圆的方程与专题复习直线与圆圆与圆的位置关系轨迹问题知识梳理

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圆的方程与专题复习（直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题）

知识梳理

浙江省诸暨市学勉中学（311811）郭天平

圆的标准方程、一般方程与参数方程的推导与运用是这节内容的重点；涉及直线与圆、 圆与圆的位置关系的讨论及有关性质的研究是这节的难点。

一、有关圆的基础知识要点归纳 1． 圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点即为圆心， 定长为半径.

2． 圆的标准方程

① 圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得(x - a )2 + (y - b )2 = r 2 (r > 0)，

其中圆心坐标为 (a, b )，半径为 r ；当 a = 0, b = 0 时，即圆心在原点时圆的标准方程为

x 2 + y 2 = r 2 ；

② 圆的标准方程的特点：是能够直接由方程看出圆心与半径，即突出了它的几何意 义。

3． 圆的一般方程

① 圆 的 一 般 方 程 ： 展 开 圆 的 标 准 方 程 ， 整 理 得 ，

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 D 2 + E 2 - 4F > 0 ；

② 圆的一般方程的特点：（1） x 2 , y 2 项系数相等且不为 0；（2）没有 xy 这样的二次

项

③ 二 元 二 次 方 程 Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 表 示 圆 的 必 要 条 件 是

A = C ≠ 0 且

B = 0 ；

二元二次方程 Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的充要条件是 A = C ≠ 0

且 B = 0 且 D 2 + E 2 - 4 A F > 0

4． 圆的参数方程

圆的参数方程是由中间变量θ 将变量 x, y 联系起来的一个方程.

① 圆心在原点，半径为 r 的圆的参数方程是： ?x = r cos θ ? y = r sin θ

(θ 为参数）

? ；

( )

? x + ? +? x + ? =

D 2 +

E 2 - 4

F ? 利用 (r cos θ )2 + (r sin θ )2 = r 2

得 ? (θ 为参数）

② 圆心在 学习必备 欢迎下载

(a, b )，半径为 r 的圆的参数方程是： ?

x = a + r cos θ (θ 为参数） ? y = b + r sin θ

r =

5． 圆方程之间的互化

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 D 2 + E 2 - 4F > 0

配方 ? D ? 2 ?

E ? 2 D 2 + E 2 - 4

F ? D E ?

即 圆 心 - ，-

? ， 半 径

? 2 ? ? 2 ? 4 ? 2 2 ?

1 ?x = a + r cos θ

2 ? y = b + r sin θ

6． 确定圆方程的条件

圆的标准方程、圆的一般方程及参数方程都有三个参数，因此要确定圆方程需要三个 独立的条件，而确定圆的方程我们常用待定系数法，根据题目不同的已知条件，我们可适 当地选择不同的圆方程形式，使问题简单化。如已知条件中涉及圆心与半径有关等条件，

一般设圆的标准方程，即列出 a, b , r 的方程组，求出 a, b , r 的值，也可根据圆的特点直接

求出圆心 (a, b )，半径 r 。当圆心位置不能确定时，往往选择圆的一般方程形式，由已知

条件列出 D, E, F 的三个方程，显然前者解的是三元二次方程组，后者解的是三元一次方

程组，在运算上显然设一般式比标准式要简单。

7． 点与圆的位置关系

设 圆 C : (x - a )2 + (y - b )2 = r 2 ， 点 M (x , y 0

) 到圆心的距离为 d ，则有：

(1) d > r ? 点 M 在圆外； (2) d = r ? 点 M 在圆上； (3) d < r ? 点 M 在圆内．

8． 直线与圆的位置关系

设圆 C : (x - a )2 + (y - b )2 = r 2 ，直线 l 的方程为 Ax + By + C = 0（ A, B 不全为 0），

圆心 (a, b ≥

?，判别式为 ，则有：

(1) 几何特征（数形结合）：由圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小来判断 ① d < r ? 直线与圆相交； ② d = r ? 直线与圆相切； ③ d > r ? 直线与圆相离；

(2) 代数特征：由直线方程与圆方程联立方程组，研究其解的个数来判断位置关系

为 d ，半径为 r ，则有 ? + d 2 = r 2 .

0 0 , k 2

2 2

x E (y + y )0

① ＞? 有两组不同的实数解 ? 直线与圆相交； ② =0 ? 有两组相同的实数解 ? 直线与圆相切； ③

＜? 无实数解 ? 直线与圆相离.

(3) 直线与圆相交的弦长问题

①直线与圆相切时，要考虑过切点与切线垂直的半径；

②求弦长时，要用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形，即设弦长为 l ，弦心距

? l ? 2

? 2 ?

③弦长公式：设直线交圆于 A (x , y ) B (x , y 1

1

2

2

)，则 AB = 1 + k

AB

2

? x - x

A

B

或 AB = 1 +

1

? y - y

.

