【典型题】高一数学下期末模拟试卷及答案

【典型题】高一数学下期末模拟试卷及答案

一、选择题

1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U I

A ．{1,1}-

B ．{0,1}

C ．{1,0,1}-

D ．{2,3,4}

2．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若

sin 5sin 2A c

B b

=，7sin B =

，57ABC S =△，则b =（ ） A ．23

B ．27

C ．15

D ．14

3．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x -4）=f （x ），且在区间[0，2]上f （x ）=x ，若关于x 的方程f （x ）=log a |x |有六个不同的根，则a 的范围为（ ） A ．

(

)

6,10

B ．

(

)

6,22

C ．()

2,22

D ．（2，4）

4．若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要

条件

5．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，

1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）

A ．1,4a +

B ．1,4a a ++

C ．1,4

D ．1,4a +

6．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： 父亲身高x （cm ）

174

176

176

176

178

儿子身高y （cm ）

175

175

176

177

177

则y 对x 的线性回归方程为 A ．y = x-1 B ．y = x+1 C ．y =88+

1

2

x D ．y = 176

7．设正项等差数列的前n 项和为，若

，则

的最小值为 A ．1

B ．

C ．

D ．

8．记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大者，设函数

{}2()max 42,,3f x x x x x =-+---，若()1f m <，则实数m 的取值范围是（ ）

A ．(1,1)(3,4)-U

B ．(1,3)

C ．(1,4)-

D ．(,1)(4,)-∞-+∞U

9．函数()lg ||f x x x =的图象可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

10．在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面

1ACC A 所成角的大小为（ ）

A ．30o

B ．45o

C ．60o

D ．90o

11．在ABC ?中，2

cos (,b,22A b c a c c

+=分别为角,,A B C 的对边)，则ABC ?的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形

D ．正三角形

12．如图，在△ABC 中, 13AN NC =u u u v u u u v ,P 是BN 上的一点,若29

AP m AB AC ??→??→??→

=+,则实

数m 的值为( )

A ．

B ．

C ．

19

D ．

二、填空题

13．已知两个正数,x y 满足4x y +=,则使不等式

14

m x y

+≥恒成立的实数m 的范围是

__________

14．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是

___________

15．对于函数()f x ，()g x ，设(){}

0m x f x ∈=，(){}

0n x g x ∈=，若存在m ，n 使得1m n -<，则称()f x 与()g x 互为“近邻函数”.已知函数()()13log 2e

x

f x x -=+-与

()1422x x g x a +=?-+互为“近邻函数”，则实数a 的取值范围是______.（e 是自然对数的

底数）

16．若函数()6,2

3log ,2

a x x f x x x -+≤?=?+>?（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取

值范围是__________．

17．已知a ∈R ，命题p ：[]1,2x ?∈，20x a -≥，命题q ：x ?∈R ，

2220x ax a ++-=，若命题p q ∧为真命题，则实数a 的取值范围是_____．

18．设a ，b 是非零实数，且满足

sin

cos

107

7tan 21cos sin 77

a b a b π

π

πππ+=-，则b a ＝_______．

19．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，12AA =，1AC BC ==，则异面直线

1A B 与1AC 所成角的余弦值是_____________．

20．已知函数2

()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m

的取值范围为 .

三、解答题

21．已知二次函数()f x 满足()(1)2f x f x x -+=-且(0)1f =. （1）求()f x 的解析式；

（2）当[1,1]x ∈-时，不等式()2x m f x >+恒成立，求实数m 的取值范围. 22．如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，

1

2

BC CD AD ==

.

（Ⅰ）求证：CD ⊥PD ； （Ⅱ）求证：BD ⊥平面P AB ；

（Ⅲ）在棱PD 上是否存在点M ，使CM ∥平面P AB ，若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由.

23．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x ，y.奖励规则如下：

①若3xy ≤，则奖励玩具一个； ②若8xy ≥，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶.

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. （Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；

（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.

24．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)[)0,0.5,0.5,1,...,[)4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

（1）求直方图中a的值；

（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.

