八年级初二数学勾股定理知识点总结及解析
一、选择题
1.如图,点A 的坐标是(2)2,
,若点P 在x 轴上,且APO △是等腰三角形,则点P 的坐标不可能是( )
A .(2,0)
B .(4,0)
C .(-22,0)
D .(3,0)
2.如图,西安路与南京路平行,并且与八一街垂直,曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口,准备去书店,按图中的街道行走,最近的路程约为( )
A .600m
B .500m
C .400m
D .300m
3.如图,在△ABC 和△ADE 中,∠BAC =∠DAE =90°,AB =AC ,AD =AE ,点C ,D ,E 在同一条直线上,连接B ,D 和B ,E .下列四个结论:
①BD =CE , ②BD ⊥CE , ③∠ACE +∠DBC=30°, ④(
)2
22
2BE AD AB
=+.
其中,正确的个数是( ) A .1
B .2
C .3
D .4
4.如图所示,用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形已知大正方形的面积为49,小正方形的面积为4.用,表示直角三角形的两直角边(),请仔细观
察图案.下列关系式中不正确的是( )
A .
B .
C .
D .
5.如图,□ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点E ,∠AEB=45°,BD=2,将△ABC 沿AC 所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内,若点B 的落点记为B′,则DB′的长为( )
A .1
B .2
C .
32
D .3
6.已知:如图在△ABC ,△ADE 中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC ,AD=AE ,点C ,D ,E 三点在同一条直线上,连接BD ,BE ,以下四个结论:
①BD=CE ;②BD ⊥CE ;③∠ACE+∠DBC=45°;④BE 2=2(AD 2+AB 2), 其中结论正确的个数是( )
A .1
B .2
C .3
D .4
7.下列四组数中不能构成直角三角形的一组是( )
A .1,26
B .3,5,4
C .5,12,13
D .3,2138.A 、B 、C 分别表示三个村庄,AB 1700=米,800BC =米,AC 1500=米,某社区拟建一个文化活动中心,要求这三个村庄到活动中心的距离相等,则活动中心P 的位置应在( ) A .AB 的中点 B .BC 的中点
C .AC 的中点
D .C ∠的平分线与AB 的交点
9.如图,在等腰Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =7,∠BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ,则
点D 到AB 的距离是( )
A .3
B .4
C .7(21)-
D .7(21)+
10.下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是 ( ) A .6,8,10
B .5,12,13
C .3,5,6
D .2,3,5
二、填空题
11.如图,在矩形 ABCD 中,AB =10,BC =5,若点 M 、N 分别是线段 AC 、AB 上的两个动点,则 BM+MN 的最小值为_____________________.
12.如图,现有一长方体的实心木块,有一蚂蚁从A 处出发沿长方体表面爬行到C '处,若长方体的长4cm AB =,宽2cm BC =,高1cm BB '=,则蚂蚁爬行的最短路径长是___________.
13.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AB =7.5cm ,AC =4.5cm ,动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度移动,设运动的时间为t 秒,当△ABP 为等腰三角形时,t 的取值为_____.
14.在ABC ?中,10AB cm =,17AC cm =,BC 边上的高为8cm ,则ABC ?的面积为______2cm .
15.在Rt ABC 中,90,30,2C A BC ∠=∠==,以ABC 的边AC 为一边的等腰三角形,它的第三个顶点在ABC 的斜边AB 上,则这个等腰三角形的腰长为_________. 16.如图,△ABC 中,∠ABC =45°,∠BCA =30°,点D 在BC 上,点E 在△ABC 外,且AD =
AE =CE ,AD ⊥AE ,则
AB
BD
的值为____________.
17.如图,30AOB ∠=?,点,M N 分别在,OA OB 上,且6,8OM ON ==,点,P Q 分别在,OB OA 上运动,则PM PQ QN ++的最小值为______.
18.已知x ,y 为一个直角三角形的两边的长,且(x ﹣6)2=9,y =3,则该三角形的第三边长为_____.
19.如图,在△ABC 中,AB =AC =10,BC =12,AD 是角平分线,P 、Q 分别是AD 、AB 边上的动点,则BP +PQ 的最小值为_______.
20.如图,在Rt ABC ?中,90ACB ∠=,2AC BC ==,D 为BC 边上一动点,作如图所示的AED ?使得AE AD =,且45EAD ∠=,连接EC ,则EC 的最小值为__________.
三、解答题
21.如图,在两个等腰直角ABC 和CDE △中,∠ACB = ∠DCE=90°.
(1)观察猜想:如图1,点E 在BC 上,线段AE 与BD 的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)探究证明:把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置,(1)中的结论还成立吗?说明理由;
(3)拓展延伸:把CDE △绕点C 在平面内自由旋转,若AC = BC=10,DE=12,当A 、E 、
D 三点在直线上时,请直接写出 AD 的长.
22.如图,△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形,∠ACB =∠ECD =90°,点D 在边AB 上,点E 在边AC 的左侧,连接AE .
(1)求证:AE =BD ;
(2)试探究线段AD 、BD 与CD 之间的数量关系;
(3)过点C 作CF ⊥DE 交AB 于点F ,若BD :AF =1:22,CD =36+,求线段AB 的长.
23.已知a ,b ,c 满足88a a -+-=|c ﹣17|+b 2﹣30b +225,
(1)求a ,b ,c 的值;
(2)试问以a ,b ,c 为边能否构成三角形?若能构成三角形,求出三角形的周长和面积;若不能构成三角形,请说明理由.
