学而思初一数学春季班第1讲-目标中考满分班-教师版

函数1级

平面直角坐标系认识初步

函数2级

平面直角坐标系中的变换

函数3级

函数初步

暑期班

第二讲春季班

第二讲

卡帅奇梦记

漫画释义

满分晋级阶梯

1

平面直角坐标系

认识初步

编写思路：

一：让学生认识平面直角坐标系，让学生自己动手找点、描点，体会坐标与点的一一对应关系。 二：让学生认识并且理解坐标系中特殊直线的表示方法。

三：让学生充分体会点的坐标（数字）与距离（线段长度）之间的关系。

平面直角坐标系是数形结合最重要的工具，它将坐标与几何图形紧密的结合在一起。在这讲中，老师一定要向学生传达这个意识，由数到形、由形到数的转化。

定 义

示例剖析

有序数对：有顺序的两个数a 与b 组成的数对叫做有序数对，记作(),a b ．利用有序数对，可以准确地表示出平面内一个点的位置．

()1,2与()2,1是两个不同的有序数

对.

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题型一：平面直角坐标系的基本概念

平面直角坐标系定义：平面直角坐标系是由两条互相垂直的数轴组成，且两轴的交点是原点，同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同．

注意数轴有三个要素——原点、正方向和单位长度．我们规定水平的数轴叫做横轴，取向右为正方向；另一数轴叫纵轴，取向上为正方向．

点的坐标：如右图，由点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足A 在x 轴上的坐标是a ，垂足B 在y 轴上的坐标是b ，则点P 的坐标为()a b ，． 点的坐标是一对有序数对，横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来．

象限和轴：

横轴（x 轴）上的点()x y ，的坐标满足：0y =； 纵轴（y 轴）上的点()x y ，的坐标满足：0x =；

第一象限内的点()x y ，的坐标满足：00x y >??>?

；

第二象限内的点()x y ，的坐标满足：0

0x y ?；

第三象限内的点()x y ，的坐标满足：0

0x y

；

第四象限内的点()x y ，的坐标满足：0

0x y >??

；

点()31005??

???

，，，都在x 轴上； 点()10102?

?- ??

?，，，都在y 轴上．

易错点1：当a b ≠时，()a b ，

和()b a ，是两个不同的有序实数对． 易错点2：原点在坐标轴上，两条坐标轴上的点不属于任何一个象限．

【引例】已知()32A -，、()32B --，、()32C -，为长方形的三个顶点，

⑴ 建立平面直角坐标系，在坐标系内描出A 、B 、C 三点； ⑵ 根据这三个点的坐标描出第四个顶点D ，并写出它的坐标； ⑶ 描点后并进一步判断点A 、B 、C 、D 分别在哪一象限？

⑷ 观察A 、B 两点，它们的坐标有何特点？B 与C 呢？A 与C 呢？

【解析】 ⑴ 如右图所示；

⑵ ()32D ，；

-1-2-3-4

-4-3-2-14321

4

321O

y

x

b a

B

P A

O

y x

第四象限

第三象限第二象限第一象限-1-2

-3

-4

-4-3-2-143

2

14321O

y x

例题精讲

A

y

1

234

⑶ A ：第二象限；B ：第三象限；C ：第四象限；D ：第一象限 ⑷ A 、B 坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数， 位置特点：关于x 轴对称．

B 、

C 坐标特点：纵坐标相同，横坐标互为相反数， 位置特点：关于y 轴对称．

A 、C 坐标特点：横、纵坐标均互为相反数，

位置特点：关于原点对称．

【例1】 ⑴ 如图，如果“士”所在位置的坐标为()12--，，“相”所在位置的坐标为()22-，，那么“炮”

所在位置的坐标为 ．

⑵ 由坐标平面内的三点()()()113113A B C -，

，，，，构成的ABC △是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形

⑶ 若规定向北方向为y 轴正方向，向东方向为x 轴正方向，小明家的坐标为()12，，小丽家 的坐标为()21--，，则小明家在小丽家的（ ）

A ．东南方向

B ．东北方向

C ．西南方向

D ．西北方向

⑷ 已知点M ()34a a +-，

在y 轴上，则点M 的坐标为 ． ⑸ 方格纸上A B 、两点，若以B 点为原点，建立平面直角坐标系，则A 点坐标为()34，， 若以A 点为原点建立平面直角坐标系，则B 点坐标为（ ）

