高考平面向量及其应用专题及答案 百度文库

一、多选题

1．若a →，b →，c →

是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ） A ．若a b →→

=，则a b →→

= B ．若a c b c →→→→?=?，则a b →→

= C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→

D ．若a b a b →

→

→

→

+=-，则a b →→

⊥

2．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6

A a c π

===则角C 的大小

是( ) A ．

6

π B ．

3

π C ．

56

π D ．

23

π 3．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且

AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）

A ．1A

B CE ?=- B ．0OE O

C +=

C ．32

OA OB OC ++=

D ．ED 在BC 方向上的投影为

76

4．设P 是ABC 所在平面内的一点，3AB AC AP +=则（ ） A ．0PA PB += B ．0PB PC += C ．PA AB PB += D ．0PA PB PC ++=

5．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，不解三角形，确定下列判断错

误的是（ ）

A ．

B ＝60°，c ＝4，b ＝5，有两解 B ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3.9，有一解

C ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3，有一解

D ．B ＝60°，c ＝4，b ＝2，无解

6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ）

A ．

B ．

C ．8

D ．7．下列各式中，结果为零向量的是（ ） A ．AB MB BO OM +++ B ．AB BC CA ++ C ．OA OC BO CO +++

D ．AB AC BD CD -+-

8．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =，

则（ ）

A ．12AF AD A

B =+

B ．1

()2

EF AD AB =

+ C ．21

33

AG AD AB =-

D ．3BG GD =

9．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（ ） A ．5B ．

23

C ．23

-

D 510．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A ．()10,0e =，()21,1=e

B ．()11,2e =，()22,1e =-

C ．()13,4e =-，234,55??=- ???

e

D ．()12,6=e ，()21,3=--e

11．设a 为非零向量，下列有关向量

||

a

a 的描述正确的是（ ） A ．|

|1||

a a =

B ．

//||

a a a

C ．

||

a a a =

D ．

||||

a a a a ?=

12．有下列说法，其中错误的说法为（ ）． A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c

B ．若PA PB PB P

C PC PA ?=?=?，则P 是三角形ABC 的垂心 C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向

D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ使得a b λ= 13．下列命题中，正确的是（ ） A ．在ABC ?中，A B >，sin sin A B ∴> B ．在锐角ABC ?中，不等式sin cos A B >恒成立

C ．在ABC ?中，若cos cos a A b B =，则ABC ?必是等腰直角三角形

D ．在ABC ?中，若060B =，2b ac =，则ABC ?必是等边三角形 14．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（ ） A ．AB BC =

B ．AB B

C =

C ．AB C

D AD BC -=+

D ．AD CD CD CB +=-

15．对于ABC ?，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ?为等腰三角形 B ．若A B >，则sin sin A B >

C ．若8a =，10c =，60B ?=，则符合条件的ABC ?有两个

D ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC ?是钝角三角形

二、平面向量及其应用选择题

16．已知ABC 的面积为30，且12

cos 13

A =，则A

B A

C ?等于（ ） A ．72

B ．144

C ．150

D ．300

17．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，2OA =，1OB =，=OP tOA ，

()1OQ t OB =-，PQ 在t t =0时取得最小值，则当01

05

t <<

时，夹角θ的取值范围为（ ）

A ．0,3π?? ???

B ．,32ππ?? ???

C ．2,23ππ??

??

?

D ．20,3π?? ??? 18．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为ABC ?的面积，满足cos cos b A a B =，且角B 是角A 和角C 的等差中项，则ABC ?的形状为（ ）

A ．不确定

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．等边三角形

19．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ?=?=?，那么点P 是三角形ABC 的（ ） A ．重心

B ．垂心

C ．外心

D ．内心

20．已知在四边形ABCD 中， 2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则四边形

ABCD 的形状是( )

