第一章随机事件及其概率

第一章 随机事件与概率

§1.1 随机事件及其运算

1．1．1 随机现象

在一定条件下必然出现的现象叫做确定性现象。

在相同的条件下可能出现也可能不出现，但在进行了大量重复地观测之后，其结果往往会表现出某种规律性的现象叫做随机现象。(举例)

为了研究和揭示随机现象的统计规律性，我们需要在相同条件下对随机现象进行大量重复地观测、测量或试验，统称为随机试验。也有很多随机试验是不能重复的，比如某些经济现象、比赛等。概率论与数理统计主要研究能够大量重复的随机现象，但也十分注意不能重复的随机现象的研究。

1．1．2 样本空间

用{}ωΩ=表示随机现象的一切可能基本结果组成的集合，称为样本空间。样本空间的元素，即每个基本结果ω，称为样本点。

例1 抛掷一枚硬币，观察正面和背面出现（这两个基本结果依次记为1ω和

2ω）的情况，则该试验的样本空间为12{,}ωωΩ=

例2 一枚骰子，观察出现的点数，则基本结果是“出现i 点”，分别记为i

ω（i ＝1，2，3，4，5，6），则该试验的样本空间为123456{,,,,,}ωωωωωωΩ= 例3 在一只罐子中装有大小和形状完全一样的2个白球和3个黑球，依次在2个白球上标以数字1和2，在3个黑球上标以数字3，4和5，从罐子中任取一个球，用i ω表示“取出的是标有i 的球”（i ＝1，2，3，4，5），则试验的样本空间为12345{,,,,}ωωωωωΩ=

例4 在一个箱子中装有10个同型号的某种零件，其中有3件次品和7件合格品，从此箱子中任取3个零件，其中的次品个数可能是0，1，2，3，试验的样本空间为{0,1,2,3}Ω=

例5 某机场问讯电话在一天内收到的电话次数可能是0，1，2，…，则试验的样本空间为{0,1,2,}Ω=L

例6 考察某一大批同型电子元件的使用寿命（单位：h ），则使用的样本空间为[0,)Ω=+∞ 注意：

1样本空间中的元素可以是数也不是数；

2样本空间至少有两个样本点，仅含两个样本点的样本空间是最简单的样本空间；

3从样本空间中所含的样本点个数来区分，样本空间可分为有限与无限两类，有限样本空间比如例1、2、3、4，无限比如例5、6，例5中样本点的个数是可列的，但例6中样本点的个数是不可列无限的。样本点的个数有限和可列的归为一类称为离散样本空间；样本点的个数不可列归为一类称为连续样本空间。

1．1．3 随机事件

我们把随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，用大写字母,,A B C 等表示。

注意：

1任一事件A 均是样本空间的子集，样本空间与事件的关系常用维恩(Veen)图来表示。如图1。

2设A ?Ω，如果A 中的某个样本点出现了，即试验结果A ω∈，则称在这次试验中事件A 发生；如果A ω?，则称事件A 不发生。事件A 发生当且仅当A 中某个样本点出现了。

3事件可以用集合表示，也可以用语言描述。

4由单个样本点ω组成的事件，称为基本事件；样本空间Ω本身是Ω的最大子集，它包含Ω的所有样本点，在每次试验中Ω必然发生，称为必然事件；样本空间Ω的最小子集空集φ也是Ω的子集，它不包含任何样本点，在每次试验中都不可能发生，称为不可能事件。

例7 在例1.3中，子集12{,}A ωω=表示事件“从罐子中任取一球是白球”，子集345{,,}B ωωω=表示事件“从罐子中任取一球是黑球”。事件“取出2号球”可表示为2{}C ω=，事件“取出白球或黑球”是必然事件Ω，事件“取出的是黄球”是不可能事件φ。

1．1．4 随机变量

随机变量是用来表示随机现象结果的变量，常用在写的字母X ，Y ，Z 等表示。

例8 掷一颗骰子，出现的点数是一个随机变量，记为X ，则事件“出现3

点”、“出现的点数不小于3”和“出现的点数小于3”可以分别表示为“X =3”“X ≥3”和“X <3”。

例9掷两颗骰子，样本空间中有36个样本点，

???

?

???

??????

