算术平方根的双重非负性的深度解析(发表于《初中数学教与学》)

算术平方根的双重非负性的深度解析

江苏海安紫石中学 黄本华 226600.

0)a ≥具有双重非负性。一是被开方数具有非负性，即0a ≥。二是算

0≥。算术平方根的双重非负性还有两个特征，一是兼容性，容易与其它知识点组合成有一定分值的综合题，而双重非负性往往是解题的切入点，更是解题的关键。二是隐含性，如果不仔细观察，认真分析，要么就无从下手要么造成多解或漏解。因此算术平方根的双重非负性是历年中考的热点。只有深度研究算术平方根的这两个非负性，我们解题时才能居高临下，游刃有余。

一、确定字母的取值范围

例1（中考题改编）已知实数ａ满足2017a a -=，求22017a -的值 分析：如何去绝对值？如何去根号？如何确定a 的范围?分析的时候不断地给自己提一些小问题，就会逐渐地挖掘出此题的切入点！那就是——隐含条件：被开方数20180a -≥。

【解答】20180a -≥Q ，2018a ∴≥

∴20170a -<，2017a a ∴-+=

∴2017=，∴220182017a -=

220172018a ∴-=

【评注】不要求去求字母的取值范围，而又必须求字母的取值范围，这就是被开方数为非负数的隐含性，挖掘出这个隐含性，就是解题的关键。

【变式训练】化简212x --。

【提示】貌似与例题风马牛不相及，实质相同。

二、确定最大值或最小值

例2 （2017宁波）当x 取 时，的值最小，最小值是 ；当x 取 时，2﹣的值最大，最大值是 ．

【分析】依据算术平方根的非负性可知当10+2x=0时，

的值最小，当5﹣x=0时，2﹣的值最大．

【解答】当10+2x=0时，的值最小，解得x=﹣5，此时

的最小值为0． 当5﹣x=0时，即x=5时，=0，此时2﹣的值最大，最大值是2．

【点评】熟练掌握算术平方根的非负性是解本题的关键．

【变式】（2017 宁都）设a ，b 是不小于3的实数，则

+|2﹣|的最小值是

【提示】分别求出和|2﹣|的最小值即可。

三、求字母的值

例3 （2016扶沟县）王老师给同学们布置了这样一道习题：一个数的算术平方根为2m ﹣6，它的平方根为±（m ﹣2），求这个数．小张的解法如下：

依题意可知，2m ﹣6是m ﹣2或者是﹣（m ﹣2）两数中的一个 (1)

当2m ﹣6=m ﹣2，解得m=4...（2）（2m ﹣6）=（2×4﹣6）=2 (3)

这个数为4

当2m ﹣6=﹣（m ﹣2）时，解得m=

…（4） （2m ﹣6）=（2×﹣6）=﹣…（5） 这个数为

综上可得，这个数为4或

…（6） 王老师看后说，小张的解法是错误的．你知道小张错在哪里吗？为什么？请予改正。

【分析】小张的解法貌似很全面，错在哪里呢？仔细审题，发现2m ﹣6是算术平方根。由算术平方根的非负性质可知2m ﹣6≥0，因此要对求得的m 的值作出取舍．

【解答】∵2m ﹣6是某数的算术平方根，∴2m ﹣6≥0．

解得：m ≥3．当m=不符合题意应舍去．

故答案为：这个数为4．

【点评】本题若直接给出这个题目：一个数的算术平方根为2m ﹣6，它的平方根为±（m ﹣2），求这个数．很多同学就会因不注意算术平方根的非负性而造成多解。

【变式训练】（2016秋?资中县月考）一天，杨老师给同学们布置了这样一道习题：一个数的算术平方根为m-6，它的平方根为1(22)2

m -，求这个数。 例4 如果y=+3，试求2x+y 的值．

【分析】观察到被开方数24x ﹣和24x ﹣互为相反数，而它们又必须都大于等于0，所以它们必须都为0。从而求出x 的值。

【解答】由题意得，22404

020x x x ≥?≥?≠?

+??﹣﹣， 解得2x =，所以，3y =，

所以，22237x y +=?+=．

【评注】：如果一条题目中出现的两个被开方数互为相反数，则这两个被开方数数都为

0a =。

【变式训练】已知a 、b 为实数，且

+2=b+4，则

ab= 【提示】1022(5)a a -=- 例5 已知：=0，求：代数式的值．

【分析】右边为0，左边分子是两个非负数的和，所以这两个非负数都必须为0．同时必须注意分母的7a +，既是被开方数，又在分母上，故70a +>，这样避免多解。

【解答】解23049070a b a a -=-=+>?????

∴21770b a ==+>??? ∴=2．

【评注】根据几个非负数的和等于0，则每一个非负数都等于0是解决本题的关键．而被开方数的非负性，则可以避免 避免多解。

【变式训练】已知与|2x ﹣3|互为相反数．求x+y 的平方根．

【提示】互为相反数两数相加得0

例6 (2016 南通)已知a ，b 为实数，且﹣（b ﹣1）=0，求20152016a b ﹣的值．

【分析】有边为0，而左边不是和的形式，怎么办？挖掘出隐含条件被开方数10b -≥，可把等式变形为+（1﹣b ）=0，再根据几个非负数和的性质得到1+a=0，1﹣b=0，解得a=﹣1，b=1，于是问题迎刃而解．

【解答】 ∵﹣（b ﹣1）=0，∴+（1﹣b ）=0，

∵1﹣b ≥0，∴1+a=0，1﹣b=0，解得a=﹣1，b=1，

∴2015201620152016(1)a b =-﹣-1=-1-1=-2．

【评注】本题需同时考虑算术平方根的双重非负数的性质。算术平方根具有非负性，非负数之和等于0则各项都等于0这两个性质是解题的关键，而被开方数的非负性则是解决此题的突破口。

例7 【分析】本题猛一瞅，无从下手。仔细观察，发现最后一项的被开方数是22a -，这是一个非正数，而被开方数又必须是非负数，从而必有0a =。从而迎刃而解。

【解答】由题意得220a -≥，又220a -≤Q ，0a ∴=

∴原式= 0

0a =

【变式训练】2016x -

四、比较大小

例8 3(2)x -的大小。 【分析】本题貌似无从下手，想分类讨论又感觉太繁。其实根据被开方数非负的性质，

可以得到x 的范围：2x ≥。0≥，由2x ≥可得3(2)0x -≤。 【解答】20x -≥Q ，2x ∴≥，∴3(2)0x -≤

又0≥Q ，3(2)x ≥-

与3(4)x -的大小。

深度解析算术平方根的双重非负性，研究实际问题中的算术平方根的结构特征，总结出一些规律、结论，就能够化隐性为显性，从而找到问题的易错点和解决问题的突破口，最终完美地解决问题。