求递推数列通项的特征根法,高考出题热点

专题 求递推数列通项的特征根法

一、形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列

形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ，其特征方程为2x px q =+…①

若①有二异根,αβ，则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数） 若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数） 再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a

例1 已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a 解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =?+?，

由1122122243a c c a c c =+=??=+=?，得121

12

c c =???=

??， 112n n a -∴=+ 例2已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a

解：其特征方程为2

441x x =-，解得121

2x x ==，令()1212n

n a c nc ??

=+ ???

，

由1122121()121(2)2

4

a c c a c c ?

=+?=????=+?=??，得1246c c =-??=?， 1322n n n a --∴=

二、形如2n n n Aa B a C a D

++=

+的数列

对于数列2n n n Aa B a C a D

++=

+，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠） 其特征方程为A x B x C x D

+=

+，变形为2()0C x D A x B +--=…②

若②有二异根,αβ，则可令

11n n n n a a c a a ααβ

β

++--=?

--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值。

这样数列n n a a αβ??-??-??

是首项为

11a a α

β--，公比为c 的等比数列，于是这样可求得n a

若②有二重根αβ=，则可令

111n n c

a a α

α

+=

+--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值。

这样数列1n a α????-??

是首项为

1n a α-，公差为c 的等差数列，于是这样可求得n a 例3已知数列{}n a 满足11122,(2)21

n n n a a a n a --+==

≥+，求数列{}n a 的通项n

a

解：其特征方程为221

x x x +=+，化简得2220x -=，解得121,1x x ==-，令

11111

1

n n n n a a c a a ++--=?

++

由12,a =得245

a =

，可得13

c =-，

∴数列11n n a a ??-??

+??

是以1111

13a a -=+为首项，以13-为公比的等比数列，1

111133n n n a a --??∴=?- ?+??，3(1)3(1)

n n n n

n

a --∴=

+-

例4已知数列{}n a 满足*

11212,()46

n n n a a a n N a +-==∈+，求数列{}n a 的通项n

a

解：其特征方程为2146

x x x -=

+，即24410x x ++=，解得1212

x x ==-

，令

11

1112

2n n c a a +=

++

+

由12,a =得2314a =

，求得1c =，

∴数列112n a ??

??????+??是以112152a =+

为首项，以1为公差的等差数列，123(1)115

5

2

n n n a ∴

=+-?=-

+

，

135106

n n

a n -∴=-