?=Ω)3,6()

2,6()1,6()6,2()2,2()1,2()6,1()

2,1()1,1(Λ

ΛΛΛΛ

ΛΛ， 分别用X 和Y 表示第一与第二个骰子出现的点数，则X 和Y 均可取值1－6，事件“点数之和等于5”和“最大点数为2”可以分别用随机变量表示为“X ＋Y ＝5”和“2),max(=Y X ”，可以分别用集合表示为{})1,4(),2,3(),3,2(),4,1(和

{})2,2(),1,2(),2,1(。

事件的表示方法主要有三种： 1集合；2语言；3随机变量。 1．1．5 事件间的关系 1包含关系

如果属于事件A 的样本点必然属于事件B ，即当事件A 发生时事件B 一定发生，则称事件B 包含事件A ，记作A B ?或A B ?。如图2。举例。 对于任意事件A ，有A φ??Ω。如果A B ?，,B C ?则A C ?。

2相等关系

如果事件A 和事件B 相互包含，即A B ?且B A ?，则称事件A 与事件B 相等，记作A B =。

注意用不同的语言描述的事件也可能是同一事件，举例。 3互不相容(互斥)

如果事件A 和事件B 没有相同的样本点，则称二者互不相容。即二者不能同时发生。如图3。举例。

1．1．6 事件运算 1事件A 与B 的并

“由事件A 和事件B 中所有的样本点(相同的只记入一次)组成的新事件”即“事件A 和事件B 至少有一个发生”，则这样的一个事件称为事件A 与事件B 的并或和，记作A B U ，即

A B U ＝｛A 发生或B 发生｝＝｛A ωω∈或B ω∈｝ 对于任何事件A ，B ，有

,,,A A A A A A B B A φ===U U U U

,,A A A A B B A B =Ω??U U U

如果A B ?，则有A B B =U 。

事件的并可以推广到多个事件的情形： 1

2

1{,,,n

i

n

i A A A A ==L U 中至少有一个发生｝称为有限并

1

2

1

{,,,i

n i A A A A ∞

==L

L U 中至少有一个发生｝称为可列并。

例如，某人做一个试验，直到成功为止，以A 表示事件“该项试验成功”，以i A 表示事件“该项试验做到第i 次才成功”（1,2,i =L ），则有 1

i i A A ∞

==

U

2事件A 与B 的交

“由事件A 和事件B 中公共的样本点组成的新事件”即“事件A 和事件B 同时发生”，则这样的一个事件称为事件A 与事件B 的交或积，记作A B I 或

AB ，即

A B =I ｛A 发生且B 发生｝＝｛|A ωω∈且B ω∈｝ 事件A 和事件B 作为样本空集Ω的子集，事件A B I 就是子集A 与B 的交集。

对于任何事件A ，B ，有

,,A A A A A B B A φφ===I I I I ， ,,A A A B A A B B φ=??I I I

如果,A B ?则有A B A =I 。

事件的交可以推广到多个事件的情形：

121

{,,n

i n i A A A A ==L I

同时发生｝称为有限交， I

Λ+∞

==1

21,,,{i n i A A A A 都同时发生｝称为可列交。

注意：φ=AB 的充要条件是事件A 和事件B 是互不相容事件。

3 事件A 对B 的差

“由事件A 中而不在事件B 中的样本点组成的新事件”即“事件A 发生而事件B 不发生”，则这样的一个事件称为A 与B 的差事件，记作A B -，即 {A B A -=发生但B 不发生｝＝{|A ωω∈且}B ω?。 如图。举例。

对于任何事件,A B ，有

,,A A A A A B A AB AB φφ-=-=-=-=， ,,()A A A A B B A B φΩ-=-Ω=-=U U 。

4 对立事件

事件A 的对立事件记为A ，表示“由在Ω中而不在A 中的样本点组成的新事件”即“A 不发生”。或者可以另外定义为“在每一次试验中事件A 和事件B 都有一个且仅有一个发生，即Φ=Ω=B A B A I Y ,，”则称事件A 与事件B 是互逆的或对立的，其中的一个事件是另一个事件的逆事件，记作A B =＝

A -Ω，或

B A =。显然A A =。必然事件与不可能事件是互为对立事件的，即Φ=Ω，Φ=Ω。

例10 设A 、B 、C 是某个随机现象的三个事件，则事件 “A 与B 发生，C 不发生”表示为C AB ；

“A 、B 、C 中至少有一个发生”表示为C B A Y Y ； “A 、B 、C 中至少有两个发生”表示为BC AC AB Y Y ； “A 、B 、C 中恰好有两个发生”表示为BC A C B A C AB Y Y ； “A 、B 、C 同时发生” 表示为ABC ； “A 、B 、C 都不发生” 表示为C B A ； “A 、B 、C 不全发生” 表示为C B A Y Y 5 随机事件的运算性质 事件的运算有如下的运算法则： 01 交换律 ,A B B A AB BA ==U U 。

02 结合律 ()(),()()A B C A B C AB C A BC ==U U U U 。 03 分配律 (),()()()A B C AB AC A BC A B A C ==U U U U U 04 对偶(德?摩根)律 ,A B AB AB A B ==U U 。

对于多个随机事件(包括有限个和可列个事件)，以上的运算法则也是成立的。

例11 某工人加工了3个零件，以i A 表示事件“加工的第i 个零件是合格品”(i =1，2，3)，试用12,A A 和3A 这3个事件表示下列事件：

(1) 只有第1个零件是合格品； (2) 只有1个零件是合格品； (3) 至少有1个零件是合格品； (4) 最多有1个零件是合格品； (5) 3个零件全是合格品； (6) 至少有1个零件是不合格品。