25．已知数列{a n}满足a1＝1，1

1 1

4

n

n

a

a

+

=-，其中n∈N*．

（1）设

2

21

n

n

b

a

=

-，求证：数列

{b n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式．

（2）设

4

1

n

n

a

c

n

=

+

，数列{c n c n+2}的前n项和为T n，是否存在正整数m，使得

1

1

n

m m

T

c c

+

<

对于n∈N*，恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明．

26．某学校微信公众号收到非常多的精彩留言,学校从众多留言者中抽取了100人参加“学校满意度调查”,其留言者年龄集中在[]

25,85之间,根据统计结果,做出频率分布直方图如下:

(1)求这100位留言者年龄的平均数和中位数;

(2)学校从参加调查的年龄在[)

35,45和[)

65,75的留言者中,按照分层抽样的方法,抽出了6人参加“精彩留言”经验交流会,赠与年龄在[)

35,45的留言者每人一部价值1000元的手机,年龄在[)

65,75的留言者每人一套价值700元的书,现要从这6人中选出3人作为代表发言,求这3位发言者所得纪念品价值超过2300元的概率.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【解析】

分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ?=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ??=-. 本题选择C 选项.

点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.

2．D

解析：D 【解析】 【分析】 利用正弦定理化简

sin 5sin 2A c

B b

=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c

，由sin B =

，求得cos B ，最后利用余弦定理即可得到答案． 【详解】 由于

sin 5sin 2A c B b

=，有正弦定理可得： 52a c b b =，即5

2a c =

由于在ABC V

中，sin B =

，ABC S =△

1sin 2ABC S ac B ==V

联立521

sin 24sin 4a c ac B B ?

=??

?=

???=

??

，解得：5a =，2c = 由于B

为锐角，且sin B =

，所以3cos 4B ==

所以在ABC V 中，由余弦定理可得：2222cos 14b a c ac B =+-=

，故b =（负数舍去） 故答案选D 【点睛】

本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．

解析：A 【解析】

由()4f x f x -=（

）得：4T =，当010]x ∈

（，

时，函数的图象如图：

()()()26102f f f ===，再由关于x 的方程()log a f x x =有六个不同的根，则关于x 的方程()log a f x x =有三个不同的根，可得log 62 log 102a a

>?，解得610a ∈（，），故选A.

点睛：本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，函数的零点等基本性质，函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于中档题；首先求出()f x 的周期是4，画出函数的图象，将方程根的个数转化为函数图象交点的个数，得到关于a 的不等式，解得即可.

4．B

解析：B 【解析】

若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α?；若//l α，又m 垂直于平面α，则

l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α的必要不充分条件，故选B ．

考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系． 5．A

解析：A 【解析】

试题分析：因为样本数据1210,,,x x x L 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是

121012101210

.........1101010y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据

i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =L ），以及数据1210,,,x x x L 的方差为4可知数

据1210,,,y y y L 的方差为2144?=，综上故选A. 考点：样本数据的方差和平均数．

6．C

解析：C 【解析】 【分析】

试题分析：由已知可得176,176x y ==∴中心点为()176,176， 代入回归方程验证可知，只有方程y =88+

1

2

x 成立，故选C 7．D

解析：D 【解析】 【分析】

先利用等差数列的求和公式得出，再利用等差数列的基

本性质得出

，再将代数式和

相乘，展开

后利用基本不等式可求出的最小值.

【详解】

由等差数列的前项和公式可得

，所以，

，

由等差数列的基本性质可得

，

， 所以，，当且仅当

，即当

时，等号成立，

因此，的最小值为，故选：D.

【点睛】

本题考查的等差数列求和公式以及等差数列下标性质的应用，考查利用基本不等式求最值，解题时要充分利用定值条件，并对所求代数式进行配凑，考查计算能力，属于中等题。

8．A

解析：A 【解析】 【分析】

画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可． 【详解】

函数()f x 的图象如图，

直线1y =与曲线交点(1,1)A -，()1,1B ，()3,1C ，()4,1D ， 故()1f m <时，实数m 的取值范围是11m -<<或34m <<. 故选A. 【点睛】

本题考查函数与方程的综合运用，属于常考题型.

