2021-2022年高考数学二轮复习第二部分讲重点小题专练作业8理
2021年高考数学二轮复习第二部分讲重点小题专练作业8理
一、选择题
1．(xx·福建八校联考)已知集合A ＝{x|y ＝（1－x ）（x －2）}，B ＝{y|y ＝log 2x ，1
2≤x
≤4}，则A∩B＝( ) A ．(－1，2] B ．(1，2) C ．(1，2] D ．[1，2]
答案 D
解析 通解：由(1－x)(x －2)≥0得1≤x≤2，所以A ＝{x|1≤x≤2}，因为y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，当1
2≤x ≤4时，－1≤y≤2，所以B ＝{y|－1≤y≤2}，故A∩B＝[1，2]．故
选D.
优解：易知1∈A，1∈B ，故排除B ，C ，又0?A ，故排除A ，故选D.
2．(xx·湖北四校联考)若a ＝(12)15，b ＝(15)－1
2
，c ＝log 15
10，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a>b>c
B ．a>c>b
C ．c>b>a
D ．b>a>c
答案 D
解析 0<(12)15<(12)0＝1，即0
＝1，即b>1，又c<0，所以b>a>c ，故选D.
3．(xx·杭州质检)若实数a ，b ，c ，满足对任意实数x ，y 有3x ＋4y －5≤ax＋by ＋c≤3x＋4y ＋5，则( )
A ．a ＋b －c 的最小值为2
B ．a －b ＋c 的最小值为－4
C ．a ＋b －c 的最大值为4
D ．a －b ＋c 的最大值为6
答案 A
解析 由题意可得－5≤(a－3)x ＋(b －4)y ＋c≤5恒成立，所以a ＝3，b ＝4，－5≤c≤5，则2≤a ＋b －c≤12，即a ＋b －c 的最小值是2，最大值是12，A 正确；C 错误；－6≤a－b ＋c≤4，则a
－b ＋c 的最小值是－6，最大值是4，B 错误，D 错误，故选A.
4．(xx·江西九校联考)已知A(1，2)，B(2，11)，若直线y ＝(m －6
m )x ＋1(m≠0)与线段AB 相交，
则实数m 的取值范围是( ) A ．[－2，0)∪[3，＋∞) B ．(－∞，－1]∪(0，6] C ．[－2，－1]∪[3，6] D ．[－2，0)∪(0，6]
答案 C
解析 由题意得A(1，2)，B(2，11)在直线上或两侧，即(m －6m －2＋1)·(2m－12
m －11＋1)≤0，
即1≤m－6
m
≤5，解得－2≤m≤－1或3≤m≤6，故选C.
5．已知实数x ，y 满足不等式组????
?x －y ＋1≥0，7x ＋y －17≤0，9x －y －7≥0，则z ＝4x －6y 的最小值为( )
A ．－33
B ．－10
C ．－8
D ．10
答案 B
解析 由约束条件????
?x －y ＋1≥0，7x ＋y －17≤0，9x －y －7≥0，
作出可行域如图中阴影部
分
所示．由?
????x －y ＋1＝0，
7x ＋y －17＝0，解得A(2，3)，目标函数z ＝4x －6y
可
化为y ＝23x －z
6
，
由图可知，当直线y ＝23x －z
6过点A 时，直线在y 轴上的截距最
大，
z 取得最小值，且z min ＝4×2－6×3＝－10，故选B.
6．(xx·广东五校诊断一)不等式组????
?2x ＋y －3≤0，3x －y ＋3≥0，x －2y ＋1≤0的解集记为D ，有下面四个命题：
p 1：?(x ，y )∈D，2x ＋3y≥－1； p 2：?(x ，y )∈D，2x －5y≥－3； p 3：?(x ，y )∈D，y －12－x ≤1
3；
p 4：?(x ，y )∈D，x 2
＋y 2
＋2y≤1. 其中的真命题是( ) A ．p 1，p 2
B ．p 2，p 3
C ．p 2，p 4
D ．p 3，p 4
答案 C
解析 作出不等式组????