24.定义:如图1,点M 、N 把线段AB 分割成AM 、MN 和BN ,若以AM 、MN 、
BN 为边的三角形是一个直角三角形,则称点M 、N 是线段AB 的勾股分割点.
(1)已知点M 、N 是线段AB 的勾股分割点,若2AM =,3MN =,求BN 的长; (2)如图2,在Rt ABC △中,AC BC =,点M 、N 在斜边AB 上,45MCN ∠=?,求证:点M 、N 是线段AB 的勾股分割点(提示:把ACM 绕点C 逆时针旋转
90?);
(3)在(2)的问题中,15ACM ∠=?,1AM =,求BM 的长.
25.如图,将一长方形纸片OABC 放在平面直角坐标系中,(0,0)O ,(6,0)A ,(0,3)C ,动点F 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度沿OC 向终点C 运动,运动
2
3
秒时,动点E 从点A 出发以相同的速度沿AO 向终点O 运动,当点E 、F 其中一点到达终点时,另
一点也停止运动.
设点E 的运动时间为t :(秒)
(1)OE =_________,OF =___________(用含t 的代数式表示)
(2)当1t =时,将OEF ?沿EF 翻折,点O 恰好落在CB 边上的点D 处,求点D 的坐标及直线DE 的解析式;
(3)在(2)的条件下,点M 是射线DB 上的任意一点,过点M 作直线DE 的平行线,与x 轴交于N 点,设直线MN 的解析式为y kx b =+,当点M 与点B 不重合时,设
MBN ?的面积为S ,求S 与b 之间的函数关系式.
26.如图,己知Rt ABC ?,90ACB ∠=?,30BAC ∠=?,斜边4AB =,ED 为AB 垂
直平分线,且23DE =,连接DB ,DA .
(1)直接写出BC =__________,AC =__________; (2)求证:ABD ?是等边三角形;
(3)如图,连接CD ,作BF CD ⊥,垂足为点F ,直接写出BF 的长;
(4)P 是直线AC 上的一点,且1
3
CP AC =
,连接PE ,直接写出PE 的长. 27.如图,在四边形ABCD 中,=AB AD ,=BC DC ,=60A ∠?,点E 为AD 边上一点,连接CE ,BD . CE 与BD 交于点F ,且CE ∥AB .
(1)求证:CED ADB ∠=∠; (2)若=8AB ,=6CE . 求BC 的长 .
28.已知:四边形ABCD 是菱形,AB =4,∠ABC =60°,有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD 的顶点A 重合,两边分别射线CB 、DC 相交于点E 、F ,且∠EAP =60°.
(1)如图1,当点E 是线段CB 的中点时,请直接判断△AEF 的形状是 . (2)如图2,当点E 是线段CB 上任意一点时(点E 不与B 、C 重合),求证:BE =CF ; (3)如图3,当点E 在线段CB 的延长线上,且∠EAB =15°时,求点F 到BC 的距离.
29.如图,在△ABC 中,D 是边AB 的中点,E 是边AC 上一动点,连结DE,过点D 作DF ⊥DE 交边BC 于点F(点F 与点B 、C 不重合),延长FD 到点G,使DG=DF,连结EF 、AG.已知AB=10,BC=6,AC=8. (1)求证:△ADG ≌△BDF ;
(2)请你连结EG,并求证:EF=EG;
(3)设AE=x,CF=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(4)求线段EF长度的最小值.
30.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AB=2,CD是边AB的高线,动点E从点A 出发,以每秒1个单位的速度沿射线AC运动;同时,动点F从点C出发,以相同的速度沿射线CB运动.设E的运动时间为t(s)(t>0).
(1)AE=(用含t的代数式表示),∠BCD的大小是度;
(2)点E在边AC上运动时,求证:△ADE≌△CDF;
(3)点E在边AC上运动时,求∠EDF的度数;
(4)连结BE,当CE=AD时,直接写出t的值和此时BE对应的值.
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一、选择题
1.D
解析:D
【详解】
解:(1)当点P在x轴正半轴上,
①以OA为腰时,
∵A的坐标是(2,2),
∴∠AOP=45°,OA=22,
∴P的坐标是(4,0)或(22,0);
②以OA为底边时,
∵点A的坐标是(2,2),
∴当点P的坐标为:(2,0)时,OP=AP;
(2)当点P在x轴负半轴上,
③以OA为腰时,
∵A的坐标是(2,2),
∴OA= 22
∴OA=AP=2
∴P的坐标是(-220).
故选D.
2.B
解析:B
【分析】
由于BC∥AD,那么有∠DAE=∠ACB,由题意可知∠ABC=∠DEA=90°,BA=ED,利用AAS可证△ABC≌△DEA,于是AE=BC=300,再利用勾股定理可求AC,即可求CE,根据图可知从B到E的走法有两种,分别计算比较即可.
【详解】
解:如右图所示,
∵BC∥AD,
∴∠DAE=∠ACB,
又∵BC⊥AB,DE⊥AC,
∴∠ABC=∠DEA=90°,
又∵AB=DE=400m,
∴△ABC≌△DEA,
∴EA=BC=300m,
在Rt△ABC中,22
=500m,
AB BC
∴CE=AC-AE=200,
从B 到E 有两种走法:①BA+AE=700m ;②BC+CE=500m , ∴最近的路程是500m . 故选B .