9．D

解析：D 【解析】 【分析】

分析函数()y f x =的定义域、奇偶性及其在()0,1上的函数值符号，可得出结论. 【详解】

函数()lg f x x x =的定义域为{}

0x x ≠，定义域关于原点对称，

()()lg lg f x x x x x f x -=--=-=-，函数()y f x =为奇函数，排除A 、C 选项；

当01x <<时，lg 0x <，此时()lg 0f x x x =<，排除B 选项. 故选：D. 【点睛】

本题考查由函数的解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查推理能力，属于中等题.

10．A

解析：A 【解析】 【分析】

由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ，求得1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角，在1BC O ?中，即可求解． 【详解】

由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ,

因为正三棱柱111ABC A B C -2，底面三角形的边长为1， 所以1,BO AC BO AA ⊥⊥，

因为1AC AA A ?=，所以BO ⊥平面11ACC A ， 所以1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角， 因为22211313

1(),(2)()222

BO C O =-=

=+=， 所以1133

2tan 332

BO BC O OC ∠===

， 所以0

130BC O ∠=，1BC 与侧面11ACC A 所成的角030．

【点睛】

本题主要考查了直线与平面所成的角的求解，其中解答中空间几何体的线面位置关系，得到1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化与化归思想，属于中档试题．

11．A

解析：A 【解析】 【分析】 根据正弦定理得到1cos sin sin 22sin A B C C ++=，化简得到sin cos 0A C =，得到2

C π

=，得到答案. 【详解】

2

cos 22A b c c +=，则1cos sin sin 22sin A B C

C

++=， 即sin cos sin sin cos cos sin sin C A C A C A C C +=++，即sin cos 0A C =，

sin 0A ≠，故cos 0C =，2

C π

=

.

故选：A . 【点睛】

本题考查了正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和转化能力.

12．C

解析：C

【解析】 【分析】

先根据共线关系用基底AB AC

→→

，表示

AP

→

，再根据平面向量基本定理得方程组解得实数m

的值. 【详解】

如下图，∵,,B P N 三点共线，∴

，∴，即

,

∴

①,又∵13

AN NC =u u u v u u u v

，∴

，

∴28=99

AP m AB AC m AB AC →

→

→

→

→

=++②，

对比①，②，由平面向量基本定理可得：．

【点睛】

本题考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力.

二、填空题

13．【解析】【分析】由题意将代入进行恒等变形和拆项后再利用基本不等式求出它的最小值根据不等式恒成立求出m 的范围【详解】由题意知两个正数xy 满足则当时取等号；的最小值是不等式恒成立故答案为【点睛】本题考查 解析：94

m ≤

【解析】 【分析】

由题意将4x y +=代入

14

x y

+进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根据不等式恒成立求出m 的范围． 【详解】

由题意知两个正数x ，y 满足4x y +=，

则14559144444x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+=，当4y x x y =时取等号； 14x y ∴+的最小值是94， Q 不等式

14m x y +≥恒成立，9

4

m ∴≤． 故答案为9

4

m ≤． 【点睛】

本题考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题，利用条件进行整体代换和合理拆项再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证．

14．【解析】【分析】先还原几何体再根据柱体体积公式求解【详解】空间几何体为一个棱柱如图底面为边长为的直角三角形高为的棱柱所以体积为【点睛】本题考查三视图以及柱体体积公式考查基本分析求解能力属基础题 解析：

32

【解析】 【分析】

先还原几何体，再根据柱体体积公式求解 【详解】

空间几何体为一个棱柱，如图，底面为边长为1,3的直角三角形，高为3的棱柱，所以体积为

1313322

???=

【点睛】

本题考查三视图以及柱体体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题

15．【解析】【分析】先求出的根利用等价转换的思想得到在有解并且使用分离参数方法可得结果【详解】由令所以又已知函数与互为近邻函数据题意可知：在有解则在有解即在有解令又令所以当时当时所以所以则故答案为：【点

解析：10,2

?? ??

?

.