A ．矩形

B ．梯形

C ．平行四边形

D ．以上都不对

21．在ABC ?中，设2

2

2AC AB AM BC -=?，则动点M 的轨迹必通过ABC ?的（ ） A ．垂心

B ．内心

C ．重心

D ． 外心

22．如图，在ABC 中，60,23,C BC AC ?===

D 在边BC 上，且

sin BAD ∠=

CD 等于（ ）

A ．

23

3

B ．

33

C ．

33

2

D ．

43

3

23．在ABC 中，若A B >，则下列结论错误的是（ ） A ．sin sin A B >

B ．cos cos A B <

C ．sin2sin2A B >

D ．cos2cos2A B <

24．下列命题中正确的是（ ） A ．若a b ，则a 在b 上的投影为a B ．若(0)a c b c c ?=?≠，则a b =

C ．若,,,A B C

D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件 D ．若0a b ?>，则a 与b 的夹角为锐角；若0a b ?<，则a 与b 的夹角为钝角 25．在ABC ?中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形

D ．等腰或直角三角形

26．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进50 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ）

A ．

3 B ．

2 C ．

31

- D ．

21- 27．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角为45?，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S 点，又测得山顶的仰角为75?，则山高BC =（ ）

A ．500米

B ．1500米

C ．1200米

D ．1000米

28．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15?的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆

顶部的仰角分别为60?和30，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）

A 33

B 53

C 73

D 83

29．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若

()2

2S a b c +=+，则cos A 等于（ ）

A ．

45

B ．45

-

C ．

1517

D ．1517

-

30．已知圆C 的方程为2

2

(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x

上，线段AB 为圆C

的直径，则PA PB ?的最小值为（） A ．2

B ．

52

C ．3

D ．

72

31．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a CA b ==，，AB c =，

则①AD ＝－b －

12a ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋1

2

b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确的等式的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

32．三角形ABC 的三边分别是,,a b c ，若4c =，3

C π

∠=

，且

sin sin()2sin 2C B A A +-=，则有如下四个结论：

①2a b = ②ABC ?83

③ABC ?的周长为43+ ④ABC ?外接圆半径43

3

R =

这四个结论中一定成立的个数是（ ） A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

33．在ABC ?中，60A ∠=?，1b =，ABC S ?，则2sin 2sin sin a b c

A B C

++=++（ ）

A ．

3

B C D ．34．在ABC ?中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ?的外心，若

AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（ ）

A ．

34

B ．

53

C ．

73

D ．

83

35．在△ABC 中，M 为BC 上一点，60,2,||4ACB BM MC AM ∠=?==，则△ABC 的面积的最大值为（ ）

A ．

B ．

C ．12

D ．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、多选题 1．ACD 【分析】

根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】

对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确； 对于，当且时，，但，可以不相等，故错误； 对应，若，，则方向相同 解析：ACD 【分析】

根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】

对应A ，若a b =，则向量,a b 长度相等，方向相同，故||||a b =，故A 正确； 对于B ，当a c ⊥且b c ⊥时，··0a c b c ==，但a ，b 可以不相等，故B 错误； 对应C ，若//a b ，//b c ，则,a b 方向相同或相反，,b c 方向相同或相反， 故,a c 的方向相同或相反，故//a c ，故C 正确；

对应D ，若||||a b a b +=-，则22222?2?a a b b a a b b ++=-+，

∴0a b =，∴a b ⊥，故D 正确．

故选：ACD 【点睛】

本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．

2．BD 【分析】

由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案. 【详解】 由正弦定理可得, ,而, , , 故或. 故选:BD. 【点睛】

本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握

解析：BD 【分析】

由正弦定理可得sin sin a c A C =,所以sin sin 2

c C A a ==,而a c <,可得A C <,即可求得答案. 【详解】 由正弦定理可得

sin sin a c

A C

=,

∴ sin sin c C A a ==而a c <,

∴ A C <, ∴

566

C π

π<<, 故3C π

=

或

23

π. 故选:BD. 【点睛】

本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.

3．BCD 【分析】

以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】

由题E 为AB 中点，则，

以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：

所以，，

解析：BCD 【分析】

以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】

由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，

以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：

所以，123

(0,0),(1,0),(1,0),3),(,

)33

E A B C D -， 设123

(0,),3),(1,),(,3

O y y BO y DO y ∈==-，BO ∥DO ， 所以3133y y -

=-，解得：3

2

y =

， 即O 是CE 中点，0OE OC +=，所以选项B 正确；

3

22

OA OB OC OE OC OE ++=+==

，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，0AB CE ?=，所以选项A 错误；

123(,33

ED =，(1,3)BC =，

ED 在BC 方向上的投影为12

7

326BC BC

ED +?==，所以选项D 正确.