解 用,,,,A B C D F 和G 分别表示(1)～(6)中的事件。

(1)事件A 发生，意味着第1个零件是合格品，并且第2个和第3个零件都是不合格品，即事件1A 发生且事件23,A A 都不发生，因此

123A A A A =

(2)事件B 发生，就是在3个零件中有1个是合格品，并且另外2个是不合格品，因此

123123123B A A A A A A A A A =U U

(3)事件C 发生，即在3个零件中至少有1个是合格品，也就是在3个零件中恰有1个是合格品，或者恰有2个是合格品，或者3个是合格品，因此

123123123123123C A A A A A A A A A A A A A A A =U U U U 123123A A A A A A U U

事件C 也就是或者第1个零件是合格品，或者第2个零件是合格品，或者第3个零件是合格品，因此C 也可以表示成

事件C 发生，意味着3个零件不能都是合格品，而3个零件都是不合格品可表示成123A A A ，因此

根据对偶律可得

123123123A A A A A A A A A ==U U U U

(4)事件D 发生，就是3个零件都不是合格品，或者其中有2个是不合格品而另外一个是合格品，因此

123123123123D A A A A A A A A A A A A =U U U

事件D 发生，也就是在3个零件中任意2个都不是同时为合格品，因此事件D 也可以表示为

(5)事件F 发生，就是3个零件中每一个都是合格品，因此 123F A A A =

(6)事件G 发生，就是在3个零件中有1个是不合格品而另外2个是合格品，或者有2个是不合格品而另外1个是合格品，或者3个都是不合格品，因此 123123123123123G A A A A A A A A A A A A A A A =U U U U 123123A A A A A A U U

事件G 就是“3G 也可以表示为

事件G 还可以表示为

根据对偶律可知123123A A A A A A =U U 。

例12 在物理系的学生中任选一名学生.若事件A 表示被选学生是男生,事件B 表示该生是三年级学生,事件C 表示该生是运动员, 则

(1) 叙述事件C AB 的意义;

(2) 在什么条件下C ABC =成立? (3) 什么时候关系式B C ?是正确的? (4) 什么时候B A =成立?

解：(1)该生是三年级男生，但不是运动员；

(2)全系运动员都是三年级男生； (3)全系运动员都是三年级学生；

(4)全系女生都在三年级，并且三年级学生都是女生。 1.1.7 事件域

定义：1.1.1 设Ω为一样本空间，F 为Ω的某些子集所组成的集合类。如果F 满足：

1)∈Ω F ；

2)若F A ∈，则对立事件∈A F ； 3)若∈n A F ，Λ,2,1=n ，则可列并

∈+∞

=Y 1

n n

A

F 。

则称F 为一个事件域，又称为σ代数。,(Ω F )称为可测空间，即F 中都是有概率可言的事件。

常见的事件域例子。

1样本空间只含两个样本点时：{

}21,ωω=Ω，记{}1ω=A ，则{}2ω=A ，此时事件域F ＝{}

A A ,,,ΩΦ。

2若样本空间含有n 个样本点，则事件域中共有n

n n n C C 20=++Λ个事件。

3若样本空间含有可列个样本点，则事件域中共有可列个事件。

4或样本空间为全体实数，{}+∞∞-=Ω,＝R ，此时事件域中的元素无法一一列出，可以由一个基本集合类逐步扩展形成：

首先，取基本集合类P ＝“全体半直线组成的类”

＝{}+∞<<-∞-∞x x ),,(；

其次，利用事件域的要求，先把有限的左闭右开区间扩展进来：

),(),(),[a b b a -∞--∞=，其中b a ,为任意实数；

第三，再把闭区间、单点集、左开右闭区间、开区间扩展进来：

I +∞

+=n

n b a b a )1,[],[，

{}),[],[b a b a b -=，

{}a b a b a -=],[],(， {}a b a b a -=),[),(。

最后用有限个或可列个并运算和交运算把实数集中一切有限集、可列集、开集、闭集都扩展进来。

经过上述扩展得到的事件域称为波雷尔(Borel)事件域，其中的每个元素又称为波雷尔集，或可测集，它们都是有概率可言的事件。

§1.2 概率的定义及其确定方法

1.2.1 概率的公理化定义

定义1.2.1 设Ω为一个样本空间，F 为Ω的某些子集组成的一个事件域。如果对任一事件∈A F ，定义在F 上的一个实值函数)(A P 满足： 1)非负性公理 若∈A F ，则()0P A ≥；

2)正则性公理 ()1P Ω=；

3)可列可加性公理 若事件12,,A A L 两两互不相容，有 1

1

(

)()i

i

i i P A P A ∞∞

===∑U ，

则称()P A 为事件A 的概率，称三元素,(ΩF, P )为概率空间。 1.2.2 排列与组合公式

计算“从n 个元素中取r 个元素”，组合不讲究取出元素的次序，而排列讲究次序。

(1)乘法原理 如果某件事需经k 个步骤才能完成，做第一步有m 1种方法，做第二步有m 2种方法，…，做第k 步有m k 种方法，那么完成这件事共有m 1×m 2×…×m k 种方法。