【点睛】
本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理.解题的关键是证明△ABC ≌△DEA ,并能比较从B 到E 有两种走法.
3.B
解析:B 【分析】
①由AB=AC ,AD=AE ,利用等式的性质得到夹角相等,利用SAS 得出三角形ABD 与三角形ACE 全等,由全等三角形的对应边相等得到BD=CE ;
②由三角形ABD 与三角形ACE 全等,得到一对角相等,再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD 垂直于CE ;
③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°,等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°; ④由BD 垂直于CE ,在直角三角形BDE 中,利用勾股定理列出关系式,等量代换即可作出判断. 【详解】 解:如图,
① ∵∠BAC=∠DAE=90°, ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD , 即∠BAD=∠CAE , ∵在△BAD 和△CAE 中,
AB AC BAD CAE AD AE ??
∠∠???===
∴△BAD ≌△CAE (SAS ),
故①正确; ②∵△BAD ≌△CAE , ∴∠ABD=∠ACE , ∵∠ABD+∠DBC=45°, ∴∠ACE+∠DBC=45°,
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°, ∴∠BDC=90°, ∴BD ⊥CE , 故②正确;
③∵△ABC 为等腰直角三角形, ∴∠ABC=∠ACB=45°, ∴∠ABD+∠DBC=45°, ∵∠ABD=∠ACE ∴∠ACE+∠DBC=45°, 故③错误; ④∵BD ⊥CE ,
∴在Rt △BDE 中,利用勾股定理得BE 2=BD 2+DE 2,
∵△ADE 为等腰直角三角形, ∴AE=AD , ∴DE 2=2AD 2,
∴BE 2=BD 2+DE 2=BD 2+2AD 2, 在Rt △BDC 中,BD BC <, 而BC 2=2AB 2, ∴BD 2<2AB 2, ∴(
)2
22
2BE AD AB <+
故④错误,
综上,正确的个数为2个. 故选:B . 【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质,勾股定理,以及等腰直角三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.
4.D
【解析】
【分析】
利用勾股定理和正方形的面积公式,对公式进行合适的变形即可判断各个选项是否争取.【详解】
A中,根据勾股定理等于大正方形边长的平方,它就是正方形的面积,故正确;
B中,根据小正方形的边长是2它等于三角形较长的直角边减较短的直角边即可得到,正确;
C中,根据四个直角三角形的面积和加上小正方形的面积即可得到,正确;
D中,根据A可得,C可得,结合完全平方公式可以求得
,错误.
故选D.
【点睛】
本题考查勾股定理.在A、B、C选项的等式中需理解等式的各个部分表示的几何意义,对于D选项是由A、C选项联立得出的.
5.B
解析:B
【解析】
【分析】
如图,连接BB′.根据折叠的性质知△BB′E是等腰直角三角形,则BB′=2BE.又B′E是BD 的中垂线,则D B′=BB′.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形,BD=2,
∴BE=1
2
BD=1.
如图2,连接BB′.
根据折叠的性质知,∠AEB=∠AEB′=45°,BE=B′E.∴∠BEB′=90°,
∴△BB′E是等腰直角三角形,则BB′=2BE=2,又∵BE=DE,B′E⊥BD,
∴DB′=BB′=2.
故选B.
考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.
6.C
解析:C
【解析】
试题分析:①∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE.∵在△BAD和△CAE中,AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△BAD≌△CAE(SAS).∴BD=CE.本结论正确.
②∵△BAD≌△CAE,∴∠ABD=∠ACE.
∵∠ABD+∠DBC=45°,∴∠ACE+∠DBC=45°.∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°.∴BD⊥CE.本结论正确.
③∵△ABC为等腰直角三角形,∴∠ABC=∠ACB=45°.∴∠ABD+∠DBC=45°.
∵∠ABD=∠ACE,∴∠ACE+∠DBC=45°.本结论正确.
④∵BD⊥CE,∴在Rt△BDE中,利用勾股定理得:BE2=BD2+DE2.
∵△ADE为等腰直角三角形,∴
AD,即DE2=2AD2.
∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2.
而BD2≠2AB2,本结论错误.
综上所述,正确的个数为3个.故选C.
7.A
解析:A
【解析】
A. 12+22)2,不能构成直角三角形,故此选项符合题意;
B. 32+42=52,能构成直角三角形,故此选项不符合题意;
C. 52+122=132,能构成直角三角形,故此选项不符合题意;
D. 32+222,能构成直角三角形,故此选项不符合题意;
故选A.
8.A
解析:A
【分析】
先计算AB2=2890000,BC2=640000,AC2=2250000,可得BC2+AC2=AB2,那么△ABC是直角三角形,而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,从而可确定P点的位置.
【详解】
解:如图
∵AB 2=2890000,BC 2=640000,AC 2=2250000 ∴BC 2+AC 2=AB 2, ∴△ABC 是直角三角形,
∴活动中心P 应在斜边AB 的中点. 故选:A . 【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理.解题的关键是证明△ABC 是直角三角形.
9.C
解析:C 【分析】
过点D 作DE ⊥AB 于点E ,根据角平分线的性质定理,可得:DE =DC =x ,则BE =72-x ,进而可得到AE =AC =7,在Rt △BDE 中,应用勾股定理即可求解. 【详解】
过点D 作DE ⊥AB 于点E ,则∠AED =90°,AE =AC =7, ∵△ABC 是等腰直角三角形,
∴BC =AC =7,AB =22AC +BC =72, 在Rt △AED 和Rt △ACD 中, AE =AC ,DE =DC , ∴Rt △AED ≌Rt △ACD , ∴AE =AC =7,
设DE =DC =x ,则BD =7-x , 在Rt △BDE 中,222BE +DE =BD , 即:()
()2
2
272-7
7-x x +=,
解得: 7(21)x =-, 故选:C .