?2x ＋y －3≤0，3x －y ＋3≥0，x －2y ＋1≤0表示的区域，如图中阴影部分
所
示，其中A(0，3)，B(－1，0)，
由?
????2x ＋y ＝3，x －2y ＋1＝0得?????x ＝1，
y ＝1，即C(1，1)，对于p 1，因为2×(－1)＋0≤－1，
故p 1是假命题，排除A ；对于p 2，将C(1，1)代入2x －5y ＋3＝0得到2×1－5×1＋3＝0，说明点C(1，1)在2x －5y ＋3＝0上，故p 2是真命题，排除D ；对于p 3，因为3－12－0＝1>13，故p 3是假命
题，排除B ，故选C.
7．(xx·合肥质检)若a ，b 都是正数，则(1＋b a )(1＋4a
b )的最小值为( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
答案 C
解析 因为a ，b 都是正数，所以(1＋b a )(1＋4a b )＝5＋b a ＋4a
b ≥5＋2
b a ·4a
b
＝9，当且仅当b ＝2a 时取等号，选项C 正确．
8．(xx·广东综合测试)已知命题p ：?x>0，e x
－ax<1成立，q ：函数f(x)＝－(a －1)x
在R 上是减函数，则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案 B
解析 作出y ＝e x
与y ＝ax ＋1的图像，如图．当a ＝1时，e x
≥x ＋1恒成立，故当a≤1时，e x
－ax<1不恒成立；当a>1时，可知存在x∈(0，x 0)，使得e x
－ax<1成立，故p 成立，即p ：a>1，由函数f(x)＝－(a －1)x
是减函数，可得a －1>1，得a>2，即q ：a>2，故p 推不出q ，q 可以推出p ，p 是q 的必要不充分条件，选B.
9．(xx·武汉四月调研)已知实数x ，y 满足约束条件????
?x －y≥0，x ＋2y≤4，x －2y≤2，如果目标函数z ＝x ＋ay 的最大
值为16
3，则实数a 的值为( )
A ．3 B.14
3
C ．3或14
3
D ．3或－11
3
答案 D
解析 约束条件对应的可行域如图中阴影部分所示，当0 当a>2，直线z ＝x ＋ay 过点A(43，43)时，z 取得最大值，即163＝43＋ 4 3 a ?a ＝3；当－1 3(舍)；当 －2 3(舍)；当a<－2 时，直线z ＝x ＋ay 过点B(－2，－2)时，z 取得最大值，即163＝－2－2a ?a ＝－11 3.综上，a ＝3 或－11 3 .故选D. 10．(xx·江西五市三次联考)已知实数x ，y 满足不等式组???? ?x≥1，y ≥2，x ＋y≤4，若点P(2a ＋b ，3a －b)在该 不等式组所表示的平面区域内，则b ＋2 a －1的取值范围是( ) A ．[－12，－7] B ．[－7，－9 2 ] C ．[－12，－9 2] D ．[－12，－2] 答案 C 解析 因为点P(2a ＋b ，3a －b)在不等式组???? ?x≥1，y ≥2，x ＋y≤4所表示的平面区域内，所以 ?????2a ＋b≥1，3a －b≥2， 2a ＋b ＋3a －b≤4，即?????2a ＋b≥1，3a －b≥2，5a ≤4， 其表示的平面区域是以A(45，－35)，B(45，25)，C(35，－1 5 )为顶点的三角形区域(包括边界).b ＋2a －1可看作是可行域内的点与点M(1，－2)连线的斜率，所以k MB ≤ b ＋2a －1≤k MC ，即－12≤b ＋2a －1≤－9 2 . 11．(xx·石家庄质检)若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2 ＋y 2 ＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2 取得最大值时a 的值为( ) A.12 B.32 C.34 D.34 答案 D 解析 因为圆心到直线的距离d ＝ 24a 2 ＋b 2 ，则直线被圆截得的弦长L ＝2r 2－d 2 ＝ 2 4－44a 2＋b 2＝23，所以4a 2＋b 2＝4.t ＝a 1＋2b 2＝122·(22a)1＋2b 2 ≤122·12 ·[(22a)2 ＋(1＋2b 2)2 ]＝1 42[8a 2＋1＋2(4－4a 2 )]＝9 42，当且仅当???? ?8a 2＝1＋2b 2 ，4a 2＋b 2 ＝4 时等号成立，此时a ＝3 4 ，故选D. 12．