扬州市2016-2017学年度高三第一学期期末测试数学试题答案

2016-2017学年度高三第一学期期末测试

数 学 试 题Ⅰ参 考 答 案2017．1

一、填空题 1．{1,0}-

2．0

3．200

4．15- 5

．6．13

7．8

8

9

．y = 10

11

12．48 13

2

3

14．[16,20] 15.⑴因为cos 18AB AC AB AC A =??=-，且6AB =

，AC =

BC 分

⑵方法一：在ABC ?中，6AB =

，AC =

BC

222cos =2BA BC AC B BA BC +?- --------------------9分 又(0,)B π∈

，所以sin B ，所以sin 1tan cos 3

B B B =

=，-------------11分 所以222

2tan 33tan 2=11tan 4

1()3

B B B ==--. ---------------------14分 方法二：由6AB =

，AC =cos 18AB AC AB AC A =??=-

可得cos =2

A -， 又(0,)A π∈，所以34

A π

=

. ---------------------8分 在ABC ?中，

sin sin BC AC

A B

=

，所以sin sin AC A B BC ?===-----------10分

又(0,)4

B π

∈

，所以cos B ，所以

sin 1tan cos 3B B B ==， 所以222

2tan 33tan 2=11tan 4

1()3

B B B ==--. ---------------------14分 16. （1）证明：因为点E 、F 分别是棱P

C 和P

D 的中点，所以EF ∥CD ，又在矩形ABCD 中，AB ∥CD ，所以EF ∥AB ， ---------------------3分 又AB ?面P AB ，EF ?面P AB ，所以EF ∥平面P AB . ---------------------6分

⑵证明：在矩形ABCD 中，AD ⊥CD ，又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD =AD ，CD ?面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ， ---------------------10分 又AF ?面P AD ，所以CD ⊥AF .①

因为P A =AD 且F 是PD 的中点，所以AF ⊥PD ，②

由①②及PD ?面PCD ，CD ?面PCD ，PD ∩CD =D ，所以AF ⊥平面PCD . -----------------14分 17.⑴方法一：在?PME 中，EPM θ∠=，PE =AE -AP =4米，4

PEM π

∠=，34

PME π

θ∠=

-， 由正弦定理得

sin sin PM PE

PEM PME

=

∠∠，

所以sin 4

3sin sin cos sin()4

PE PEM PM PME πθθθ?∠=

==∠+-， ---------------------2分

同理在?PNE 中，由正弦定理得

sin sin PN PE

PEN PNE

=

∠∠，

所以sin sin sin()2

PE PEN PN PNE θ?∠=

==∠- - --------------------4分

所以?PMN 的面积S 1sin 2PM PN MPN =

??∠2

4

cos sin cos θθθ

=+ 4

1cos 21

sin 222

θθ=

+

+88

sin 2cos 2)4

πθθθ=

=

++1++1， --------------------8分 当M 与E 重合时，0θ=；当N 与D 重合时，tan 3APD ∠=,即54APD ∠=，3544

πθ=-， 所以35

044

πθ≤≤

-.

综上可得：8)4

S π

θ=

++1

,350,

44πθ??

∈-????

. ---------------------10分

方法二：在?PME 中，EPM θ∠=，PE =AE -AP =4米，4

PEM π

∠=，34

PME π

θ∠=

-，由正弦定理可知：

sin sin ME PE

PME

θ=∠，

所以sin 4sin 3sin sin cos sin()4

PE ME PME θθθ

πθθθ?=

==∠+-， ---------------------2分

在?PNE 中，由正弦定理可知：

sin sin NE PE

EPN PNE

=

∠∠，

所以sin()4sin()

cos )44cos cos sin()2

PE NE ππ

θθθθπθθθ?+++=

==-，---------------------4分

所以2cos sin cos MN NE ME θθθ

=-=

+,

又点P 到DE

的距离为4sin 4

d π

== ---------------------6分

所以?PMN 的面积S=

2

144

1cos 212cos sin cos sin 222

MN d θθθθθ

?==+++

88

sin 2cos 2)4

πθθθ=

=

++1++1， ---------------------8分 当M 与E 重合时，0θ=；当N 与D 重合时，tan 3APD ∠=,即54APD ∠=，3544

πθ=-， 所以35

044

πθ≤≤

-.

综上可得：8)4

S π

θ=

++1

,350,

44πθ??

∈-???

?. ---------------------10分 ⑵当24

2

π

π

θ+

=

即350,844π

πθ??

=

∈-????时，S

1)=.---------13分 所以可视区域?PMN

面积的最小值为1)平方米. ---------------------14分 18.（1）由P 在圆222:O x y b +=上得3,b =

又点Q 在椭圆C 上得2222

(4)(1)1,3

a --+= 解得2

18,a = ∴椭圆C 的方程是22

1.189

x y +

= --------------------------------------5分 （2）由222y kx b x y b =+??+=?