【点睛】
本题考查角平分线的性质定理,全等三角形的判定与性质,勾股定理等,运用方程思想是解题的关键.
10.C
解析:C 【分析】
求出两小边的平方和长边的平方,再看看是否相等即可. 【详解】
A 、62+82=102,此时三角形是直角三角形,故本选项不符合题意;
B 、52+122=132,此时三角形是直角三角形,故本选项不符合题意;
C 、32+52≠62,此时三角形不是直角三角形,故本选项符合题意;
D 、
()()()2
2
2
235+=,此时三角形是直角三角形,故本选项不符合题意;
故选:C . 【点睛】
本题主要考查了勾股定理逆定理,关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形,必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断.
二、填空题
11.8 【解析】
如图作点B 关于AC 的对称点B ′,连接B ′A 交DC 于点E ,则BM+MN 的最小值等于
的最小值
作交于
,则
为所求; 设
,,
由
,
,
h+5=8,即BM+MN 的最小值是8.
点睛:本题主要是利用轴对称求最短路线,题中应用了勾股定理与用不同方式表示三角形的面积从而求出某条边上的高,利用轴对称得出M点与N点的位置是解题的关键.12.5cm
【分析】
连接AC',分三种情况进行讨论:画出图形,用勾股定理计算出AC'长,再比较大小即可得出结果.
【详解】
解:如图
展开成平面图,连接AC',分三种情况讨论:
如图1,AB=4,BC'=1+2=3,
∴在Rt△ABC'中,由勾股定理得AC'22
43
+(cm),
如图2,AC=4+2=6,CC'=1
∴在Rt△ACC'中,由勾股定理得AC'22
61
+37(cm),
如图3,AD =2,DC'=1+4=5,
∴在Rt△ADC'中,由勾股定理得AC'22
25
+29(cm)
∵2937,
∴蚂蚁爬行的最短路径长是5cm,
故答案为:5cm.
【点睛】
本题考查平面展开-最短路线问题和勾股定理,本题具有一定的代表性,是一道好题,注意
要分类讨论.
13.75或6或9 4
【分析】
当△ABP为等腰三角形时,分三种情况:①当AB=BP时;②当AB=AP时;③当BP=AP 时,分别求出BP的长度,继而可求得t值.
【详解】
在Rt△ABC中,BC2=AB2﹣AC2=7.52﹣4.52=36,
∴BC=6(cm);
①当AB=BP=7.5cm时,如图1,t=7.5
2
=3.75(秒);
②当AB=AP=7.5cm时,如图2,BP=2BC=12cm,t=6(秒);
③当BP=AP时,如图3,AP=BP=2tcm,CP=(4.5﹣2t)cm,AC=4.5cm,在Rt△ACP中,AP2=AC2+CP2,
所以4t2=4.52+(4.5﹣2t)2,
解得:t=9
4
,
综上所述:当△ABP为等腰三角形时,t=3.75或t=6或t=9
4
.
故答案为:3.75或6或9
4
.
【点睛】
此题是等腰三角形与动点问题,考查等腰三角形的性质,勾股定理,解题中应根据每两条边相等分情况来解答,不要漏解.
14.36或84
【分析】
过点A作AD⊥BC于点D,利用勾股定理列式求出BD、CD,再分点D在边BC上和在CB的延长线上两种情况分别求出BC的长度,然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解.【详解】
解:过点A作AD⊥BC于点D,
∵BC边上的高为8cm,
∴AD=8cm,
∵AC=17cm,
由勾股定理得:
22221086BD AB AD =-=-=cm , 222217815CD AC AD =-=-=cm ,
如图1,点D 在边BC 上时, BC=BD+CD =6+15=21cm ,
∴△ABC 的面积=
12BC AD =1
2
×21×8=84cm 2, 如图2,点D 在CB 的延长线上时, BC= CD ?BD =15?6=9cm ,
∴△ABC 的面积=
12BC AD =1
2
×9×8=36 cm 2, 综上所述,△ABC 的面积为36 cm 2或84 cm 2, 故答案为:36或84.
【点睛】
本题考查了勾股定理,作辅助线构造出直角三角形是解题的关键,难点是在于要分情况讨论. 15.232 【分析】
先求出AC 的长,再分两种情况:当AC 为腰时及AC 为底时,分别求出腰长即可. 【详解】
在Rt ABC 中,90,30,2C A BC ∠=∠==, ∴AB=2BC=4, ∴22224223AC AB BC =
-=-=
当AC 为腰时,则该三角形的腰长为3
当AC 为底时,作AC 的垂直平分线交AB 于点D ,交AC 于点E ,如图,此时△ACD 是等腰三角形,则3 设DE=x ,则AD=2x , ∵222AE DE AD +=, ∴222(3)(2)x x += ∴x=1(负值舍去), ∴腰长AD=2x=2,
故答案为:32 【点睛】
此题考查勾股定理的运用,结合线段的垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,解题时注意:“AC 为一边的等腰三角形”没有明确AC 是等腰三角形的腰或底,故应分为两种情况解题,这是此题的易错之处.
16.