故选：BCD 【点睛】

此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.

4．CD 【分析】

转化为，移项运算即得解

【详解】 由题意： 故 即 , 故选：CD 【点睛】

本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.

解析：CD 【分析】

转化3AB AC AP +=为())(AB AP AC AP AP +=--，移项运算即得解 【详解】

由题意：3AB AC AP += 故())(AB AP AC AP AP +=-- 即PB PC AP +=

0C PA PB P ++=∴,PA AB PB +=

故选：CD 【点睛】

本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.

5．ABC 【分析】

根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】

对于，因为为锐角且，所以三角

解析：ABC 【分析】

根据判断三角形解的个数的结论：若B 为锐角，当c b <时，三角形有唯一解；当

sin c B b c <<时，三角形有两解；当sin c B b >时，三角形无解：当sin c B b =时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】

对于A ，因为B 为锐角且45c b =<=，所以三角形ABC 有唯一解，故A 错误；

对于B ，因为B 为锐角且sin 4 3.92

c B b c =?==<，所以三角形ABC 有两解，故B 错误；

对于C ，因为B 为锐角且 sin 432

c B b =?=>=，所以三角形ABC 无解，故C 错误；

对于D ，因为B 为锐角且sin 422

c B b =?=>=，所以三角形ABC 无解，故D 正确. 故选：ABC. 【点睛】

本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题.

6．AC 【分析】

利用余弦定理：即可求解. 【详解】

在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：， 即，解得. 故选：AC 【点睛】

本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基

解析：AC 【分析】

利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-即可求解. 【详解】

在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，

即216310a a -+=，解得8a = 故选：AC 【点睛】

本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.

7．BD 【分析】

根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】

对于选项：，选项不正确； 对于选项： ，选项正确； 对于选项：，选项不正确； 对于选项：

选项正确. 故选：

解析：BD 【分析】

根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】

对于选项A ：AB MB BO OM AB +++=，选项A 不正确； 对于选项B ： 0AB BC CA AC CA ++=+=，选项B 正确； 对于选项C ：OA OC BO CO BA +++=，选项C 不正确；

对于选项D ：()()

0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确. 故选：BD

【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.

8．AB 【分析】

由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误 【详解】 ，即A 正确 ，即B 正确

连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示

由其性质有 ∴，即C 错误 同理 ，

解析：AB 【分析】

由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+

、1

()2

EF AD AB =+、21

33AG AD AB =

+、2BG GD =，即可判断选项的正误 【详解】 11

22

AF AD DF AD DC AD AB =+=+

=+，即A 正确 11

()()22

EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确

连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示

由其性质有

||||1

||||2

GF GE AG CG == ∴211121

()333333

AG AE AC AD AB BC AD AB =

+=++=+，即C 错误 同理21212

()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =

+=++=- 211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1

()3

GD AD AB =-

∴2BG GD =，即D 错误 故选：AB 【点睛】

本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系

9．AD 【分析】

利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值. 【详解】

由正弦定理，可得， ，则，所以，为锐角或钝角. 因此，. 故选：AD. 【点睛】

本题考查利用正弦定理与同

解析：AD 【分析】

利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值. 【详解】

由正弦定理sin sin b a B A

=，可得1

20sin 22sin 153

b A B a ?

===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.

因此，cos 3

B ==±. 故选：AD. 【点睛】

本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.

10．ACD 【分析】

依次判断各选项中的两向量是否共线即可. 【详解】

A ，C ，D 中向量与共线，不能作为基底；

B 中，不共线，所以可作为一组基底． 【点睛】

本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属

解析：ACD 【分析】

依次判断各选项中的两向量是否共线即可. 【详解】

A ，C ，D 中向量1e 与2e 共线，不能作为基底；

B 中1e ，2e 不共线，所以可作为一组基底． 【点睛】

本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属于基础题.

11．ABD 【分析】

首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项. 【详解】

表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB 正确，当不是单位向量时，不正确， ，所以D 正确. 故选：ABD

解析：ABD 【分析】

首先理解a

a

表示与向量a 同方向的单位向量，然后分别判断选项.