例如，甲城到乙城有3条旅游线路，由乙城到丙城有2条旅游线路，那么从甲城经乙城去丙城共有3×2＝6条旅游线路。

(2)加法原理 如果某件事可由k 类不同途径之一去完成，在第一类办法中又有m 1种完成方法，在第二类办法中又有m 2种完成方法，……，第k 类办法中又有m k 种完成方法，那么完成这件事共有m 1+m 2+…+m k 种方法。

例如，由甲城到乙城去旅游有三类交通工具：汽车、火车和飞机。而汽车有5个班次，火车有3个班次，飞机有2个班次，那么从甲城到乙城共有5十3十2＝10个班次供旅游者选择。

排列与组合的定义及其计算公式

(1)排列 从n 个不同元素中任取r (r n ≤)个元素排成一列(考虑元素的先后出现次序)称为一个排列，按乘法原理，此种排列共有n ×(n －1)×…×(n －r 十1)个，记为P n r 。若r ＝n ,称为全排列，全排列数共有n!个，记为Pn ＝n!。 (2)重复排列 从n 个不同元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取r 次所得的排列称为重复排列，此种重复排列数共有n r 个。注意，这里

的r 允许大于n 。

(3)组合 从n 个不同元素中任取r (r n ≤)个元素并成一组(不考虑元素间的先后顺序)称为一个组合，按乘法原理，此种组合总数为r

n C 。

即)!

(!!

!)1()1(r n r n r r n n n r n C r

n -=

+--=

???

?

??=Λ 这里规定0!=1, 10

=n C 。

(4)重复组合 从n 个不同元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取r 次所得的组合称为重复组合。此种重复组合总数为?

??

?

??-+r r n 1。注意，这里的r 也允许大于n 。

上述四种排列组合及其总数计算公式将在古典概率计算中经常使用，这里不再举例说明，但应指出，在使用中要注意识别有序与无序、重复与不重复。

1.2.3 确定概率的频率方法

这是最基本的获得概率的方法。频率方法的基本思想如下： (1)与考察事件A 有关的随机现象是允许进行大量重复试验的。

(2)在n 次重复试验中，事件A 发生的次数记为n (A )，称为事件A 发生的频数，则事件A 发生的频率为

n

A n A f n )

()(=

(3)实践表明，随着试验重复次数n 增加，频率)(A f n 会稳定在某一常数a 附近(见例1)，称之为频率的稳定值，这个频率的稳定值就是事件A 发生的概率

)(A P 。

(4)缺点：在现实世界里，我们无法把一个试验无限次地重复下去，因此要获得事件A 发生的频率的稳定值是件很难的事情。但在重复次数较大时，频率就很接近概率。在统计学中把频率称为概率的估计值。

注意：频率方法确定的概率满足公理化定义，非负性与正则性显然，可加性证明如下。

当事件A 与B 互不相容时，)()()(B n A n B A n +=Y ，从而有

)()()

()()()()()(B f A f n

B n n A n n B n A n n B A n B A f n n n +=+=+==

Y Y 在实际中频率常当作概率近似值使用，譬如，在足球比赛中用点球是一个扣人心弦的场面，若记事件A ＝“罚点球射中球门”，A 的概率，即判罚点球的命中率P (A )是多少？这可以通过重复试验所得数据资料计算频率而得概率估计

值。曾经有人对1930年至1988年世界各地53274场重大足球比赛作了统计，在判罚的15382个点球中，有11172个射中，频率为11172／15382＝0.726，这就是罚点球命中概率P(A)的估计值。

例1说明频牢稳定性的例子。

(1)在掷一枚均匀硬币时，古典概率已给出，出现正面的概率为0.5。为了验证这一点，很多人都可以作大量的重复试验，如下表记录了24000次掷硬币试验中正面出现的频率，在重复次数计较小时，波动剧烈，随着掷币次数的增大，波动的幅度在逐渐变小。正面出现的频率逐渐稳定在0.5。这个0.5就是频率的稳定值，也是正面出现的概率。这与用古典方法计算的概率是相同的。

表1历史上抛硬币试验的若干结果

(2)在英语中某些字母出现的频率远高于另外一些字母。人们对各类典型的英语书刊中字母出现的频率进行了统计。发现各个字母的使用频率相当稳定。其使用频率见表2。这项研究对计算机键盘设计(在方便的地方安排使用频率较高的字母傻)、印刷铅字的铸造(使用频率高的宇母应多铸一些)、信息的编码(使用频率高的字母用较短的码)、密码的破译等等方面部是十分有用的。