62
2
【解析】 【分析】
过A 点作BC 的垂线,E 点作AC 的垂线,构造全等三角形,利用对应角相等计算得出∠DAM=15°,在AM 上截取AG=DG ,则∠DGM=30°,设DM=a,通过勾股定理可得到DG=AG=2a ,332)a ,31)a ,231)a ,代入计算即可. 【详解】
过A 点作AM ⊥BC 于M 点,过E 点EN ⊥AC 于N 点. ∵∠BCA =30°,AE=EC
∴AM=
12AC ,AN=12AC ∴AM=AN 又∵AD=AE
∴R t?ADM ? R t?AEN (HL) ∴∠DAM=∠EAN
又∵∠MAC=60°,AD ⊥AE ∴∠DAM=∠EAN=15°
在AM 上截取AG=DG ,则∠DGM=30° 设DM=a,则 DG=AG=2a , 根据勾股定理得:3 ∵∠ABC =45° ∴32)a
∴31)a ,232)a ,
∴(
)
62262
2
31a
AB
BD
a
==
+
故答案为:62 2
+
【点睛】
本题主要考查等于三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质,勾股定理等知识,关键是能根据已知条件构建全等三角形及构建等腰三角形将15°角转化为30°角,本题有较大难度.
17.10
【分析】
首先作M关于OB的对称点M′,作N关于OA的对称点N′,连接M′N′,即为MP+PQ+QN 的最小值,易得△ONN′为等边三角形,△OMM′为等边三角形,∠N′OM′=90°,继而可以求得答案.
【详解】
作M关于OB的对称点M′,作N关于OA的对称点N′,连接M′N′,即为MP+PQ+QN的最小值.
根据轴对称的定义可
知:∠N′OQ=∠M′OB=30°,∠ONN′=60°,OM′=OM=6,ON′=ON=8,∴△ONN′为等边三角形,△OMM′为等边三角形,∴∠N′OM′=90°.在Rt△M′ON′中,M′N′=22
''
OM ON
+=10.故答案为10.
【点睛】
本题考查了最短路径问题,根据轴对称的定义,找到相等的线段,得到直角三角形是解题的关键.
18.106232
【解析】
【详解】
∵(x-6)2=9,
∴x-6=±3,
解得:x1=9,x2=3,
勾股定理知识点总结
第18章 勾股定理复习 一.知识归纳 1.勾股定理 内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,221 4()2 ab b a c ?+-=,化简可证. c b a H G F E D C B A 方法二: b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形,211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证
a b c c b a E D C B A 3.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长,求第三边 在ABC ?中,90C ∠=? ,则c ,b = ,a ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5 、利用勾股定理作长为 的线段 作长为 、 、 的线段。 思路点拨:由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为 和1的直 角三角形斜边长就是,类似地可作 。 作法:如图所示 (1)作直角边为1(单位长)的等腰直角△ACB ,使AB 为斜边; (2)以AB 为一条直角边,作另一直角边为1的直角。斜边为 ; (3)顺次这样做下去,最后做到直角三角形,这样斜边 、 、 、 的长度就是 、 、 、 。 举一反三 【变式】在数轴上表示的点。 解析:可以把 看作是直角三角形的斜边, , 为了有利于画图让其他两边的长为整数, 而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1。
勾股定理知识点归纳和题型归类
勾股定理知识点归纳和题型归类 一.知识归纳 1.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法,用拼图的方法验证勾股定理的思路是: ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,2214()2 ab b a c ?+-=,化简可证. 方法二: 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++,所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形,2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证 3.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长,求第三边 在ABC ?中,90C ∠=? ,则c ,b = ,a ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形; c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
勾股定理知识点总结
第十七章勾股定理知识点总结 一.基础知识点: 1:勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即:a2+b2=c2) 要点诠释: 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用: (1)已知直角三角形的两边求第三边(在ABC ?中,90 ∠=?,则c, C b,a=) (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2:勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长:a、b、c,则有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释: 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意:(1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c; (2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 (若c2>a2+b2,则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2 区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理; 联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。 4:互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。 规律方法指导 1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边,这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边长a ,b ,c 有下列关系:a 2+b 2=c 2,?那么这个三角形是直角三角形;该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法. 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算,通过学习加深对“数形结合”的理解. 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。(例:勾股定理与勾股定理逆定理) 5:勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,221 4()2 ab b a c ?+-=,化简可证. c b a H G F E D C B A 勾股定理知识点与常见题型总结 ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: ? 勾股定理复习 一.知识归纳 1.勾股定理 内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,2214()2 ab b a c ?+-=,化简可证. c b a H G F E D C B A 方法二: b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形,2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证 全国中考信息资源门户网站 https://www.360docs.net/doc/b614852841.html, 勾股定理全章知识点归纳总结 一.基础知识点: 1:勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。(即:a 2+b 2=c 2) 要点诠释: 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用: (1)已知直角三角形的两边求第三边(在A B C ?中,90C ∠=? ,则22 c a b = +, 2 2 b c a = -,22 a c b = -) (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2:勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长:a 、b 、c ,则有关系a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释: 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意: (1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c ; (2)验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系,若c 2=a 2+b 2,则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形 (若c 2>a 2+b 2,则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形;若c 2 全国中考信息资源门户网站 https://www.360docs.net/doc/b614852841.html, 3:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理; 联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。 