【详解】

a a 表示与向量a 同方向的单位向量，所以1a a

=正确，//a a a 正确，所以AB 正确，当a 不是单位向量时，

a

a a

=不正确，

cos 0a a a

a a a a a a a

?==?=，所以D 正确. 故选：ABD 【点睛】

本题重点考查向量a a 的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解

a a

表示与向量a 同方向的单位向量.

12．AD 【分析】

分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】

对于选项A ，当时，与不一定共线，故A 错误； 对于选项B ，由，得，所以，，

同理，，故是三角形的垂心，所以B 正确； 对于选项C ，两个非零向量

解析：AD 【分析】

分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】

对于选项A ，当0b =时，a 与c 不一定共线，故A 错误；

对于选项B ，由PA PB PB PC ?=?，得0PB CA ?=，所以PB CA ⊥，PB CA ⊥， 同理PA CB ⊥，PC BA ⊥，故P 是三角形ABC 的垂心，所以B 正确；

对于选项C ，两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，故C 正确；

对于选项D ，当0b =，0a ≠时，显然有a ∥b ，但此时λ不存在，故D 错误. 故选：AD 【点睛】

本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.

13．ABD 【分析】

对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得

解析：ABD 【分析】

对于选项A 在ABC ?中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >?>?>，即可判断出正误；对于选项B 在锐角ABC ?中，由

02

2

A B π

π

>>

->，可得

sin sin()cos 2

A B B π

>-=，即可判断出正误；对于选项C 在ABC ?中，由

cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin 2sin 2A B =，得到22A B =或222A B π=-即可判断出正误；对于选项D 在ABC ?中，利用余弦定理可得：

2222cos b a c ac B =+-，代入已知可得a c =，又60B =?，即可得到ABC ?的形状，即

可判断出正误. 【详解】

对于A ，由A B >，可得：a b >，利用正弦定理可得：sin sin A B >，正确； 对于B ，在锐角ABC ?中，A ，(0,

)2

B π

∈，

2

A B π

+>

，∴

02

2

A B π

π

>>

->，

sin sin()cos 2

A B B π

∴>-=，因此不等式sin cos A B >恒成立，正确；

对于C ，在ABC ?中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：

sin cos sin cos A A B B =， sin 2sin 2A B ∴=， A ，(0,)B π∈，

22A B ∴=或222A B π=-，

A B ∴=或2

A B π

+=，

ABC ?∴是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误.

对于D ，由于060B =，2b ac =，由余弦定理可得：222b ac a c ac ==+-，

可得2

()0a c -=，解得a c =，可得60A C B ===?，故正确.

故选：ABD . 【点睛】

本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.

14．BCD 【分析】

由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】

菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B 结论正确，A 结论错误； 因为，，且，

所以，即C 结论正确； 因为，

解析：BCD 【分析】

由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】

菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B 结论正确，A 结论错误；

因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =， 所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确； 因为AD CD BC CD BD +=+=，

||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.

故选：BCD 【点睛】

本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.

15．BD 【分析】

对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可． 【详解】 在中，

对于A ，若，则或， 当A ＝

解析：BD 【分析】

对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可． 【详解】 在ABC ?中，

对于A ，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=， 当A ＝B 时，△ABC 为等腰三角形； 当2

A B π

+=

时，△ABC 为直角三角形，故A 不正确，

对于B ，若A B >，则a b >，由正弦定理得sin sin a b A B

=，即sin sin A B >成立．故B 正确；

对于C ，由余弦定理可得：b C 错误； 对于D ，若222sin sin sin A B C +<，由正弦定理得222a b c +<，

∴222

cos 02a b c C ab

+-=<，∴C 为钝角，∴ABC ?是钝角三角形，故D 正确；

综上，正确的判断为选项B 和D ． 故选：BD ． 【点睛】

本题只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．

二、平面向量及其应用选择题

16．B 【分析】

首先利用三角函数的平方关系得到sin A ，然后根据平面向量的数量积公式得到所求． 【详解】

解：因为ABC 的面积为30，且12cos 13A =

，所以5sin 13

A =，所以1

||||sin 302

AB AC A ?=，得到||||626AB AC ?=?， 所以12

|||||cos 62614413

AB AC AB AC A =?=??=； 故选：B ． 【点睛】

本题考查了平面向量的数量积以及三角形的面积；属于中档题． 17．C 【解析】 【分析】

根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，

()()2

2

254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，根据二次函数的最值可得出

012cos 54cos t θθ

+=

+，再由01

05t <<，可求得夹角θ的取值范围.

