

222

()()()()(A BK B AB BKB

A BK

B A ABK BKA BKBK B

)

A B AB KB B KAB KBKB ?=??=??+=???#

以此类推，总可以写成的线性组合。因此，存在一个适当

非奇异的矩阵U ，使得

()m A BK B ?1,,,m m A B A B AB B ?[(),][,]cK c A BK B A B U Γ?=Γ

由此可得：若rank([,])c A B n Γ=，即有个线性无关的列向量，则n [(),]cK A BK B Γ?也有个线性无关的列向量，故

n rank([(),])cK A BK B n Γ?=

5.5 状态反馈和输出反馈各有什么优缺点。

答：状态反馈的优点是，不改变系统的能控性，可以获得更好的系统性能。其缺点是，不能保证系统的能观性，状态x 必须可测，成本高。

输出反馈的优点是：保持系统的能控性和能观性不变，结构简单，只用到外部可测信号。其缺点是，由于用到的信号少，它所达到的系统性能往往有限，有时甚至都不能达到闭环系统的稳定性。

5.6 应用能控性检验矩阵的方法证明状态反馈不改变系统的能控性。然而，对以下系统

[]01023131x x u y x

????

=+??????????= 可以通过选择适当的状态反馈增益矩阵来改变闭环系统的能观性。

答：对于用能控性检验矩阵的方法证明状态反馈不改变系统的能控性，在题5.4中已经证明。

开环系统的能观性矩阵为

[]031,20C A C CA ????

Γ==????

?????

由于能观性矩阵满秩，故系统是能观的。

设[]1

2K k k =，引入状态反馈u Kx v =?+后，闭环系统的状态矩阵是

120123A A BK k k ??=?=????????

闭环系统的能观性矩阵为

012312C A C k k CA ??????Γ==??????????

??? 取[]2

0K =?，则可得

03100A C ????Γ=??

????

该矩阵不是满秩的，故系统是不能观的。这个例子说明了状态反馈的引入使得原来能观的系统变得不能观了。

5.7 证明定理5.1.2。

证明：先证能控性。对任一输出反馈系统都可对应地构造等价的一个状态反馈系统。由定理5.1.1知，状态反馈不改变系统的能控性，因而，输出反馈也不改变系统的能控性。

设被控系统的状态空间模型为：

0S x Ax Bu y Cx

=+=

引入状态反馈后，闭环系统的状态空间模型为：

F S ()x A BFC x Bv y Cx

=?+=

系统和的能观矩阵分别为

0S F S 01n C CA Q CA ??????

?=??????

# ， 01()()F n C C A BFC Q C A BFC ???

??

???=???????# 可以看出，(C A BFC )?每个行均可表为,T

T T T

C A C ????各行的线性组合，同理有是各行的线性组合，如此等等。据此可以导出：

2()C A BFC ?2,,()T

T T T T T C A C A C ????oF o rankQ rankQ ≤

由于又可以看成为的输出反馈系统，因而有

o S F S o o rankQ rankQ F ≤

由以上两式可得

o o rankQ rankQ F =

因此，系统完全能观测等价于完全能观测。 F S 0S

5.8 采用状态反馈实现闭环极点任意配置的条件是什么？

答：采用状态反馈实现闭环极点任意配置的条件是，开环系统是能控的。

5.9 采用状态反馈实现闭环极点任意配置，其状态反馈增益矩阵K 的行数和列数如何确

定，计算方法有几种？

答：状态反馈增益矩阵K 的行数是输入变量的个数，列数是状态变量的个数。计算方法有：1.直接法；2.变换法；3. 利用爱克曼公式求解。

5.10 为什么要进行极点配置？解决系统极点配置问题的思路和步骤是什么？

答：对一个线性时不变系统，其稳定性和动态性能主要是由系统极点所决定，闭环极点在复平面的适当位置上就可以保证系统具有一定的性能。因此，为了得到期望的系统性能，可以通过改变闭环系统极点位置的方式来实现，这就是极点配置的思想。

解决极点配置问题的思路如下：

1、要改变系统的行为，自然想到所考虑的系统应该是能控的。因此，从能控系统入手来分析系统的求解问题；

2、一般的能控系统也是很复杂的，为了求解问题，从最简单的能控系统开始，即从三阶的能控标准型模型出发分析极点配置问题的解，进而推广到阶能控标准型模型；

n 3、对一般的能控系统，设法将它化成等价的能控标准型模型，进而利用第2步的方法得到极点配置问题的解。

解决极点配置问题的具体方法和步骤如下： （1）直接法：

1、检验系统的能控性。如果系统是能控的，则继续第2步。

2、利用给定的期望闭环极点，可得到期望的闭环特征多项式为

11211()()()n n n n b b λλλλλλλλλ??0b ???=+++""+

3、系统矩阵A BK ?的特征多项式

111det[()]n n n 0I A BK a a a λλλ????=++++"λ

4、两个多项式相等即等号两边λ同次幂的系数相等，导出关于K 的分量的一个线性方程组，求解该线性方程组，可得要求的增益矩阵1,n k k "K 。 （2）变换法：

1、检验系统的能控性。如果系统是能控的，则继续第2步。

2、利用系统矩阵A 的特征多项式

111det()n n n 0I A a a λλλλ???=++++"a

确定的值。

011,,,n a a a ?"3、确定将系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵T 。若给定的状态方程已经是能

控标准形，那么T I =。非奇异线性变换矩阵T 可由下式决定：

1[,](c c

B [,])T A A B ?=Γ 0b Γ 4、利用给定的期望闭环极点，可得到期望的闭环特征多项式为

11211()()()n n n n b b λλλλλλλλλ?????=+++""+

5、确定极点配置状态反馈增益矩阵K ：

[]00

1122

11n n n n K b a b a b a b a T ????=????"