4:互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。 规律方法指导 1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边,这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边长a ,b ,c 有下列关系:a 2+b 2=c 2,?那么这个三角形是直角三角形;该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法. 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算,通过学习加深对“数形结合”的理解. 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。(例:勾股定理与勾股定理逆定理) 5:勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ? +=正方形正方形ABCD ,22 14()2 ab b a c ? +-=,化简可证. c b a H G F E D C B A 第 课时 第十八章 勾股定理 一.基础知识点: 1:勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。(即:a 2 +b 2 =c 2) 要点诠释: 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用: (1)已知直角三角形的两边求第三边(在A B C ?中,90C ∠=?,则 2 2 c a b = +,22 b c a = -,22 a c b = -) (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2:勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,22 14()2 ab b a c ?+-=,化简可证. 方法二: 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为2 2 1422 S ab c ab c =? +=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三:1()()2 S a b a b = +?+梯形,2 112S 22 2 ADE ABE S S ab c ??=+=? + 梯形,化简得证 3:勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数:221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数); 2 2 21,22,221n n n n n ++++(n 为正整数)2 2 2 2 ,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数) 规律方法指导 1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 c b a H G F E D C B A a b c c b a E D C B A c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b 勾股定理知识总结 一.基础知识点: 1:勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。(即:a 2+b 2=c 2 ) 2:勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长:a 、b 、c ,则有关系a 2 +b 2 =c 2 ,那么这个三角形是直角三角形。 3:勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 二、经典例题精讲: 题型一:直接考查勾股定理: 例1.在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理222a b c += 题型二:利用勾股定理测量长度: 例题1 如梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米? 例题2 如图(8),水池中离岸边D 点1.5米的C 处,直立长着一根芦苇,出水部分BC 的长是0.5米,把芦苇拉到岸 边,它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深度AC. 题型三:勾股定理和逆定理并用— 例题3 如图3,正方形ABCD 中,E 是BC 边上的中点,F 是AB 上一点,且AB FB 4 1 = 那么△DEF 是直角三角形吗?为什么? 题型四:关于翻折问题: 例1、 如图,矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ,BC=6cm ,E 为BC 上一点,将矩形纸片沿AE 折叠,点B 恰好落在CD 边上 的点G 处,求BE 的长. 勾股定理练习(随堂练) 一.填空题: 1. 在Rt △ABC 中,∠C=90° (1)若a=5,b=12,则c=________________________; (2)b=8,c=17,则S △ ABC =________。 2.若一个三角形的三边之比为5∶12∶13,则这个三角形是________(按角分类)。 3. 直角三角形的三边长为连续自然数,则其周长为____________________。 4.一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点,那么它所 行的最短路线的长是_______________________。 二.选择题: 5.观察下列几组数据 :(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25. 其中能作为直角三角形的三边长的有( )组 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.三个正方形的面积如图,正方形A 的面积为( ) A. 6 B.4 C. 64 D. 8 7.已知直角三角形的两条边长分别是5和12,则第三边为 ( ) A.13 B.119 C.13或119 D. 不能确定 8.下列命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数,那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数;②如果直角三角形的两边是5、12,那么斜边必是13;③如果一个三角形的三边是12、25、21,那么此三角形必是直角三角形;④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ,(a>b=c ),那么a 2 ∶b 2 ∶c 2 =2∶1∶1。其中正确的是( ) A 、①② B 、①③ C 、①④ D 、②④ 9.三角形的三边长为(a+b )2 =c 2+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形. A B 第8题图 A 10 6 八年级下册勾股定理知识点和典型例习题 一、基础知识点: 1.勾股定理 内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形通过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD , ,化简可证. 方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形 的面积与小正方形面积的和为221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为 2 22() 2S a b a a b b =+=++ 所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形,211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证 3.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ?中,90C ∠ =?,则c =,b ,a =②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实 际问题 5.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;否则,就不是直角三角形。 ②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形 6.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25,8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数: c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A 知识点及例题 知识点一:勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为:a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方. 要点诠释:(1)勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。 (2)勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角。 (3)理解勾股定理的一些变式: c2=a2+b2, a2=c2-b2,b2=c2-a2,c2=(a+b)2-2ab 知识点二:用面积证明勾股定理 方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形。 图(1)中,所以。 