(xx·杭州质检)已知命题p ：?a 、b∈(0，＋∞)，当a ＋b ＝1时，1a ＋1 b ＝3；命题q ：?x ∈ R ，x 2 －x ＋1≥0恒成立，则下列命题是假命题的是( ) A ．(綈p)∨(綈q) B ．(綈p)∧(綈q) C ．(綈p)∨q D ．(綈p)∧q 答案 B 解析 对命题p ：由于(1a ＋1b )·(a＋b)＝2＋b a ＋a b ≥2＋2 b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝1 2 时取得等 号，故 1 a ＋ 1 b ＝3为假命题；命题q：由于x2－x＋1＝(x－ 1 2 )2＋ 3 4 ≥0，故命题为真命题．从而綈p 真，綈q为假，故(綈p)∧(綈q)为假． 13．(xx·福州质检)不等式组 ?? ? ?? 2x－y＋1≥0， x－2y＋2≤0， x＋y－4≤0 的解集记作D，实数x，y满足如下两个条件： ①?(x，y)∈D，y≥ax；②?(x，y)∈D，x－y≤a. 则实数a的取值范围为( ) A．[－2，1] B．[0，1] C．[－2，3] D．[0，3] 答案 A 解析根据约束条件，可得可行域D如图中阴影部分(△ABC及其内部)所示．由 ?? ? ??x－2y＋2＝0， x＋y－4＝0， 解 得 ?? ? ??x＝2， y＝2， 所以点B的坐标为(2，2)．由 ?? ? ??2x－y＋1＝0， x＋y－4＝0， 解得 ?? ? ??x＝1， y＝3， 所以点C的坐标为(1，3)．因为?(x，y)∈D，y≥ax，且过原点的直线y＝ax的斜率为a，由图可知，a≤k OB，所以a≤1.由?(x，y)∈D，x－y≤a，设z＝x－y，则a≥z min.当目标函数z＝x－y过点C(1，3)时，z＝x－y 取得最小值，此时z min＝1－3＝－2，所以a≥－2.综上可知，实数a的取值范围为[－2，1]，故选A. 14．设实数x，y满足约束条件 ?? ? ??3x－y－6≤0， x－y＋2≥0， x≥0， y≥0， 若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为10，则a2＋b2＋2a的最小值为( ) A. 21 13 B. 22 13 C. 36 13 D. 24 13 答案 C 解析方法1：由题意知，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分 所示，因为a>0，b>0，所以由可行域得，当目标函数过点(4，6)时z 取最大值，所以4a ＋6b ＝10.a 2 ＋b 2 ＋2a ＝(a ＋1)2 ＋b 2 －1的几何意义是直线4a ＋6b ＝10上任意一点(a ，b)到点(－1，0)的距离的平方减去1，那么其最小值是点(－1，0)到直线4a ＋6b ＝10的距离的平方减去1，则a 2 ＋b 2 ＋2a 的最小值是(|4×（－1）－10| 16＋36 )2－1＝3613. 方法2：由题意知，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为a>0，b>0，所以由可行域得，当目标函数过点(4，6)时z 取最大值，所以4a ＋6b ＝10，a ＝5－3b 2，所以a 2＋b 2 ＋2a ＝ (5－3b 2)2＋b 2＋5－3b ＝13b 2 4－212b ＋454，当b ＝2113时，a 2＋b 2＋2a 取得最小值3613. 二、填空题 15．(xx·福建质检)已知函数f(x)＝x 2 (2x －2－x )，则不等式f(2x ＋1)＋f(1)≥0的解集是________． 