表2英文字母的使用频率

(3)频率的稳定性在人口统计方面表现得较为明显。拉普拉斯(1794—1827)在他的名著《概率论的哲学探讨》中研究了男婴出生的频率。他对伦敦、彼得堡、柏林和全法国的大量人口资料进行研究，发现男婴出生额率几乎完全一致，并且这些男婴出生频率总在一个数左右波动，这个数大约是22／43。另外一位统计学家克拉梅(1893—1985)在他的名著《统计学数学方法》(上海科技出版社．1966)中引用了瑞典1935年的官方统计资料(见表3)，该资料表明，女婴出生的额率总是稳定在0.482左右。

表3 瑞典1935年各月出生女婴的频率

1.2.4 确定概率的古典方法 其基本思想如下：

(1)所涉及的随机现象只有有限个基本结果(样本点)。不妨设n 为其基本结果的总数。

(2)每个基本结果出现的可能性是相同的(简称等可能性)。确定一个随机现象的每个基本结果是等可能的，常凭经验事实和进行符合逻辑的分析。譬如在掷骰子试验中，如果骰子是均匀的正六面体，那就没有理由认为其中一面出现机会比另一面更多一些。故认为各面出现的机会是等可能的。

(3)假如被考察的事件A 中含有k 个基本结果，则事件A 的概率就是

n

k

A A P ＝中所有样本点的个数所含样本点个数事件Ω=

)(

这种确定概率的方法满足概率定义中的三条公理。非负性公理是显然满足的。必然事件概率1/)(==Ωn n P ，故正则性公理成立。最后，对两个互不相容事件A 和B ，因为B A Y 中的样本点个数可以分别计算A 和B 的样本点数k 1和k 2，由于A 和B 互不相容，故在k 1十k 2个基本结果中没有相同的基本结果，所以并事件B A Y 含有k 1十k 2个基本结果。这样一来，可得 P (B A Y )＝P (A )+P (B ) 故可加性公理成立。

下面一些例子说明计算古典概率要涉及到一些排列与组合的知识。 例2(扑克游戏) 一副标准的扑克牌由52张组成，它有两种颜色、四种花式和13种牌形。假如52张牌的大小、厚度和外形完全一样(一般的扑克牌都满足这一条件)，那末52张牌中任一张被抽出的可能性是相同的。我们来研究下面一些事件的概率。

(1)事件A ＝“抽出一张红牌”。在抽一张牌试验中，共有52种等可能基本结果，其中红牌有26张(13张红心和13张红方块)。故事件A 的概率为P (A )＝26/52=0.5。

(2)事件B ＝“抽出一张牌不是红心”。在基本结果中，不是红心的牌只有39张，故事件B 的概率为 75.052/39)(==B P

(3)事件C ＝“抽出二张红心牌”。在这个抽二张牌的试验中等可能基本结果。其中二张牌全是红心必须在13张红心牌中抽出，故事件C 所包含的基本结果总数为???

?

??213个。故 05882.051521213252213)(=??=???

? ??????

??=C P (4)事件D ＝“抽出二张不同颜色的牌”。在这个抽二张牌的试验中，亦有

???

? ??252个等可能基本结果，要获得二张不同颜色的牌(即事件D 发生)可以设想分二步完成此事，第一步从26张红牌中任取1张，第二步再从26张黑牌中任取l 张。依据乘法原则．要获二张不同颜色的牌共有26×26种基本结果，故

5098.025226

26)(=???

? ???=

D P 。

可见，事件D 比事件C 发生的概率高达8.7倍。

(5)事件E ＝“抽出二张同花式的牌”。在这个抽二张牌的试验中，仍有?

??

?

??252个等可能基本结果。要获得二张同花式的牌可以有四种方式得到。 第一种方式，从13张黑桃中任取二张，共有???

?

??213种可能；

第二种方式从13张红心中任取二张，共有???

?

??213种可能； 第三种方式从l3张草花中任取二张，共有???

?

??213种可能；

第四种方式从13张方块中任取二张，共有???

?

??213种可能； 依照加法原则，要获得二张同花式的牌共有4????

?

??213种基本结果，故

2353.02522134)(=???

? ?????? ???=

E P

(6)事件F ＝“抽出5张，恰好是同花顺”。在这个抽5张牌的试验中，共有

???

? ??552个等可能基本结果。要获得5张同花顺的牌可以有四种方式(即四种花式)得到，并且这四种方式获得的同花顺的基本结果也是相同的，现以黑桃花 式为例。要得到同花顺，只有以下10种基本结果：

A K Q J10 K Q Jl0 9 Q J1098 J10 98 7 10 98 76 98 765 8 7 65 4 7 65 43 65 432 5432A

依据加法原则，要获得5张同花顺的牌共有4×10＝40种基本结果。

故00001539.025210

4)(=???

? ???=

F P 这个概率是很小的，仅有10万分之1.5。此类事件被称为稀有事件。

(7)事件G ＝“抽出13张同花式的牌”。在这个抽13张牌的试验中，共有?

??

?