方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形。 图(2)中,所以。 方法三:将四个全等的直角三角形分别拼成如图(3)—1和(3)—2所示的两个形状相同的正方形。 在(3)—1中,甲的面积=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积), 在(3)—2中,乙和丙的面积和=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积), 所以,甲的面积=乙和丙的面积和,即:. 方法四:如图(4)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形。 ,所以。 知识点三:勾股定理的作用 1.已知直角三角形的两条边长求第三边;2.已知直角三角形的一条边,求另两边的关系; 3.用于证明平方关系的问题;4.利用勾股定理,作出长为的线段。 2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数 满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数,称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数),显然,以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。 熟悉下列勾股数,对解题是会有帮助的: ①3、4、5②5、12、13;③8、15、17;④7、24、25;⑤10、24、26;⑥9、40、41. 如果(a,b,c)是勾股数,当t>0时,以at,bt,ct为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形。 经典例题透析类型一:勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中,∠C=90° (1)已知a=6,c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求a. 思路点拨:写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。 解析:(1) 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b= (2) 在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c= (3) 在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a= 总结升华:有一些题目的图形较复杂,但中心思想还是化为直角三角形来解决。如:不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差或和。 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2-CD2 =132-122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2-BC2 =52-32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二:勾股定理的构造应用 2、如图,已知:在中,,,. 求:BC的长. 思路点拨:由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有 ,,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的 长. 解析:作于D,则因, 勾股定理知识点与常见题型总 结(1) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 《勾股定理分类练习》 题型一:直接考查勾股定理:直角三角形中,若a, b 分别为直角边,c 为斜边,那么直角三角形三边的关系为 a 2 +b 2 =c 2 注意:直角三角形中,最长的边为斜边,较短的两边为直角边 1、如图1中,64、400分别为所在正方形的面积,则图中A 字母所代表的正方形面积是 2、 如图4,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A ,B ,C ,D 的面积之和为___________cm 2。 3、在Rt △ABC 中,斜边AB 2 =3,则AB 2+BC 2+AC 2的值是______ “知二求一”的题,可以直接利用勾股定理! 4、在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长 5、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( ) A .25 B .14 C .7 D .7或25 题型二:应用勾股定理建立方程(“知一求二”的题,应设未知数) 3:4152、已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为 3、已知△ABC ,∠A=90 °, ∠B=30°,AB=5,求AC,BC 的值. 题型三:勾股定理的逆定理: 1、以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是( ) A .2,3,4 B .10,8,4 C .7,25,24 D .7,15,12 2、分别有下列几组数据:①6、8、10 ②12、1 3、5 ③ 17、8 、15 ④ 4、11、9其中能构成直 角三形的有:( ) A、4组 B、3组 C、2组 D、1组 3、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A. 钝角三角形; B. 锐角三角形; C. 直角三角形; D. 等腰三角形 4、请写出“对顶角相等”和“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的逆命题 题型四、与直角三角形面积相关 A B C D 7cm 勾股定理知识点梳理Revised on November 25, 2020 勾股定理知识点梳理 1.直角三角型有哪些特殊的性质;①角,直角三角型的两锐角互余;②边,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,用符号表示:在Rt △ABC 中, c b a 2 22=+;③面积,两种计算面积的方法。 2.如何判定一个三角形是直角三角形呢 ①有一个内角为直角的三角形是直角三角形;②两个内角互余的三角形是直角三角形;③如果三角形的三边长为a 、b 、c 满足c b a 222=+,那么这个三角形是直角三角形 3.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理; 联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。 4.互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。 5.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中, a , b , c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25,8,15,17;9,40,41等 6.勾股定理的证明 c b a H G F E D C B A 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,2214()2 ab b a c ?+-=,化简可证. 方法二: 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为2 2 2 ()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形,2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证 一. 典型例题 类型一:勾股定理的直接用法 1、在Rt △ABC 中,∠C=90° (1)已知a=6, c=10,求b , (2)已知a=40,b=9,求c ; (3)已知c=25,b=15,求a. 思路点拨: 写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。 举一反三 【变式】:如图∠B =∠ACD =90°, AD =13,CD =12, BC =3,则AB 的长是多少 类型二:勾股定理的构造应用 2、如图,已知:在中,,,. 求:BC 的长. b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A 精心整理 第18章勾股定理复习 一.知识归纳 1.勾股定理 内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么222 a b c +=勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ① ② 定理 常见方法如下: 方法一:4 EFGH S S S ? += 正方形正方形ABCD ,1 4( 2 ab b ?+- 方法二: 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S= 大正方形面积为22 () S a b a =+=+ 所以222 a b c += 方法三:1()() 2 S a b a b =+?+ 梯形 ,2 2 22 ab c ?+,化简得 证 3. 它只适用于直角三角形,对于锐角三角 因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4. ① 在ABC ?中,90 C ∠=?,则c,b=,a= ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5、利用勾股定理作长为的线段 作长为、、的线段。 思路点拨:由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和1的直角三角形斜边长就是,类似地可作。 b a 作法:如图所示 (1)作直角边为1(单位长)的等腰直角△ACB ,使AB 为斜边; (2)以AB 为一条直角边,作另一直角边为1的直角。斜边为 ; (3)顺次这样做下去,最后做到直角三角形 ,这样斜边 、 、 、 的长度就是 、 、 、 。 