5.11 已知系统状态方程

111011x x u ????=+????????

计算状态反馈增益矩阵，使得闭环极点为2?和3?，并画出反馈系统的结构图。 答：由 ，，得能控性矩阵为 1101A ??=??

??11B ??

=????

[]12(,)11c A B B AB ??

Γ==????

det((,))10c A B Γ=?≠

所以系统是能控的。

由于

211det()210

1I A λλλλλ????

?==?+????? 系统的能控标准形矩阵对是

0112A ??=????? ，01B ??=????

故状态变换矩阵为：

1[,]([,])c c T A B A B ?=ΓΓ 01121211?????=??????????1110???=????

根据给定的期望闭环极点，可得闭环特征多项式为：

212()()(2)(3)5λλλλλλλλ??=++=++6

因此，状态反馈增益矩阵是

[]57K T =[]125=?

结构图为

5.12 给定系统

210011x x u ?????=+?????????

（1） 画出模拟结构图；

（2） 画出单位阶跃响应曲线。若动态性能不满足要求，可否任意配置闭环系统极点？ （3） 若指定闭环极点为－3和－3，求状态反馈增益矩阵，并画出单位阶跃响应曲线。 答：

（1）模拟结构图

（2）其单位阶跃响应曲线如图所示

Step Response

Time (sec)

A m p l i t u d e

系统的能控性矩阵为：

[]01(,)11c A B B

AB ??Γ==?????

而，故系统是能控的。因此，若系统性能不满足要求，可以通过配置闭环系统极点来改善系统性能。 det((,))10c A B Γ=?≠（3）设状态反馈增益矩阵[]1

2K k k =，可得

()I A BK λ??122

11k k λλ+???=??++??

2212det(())(3)22I A BK k k k λλλ??=+++++

由指定的闭环极点3?和，可得期望的闭环特征多项式为：

3?22(3)6λλλ9+=++

由此可得：，即121,3k k ==[]13K =

极点配置后的闭环系统为：

210()141x A BK x Bv x v ?????

=?+=+??????????

它的单位阶跃响应曲线为：

Step Response

Time (sec)

A m p l i t u d e

对比两图可以发现，系统的动态性能大大改善。

5.13 已知系统的传递函数为2(1)

()(3s G s s s +=

)

+，根据其能控标准形实现设计一个状态反馈

控制器，将闭环极点配置在－2，－2和－1处，并说明所得的闭环系统状态空间模型是否能观。

答：由系统的传递函数2(1)

()(3s G s s s )

+=

+，可以得到系统的能控标准形为：

010*********x x u ????????=+????????????? []110y x =

设状态反馈增益矩阵[]1

2

3K k k k =，则

()I A BK λ??12310013k k k λλλ???

??=???

??++??

3232det(())(3)1I A BK k k k λλλ??=++++λ

由指定的闭环极点2?、和可得期望的闭环特征多项式：

2?1?232(2)(1)58λλλλλ++=+++4

由此可得：，即1234,8,2k k k ===[]4

82K =。因此，要设计的状态反馈控制器是

[]482u x =?

极点配置后的闭环系统为：

010*********x x v ????????=+??????????????? []110y x =

该系统的能观性矩阵为：

[]2110011484o C A C CA CA ????

????Γ==????

???????????

[]det()0o A C Γ=

因此所得的闭环系统状态空间模型是不能观的。

5.14 已知系统的传递函数为

(1)(2)

()(1)(2)(3s s G s s s s ?+=

)+?+

试问能否用状态反馈将闭环系统的传递函数变为

1

()(2)(3c s G s s s ?=

)

++

若有可能，试给出相应的状态反馈控制器，并画出控制系统结构图。 答：能够用状态反馈将闭环系统的传递函数变为1

()(2)(3c s G s s s )

?=

++。

根据原系统的传递函数可以得到能控标准形。由定理 5.1.3，对能控的单输入单输出系统，只要不发生零极点相消的现象，状态反馈就不能改变零点。因此我们只能用状态反馈把原系统变换为

2(1)(2)

()(2)(3c s s G s s s )

?+=

++

即将闭环系统极点配置在、和2?2?3?的位置上。原系统的状态方程为：

010*********x x u ????????=+?????????????

[]211y x =?

设状态反馈增益矩阵[]1

2

3K k k k =，则

()I A BK λ?? 123100165k k k λλλ?2??

??=???

????++??