??1352个等可能基本结果。其中同花式的只有4种，即全是黑桃、全是红桃、全是草花、全是方块，故

1310587.113524

)(-?=???

? ??=

G P 这个概率是非常小的，几乎不可能发生。假如在一次扑克游戏中，事件G 发生了，在惊讶之余人们会怀疑在做弊，这种怀疑不是没有道理的。

例3(抽样模型) 一批产品共有N 个，其中不合格品有M 个，现从中随机取出n 个，问事件A m ＝“恰好有m 个不合格品”的概率是多少?

解：先计算样本空间Ω中样本点的个数，从N 个产品中随机取出n 个，不讲次序只有n

N C 种基本结果，其中“随机取出”必导致这n

N C 种基本结果是等可能的。以后对“随机”一词亦可作同样理解。下面我们先计算事件A 0和A 1的概率，然后再计算一般事件A m 的概率。

???? ?????? ??-=n N n M N A P )(0，???

? ?????? ??--???? ??=n N n M N M A P 11)(1

。

要使事件不A m 发生，必须从M 个不合格品中抽m 个，再从N -M 个合格品中抽出n -m 个，依据乘法原则，A m 发生的基本结果共有???

?

??--???? ??m n M N m M 个，故事件A m 的概率是

???

? ?????? ??--???? ??=

n N m n M N m M A P m )(, m =0,1,2,…,r , r =min(n , M )。

这里要求M m n m ≤≤,，所以),min(M n m ≤，否则概率为0，因为它们是不可能事件。

例4(放回抽样) 抽样有二种方式：不放回抽样与放回抽样。上例谈的是不放回的抽样，每次抽取一个，不放回，再抽第二个，这相当于同时取出，因此可不论其次序。放回抽样(又称还原抽样)是抽一个，放回后，再抽下一个，如此重复直至抽出n 个为止。现对上例采取放回抽样讨论事件B m ＝“恰好有m 个不合格品”的概率。

解：先计算样本空间Ω中样本点的个数，为n

N 个。然后计算0B 和1B 。 事件B 0＝“全是合格品”发生，故

()n

n

n

N

M N M N B P )1()(0

-

=-=

事件B 1＝“恰好有1件不合格品”发生故

()11

1)1()(---=-=

n n

n N

M

N M n

N M N nM B P 。 事件B m 的发生共有m

n m m n M N M C --)(个基本结果。其中二项式系数故

m n m m n

n

m n m m

n

m N M N M C N M N M C B P ---=-=)1()()()(，m =0,1,2, …,n 。 1.2.5 确定概率的几何方法 基本思想是：

(1)如果一个随机现象的样本空间Ω充满某个区域，其度量(长度、面积或体积等)大小可用ΩS 表示；

(2)任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的，比如在样本空间Ω中有一单位正方形A 和直角边为1与2的直角三角形B ，而点落在区域A 和区域B 是等可能的，因为这两个区域面积相等，如图；

(3)若事件A 为Ω中的某个子区域，如图，且其度量大小可用A S 表示，则事件A 的概率为Ω=S S A P A /)(。

这个概率称为几何概率，它满足概率的公理化定义，其计算的关键在于图形的度量(一般为长度、面积或体积)。

例5 设有任意两数x 和y 满足01,01x y <<<<，求1/3xy <的概率。 解 试验的样本空间为区域{(,)|01,01}x y x y Ω=<<<<，设所求事件为A ，则A 即为区域{(,)|(,)x y x y ∈Ω且1/3}xy <。 Ω为边长是1的正方形，其面积为1。A 的面积为

1131111

ln 33333dx x

+=+? 所以 11

ln 3

11

33()ln 3133

A P A +=

==+Ω的面积的面积 例6 (蒲丰投针问题)在平面上画有等距离的平行线，平行线间的距离为

2a (0)a >。向该平面任意投掷一枚长为2()l l a <的圆柱形的针，试求此针与

任一平行线相交的概率。

解 以M 表示针的中点，针投在平面上，以x 表示点M 到最近的一条平行线的距离，以?表示针与此直线的交角。易知有0,

0x a ?π≤≤≤≤，由

这两式确定出ox ?平面上的一个矩形Ω。针与最近的一条平行线相交的充分必要条件是sin x l ?≤，由这个不等式表示的区域A 是图1.10中的阴影部分，所

求概率为

sin 2l d A l p a

a

π

??

ππ==

=

Ω?