【详解】 因为2cos OA OB θ?=，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--，

()()22

254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，

∵PQ 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ

+=

+，又01

05t <<，则

12cos 1054cos 5

θθ+<

<+，得1

cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤，

所以223ππθ<<，

故选：C. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题. 18．D 【分析】

先根据cos cos b A a B =得到,A B 之间的关系，再根据B 是,A C 的等差中项计算出B 的大小，由此再判断ABC 的形状. 【详解】

因为cos cos b A a B =，所以sin cos sin cos =B A A B ， 所以()sin 0B A -=，所以A B =， 又因为2B A C B π=+=-，所以3

B π

=，

所以3

A B π

==，所以ABC 是等边三角形.

故选：D. 【点睛】

本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b 是,a c 的等差中项，则有2b a c =+；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求. 19．B 【分析】

先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ?=?=?=，即得点P 为三角形ABC 的垂心. 【详解】

由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ?=?=?， 则()()()

0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ?-=?-=?-= 即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ?=?=?=， 即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥， 则点P 为三角形ABC 的垂心. 故选：B. 【点睛】

本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 20．B

【分析】

计算得到BC A CD B -=，得到BCDM ，ABCM 为平行四边形，得到答案. 【详解】

2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则53BC AB BC B a b CD A -=+=+=.

设BC BA BM +=，故BCDM ，ABCM 为平行四边形，故ABCD 为梯形. 故选：B .

【点睛】

本题考查了根据向量判断四边形形状，意在考查学生的综合应用能力. 21．D 【分析】

根据已知条件可得()

2

2

2AC AB AC AB BC AM BC -=+?=?，整理可得

()

0BC MC MB ?+=，若E 为BC 中点，可知BC ME ⊥，从而可知M 在BC 中垂线

上，可得轨迹必过三角形外心. 【详解】

()()()

2

2

2AC AB AC AB AC AB AC AB BC AM BC -=+?-=+?=?

()

20BC AC AB AM ∴?+-=

()()

0BC AC AM AB AM BC MC MB ??-+-=?+=

设E 为BC 中点，则2MC MB ME +=

20BC ME ∴?= BC ME ?⊥

ME ?为BC 的垂直平分线 M ∴轨迹必过ABC ?的外心 本题正确选项：D 【点睛】

本题考查向量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题，关键是能够通过运算法则将已知条件进行化简，整理为两向量垂直的关系，从而得到结论. 22．A 【分析】

首先根据余弦定理求AB ，再判断ABC 的内角，并在ABD △和ADC 中，分别用正

弦定理表示AD，建立方程求DC的值.【详解】

AB=

3

==，

222

cos

2

AB BC AC

B

AB BC

+-

∴===

?

又因为角B是三角形的内角，所以

6

B

π

=，

90

BAC

∴∠=，

sin BAD

∠=

，cos BAD

∴∠==，

sin cos

7

DAC BAD

∴∠=∠=，

在ABD

△中，由正弦定理可得

sin

sin

BD B

AD

BAD

?

=

∠

，

在ADC中，由正弦定理可得

sin

sin

DC C

AD

DAC

?

=

∠

，

(

)1

77

DC DC

??

=

，解得：

3

DC=.

故选：A

【点睛】

本题考查正余弦定理解三角形，重点考查数形结合，转化与化归，推理能力，属于中档题型.

23．C

【分析】

由正弦定理结合三角形中的大边对大角得sin sin

A B

>，由余弦函数性质判断B，然后结合二倍角公式判断CD．

【详解】

设ABC三边,,

a b c所对的角分别为,,

A B C，

由A B

>，则,

a b

>∴sin sin0

A B

>>，A正确；

由余弦函数性质知cos cos

A B

<，B正确；

sin22sin cos

A A A

=，sin22sin cos

B B B

=，

当A为钝角时就有sin2sin2

A B

<，C错误，；

2

cos212sin

A A

=-，2

cos212sin

B B

=-，∴cos2cos2

A B

<，D正确．

故选：C．