最新离散数学古天龙-1-4章答案

P20

1.用枚举法写出下列集合。

○2大于5小于13的所有偶数。

A={6,8,10,12}

○520的所有因数

A={1,2,4,5,10,20}

○6小于20的6的正倍数

A={6,12,18}

2.用描述法写出下列集合

○3能被5整除的整数集合

A{5x|x是整数}

○4平面直角坐标系中单位圆内的点集

A{|x2+y2≤1}

4.求下列集合的基数

○19

○3 1

○7 3

○8 2

○10 1

6.求下列集合的幂集

○6{1，{2}}

解：{空集，{1}，{{2}}，{1，{2}}}

○7解：{空集，{空集}，{a}，{空集，a}}

○9解：{空集，{{1，2}}，{{2}}，{{1，2}，{2}}}

15.设全集U={1，2，3,4,5}，集合A={1，4}，B={1，2，5}，C={2，4}，确定下列集合。

○2{1，3,5}

○3{1，4,}

○8{5}

○9{空集，{1}，{2}，{4}，{1，4}，{2，4}}

18.对任意集合A，B和C，证明下列各式

○2（A-(BUC)）=((A-B)-C)

证：（A-(BUC)）=A∩~(BUC)=A∩(~B∩~C)

((A-B)-C)=(A∩~B)∩~C=A∩~B∩~C

所以（A-(BUC)）=((A-B)-C)

○3（A-(BUC)）=((A-C)-B

证：（A-(BUC)）=A∩~(BUC)=A∩~B∩~C

((A-C)-B)=(A∩~C)∩~B

所以（A-(BUC)）=((A-C)-B

○5P(A)UP(B)≤P(A UB) 原题有错（注这里○5○6中的“≤”代表包含于符号）证：任取C∈P（A）U P(B)由定义

C∈P（A）或C∈P（B）

若C∈P（A），则C≤A,则C≤A UB

若C∈P(B)，则C≤B,则C≤A UB

故C≤A UB，即C∈P(A U B) 证毕

○6P(A)∩P(B)=P(A∩B)

证：先证P(A)∩P(B)≤P(A∩B)

任取C∈P(A)∩P(B)，且C∈P(A), C∈P(B)

由定义C≤A且C≤B,得C≤A∩B,即C∈P(A∩B)

所以P(A)∩P(B)≤P(A∩B)

再证P(A∩B)≤P(A)∩P(B)

任取C∈P(A∩B),即C=A∩B

C≤A,且C≤B,C∈P(A)且C∈P(B)

所以C∈P(A)∩P(B) 得证

21.用集合表示图1.7中各阴影部分。

a.(B∩C)-(A∩B∩C) ;

b.b.(A∩B) -(A∩B∩C) ;

c. U-(AUBUC) ;

d .B-((A∩B)U(B∩C));

e .A∩B∩C

27.某班有25个学生，其中14人会打篮球，12 人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。已知6个会打网球的人都会打篮球或排球，求该班同学中不会打球的人数。

解：设A={x|x会打篮球}，B={x|x会打排球}，C={x|x会打网球}

由题意知|A|=14 ,|B|=12，|C|=6 ,|A∩B|=6，|A∩C|=5，

|A∩B∩C|=2，|C∩(AUB)|=6，

|C∩(AUB)|=|(C∩A)U(C∩B)|=|C∩A|+|C∩B|-|C∩(AUB)|=6,

|B∩C|=6+|A∩B∩C|-|A∩C|=3,

所以|AUBUC|=|A|+|B+|C|-|A∩B|-|B∩C|-(|B∩C|+|A∩B∩C|

=14+12+6-6-3-5+2=20

所以该班同学中不会打球的人有25-20+5人。

30.假设在“离散数学”课程的第一次考试中14个学生得优，第二次考试中18个学生得优。如果22个学生在第一次或第二次考试得优，问有多少学生两次考试都得优。

解：设A={x|x第一次得优的同学}，B={x|x第二次得优的同学}

由已知：|A|=14，|B|=18,|AUB|=22，

由|AUB|=|A|+|B|-|A∩B|=22

所以|A∩B|=32-22=10

两次考试都得优的有10人。

3.设集合A={1,23，}，B={1,3,5}和C={a,b}。求如下笛儿卡积。

②、（A×C）∩（B×C）

（A×C）∩(B×C)＝{<1,a>，<3,a>,<1,b>,<3,b>}

③、(A∪B)×C＝{<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>,<3,a>,<3,b>,<5,a>,<5,b>}

4.对于集合A和B,证明。

①（A∩B）×C＝(A×C)∩(B×C)

证：

对任意∈(A∩B)×C,由笛儿卡积定义，

有x∈(A∩B),y∈C.那么x∈A且x∈B，由笛儿卡积定义，故∈A×C (x,y)∈B×C

∴∈(A×C)∩(B×C)

故（A∩B）×C ?(A×C)∩(B×C)

对任意∈(A×C)∩(B×C)

由交集知，∈A×C,且∈B×C，由笛儿卡积定义，x∈A,y∈C,且x∈B,y∈C

∴x∈A∩B,y∈C. 由笛儿卡积定义知，∈(A∩B)

故（A×C∩(B×C) ?(A∩B)×C,

证毕

②(A∪B)×C＝(A×C)∪(B×C)

证：任取∈(A∪B)×C,由笛儿卡积定义知，

x∈A∪B, y∈C, 故∈A×C或∈B×C

∴∈(A×C∪(B×C),

∴(A∪B)×C?(A×C)∪(B×C)