的面积的面积

如果l 和a 为已知，则以π值代入上式就可以算得p 。反之，也可以利用

上式去求π的近似值，代入上式可得 2lN

an

π≈

历史上有一些学者曾做过这个试验。例如，Wolf 在1850年投掷5000次，得到π的近似值3.1596；Smith 在1855年投掷3204次，得到π的近似值3.1554；Lazzerini 在1901年投掷3408次，得到π的近似值3.1415929，等等。

1.2.6 确定概率的主观方法

在现实性界里有一些随机现象是不能重复的或不能大量重复的，这时有关事件的概率如何确定呢?统计界有一个贝叶斯(1702—1761)学派．他们在研究了这些随机现象后认为：一个事件的概率是人们根据经验对按事件发生可能性所给出的个人信念。这样给出的慨率称为主观概率。譬如： 例7

一个企业家认为“一项新产品在未来市场上畅销”的概率是0.8。这里的0.8是根据他自己多年经验和当时的一些市场信息综合而成的个人信念。

一位投资者认为“购买菜种股票能获得高收益”的概率是0.6，这里的0.6是投资者根据自己多年股票生意经验相当时股票行倍综合而成的个人信念。 一位脑外科医生要对一位病人动手术，他认为成功的概率是0.9，这是他根据手术的难易程度和自己的手术经验而对“手术成功”所给出的把握程度。 一位教师认为甲学生考取大学的概率是0.95，而乙学生考取大学的概率是0.5。这是教师根据自己多年的教学经验和甲、乙二位学生的学习情况而分别给出的个人信念。

这样的例子在我们生活、生产和经济活动中也是常遇见的。他们给出的主观概率决不是随意的，而是要求当事人对历考察的事件有较透彻的了解和丰富的经验，甚至是这一行的专家，并能对周围信息和历史佰息进行仔细分桥，在这个基础上确定的主观概率就能符合实际。所以应把主观概率与主观臆造、瞎说一通区别开来。在某种意义上说，不利用这些丰富的经验去确定概率也是一种浪费。

对主观概率的批评也是有的，50年代苏联数学家格涅坚科在他的《概率论教程》中说：“把概率看作是认识主体对事件的信念的数量测度，则概率论成了类似心理学部门的东西，这种纯主观的概率主张贯彻下去的话，最后总不可避免要走到主观唯心论的路上去。”这种担心不能说不存在，但以经验为基础的主

观概率与纯主观还是不同的，何况主观概率也要受到实践检验，也要符合概率的三条公理，通过实践检验和公理验证，人们会接受其精华，去其糟粕。 自主观概率提出以来，使用的人众来愈多，特别在经济领域和决策分析中使用较为广泛，因为在那里迟到的随机现象大多是不能大量重复，无法用颐率方法去确定事件概率，在这个意义上看，主观概率至少是频率方法和古典方法的一种补充，有了主观概率至少使人们在频率观点不适用时也能谈论概率，使用概率与统计方法。

主观概率纳确定除根据自己的经验外，还可利用别人经验和历史资料在对比中形成主观概率．下面两个例子具体说明这种方法。

例8 有一项带有风险的生意，欲估计成功(记为A )的概率。为此决策者去拜访这方面的专家(如董事长、银行家等)，向专家提这样的问题：“如果这种生意做100次，你认为会成功几次?”专家回答：“成功次数不会太多，大约60次。”这里P (A )＝0.6是专家的主观概率，可此专家还不是决策者。但决策者很熟悉这位专家，认为他的估计往往是偏保守的，过分谨慎的。决策者决定修改专家的估计，把0.6提高到0.7。这样P (A )＝0.7就是决策者的主观概率。

这种用专家意见来确定主观概率的方法是常用的。当决策者对某事件了解甚少时，就可去征求专家意见。这里要注意二点：一是向专家提的问题要设计好，既要使专家易懂，又要使专家回答不是横棱两可；二是要对专家本人较为了解，以便作出修正，形成决策者自己的主观概率。

§1.3 概率的性质

性质1.3.1 不可能事件φ的概率为0，即0)(=φP 。(简证) 1.3.1 概率的可加性

性质1.3.2(有限可加性) 对n 个互不相容事件n A A A ,,,21Λ，有

∑===n

i i n i i A P A P 1

1

)()(Y

(简证)

性质1.3.3 对任一事件A ，有)(A P ＝1－P (A )。(简证)

例1 抛两枚硬币，至少出现一个正面(记为事件A 2)的概率是多少？ 解：抛两枚硬币共有四个等可能基本结果： (正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)

事件A 2含有其中前三个基本结果，故)(2A P ＝3／4，作为讨论我们来考察A 2的对立事件，它的含义是B 2＝“抛两校硬币，都出现反面”。它只含一个基

本结果(反，反)，于是P (B 2)＝1／4，再用性质1.3.3，可得P (A 2)＝1一P (B 2)＝1－1/4＝0.75

由此可见，两条不同思路获得相同结果，但相比之下，后一条思路更容易实现些，因为B 2所含的基本结果比A 2所含基本结果要少一些。从而计算也容易一些，这种思路在抛更多枚硬币时更易显露出其方便的特点，譬如求抛五枚硬币时，求既出现正面又出现反面的概率。记“既出现正面又出现反面”的事件为A ，出现5个正面(记为B )的概率为5

2/1)(=B P ，出现5个反面(记为C )的

概率为5

2/1)(=C P ， 则有C B A Y =，且B 和C 互不相容，所以由有限可

加性得

16

1521211)()(1)(1)(1)(55=--

=--=-=-=C P B P C B P A P A P Y 。 例2 一批产品共100件，其中有5件不合格品，现从中随机抽出10件，其中最多有2件不合格品的概率是多少?

