高三数学第一轮复习讲解 正弦定理和余弦定理
浙江省台州市临海市第六中学高三数学第一轮复习讲解正弦定
理和余弦定理
1．正弦定理和余弦定理
定理正弦定理余弦定理
内容
a
sin A＝
b
sin B＝
c
sin C＝2R(R为△ABC
外接圆半径)
a2＝b2＋c2－2bc cos_A；
b2＝c2＋a2－2ca cos_B；
c2＝a2＋b2－2ab cos_C．变形形式
a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，
c＝2R sin_C；
sin A＝
a
2R，sin B＝
b
2R，
sin C＝
c
2R；
a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
a＋b＋c
sin A＋sin B＋sin C
＝
a
sin A.
cos A＝
b2＋c2－a2
2bc；
cos B＝
c2＋a2－b2
2ca；
cos C＝
a2＋b2－c2
2ab.
提示：(1)已知两角和任一边，求其他边和角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角．
3．余弦定理解决的问题有哪三类？
提示：(1)已知三边，求各角；
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；
(3)已知两边和其中一边的对角，求其他角和边．
温馨提示：解斜三角形的类型：
(1)已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解．
(2)已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在△ABC中，
A为锐角A为钝角
图形
关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b
解个数一解两解一解一解
均无解．
(3)已知三边，用余弦定理有解时，只有一解．
(4)已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解．
4．三角形面积
设△ABC的三边分别为a、b、c，所对的三个角分别为A、B、C，其面积为S.
(1)S＝
1
2ah(h为BC边上的高)；
(2)S＝
1
2ab sin C.
1．(2013·高考北京卷)在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝
1
3，则sin B＝() A.
1
5 B.
5
9
C.53 D ．1
解析：选B.在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B
， 得sin B ＝b sin A a ＝5×133＝59
. 2．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( )
A ．无解
B ．两解
C ．一解
D ．解的个数不确定
解析：选B.∵b sin A ＝122＜a ＜b .
∴三角形的个数有两个．
3．(2014·兰州调研)在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13
，则△ABC 的面积为( ) A ．3 3 B ．2 3
C ．4 3 D. 3 解析：选C.∵cos C ＝13，∴sin C ＝223
， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223
＝4 3. 4．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 的形状为________．
解析：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°＝ac ，
即a 2－2ac ＋c 2＝0，∴a ＝c .
又B ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．
答案：等边三角形
5．(2013·高考安徽卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.
解析：由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b .又因为b ＋c ＝2a ，
所以a ＝53b ，c ＝73
b ， 所以cos C ＝a 2＋b 2－
c 22ab ＝(53b )2＋b 2－(73b )22×53
b ×b ＝－12
. 因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3
. 答案：2π3
利用正、余弦定理解三角形
(2013·高考山东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c
＝6，b ＝2，cos B ＝79
. (1)求a ，c 的值；
(2)求sin(A －B )的值．
[解] (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，
得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，
又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79， 所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429
， 由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝223
. 因为a ＝c ，所以A 为锐角．
所以cos A ＝1－sin 2A ＝13
. 因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227
.
在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两
个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
1．(2012·高考浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .
(1)求角B 的大小；
(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．
解：(1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝b sin B
， 得sin B ＝3cos B .
所以tan B ＝3，所以B ＝π3
. (2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝c sin C
，得c ＝2a . 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，
得9＝a 2＋c 2－ac .
所以a ＝3，c ＝2 3.
利用正、余弦定理判定三角形的形状
在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋
(2c ＋b )sin C .
(1)求A 的大小；
(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．
[解] (1)由已知，
根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，
即a 2＝b 2＋c 2＋bc .①
由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，
故cos A ＝－12
，A ＝120°. (2)由①得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C .
又sin B ＋sin C ＝1，故sin B ＝sin C ＝12
. 因为0°
所以△ABC 是等腰钝角三角形．
判断三角形的形状，主要有如下两种途径：
(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系，通过三角函数恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论，在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
2．(1)在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为________；
(2)在△ABC 中，若b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，则△ABC 的形状为________．
解析：(1)∵sin 2A 2＝c －b 2c
， ∴1－cos A 2＝c －b 2c ，∴cos A ＝b c
. 由余弦定理b c ＝b 2＋c 2－a 22bc
， ∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．
(2)由b ＝a sin C 可知b a ＝sin C ＝sin B sin A ，由c ＝a cos B 可知c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac
，整理得b 2＋c 2＝a 2，即三角形一定是直角三角形，A ＝90°，∴sin C ＝sin B ，∴B ＝C ，
故△ABC 为等腰直角三角形．
答案：(1)直角三角形 (2)等腰直角三角形
与三角形面积有关的问题
(2013·高考湖北卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是 a ，b ，c ，已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1.
(1)求角A 的大小；
(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值．
[解] (1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得
2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0.