A ．()34--，

B ．()34-，

C ．()34-，

D ．()34，

【解析】 ⑴()31-，； ⑵B ； ⑶ B ； ⑷ ()07，；⑸ A ．

【例2】 ⑴ 如果点()12P m m -，

在第四象限，那么m 的取值范围是（ ） A ．102m <<

B ．102m -<<

C ．0m <

D ．12

m > （人大附中期中）

⑵ 已知点()391M a a --，

在第三象限，且它的坐标都是整数，则a =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．0

（一五六中学期中）

⑶ 已知点()23A a b -，在第一象限，点()43B a b --，在第四象限，若a b ，都为整数， 则2a b += ．

（人大附中期中） ⑷ 已知点()381P a a --，，若点P 在y 轴上，则点P 的坐标为 ；若点P 在

典题精练

第二象限，并且a 为整数，则P 点坐标为 ．

（四中期中）

⑸ 如果点()A a b ，

在第二象限，则点()221B a b -++，在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

⑹ 设()

3,a ab 在第三象限，则：

①

(),a b 在第 象限；

② ,a a b b ??

- ???在第 象限；

③ ()

3,b a b -在第 象限.

【解析】 ⑴D ； ⑵ B ； ⑶ 7或8； ⑷ 503?

? ???

，，()21-，

； ⑸A ； ⑹由题意知0,0a b <>，答案依次为：一；三；一.

【例3】 ⑴ 对任意实数x ，点()

22P x x x -，一定不在．．

（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

⑵ 点()11P x x -+，，当x 变化时，点P 不可能在第（ ）象限．

A ．一

B ．二

C ．三

D ．四

（四中期中） ⑶ 证明：①点()

22m n ，不在第三、四象限；

②点()2122m m ++，不在第四象限．

【解析】 ⑴ C ；⑵ D ；

⑶ ①∵20n ≥，∴点()

22m n ，不在第三、四象限； ② 若210

220m m +>??+

，不等式组无解，

∴点()2122m m ++，不在第四象限.

【点评】 “不存在类问题”需要对点坐标进行正负分析． 【变式】平面直角坐标系内，点(),1A n n -一定不在（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【解析】 C

【点评】 本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号，把符号问题转化为解不等式组的

问题．

定 义

示例剖析

平行于坐标轴的直线：

与横轴平行的直线：点表示法()x m ，，x 为任意实数，0m ≠的常数（即直线y m =）； 与纵轴平行的直线：点表示法()n y ，，y 为任意实数，0n ≠的常数（即直线x n =）.

直线4y =平行于x 轴； 直线3x =平行于y 轴．

角平分线：

一、三象限角平分线：点表示法()x y ，， x ，y 为任意实数，且x y =； 二、四象限角平分线：点表示法()x y ，，

x ，y 为任意实数，且x y =-.

注：1平行于x 轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数；

2平行于y 轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数．

【引例】已知()P a b ，

是平面直角坐标系内一点. 请在下面横线上填上点P 的具体位置： ⑴ 若0ab >，则P 点在 ；

⑵ 若0ab <，则P 点在 ； ⑶ 若0ab =，则P 点在 ； ⑷ 若220a b +=，则P 点在 ； ⑸ 若a b =，则P 点在 ； ⑹ 若0a b +=，则P 点在 ．

【解析】 ⑴ 第一或三象限；⑵ 第二或四象限；⑶ 坐标轴上；

y =4

x =3

x

y O

1234

1

234-1-2-3-4-4

-3-2-1二、四象限角平分线

一、三象限角平分线

x

y O

1234

1

234-1-2-3-4-4

-3-2-1例题精讲

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题型二：坐标平面内的特殊直线

⑷ 原点；⑸ 一、三象限角平分线上；⑹ 二、四象限角平分线上.

【例4】 ⑴ 已知点()23P x x +，在第二象限坐标轴夹角平分线上，则点()223Q x x -++，的坐标

为 ．

⑵已知点()23P x x +，在坐标轴夹角平分线上，则点()223Q x x -++，的坐标为 ．

⑶ 已知点()3553A a a ++，

在第二、四象限的角平分线上，求2009a a +的值． 【解析】 ⑴()31Q ，

； ⑵()31，或()19-，； ⑶2-.

【例5】 ⑴ 点A 的坐标为()23，，点B 的坐标为()43，，则线段AB 所在的直线与x 轴的位置关系

是 ．

（八十中学期中试题）

⑵ 在下列四点中，与点()34-，的连线平行于y 轴的是（ ）

A ．()23-，

B ．()23-，

C ．()32，

D ．()32-，

（人大附中期中试题） ⑶ 过点()35，且与x 轴平行的直线是 ，与y 轴平行的直线是 ． ⑷ 已知：点(26,3)P m m +-，试分别根据下列条件，直接写出P 点的坐标.