举一反三【变式】在数轴上表示的点。 解析:可以把 看作是直角三角形的斜边, 为了有利于画图让其他两边的长为整数, 而10又是9和1 作法:如图所示在数轴上找到A 点,使OA=3,作以O 为圆心做弧,弧与数轴的交点B 即为 。 注:逆命题与勾股定理逆定理 可以判断真假的陈述句叫做命题, 写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1.原命题:猫有四只脚. 23(正确) 4(正确) 思路点拨:解析:1. 2. 3.?(正确) 4.(正确) 总结升华: 6.74页 如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边 要点诠释: 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意: (1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c ; (2)验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系,若c 2=a 2+b 2,则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形 (若c 2>a 2+b 2,则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形;若c 2 C A B D 勾股定理全章类题总结 类型一:等面积法求高 【例题】如图,△ABC中,∠ACB=900,AC=7,BC=24,C D⊥AB于D。 (1)求AB的长; (2)求CD的长。 类型二:面积问题 【例题】如下左图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的 正方形的边和长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为___________cm2。 【练习1】如上右图,每个小方 格都是边长为1的正方形, (1)求图中格点四边形ABCD 的面积和周长。 (2)求∠ADC的度数。 【练习2】如图,四边形ABCD是正方形,AE⊥ BE,且AE=3,BE=4,阴影部分的面积是______. 【练习3】如图字母B所代表的正方形的面积是( ) A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 类型三:距离最短问题 【例题】如图,A、B两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离为AC=10千米,BD=30 千米,且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂,向A、B两镇供水,铺设水管的费用 为每千米3万,请你在河流CD上选择水厂的位置M ,使铺设水管的费用最节省,并求出 总费用是多少? A B C D 7cm A B D C E B 169 25 A B C D L 【练习1】如图,一圆柱体的底面周长为20cm ,高AB为4cm ,BC是上底面的 直径.一只蚂蚁从点A 出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C ,试求出爬行的最短路程. 【练习2】如图,一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马,而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少? 类型四:判断三角形的形状 【例题】如果ΔABC 的三边分别为a 、b 、c ,且满足a 2 +b 2 +c 2 +50=6a+8b+10c ,判断ΔABC 的形状。 【练习1】已知△ABC 的三边分别为m 2-n 2,2mn,m 2+n 2 (m,n 为正整数,且m >n),判 断△ABC 是否为直角三角形. 【练习2】若△ABC 的三边a 、b 、c 满足条件 a 2+ b 2+ c 2+338=10a +24b +26c ,试判断△ABC 的形状. 【练习3】.已知a ,b ,c 为△ABC 三边,且满足 (a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0,则它的形状为( )三角形 A.直角 B.等腰 C.等腰直角 D.等腰或直角 【练习4】三角形的三边长为 ab c b a 2)(2 2+=+,则这个三角形是( ) 三角形 (A )等边(B )钝角(C ) 直角(D )锐角 类型五:直接考查勾股定理 【例题】在Rt △ABC 中,∠C=90° (1)已知a=6, c=10,求b ; (2)已知a=40,b=9,求c ;(3)已知c=25,b=15,求a.。 小河 A B 东 北 牧童 小屋 勾股定理知识点梳理 1.直角三角型有哪些特殊的性质;①角,直角三角型的两锐角互余;②边,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,用符号表示:在Rt △ABC 中,c b a 222=+;③面积,两种计算面积的方法。 2.如何判定一个三角形是直角三角形呢? ①有一个内角为直角的三角形是直角三角形;②两个内角互余的三角形是直角三角形;③如果三角形的三边长为a 、b 、c 满足c b a 222=+,那么这个三角形是直角三角形 3.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理; 联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。 4.互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。 5.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25,8,15,17;9,40,41等 6.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,221 4()2ab b a c ?+-=,化简可证. 方法二: 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形,211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A 数学勾股定理知识归纳总结含答案 一、选择题 1.如果正整数a 、b 、c 满足等式222+=a b c ,那么正整数a 、b 、c 叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表,观察表中每列数的规律,可知x y +的值为( ) A .47 B .62 C .79 D .98 2.如图,正方形ABCD 的边长为2,其面积标记为S 1,以CD 为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为S 2,…按照此规律继续下去,则S 2016的值为( ) A .( 2)2013 B .( 2)2014 C .( 12 )2013 D .( 12 )2014 3.如图,设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,黑、白两个甲壳虫同时从点A 出发,以相同的速度分别沿棱向前爬行,黑甲壳虫爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…,白甲壳虫爬行的路线是AB→BB 1→…,并且都遵循如下规则:所爬行的第n+2与第n 条棱所在的直线必须既不平行也不相交(其中n 是正整数).那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止在所到的正方体顶点处时,它们之间的距离是( ) A .0 B .1 C 3 D 2 4.已知,等边三角形ΔABC 中,边长为2,则面积为( ) A .1 B .2 C 2 D 35.已知△ABC 的三边分别是6,8,10,则△ABC 的面积是( ) A .24 B .30 C .40 D .48 6.下列以线段a 、b 、c 的长为边的三角形中,不能构成直角三角形的是( ) A .9,41,40a b c === B .5,5,52a b c === C .::3:4:5a b c = D .11,12,13a b c === 7.在直角三角形ABC 中,90C ∠=?,两直角边长及斜边上的高分别为,,a b h ,则下列 关系式成立的是( ) A . 222221a b h += B . 222111 a b h += C .2h ab = D .222h a b =+ 8.由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是( ) A .∠A+∠B=∠C B .∠A :∠B :∠C=1:3:2 C .a=2,b=3,c=4 D .(b+c)(b-c)=a2 9.一个直角三角形的两条边的长度分别为3和4,则它的斜边长为( ) A .5 B .4 C .7 D .4或5 10.如图,在△ABC ,∠C =90°,AD 平分∠BAC 交CB 于点D ,过点D 作DE ⊥AB ,垂足恰好是边AB 的中点E ,若AD =3cm ,则BE 的长为( ) A . 33 cm B .4cm C .32cm D .6cm 二、填空题 11.如图,ACB △和ECD 都是等腰直角三角形,CA CB =,CE CD =,ABC 的顶点A 在ECD 的斜边上.若3AE =,7AD = ,则AC 的长为_________ 12.已知,如图:在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,四边形OABC 是矩形,点A 、C 的坐标分别为A (10,0)、C (0,4),点D 是OA 的中点,点P 在BC 边上运动,当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时,点P 的坐标为_____.勾股定理知识点与常见题型总结
勾股定理全章知识点归纳总结
勾股定理知识点总结及练习
人教版勾股定理知识要点--总结及练习
八年级下册勾股定理知识点归纳
勾股定理知识点总结、经典例题
勾股定理知识点与常见题型总结(1)
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勾股定理知识点总结归纳
勾股定理知识点与题型总结大全-勾股定理知识点总结
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