32321det(())(2)(5)6I A BK k k k λλλλ??=+++?+?

由指定的闭环极点2?、和可得期望的闭环特征多项式：

2?3?232(2)(3)7161λλλλλ++=+++2

由此可得：，即12318,21,5k k k ===[]18215K =。因此，要设计的状态反馈控制器

是

[]18215u x =?

相应的闭环系统是：

1000010121671x x v ????=+??

???????

?????????? []211y x =?

结构图为

5.15 已知系统的状态空间模型

00

52

010********[001]x x u y x ???????=?+??

????????= ?????

（1） 验证开环系统是不稳定的，系统是能控能观的； （2） 证明该系统可以采用输出反馈使得闭环系统渐近稳定； T 12[]u h h y =（3） 验证该系统不能采用输出反馈任意配置闭环系统极点。

T 12[]u h h y =答：

(1) 由于系统的特征值为-0.1607，6.5676，14.4931，所以开环系统是不稳定的。系统的能控

性矩阵是

[,]c A B Γ=200555122114011112???

????????????

其秩rank ＝3，所以系统是完全能控的。 [,]c A B Γ 系统的能观性矩阵是

[]0001,013138A C ??

??Γ=??

????

由于rank []0,A C Γ＝3，故系统也是完全能观的。 （2） 在输出反馈[]1

2T

u h h y H =y =作用下，闭环系统为

()x

A BHC x y Cx

=+=

其闭环状态矩阵是：

[]11122200520002510112001102101301013h h A BHC h h h h ??+??????

??

??????+=?+?=??????????

??+????????????

该系统的特征多项式为：

32212det(())(3)(21)(25)I A BHC h h h h λλλλ?+=+??+?+++?10b

设配置极点后的系统特征多项

式为3221b b λλλ+++，则有 即需满足

13115

222

b b 2b ???=

闭环系统渐近稳定，则须有三个负根，即，和b 都必为正，这与上式矛盾，故原系统

不可能用输出反馈1b 2b 3[]12T

u h h =y 1来镇定原系统。

22

211032125h b h h b h b

??=??

?+=???=?

原题有误。

5.16 极点配置可以改善系统的过渡过程性能，加快系统的响应速度。它对稳态性能有何影

响？如何消除对稳态性能的负面影响？

答：极点配置可以改善系统的过渡过程性能，加快系统的响应性能，但可能使闭环系统产生稳态误差。可以引进一个积分器来抑制或消除系统的稳态误差，这样一种跟踪控制器的设计问题可以通过建立增广系统，进而求解增广系统的极点配置问题来得到既保持所期望的动态性能，又无静差的比例－积分控制器。

5.17 考虑例5.4.2中的倒立摆系统，假定风以一个水平力作用在摆杆上，以5(作

()w t )w t

用在小车上，此时系统的动态方程是

01

00000

010140001000011016[1000]x

Ax Bu Ew x u w y Cx x

??????

?????????????=++=++????????????

???????

== 其中：[T x y y

]θθ= 是系统的状态向量，θ是摆杆的偏移角，是小车的位移，是作用在小车上的力。再按例5.4.2的要求设计控制器，并画出闭环系统的状态响应曲线，解释摆杆偏移角的稳态值非零的原因。 y u 答：增广系统的状态空间模型是

[]0010

000400

100100001006001100110

000010000r w x

x u q q w y x y q ??????

?????????????

??????

????=+????+???

???

???????????????????

???????

=??

??

采用极点配置方法，基于以上模型来设计增广系统的极点配置状态反馈控制器

12u K x K q =?? 根据给定的性能要求，选择闭环极点为

11λ=?+

21λ=??，3455λλλ===?

执行以下M 文件：

a=[0 1 0 0 0;0 0 -1 0 0;0 0 0 1 0;0 0 11 0 0;1 0 0 0 0];

b=[0;1;0;-1;0]; c=ctrb(a,b) rank(c)

求得能控性矩阵：

[]01

0101010110101101011012100101c A B ??????

??Γ=?????????????

以及该矩阵的秩为5，所以增广系统是能控的。因此可以对增广系统进行任意极点配置。特别的，对以上给定的闭环极点，执行以下的M 文件：

A=[0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0]; B=[0;1;0;-1];

C=[1 0 0 0];

AA=[A zeros(4,1);C 0]; BB=[B;0];

J=[-1+j*sqrt(3) -1-j*sqrt(3) -5 -5 -5]; K=acker(AA,BB,J)

得到系统的状态反馈增益矩阵

K =

-55.0000 -38.5000 -175.0000 -55.5000 -50.0000

因此，要设计的控制器是

[]0

[5538.517555.5]50()1t

u x y d ττ=+∫?

执行以下M 文件：

A=[0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0]; B=[0;1;0;-1]; C=[1 0 0 0];

K1=[-55 -38.5 -175 -55.5]; K2=-50;

a=[A-B*K1 -B*K2;C 0]； b=[0;4;0;6;-1]； c=[C 0]； d=0；

sys=ss(a,b,c,d); ltiview({'step'},sys);

可得闭环系统单位阶跃响应：