任取∈(A×C)∪(B×C),由笛儿卡积定义知，

∈A×C或∈B×C,由笛儿卡积定义知，

x∈A或x∈B, y∈C,

∴x∈A∪B,y∈C,由笛儿卡积定义知，

∈(A∪B)×C

∴(A×C)∪(B×C)?(A∪B)×C

证毕

5.对于集合A={1,2,3}和B={2,3,4,6}，求

③从A到B的整除关系

R={<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,6>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,3>,<3,6>} R={|x∈A, y∈B, x能整除y}

⑥从B到A的整除关系

R={<2,2>,<3,3>}

R={|x∈B, y∈A, x能整除y }

6.对于集合A={1,2,3,4,6,8,12}，求

①A上的小于等于关系

R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,6>,<1,8>,<1,12>,

<2,2>,<2,3>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<2,12>,

<3,3>,<3,4>,<3,6>,<3,8>,<3,12>,

<4,4>,<4,6>,<4,8>,<4,12>,

<6,6>,<6,8>,<6,12>,

<8,8>,<8,12>,

<12,12>}

⑤A上的不等于关系

R={|x∈A, y∈A , x≠y}

R={<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,6>,<1,8>,<1,12>,

<2,1>,<2,3>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<2,12>,

<3,1>,<3,2>,<3,4>,<3,6>,<3,8>,<3,12>,

<4,1>,<4,2>,<4,3>,<4,6>,<4,8>,<4,12>,

<6,1>,<6,2>,<6,3>,<6,4>,<6,8>,<6,12>,

<8,1>,<8,2>,<8,3>,<8,4>,<8,6>,<8,12>,

<12,1>,<12,2>,<12,3>,<12,4>,<12,6>,<12,8>}

7.对于集合A={a,b,c}和B={{a},{a,b},{a,c},{b,c}}, 求

①从P(A)到B的包含关系

R＝{|x∈P(A) x∈B, x≤y }

P(A)＝{,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}

R={<,{a}>,<,{a,b}>,<,{a,c}>,<,{b,c}><{a},{a}>,<{a},{a,b}>,

<{a},{a,c}>,<{b},{a,b}>,<{b},{b,c}>,<{c},{a,c}>,<{c},{b,c}>,<{a,b},{a,b}>,<{a,c},{a,c}>,<{b, c},{b,c}>}

8.对于集合A={3,5,7,9}和B={2,3,4,6,8,10}，求关系矩阵

③、从A到B的整除关系

┏0 1 0 1 0 0 ┓

┃0 0 0 0 0 1 ┃

MR＝┃0 0 0 0 0 0 ┃

┗0 0 0 0 0 0 ┛

9.对于集合A={2,3,4,6,7,8,10}，求如下关系的关系矩阵

②A上的大于关系

┏0 0 0 0 0 0 0 ┓

┃1 0 0 0 0 0 0 ┃

┃1 1 0 0 0 0 0 ┃

MR＝┃1 1 1 0 0 0 0 ┃

┃1 1 1 1 0 0 0 ┃

┃1 1 1 1 1 0 0 ┃

┗1 1 1 1 1 1 0 ┛

14.设A={a,b,c,d,e,f,g},其中a,b,c,d,e,f和g分别表示7人，且a,b和c都是18岁，

d和e都是21岁，f,和g都是23岁，试给出A上的同龄关系，并用关系矩阵和关系图表示解：

R＝{,,,,,,

,,,}

┏1 1 1 0 0 0 0 ┓

┃1 1 1 0 0 0 0 ┃ c

┃1 1 1 0 0 0 0 ┃ e

MR＝┃0 0 0 1 1 0 0 ┃

┃0 0 0 1 1 0 0 ┃ b f

┃0 0 0 0 0 1 1 ┃

┗0 0 0 0 0 1 1 ┛

g

P69

15.判断集合A={a,b,c}上的如下关系所具有的性质。

① R1={,,,,,}

自反性、反对称性、传递性

④ R4={,,,,}

自反性、对称性、传递性

⑤ R5=A×A

对称性、自反性、传递性

⑥ R6=

自反性、对称性、传递性

16.判断集合A={3,5,6，7,10,12}上的如下关系所具有的性质。

① A上的小于等于关系

自反性、反对称性、传递性

② A上的恒等关系

自反性、对称性、反对称性、传递性

19.对于图2.16中给出的集合A={1，2,3}上的关系，写出相应的关系表达式和关系矩阵，并分析他们各自具有的性质。

R2={<1,1>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<1,3>,<3,1>}

R2

R11={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>}

┏1 1 0 ┓

MR11= ┃1 1 1 ┃

┗0 1 1 ┛

（自反性、对称性）

25.对于集合A={a,b,c}到集合B={1,2}的关系；

R={,,}和S={,,}

求R∪S,R∩S,R﹣S,S﹣R,~R和~S。

解：

R∪S={,,,,};

R∩S={,};

R﹣S={};

S﹣R={};

~R=A×B－R={,,};

~S=A×B－S={,,}.

27.对于集合A={1,2,3,4,5,6}上的关系R={|(x-y)2∈A}，S={|y是x的倍数}和

T={|x整除y，y是素数}，试写出各关系中的元素，各关系的关系矩阵和关系图，并计算下列各式。

解：

R={<1,3>,<2,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<3,1>,<3,2>,

<3,4>,<3,5>,<4,2>,<4,3>,<4,5>,<4,6>,

<5,3>,<5,4>,<5,6>,<6,4>,<6,5>};

S={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>

,<2,2>,<2,4>,<2,6>

,<3,3>,<3,6>

,<4,4>,<5,5>,<6,6>};