答案 [－1，＋∞) 解析 因为f(－x)＝(－x)2 (2－x －2x )＝－x 2 (2x －2－x )＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，不等式f(2x ＋1)＋f(1)≥0等价于f(2x ＋1)≥f(－1)．易知，当x>0时，函数f(x)为增函数，所以函数f(x)在R 上为增函数，所以f(2x ＋1)≥f(－1)等价于2x ＋1≥－1，解得x≥－1. 16．(xx·湖北四月调研)某单位植树节计划种杨树x 棵，柳树y 棵，若x ，y 满足约束条件?????2x －y>5，x －y<2， x<7，则该单位计划栽种这两种树的棵数最多为________． 答案 12 解析 本题考查简单的线性规划问题．作出不等式组表示的平面区域为图中阴影部分中的整点所示(不包含边界)，设z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z ，由图易得使得y ＝－x ＋z 在y 轴的截距最大的点为x ＝7，2x －y －5＝0交点附近的整点，易知当目标函数过点(6，6)时取得最大值，所以该单位计划栽种这两种树的棵树最多为12. 17．(xx·海口调研)设不等式组?????－1≤x≤3， y ≥－1， x －y ＋3≥0，x ＋2y －9≤0 表示的平面区域为M ，若直线y ＝k(x ＋2)上存在 M 内的点，则实数k 的最大值是________． 答案 2 解析 由题意知，可行域为如图所示的五边形ABCDE 及其内部，联立方程 组?????x －y ＋3＝0，x ＝－1，解得? ????x ＝－1，y ＝2，即B(－1，2)，又直线y ＝k(x ＋2)过定点(－2，0)，则当直线y ＝k(x ＋2)过点B(－1，2)时，k 取最大，则k 的最 大值为2. 18．(xx·陕西质检一)点(x ，y)满足不等式|x|＋|y |≤1，Z ＝(x －2)2 ＋(y －2)2 ，则Z 的最小值为________． 答案 92 解析 |x|＋|y|≤1所确定的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数Z ＝(x －2)2 ＋(y －2)2 的几何意义是点(x ，y)到点P(2，2)距离的平方，由图可知Z 的最小值为点P(2，2)到直线x ＋y ＝1距离的平方，即为(|2＋2－1|2 )2＝92. 19．(xx·广东综合测试)已知函数f(x)＝? ??? ?21－x ，x ≤0，1－log 2x ，x>0，若|f(a)|≥2，则实数a 的取值范围 是________． 答案 (－∞，1 2]∪[8，＋∞) 解析 当a≤0时，1－a≥1，2 1－a ≥2，所以|f(a)|≥2成立；当a>0时，由|f(a)|≥2可得|1－ log 2a|≥2，所以1－log 2a ≤－2或1－log 2a ≥2，解得0 2或a≥8.综上，实数a 的取值范围 是(－∞，1 2 ]∪[8，＋∞)． 20．(xx·石家庄月考)设不等式组?????2x ＋y －6≤0x ＋y －3≥0y≤2表示的平面区域为M ，若函数y ＝a x (a>0，且a≠1) 的图像经过区域M ，则a 的取值范围是________． 答案 (0，1)∪(1，2] 解析 如图，平面区域是三角形，其中点A(1，2)，点B(3，0)，显然当0 的图像经过区域必需满足条件a 1 ≤2，即a ≤2.所以所求的a 的取值范围是(0，1)∪(1，2]． (xx·郑州二次预测)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为( ) A ．72 B ．120 C ．192 D ．240 答案 D 解析 ①若末位数字为2，因为含有2个4，所以有5×4×3×2×1 2＝60种情况；②若末位数字为 6，同理有 5×4×3×2×1 2 ＝60种情况；③若末位数字为4，因为有两个相同数字4，所以共有 5×4×3×2×1＝120种情况．综上，共有60＋60＋120＝240种情况．