得0x =或2

21P kb

x k =-+ --------------------------------------7分 由2

2221

y kx b

x y a b =+???+=??得0x =或2222

2Q kba x a k b =-+ --------------------------------------9分 AP PQ λ= ，3λ=，3

4

AP AQ ∴=

， 2222223241kba kb k a b k ∴?=++即222223141a a k b k

?=++ 222

22

3441a b k e a -∴==-

20k >241e ∴>，即1

2

e >

，又01e << 1

1.2

e ∴<< --------------------------------------16分 19. （1）因为2

,n A n =，所以22

1,1(1),n 2n n a n n =?

=?--≥?

即21n a n =- --------------------------------------2分

故111

()12

n n n n b b a a ++-=-=，

所以数列{}n b 是以2为首项，1为公差的等差数列，

所以2113

2(1)1222n B n n n n n =?+??-?=+ --------------------------------------4分

（2）依题意112()n n n n B B b b ++-=-，即112()n n n b b b ++=-，即

1

2n n

b b +=， 所以数列{}n b 是以1b 为首项，2为公比的等比数列，所以1112(21)12n

n n n a B b b -==?=--，

所以11112(21)(21)n

n n n n n b a a b +++=

-?- --------------------------5分 因为

111111112111

()(21)(21)2121

n n n n n n n n b b a a b b b ++++?==--?--- --------------------------8分 所以

312411122334

11111

()2121n n n n b b b b a a a a a a a a b +++++++

=---，所以1

111111()21213

n b +-<--恒成立， 即111

3(1)21

n b +>-

-，所以13b ≥。 --------------------------------------10分

（3）由112()n n n n a a b b ++-=-得：112n n n a a ++-=， 所以当2n ≥时，11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-+

+-+-+

132********n n n -+=+++++=-，

当1n =时，上式也成立，

所以2242n n A n +=--，又122n n B +=-，

所以2124222221

n n n n n A n n B ++--==---， ------------------------------------12分 假设存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<，使

11,,s t

s t

A A A

B B B 成等差数列， 等价于11,,212121s t s t ---成等差数列，即121212121

s t s t

=+

--- ---------------------13分 即

212121s t s t =+--，因为1121t t +>-，所以2121

s

s

>-，即221s s <+ ------------14分

令(s)221(2,)s h s s s *=--≥∈N ，则(1)(s)220s h s h +-=->，所以(s)h 递增， 若3s ≥，则(s)h(3)10h ≥=>，不满足221s s <+，所以2s =， 代入

121212121

s

t

s t

=+---得2310t t --=(3)t ≥， 当3t =时，显然不符合要求；

当4t ≥时，令()231(3,)t t t t t ?*=--≥∈N ，则同理可证()t ?递增，所以()(4)30t ??≥=>， 所以不符合要求.

所以，不存在正整数,s t (1)s t <<，使

11,,s t

s t

A A A

B B B 成等差数列. ----------------------16分 20. 解：(1) ()x

g x e '=，故(1)g e '=，

所以切线方程为(1)y e e x -=-，即y ex = ---------------------3分 （2）2

()()x

f x e x ax a =?++， 故'

()(2)()x

f x x x a e =++， 令'

()0f x =，得x a =-或2x =-. ①当22a -≥-,即01a <≤时，()f x 在[2,]a a --上递减，在[,]a a -上递增， 所以{}max ()max (2),()f x f a f a =-, 由于2

2(2)(2)a

f a a a e

--=+，2()(2)a

f a a a e =+，故()(2)f a f a >-，

所以max ()()f x f a =; ---------------------5分 ②当22a -<-,即12a <<时，()f x 在[2,2]a --上递增，[2,]a --上递减，在[,]a a -上递增， 所以{}max ()max (2),()f x f f a =-，

由于2

(2)(4)f a e --=-，2

()(2)a

f a a a e =+，故()(2)f a f >-，---------------------7分

所以max ()()f x f a =;

综上得，2max ()()(2)a

f x f a a a e ==+ ----------8分

（3）结论：当1k =时，函数()F x 无零点；当2k ≥时，函数()F x 有零点 ------------9分 理由如下：

①当1k =时，实际上可以证明：22ln 20x ex e x -->．

方法一：直接证明2()2ln 2x

F x ex e x =--的最小值大于0，可以借助虚零点处理．

212()(2)x F x x x e x +'=+-，显然可证212

()(2)x F x x x e x

+'=+-在()0,+∞上递增，

因为1112211212()2()20e e F e e e e e e e e e +???

?'=+-=+-

，3

2154024F e ??'=-> ???，

所以存在011(,)2

x e ∈，使得()00F x '=，

所以当0(0,)x x ∈时，()F x 递减；当0(,)x x ∈+∞时，()F x 递增， 所以()()00min 012(ln 1)2F x F x x x ==--+，其中011

(,)2

x e ∈， 而()12(

ln 1)2x x x ?=--+递减，所以()132(ln 2)025x ????

>=-> ???