A B

(4) 圆的切线方程：

① 设切点公式法：已知圆 O : x 2 + y 2 = r 2 ； O : (x - a )2 + (y - b )2 = r 2 ；

1

2

O : x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ，则以 M (x , y )为切点的圆 O 切线方程为：

3 0

1

x x + y y = r 2 ；圆 O 切线方程为：(x - a )( - a )+ (y - b )(y - b ) = r 2 ；圆 O 切线方

0 2 0 0 3

程为： xx + yy + D (x + x 0 ) +

+ F = 0 . 0 0

②设切线斜率用判别式法：用点斜式写出直线方程并与圆方程联立方程组，消x

（ y ），再用判别式? = 0 解出切线斜率 k ；若点在圆上，切线一条，点在圆内无切线，点

在圆外，有两条切线；对切线斜率不存在的情况，可单独考虑。

③设切线斜率用圆心到切线距离等于圆的半径法

④若 M (x , y 0

)在圆 O 1

外，到圆 O 有两条切线，则切点弦方程： x x + y y = r 2 .

1 0 0

9．圆与圆的位置关系

设圆 C : (x - a )2 + (y - b )2 = r 2 ， C : (x - m )2 + (y - n )2 = R 2 且设两圆圆心距

1

2

为 d .

(1) 几何特征（数形结合）：由圆心距与半径 r 、 R 的大小来判断 ① d = R + r ? 两圆外切；

②

d = R - r ? 两圆内切且两圆的连心线过切点；

0 0 ,

x

③

d > R + r ? 两圆外离；

④

d < R - r ? 两圆内含；

⑤

R - r < d < R + r ? 两圆相交．

(2) 代数特征：由两圆方程联立方程组，研究其解的个数来判断位置关系 ① ＞? 有两组不同的实数解 ? 两圆相交； ② =0 ? 有两组相同的实数解 ? 两圆相切； ③ ＜? 无实数解 ? 两圆相离. 10．两圆的公切线

① 两圆相离时，四条公切线； ② 两圆相外切时，有三条公切线； ③ 两圆相交时，有两条公切线； ④两圆相内切时，有一条公切线； ⑤ 两圆内含时，无公切线。 11．圆系方程

① 设两相交圆 C : x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0

1 1

1

1

C : x 2 + y 2 +

D x +

E y +

F = 0

1

2

2

2

则 C : x 2 + y 2 + D x + E y + F + λ ( x 2 + y 2 + D x + E y + F ) = 0 (λ ≠ -1)表示过

3 1

1

1

1

1

1

两圆交点的圆(不包括 C )；

2

当 λ = -1 时

(D - D )x + (E - E

1

2

1

2

)y + F 1

- F = 0 表示两圆的公共弦所在的直线方

2

程.

② x 2 + y 2 + Dx + Ey + F + λ (ax + by + c ) = 0 表示过圆 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

与直线 ax + by + c = 0 交点的圆.

③ (x - a )2 + (y - b )2 = k 2 (k 为变数）表示以 (a, b )为圆心的同心圆系。

④ 端点圆方程：一个圆的直径的端点是 A (x , y ) B (x , y 1 1 2

2 )，则

(x - x )( - x )+ (y - y )(y - y ) = 0 为端点圆方程。

1 2

1

2

12．与直线和圆有关的轨迹问题

① 几何法：由于圆的几何性质特别明显和突出，因此在关于直线与圆有关的轨迹问 题中，巧用几何性质，抓住动点的限制关系，这种方法同众多方法中最简单的；

② 交轨法：求两条直线、直线与曲线的交点的轨迹，首先选用的是交轨法，交轨法

必须选定一个参数，选怎么样的一个参数最合理？具体问题具体对待.用交轨法求轨迹方程简单、明了、直观，容易下手.但真正的难处在于如何消去参数获得轨迹的一般方程，最一般的技巧就是怎么巧妙地借用已知曲线的方程来消去参数。

③转移法（代入法）：轨迹上的动点（被动点）受到另一动点（主动点）所制约，如果主动点的轨迹已知或可求得，而且主动点与被动点的关系也可以求出，简而言之是一种“点随点动型”，即将所求动点转移到已知曲线（或可求曲线）上，得所求动点的轨迹，称为转移（代入）法.

二、有关圆问题的注意事项

1．在用待定系数法求圆方程时，一定要注意分析已知条件中圆的特点及规律，并能运用数形结合的思想，即利用平面知识充分挖掘其几何特征，联立待定系数的方程组，使问题简单化。

2．在讨论直线与圆，圆与圆的位置问题时，一般不用?>0,?=0,?<0，而用圆心

到直线距离d与半径r，和圆心距与半径的大小关系，分别确定相交，相切，相离的位置关系。

3．涉及跟圆上的点有关的一些求取值范围、最值等问题，可利用圆的参数方程，转化为三角函数问题，可使问题简捷化。

4．要重视基本思想、方法、规律：如数形结合的思想、化归的思想、分类讨论的思想、函数与不等式的思想、待定系数法等.