①点P 在y 轴上： ②点P 在x 轴上：

③点P 的纵坐标比横坐标大3：

④点P 在过(2,3)A -点且与x 轴平行的直线上：

(2011年北京四中期中考试题)

【解析】 ⑴平行；AB 所在的直线与x 轴平行，则这两点纵坐标相同，横坐标不同．

⑵D ．两点所在的直线与y 轴平行，则这两点横坐标相同，纵坐标不同． ⑶53y x ==，．

⑷①(0,6)-；②(12,0)；③(18,15)--；④(6,3)-.

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典题精练

题型三：距离

d 1=b -m

d 2=a -n

A =(a ,b )

y =m x =n

O

y

x 1. 点到轴的距离

点(,)P m n 到到x 轴的距离是n ，到y 轴的距离是m .

2. 点到水平直线、竖直直线的距离

点()a b ，到直线y m =（m 为常数）的距离为b m -， 注：当0m =时，就是点到横轴（x 轴）的距离为b ； 点()a b ，到直线x n =（n 为常数）的距离为a n -， 注：当0n =时，就是点到纵轴（y 轴）的距离为a ．

3. 同一水平直线、竖直直线上的点到点的距离

在直线y m =上，点(,)(,)A a m B b m ,，则AB a b =-； 在直线x n =上， 点(,),(,)C n c D n d ，则CD c d =-.

【引例】⑴点()34A -，到横轴的距离为 ，到纵轴的距离为 ．

⑵点P 在第二象限内，且点P 到x 轴的距离是4，到y 轴距离是3，那么点P 的坐标是 ．

【解析】 ⑴4，3；⑵()34-，.

【例6】 ⑴ 点A 到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为3，该点坐标为 ．

⑵ 在平面直角坐标系中，点(),P a b 到直线2x =的距离为3，则a 的值为（ ）

A ．5

B ．1-

C ．5或1-

D ．5-或1 （人大附中期中） ⑶ 若x 轴上的点P 到y 轴的距离为3，则点P 的坐标为（ ）．

A ．()30，

B ．()30，或()30-，

C ．()03，

D ．()03，或()03-， （西外期中）

⑷ 点()31A ，

到直线1x =-的距离为 ，到直线1y =-的距离为 ． ⑸ 点()211M a a +-，

到直线1y =的距离为1，求M 的坐标． ⑹ 已知点(2,3),(,)P Q m n

①若PQ x ∥轴，则m n ；PQ = ②若PQ y ∥轴，则m n ；PQ =

【解析】 ⑴（3，1）、（3，1-）、（3-，1）、（3-，1-）；

⑵ C ； ⑶ B ； ⑷ 4，2；

⑸ (1)11a --=，∴1a =±，∴点M 的坐标为（3，0）或（1-，2）． ⑹①2,3m n ≠= 2PQ m =-；②2,3m n =≠ 3PQ n =-

典题精练

例题精讲

针对第（5）题对点到特殊直线、坐标轴和特殊点的距离问题进行变式.

【变式1】点()211M a a +-，

到直线2x =的距离为1，求M 的坐标． 【解析】 2121a +-=，即211a -=，解得0,1a =

∴点M 的坐标为（3，0）或（1，1）

【变式2】点()211M a a +-，到坐标轴的距离为3，求M 的坐标． 【解析】 分类讨论：

点到x 轴：

13a -=，解得42a =-或，

点到y 轴：

2+1=3a ，解得=12a -或

综上，点M 的坐标为（9，-3）或（-3,3）或（3,0）.

【变式3】点()211M a a +-，

到点()1,1a a --的距离为3，求M 的坐标． 【解析】 观察可得这两个点的纵坐标相同，可得

21(1)3a a +--= 解得1a =或5-

故点M 的坐标为()3,0或()9,6-.

注：本题也可变为点()211M a a +-，

到点()21,2a a ++的距离为3，求M 的坐标． 由题意得()213a a +--=，解得1a =或2a =-. 故点M 的坐标为()3,0或()3,3-.

【点评】例6（5）和变式1是为了让学生区分点到平行于x 轴、y 轴的公式计算方法，而变式2是一

道典型的需要分类讨论的问题，学生需要考虑全面.

【例7】 已知：实数a b ，满足()2

2110a a b ++++=，

且以关于x y ，的方程组21ax by m ax by m +=??-=+?