【解析】 【分析】

先求出()0f x =的根，利用等价转换的思想，得到()0g x =在1m n -<有解，并且使用分离参数方法，可得结果 【详解】

由()()13log 2e

x

f x x -=+-，令()0f x =

所以1x =，又已知函数()()13log 2e x

f x x -=+-

与()1

42

2x

x g x a +=?-+互为“近邻函数”

据题意可知：()0g x =在11x -<有解，则

()0g x =在02x <<有解

即1224x x

a +-=在02x <<有解， 令()122

4x x

h x +-=，

又令2x

t =，()1,4t ∈，11,14t ??∈ ???

所以2

222111222

t y t t -??==--+ ??? 当112

t =

时max 12y =

当1

1t

=时0y = 所以10,2

y ??∈ ??

?

所以()10,2h x ??∈ ??

?，则10,2

a ??∈ ??

?

故答案为：10,2??

???

【点睛】

本题考查对新定义的理解，以及分离参数方法的应用，属中档题.

16．【解析】试题分析：由于函数的值域是故当时满足当时由所以所以所以实数的取值范围考点：对数函数的性质及函数的值域【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题解答时要牢记对数函数 解析：(]1,2

【解析】

试题分析：由于函数()()6,2

{0,13log ,2

a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2

x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥?<<，所以实数a 的取值范围12a <≤. 考点：对数函数的性质及函数的值域.

【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当2x >时，由()4f x ≥，得

log 1a x ≥，即log 21a ≥，即可求解实数a 的取值范围.

17．或【解析】【分析】根据不等式恒成立化简命题为根据一元二次方程有解化简命题为或再根据且命题的性质可得结果【详解】若命题：为真；则解得：若命题：为真则解得：或若命题是真命题则或故答案为或【点睛】解答非命

解析：2a ≤-或1a = 【解析】 【分析】

根据不等式恒成立化简命题p 为1a ≤，根据一元二次方程有解化简命题q 为2a ≤-或

1a ≥，再根据且命题的性质可得结果.

【详解】

若命题p ：“[]1,2x ?∈，20x a -≥”为真； 则10a -≥， 解得：1a ≤，

若命题q ：“x ?∈R ，2220x ax a ++-=”为真， 则()2

4420a a ?=--≥，

解得：2a ≤-或1a ≥，

若命题“p q ∧”是真命题，则2a ≤-，或1a =， 故答案为2a ≤-或1a = 【点睛】

解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.

18．【解析】【分析】先把已知条件转化为利用正切函数的周期性求出即可求得结论【详解】因为（tanθ）∴∴tanθ＝tan （kπ）∴故答案为【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用考查了两角和的正切公式

【解析】 【分析】

先把已知条件转化为

107

217

1

7

b

tan

a

tan tan

b

tan

a

π

ππ

θ

π

+

?

?

==+

?

??

-

．利用正切函数的周期性求出3

k

π

θπ

=+，即可求得结论．

【详解】

因为

107

217

1

7

b

tan

a

tan tan

b

tan

a

π

ππ

θ

π

+

??

==+

?

??

-

，（tanθ

b

a

=）

∴

10

721

k

ππ

θπ

+=+

∴

3

k

π

θπ

=+．tanθ＝tan（kπ

3

π

+）3

=．

∴3

b

a

=

故答案为3．

【点睛】

本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，考查了两角和的正切公式，属于中档题．19．【解析】【分析】先找出线面角运用余弦定理进行求解【详解】连接交于点取中点连接则连接为异面直线与所成角在中同理可得异面直线与所成角的余弦值是故答案为【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角考查了空间想象解析：

30

10

【解析】

【分析】

先找出线面角，运用余弦定理进行求解

【详解】

连接1

AB交

1

A B于点D，取

11

B C中点E，连接DE，则

1

DE AC

P，连接

1

A E

1

A DE

∴∠为异面直线

1

A B与

1

AC所成角

在111Rt AC B n 中，111AC =，11111

22

C E C B =

=

12

A E ∴=

,

同理可得1A D =

DE =

2

2

2

1cos 10A DE +-∠==, ∴异面直线1A B 与1AC

【点睛】

本题主要考查了异面直线所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于基础题．

20．【解析】【分析】【详解】因为函数的图象开口向上的抛物线所以要使对于任意的都有成立解得所以实数的取值范围为【考点】二次函数的性质

解析：2??