解得cos A ＝12
或cos A ＝－2(舍去)． 因为0 . (2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34 bc ＝53，得bc ＝20. 又b ＝5，所以c ＝4. 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，所以a ＝21. 从而由正弦定理得sin B sin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57 . 三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12 bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2 C 2＋c cos 2 A 2＝32 b . (1)求证：a ，b ， c 成等差数列； (2)若B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积． 解：(1)证明：a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32 b ，则a (1＋cos C )＋ c (1＋cos A )＝3b . 由正弦定理，得 sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋cos A sin C ＝3sin B ， 即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sin B . 由正弦定理得，a ＋c ＝2b ，故a ，b ，c 成等差数列． (2)由B ＝60°，b ＝4及余弦定理， 得42＝a 2＋c 2－2ac cos 60°. ∴(a ＋c )2－3ac ＝16， 又由(1)知a ＋c ＝2b ， 代入上式得4b 2－3ac ＝16， 解得ac ＝16， ∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12 ac sin 60°＝4 3. 二项式定理（第1课时） 一、内容和内容解析 内容：二项式定理的发现与证明． 内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视． 二、目标和目标解析 目标： （1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理． （2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用． （3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养． 目标解析： （1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法． （2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利 课 题 1.1.1 正弦定理 授课人 雷 娜 授课时间 5月 日 年 级 高 一 班 次 1321、1322 教学目标 知识与技能： 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的 内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法： 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中， 边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到 一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感、态度、价值观： 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形 函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 内容分析 重 点： 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难 点： 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 关 键： 掌握正弦定理的内容并能够灵活应用 教学方法 探究式教学 教 学 过 程 一、课题导入： 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。 能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课探究 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, 则sin sin sin a b c c A B C === A B C B A C 04—正弦定理和余弦定理 利用正弦定理解三角形 (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．由于三角形的形状不能唯一确定，会出现两解、一解和无解三种情况. [例1] (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝1 2 b ，且 a > b ，则B ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π 6 (2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π 6，则b ＝________. [解析] (1)利用正弦定理的变形，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b 中，得2R sin A ·sin B cos C ＋2R sin C sin B cos A ＝12×2R sin B ，所以sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，即sin(A ＋C )＝12，所以sin B ＝12.已知a >b ，所以B 不是最大角，所以B ＝π6 . (2)在△ABC 中，∵sin B ＝12，0b .又a ＋c ＝2b ，所以c ＝a －8，所以a 大于c ，则A ＝120°. 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(a －4)2＋(a －8)2－2(a －4)·(a －8)·????－12，所以a 2－18a ＋56＝0. 所以a ＝14或a ＝4(舍去)．故选B. (2)由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，将其代入a cos C ＋32c ＝b 中得，a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋3 2 c ＝b ，化简 整理得b 2＋c 2－a 2＝3bc ，于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，所以A ＝π6.[答案] (1)B (2)π 6 利用正、余弦定理解三角形 [例3] 设△ABC 1，A ＝2B . (1)求a 的值；(2)求sin ??? ?A ＋π 4的值． [解] (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理，得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 2 2ac .因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3. (2)由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－1 3 .因为0 二项式定理 1． 知识精讲： （1）二项式定理：()n n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110（* ∈N n ） 其通项是=+1r T r r n r n b a C - （r=0,1,2,……,n ），知4求1，如：555 156b a C T T n n -+== 亦可写成：=+1r T r n r n a b a C )( ()()()n n n n r r n r n r n n n n n b C b a C b a C a C b a 11110-++-++-=---ΛΛ（*∈N n ） 特别地：()n n n r n r n n n n n x C x C x C x C x +++++=+-ΛΛ101（* ∈N n ） 其中，r n C ——二项式系数。而系数是字母前的常数。 例1．n n n n n n C C C C 13 21393-++++Λ等于 （ ） A ．n 4 B 。n 43? C 。134-n D.3 1 4-n 解：设n n n n n n n C C C C S 13 21393-++++=Λ，于是： n n n n n n n C C C C S 333333 3221++++=Λ=133333 32210 -+++++n n n n n n n C C C C C Λ 故选D 例2．（1）求7 (12)x +的展开式的第四项的系数； （2）求91 ()x x -的展开式中3 x 的系数及二项式系数解：（1）7 (12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==， ∴7 (12)x +的展开式的第四项的系数是280． （2）∵9 1()x x -的展开式的通项是9921991 ()(1)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-， ∴923r -=，3r =， ∴3x 的系数339(1)84C -=-，3 x 的二项式系数3984C =． （2）二项展开式系数的性质：①对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的 二项式系数相等，即ΛΛ,,,,22110k n n k n n n n n n n n n n C C C C C C C C ---==== ②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果 二项式定理 一．二项式定理 1.右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式 2.各项的系数r n C 叫做二项式系数 3.式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项，即 1(0,1,2, ,).r n r r r n T C a b r n -+== 4.二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数r n C 中r 从0到 n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n 二．二项式系数的性质 性质1 ()n a b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n m n n C C -= 性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m m n n n C C C -++= 性质3 ()n a b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ，即012.n n n n n C C C ++ += （令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释） 性质4 ()n a b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项 的二项式系数的和，即 02 213 21 12.r r n n n n n n n C C C C C C +-++ ++ =++ ++ = （令1,1a b ==-即得） 性质5 ()n a b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数1 2,n n C -1 2n n C +相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大） 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导； 2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形； 3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查． 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用； 2.通 过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 基础知识梳理 1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可 以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin _B ∶sin _C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，解决不同的三角形问题． 2． 余弦定理：a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bc cos_A ，b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2ac cos_B ，c 2 ＝a 2 ＋b 2 －2ab cos_C ．余弦 定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab .高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二
高中数学教案必修四：正弦定理
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高中数学 2二项式定理(带答案)
正弦定理和余弦定理详细讲解