，

所以()min 0F x >，所以命题得证。 ---------------------14分

方法二：转化为证明3

2(ln 1)

x e x e x x +>，下面分别研究左右两个函数． 令()x e p x e x

=，则可求得()()2

min 1p x p e ==，

令()3

2(ln 1)x q x x +=，则可求得()223

max 23

q x q e e -??== ???，所以命题得证。----------14分 方法三：先放缩，再证明．

可先证明不等式x e ex ≥（参考第1小题，过程略），所以只要证232ln 2e x x >+， 令()23

2ln 2p x e x x =--，则可求得()132min

223

()ln 0332

p x p e ??==> ???，

所以命题得证． --------------14分 ②当2k ≥时，2()2(ln 1)x

F x ex e k x =-+，

此时33

221112(1ln 2)4(1ln 2)024

4F e k e ??=--≤--< ???，()

21

2(22)k k e k F e e

k k ++=-+， 下面证明()0k

F e

>，可借助结论2(2)x

e

x x >≥处理，首先证明结论2(2)x e x x >≥：

令()2

,(2)x

x e x x ?=-≥，则()2x

x e x ?'=-，故()20x

x e ?''=->，

所以()2x

x e x ?'=-在[2,)+∞上递增，所以()()20x ??''>>，

所以()2

x

x e x ?=-在[2,)+∞上递增，所以()()20x ??>>，得证。

借助结论得2

21

21

2243(21)(1)(1)(1)2(1)k

e k k

k e e k k k k k k k ++++>>++=+=++>+，

所以()0k

F e

>，又因为函数()F x 连续，

所以()F x 在1,2k e ??

???

上有零点. ---------------------16分

数 学 试 题Ⅱ参考答案

21.解：由题意得112427a b ??????=??????--??????,即2287a b -=??-=-?

,解得41a b =??=?, 所以4114??

=?

???

A , --------------------5分 所以矩阵A 的特征多项式为241

()81514

f λλλλλ--=

=-+--，

令()0f λ=，解得5λ=或3λ=，即矩阵A 的特征值为5和3. ---------------------10分 22.解：将直线l 的极坐标方程化直角坐标系方程为y x = --------------------2分 将曲线C 的参数方程化为普通方程可得：2

211y x x =--≤≤() --------------------5分

由2

2y x y x

=??

=-?得2

20x x +-=，解得=1x 或=2x -，又11x -≤≤，所以=1x ，

所以直线l 与曲线C 的交点的直角坐标为（1,1）. --------------------10分 注：结果多一解的扣2分

23.解：⑴甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门，共有3

464=种不同的选法，记“甲、乙、丙

三人选择的课程互不相同”为事件M ，事件M 共包含3

4A 24=个基本事件，则243()648

P M =

=，所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为

3

8

. --------------------3分 ⑵方法一：X 可能的取值为0,1,2,3， --------------------4分

33327(0)464

P X ===，12

33C 327(1)364P X ?===， 2

33C 39(2)464P X ?===，33

3C 1(3)464

P X ===. --------------------8分

所以

所以X 的数学期望()0123646464644

E X =?+?+?+?=. -------------10分 方法二：甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门，可以看成三次独立重复试验，X 为甲、乙、丙三

人中选修《数学史》的人数，则1(3,)4X B ，所以3313()C ()()44

k k k

P X k -==，0,1,2,3k =，

所以X 的分布列为：

所以X 的数学期望()344

E X =?=.

24.解：⑴因为i i ()=f x x (i )∈N ，所以000111

(1)C (1)C (1)C (1)n n n

n n n n n F x x x x x =-+-++-=-()，

所以21F ()=0， ---------------------1分 所以201720172(12)1F =-=-(). ---------------------3分 ⑵因为i ()=

(0,i )i

x

f x x x+>∈N ， 所以010

01

1i i i 0=(1)C ()(1)C ()(1)C ()(1)C ()i n n

n

n

n n

n

n

n x F x f x f x f x n x+*

=??-+-+

+-=-∈???

?∑N (). ①当1n =时，1

i i

1i 01=(1)C 1i 11n x x F x x+x+x+=??-=-=????∑()，所以1n =时结论成立. ----4分 ②假设n k =()k *

∈N 时结论成立，即i i i 0!=(1)C i (1)(2)()

k

k k

x k F x x+x x x k =?

?-=??+++?

?∑()，

则1n k =+时，1

i i i i 11

1111i 0i 1

=(1)C =1+(1)C (1)C i i 1k k

k k k k k k x x x F x x+x+x+k +++++++==????--+-????+????∑∑() i i i 1111i 11(1)(C +C )(1)C i 1k

k k k k k x x x+x+k -+++=??=+-+-??+??∑1i i i i-1

i 0i 1(1)C (1)C i i k k k k x x x+x++==????=-+-?????

???∑∑ =1

i-1i-1i i

i 1i 0(1)C (1)C i i 1k k

k k k k x x F x F x x+x++==????-=-????+???

?∑∑()-()- i i i 01(1)C 11+i 11k

k k k

k x+x x F x F x F x+x+x+x+=?

?=-=-????∑()-()() !

!(1)(2)

()

(2)(3)(1+)1

k k x

x x x k x x x k x+=-

++++++

(1+)!!=

(1)(2)()(1+)x k k x k x x x k x k +-++++(+1)!

=

(1)(2)(3)

(1+)

k x x x x k ++++，

所以1n k =+时，结论也成立. 综合①②可知，!

=(1)(2)

()

n n F x x x x n +++()()n *∈N . ---------------------10分