高中数学必修5--第三章《不等式》复习知识点总结与练习(一)

高中数学必修5__第三章《不等式》复习知识点总结与练习（一）

第一节不等关系与不等式

[知识能否忆起]

1．实数大小顺序与运算性质之间的关系

a －

b ＞0?a ＞b ；a －b ＝0?a ＝b ；a －b ＜0?a ＜b . 2．不等式的基本性质

1.在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中“c 的符号”等也需要注意．

2．作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意函数性质在比较大小中的作用．

高频考点

1. 比较两个数(式)的大小

[例1] 已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，试比较S 3a 3与S 5

a 5的大小．

[自主解答] 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5

a 5；

当q ＞0且q ≠1时，

S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5)a 1q 4(1－q )＝q 2(1－q 3)－(1－q 5

)q 4(1－q )

＝－q －1q 4＜0，所以S 3a 3＜S 5a 5. 综上可知S 3a 3＜S 5a 5.

由题悟法

比较大小的常用方法 (1)作差法：

一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．

(2)作商法：

一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法：

若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．

[注意] 用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．

以题试法

1．(2012·吉林联考)已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a 、b 、c 的大小关系是( )

A ．c ≥b ＞a

B ．a ＞c ≥b

C ．c ＞b ＞a

D ．a ＞c ＞b

解析：选A c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0， ∴c ≥b .将题中两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2. ∵1＋a 2－a ＝????a －122＋3

4>0，∴1＋a 2>a . ∴b ＝1＋a 2>a .∴c ≥b >a . 2. 不等式的性质

(2012·包头模拟)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋b

＜0；③a

－c ＞b －d ；④a ·(d －c )＞b (d －c )中成立的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

(2)∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0， ∴ad ＜bc ，故①错误．

∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0， ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )，

∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bd

cd ＜0，

故②正确．

∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，

∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )， a －c ＞b －d ，故③正确．

∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④正确，故选C.

由题悟法

1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．

2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．

以题试法

2．若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2 C ．若a ＜b ＜0，则1a ＜1

D ．若a ＜b ＜0，则b a ＞a

解析：选B A 中，只有a ＞b ＞0，c ＞d ＞0时，才成立；B 中，由a ＜b ＜0，得a 2＞ab ＞b 2成立；C ，D 通过取a ＝－2，b ＝－1验证均不正确． 3. 不等式性质的应用

典题导入

[例3] 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围． [自主解答] f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b . f (－2)＝4a －2b .

设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .

则????? m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得?

????

m ＝1，n ＝3.

∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，

∴5≤f (－2)≤10.即f (－2)的取值范围为[5,10]．

由题悟法

利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．

以题试法

3．若α，β满足?

????

－1≤α＋β ≤1，1≤α＋2β ≤3，试求α＋3β的取值范围．

解：设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.

则????? x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得?????

x ＝－1，

y ＝2.

∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，两式相加，得1≤α＋3β≤7.

∴α＋3β的取值范围为[1,7]．

第二节一元二次不等式及其解法

[知识能否忆起]

一元二次不等式的解集

二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集的关系，可归纳为：

判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0

二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)

的图象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝

0(a≠0)的根有两相异实根x＝x1或x

＝x2

有两相同实根x

＝x1

无实根

一元二次不等式的解集ax2＋bx＋c>0(a>0) {x|xx2} {x|x≠x1} R ax2＋bx＋c<0(a>0){x|x1

若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．

解一元二次不等式应注意的问题：

(1)在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数．

(2)二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况．

(3)解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号．

(4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同

高频考点

1.一元二次不等式的解法

典题导入

[例1] 解下列不等式： (1)0＜x 2－x －2≤4； (2)x 2－4ax －5a 2＞0(a ≠0)． [自主解答] (1)原不等式等价于

???

?? x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4??????

x 2－x －2＞0，

x 2－x －6≤0

?????? (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0??????

x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.

借助于数轴，如图所示，

原不等式的解集为{}

x |－2≤x ＜－1，或2＜x ≤3. (2)由x 2－4ax －5a 2＞0知(x －5a )(x ＋a )＞0. 由于a ≠0故分a ＞0与a ＜0讨论．当a ＜0时，x ＜5a 或x ＞－a ；当a ＞0时，x ＜－a 或x ＞5a .

综上，a ＜0时，解集为{}

x |x ＜5a ，或x ＞－a ；a ＞0时，解集为{}

x |x ＞5a ，或x ＜－a .

由题悟法

1．解一元二次不等式的一般步骤：

(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)，ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)；

(2)计算相应的判别式；

(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．

2．解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．

以题试法

1．解下列不等式： (1)－3x 2－2x ＋8≥0；

(2)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．

解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0. 解得－2 ≤x ≤4

，

所以原不等式的解集为?

???

x ?

－2≤x ≤43. (2)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以????x －1

a (x －1)＜0. 所以当a ＞1时，解为1

a ＜x ＜1；

当a ＝1时，解集为?；当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1

综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为?

???

x ?

1＜x ＜1a ；当a ＝1时，不等式的解集为?；

当a ＞1时，不等式的解集为????

x ??

1a ＜x ＜1. 2．一元二次不等式恒成立问题

典题导入

[例2] 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．

[自主解答] 法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1) 时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3. 要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1； ②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1 ≤a ≤1. 综上所述，a 的取值范围为[－3,1]．

法二：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，

即Δ＝4a 2

－4(2－a )≤0或????

Δ＞0，a ＜－1，

g (－1)≥0.

解得－3 ≤a ≤1.

所求a 的取值范围是[－3,1]．

本题中的“x ∈[－1，＋∞)改为“x ∈[－1,1)”，求a 的取值范围．

解：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1,1)上恒成立，即Δ＝4a 2

－4(2－a )≤0或????

? Δ＞0，a ＜－1，

g (－1)≥0