的解为坐标的点()P x y ，在第二象限，求实数m 的取值范围．

（2013首师大附中中学期中）

【解析】 解得12

12a b ?=-????=-

?? ，代入方程组解得()()2213213x m y m ?

=-+????=--??

，

由题意得()()2

2103

210

3

m m ?-+??，解得112m -<<

真题赏析

题型一 平面直角坐标系的基本概念 巩固练习

【练习1】 ⑴ 点（22a +，1a -）在第一象限，则a

的取值范围是 ．

⑵ 在直角坐标系中，点()265P x x --，在第四象限，则x 的取值范围是 ．

⑶ 点()

2211a a --+，在（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【解析】 ⑴ 11a -<<；⑵ 35x <<；⑶ B ．

【练习2】 ⑴ 已知()2

230x y -++=，则()P x y ，的坐标为 ，在第 象限内．

⑵ 若x ，y 满足3

50

x y x y +=??-+=?，则()A x y ，在第 象限．

⑶ 如果点()11M x y --，

在第二象限，那么点()11N x y --，在第 象限． ⑷ 已知点()A m n ，

在第二象限，则点()B m n -，在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

【解析】 ⑴ ()2,3P -，在第四象限；⑵ 二；⑶ 三；⑷ D ．

题型二 坐标平面内的特殊直线 巩固练习

【练习3】 ⑴ 若点113A m ??

- ???，在第二象限的角平分线上，则m = ．

⑵ 点12a ?

?- ??

?，在第三象限的角平分线上，则a = ；

⑶ 若点M 在第一、三象限的角平分线上，且点M 到x 轴的距离为2，则点M 的坐标是( )

A ．()22，

B ．()22--，

C ．()22，或()22--，

D ．()22-，或()22-，

【解析】 ⑴ 3； ⑵ 1

2

-；⑶ C ．

【练习4】 ⑴ 点A 的坐标为()31-，，点B 的坐标为()33，，则线段AB 所在的直线与x 轴的位置关系

是 ．

⑵ 已知：()40A ，

，点C 在x 轴上，且5AC =．则点C 的坐标为 ． ⑶ 已知：点A 坐标为()23-，，过A 作AB x ∥轴，则B 点纵坐标为（ ）

A ．2

B ．3-

C ．1-

D ．无法确定

⑷ 线段AB 的长度为3且平行于x 轴，已知点A 坐标为()25-，，则点B 的坐标为 .

【解析】 ⑴ 垂直；

⑵ ()()1090-，，，； ⑶ B ；

复习巩固

⑷ ()()1555---，，，

题型三 点到线的距离 巩固练习

【练习5】 ⑴ 点()54P -，到x 轴距离为 ，到y 轴距离为 ．

⑵ 点P 在第二象限内，且点P 到x 轴的距离是4，到y 轴距离是3，那么点P 的坐标是（ ） A ．()43-， B ．()43-， C ．()34-， D ．()34-，

（北京27中期中）

⑶ 若点()P a b ，

到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则这样的点P 有（ ） A ．1个 B ．4个 C ．3个 D ．2个

⑷ 已知点()236P a a -+，

，且点P 到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标是 ． ⑸ 点()2,3-到直线2y =的距离为 ，到直线7x =-的距离为 .

【解析】

⑴ 4，5；⑵ C ；⑶ B ；⑷ ()33，或()66-，；⑸ 1，5．

第十四种品格：信念

信念是脊梁，支撑着不倒的灵魂；信念是明灯，照耀着期盼的心灵；信念是路标，指引着前进的方向。信念之于人生，如同舵手之于航船，航船没有舵手，就会在大海中迷失方向。信念之于人生，如同羽翼之于飞鸟，飞鸟没有羽翼，就不能展翅飞翔。【信念的三个层次】

一、相信自己，相信别人；

二、勇于挑战，相信自己一定能成功；

三、坚持自己的理想与信念，用一生去追求.

百人驳相对论

爱因斯坦的“相对论”发表以后，有人曾创造了一本《百人驳相对论》，网罗了一批所谓名流对这一理论进行声势浩大的反驳。可是爱因斯坦自信自己的理论必然会取得胜利，对反驳不屑一顾，他说：“如果我的理论是错的，一个反驳就够了，一百个零加起来还是零。”

他坚定了必胜的信念，坚持研究，终于使“相对论”成为20世纪的伟大理论，为世人瞩目。自信，是建筑在对前途充满必胜心理基础之上的优秀心理素质。没有自信，就没有成功。爱因斯坦获得了巨大成功，与他对自己理论的坚信程度是分不开的。

今天我学到了