解，设A i 表示事件“抽出10件中恰有i 件不合格品”。“最多有2件不合格品”可表示为 A =210A A A Y Y

并且210,,A A A 为三个互不相容事件，由性质1.3.2知，若能获得210,,A A A 事件的概率，则能算得事件A 的概率，用古典方法可算得210,,A A A 的概率为

10

100

1095

5)(C C C A P i

i i -=，P (A 0)＝0.5837，P (A 1)＝0.3394，P (A 2)＝0.0702 于是所求的概率为

P (A )＝P (A 0)十P (A 1)十P (A 2)＝0.5837十0.3394十0.0702＝0.9933

1.3.2 概率的单调性

性质1.3.4 对任意两个事件A 与B (1)P (A －B )＝P (A )－P (B )。 (2)(单调性)P (A )≥P (B )

证明：由于B A ?，故可把A 分为二个互不相容事件B 与A －B 。由可加性公理得

P (A )＝P (B )十P (A －B )

移项即得(1)。再因非负性公理，P (A －B )≥0，由(1)可得(2)。但(2)的逆命题不成立，即)()(B P A P ≥无法推出B A ?。

性质1.3.5 对任意两个事件A 与B ，有

)()()(AB P A P B A P -=-

证明 因为AB A B A -=-，且A AB ?，所以由性质1.3.4得

)()()(AB P A P B A P -=-。

例3 口袋中有编号为1，2，…，n 的n 个球，从中有放回地任取m 次，求取出的m 个球的最大号码为k 的概率。

解 记A k 为“取出的m 个球的最大号码为k ”,B i 为“取出的m 个球的最大号码小于等于i ”，n i ,,2,1Λ=。由古典概率知

n i n

i B P m m

i ,,2,1,)(Λ==。

又因为k k k k k B B B B A ?-=--11,且，由性质1.3.4得

n

k n k k B P B P B B P A P m m

m k k k k k ,,2,1,)1()()()()(11Λ=--=-=-=-- 1.3.3 概率的加法公式

性质1.3.6 对任意两个事件A 与B ，有

(1)(加法公式))()()()(AB P B P A P B A P -+=Y (2)(半可加性))()()(B P A P B A P +≤Y

证：由于并事件A U B 可改写为二个互不相容事件)(A B A -Y ，由可加性公理可得

)()()()()()(AB P B P A P A B P A P B A P -+=-+=Y 。 对任意n 个事件也有类似的加法公式：

)()1()()()()(211111

1

n n n

k j i k

j

i

n

j i j

i

n

i i n

i i A A A P A A A P A A P A P A P ΛΛY -≤<<≤≤<≤==-+++-

=∑∑∑

∑==≤n

i i n

i i A P A P 1

1

)()(Y

例4 已知：

4/1)()()(===C P B P A P ，),(16/1)(,0)(AC P BC P AB P ===，则C B A ,,中至少发生一个的概率是多少？C B A ,,都不发生的概率是多少？

解

8

516243)()()()()()()()(=

-=+---++=ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P Y Y

8

3851)(1)()(=-

=-==C B A P C B A P C B A P Y Y Y Y 。 一般求“至少有一…”的概率时，可以使用对立事件公式。下例不同。 例5(配对问题) 在一个有n 个人参加的晚会上，每个人带了一件礼物，且假定各人带的礼物不同。晚会期间各人从放在一起的n 件礼物中随机地抽取一件，问至少有一个人自己抽到自己礼物的概率是多少？

解 以A i 记事件“第i 个人自己抽到自己的礼物”，i =1,2, …n ，则所求概率为)(

1

Y n

i i A P =。

n i n A P i ,,2,1,/1)(Λ==　；

)

1(1

)()()(13121-=

===-n n A A P A A P A A P n n Λ；

……

!

1)(21n A A A P n =

Λ， 由加法公式得!

1)1(!31!211)(

11

n A P n n

i i -=-+++-

=ΛY 。 1.3.4 概率的连续性 定义1.3.1

(1)对F 中任一单调不减的事件序列ΛΛ????n F F F 21，称可列并

Y +∞

=1

n n

F

为{}n F 的极限事件，记为Y +∞

=+∞

→=

1

lim n n

n n F

F 。

(2)对F 中任一单调不增的事件序列ΛΛ????n E E E 21，称可列交

I

+∞

=1

n n E 为{}n E 的极限事件，记为I +∞

=+∞

→=1

lim n n n n E E 。

定义1.3.2 对F 上的一个概率P ，

(1)若它对F 中任一单调不减的事件序列{}n F 均成立

)lim ()(lim n n n n F P F P +∞

→+∞

→=，

则称概率P 是下连续的。