- ? ???

【解析】 【分析】 【详解】

因为函数2

()1f x x mx =+-的图象开口向上的抛物线， 所以要使对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <成立，

()22

2

()10(1)1(1)10

f m m m f m m m m ?=+-

，解得0m <<， 所以实数m

的取值范围为2??

- ? ???

．

【考点】 二次函数的性质．

三、解答题

21．（1）2

()1f x x x =-+（2）1m <-

【解析】 【分析】

（1）设2

()(0)f x ax bx c a =++≠，带入()(1)2f x f x x -+=-和(0)1f =，即可求出

a ，

b ，

c 的值.

（2）首先将题意转化为[1,1]x ∈-时，231x x m -+>恒成立，再求出2

min (31)x x -+，

2min (31)m x x <-+即可.

【详解】

（1）设2

()(0)f x ax bx c a =++≠，

则22

()(1)(1)(1)2f x f x ax bx a x b x ax a b -+=+-+-+=---， 所以22ax a b x ---=-，

解得：1a =，1b =-.又(0)1f c ==， 所以2

()1f x x x =-+.

（2）当[1,1]x ∈-时，()2x m f x >+恒成立， 即当[1,1]x ∈-时，231x x m -+>恒成立. 设2

()31g x x x =-+，[1,1]x ∈-. 则min ()(1)1g x g ==-，1m ∴<-. 【点睛】

本题第一问考查待定系数法求函数的解析式，第二问考查二次函数的恒成立问题，属于中档题.

22．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面P AB ，且M 是PD 的中点. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）由题意可得CD ⊥平面P AD ，从而易得CD ⊥PD ； （Ⅱ）要证BD ⊥平面P AB ，关键是证明BD AB ⊥；

（Ⅲ）在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面P AB ，且M 是PD 的中点. 【详解】

（Ⅰ）证明：因为P A ⊥平面ABCD ，CD ?平面ABCD ， 所以CD ⊥P A .

因为CD ⊥AD ，PA AD A ?=， 所以CD ⊥平面P AD . 因为PD ?平面P AD ， 所以CD ⊥PD .

(II )因为P A ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ， 所以BD ⊥P A .

在直角梯形ABCD 中，1

2

BC CD AD ==

，

由题意可得2AB BD BC ==，

所以222AD AB BD =+，

所以BD AB ⊥. 因为PA AB A =I ， 所以BD ⊥平面P AB .

（Ⅲ）解：在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面P AB ，且M 是PD 的中点. 证明：取P A 的中点N ，连接MN ，BN ，

因为M 是PD 的中点，所以1

2

MN AD P . 因为1

2

BC AD P

，所以MN BC P . 所以MNBC 是平行四边形， 所以CM ∥BN .

因为CM ?平面P AB , BN ?平面P AB . 所以//CM 平面P AB . 【点睛】

本题考查平面与平面垂直的判定定理,以及直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力，属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 23．（Ⅰ）5

16

.（Ⅱ）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 【解析】 【分析】 【详解】

（Ⅰ）两次记录的所有结果为（1,1），（1,,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），

（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个． 满足xy≤3的有（1,1），（1,,2），（1,3），（2,1），（3,1），共5个，所以小亮获得玩

具的概率为

5 16

．

（Ⅱ）满足xy≥8的有（2,4），（3,,3），（3,4），（4,2），（4,3），（4,4），共6个，

所以小亮获得水杯的概率为

6 16

；

小亮获得饮料的概率为

565

1

161616

--=，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．

24．（1）0.3；（2）3.6万；（3）2.9.

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（1）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；第（2）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（3）问，将前6组的频率之和与前5组的频率之和进行比较，得出2.5≤x<3，再估计x的值.

试题解析：（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04，

同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．

由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，

解得a=0.30．

（2）由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．

由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为

300 000×0.12="36" 000．

（3）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，

而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，

所以2.5≤x<3．

由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，

解得x=2.9．

所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．

【考点】

频率分布直方图

【名师点睛】

本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．

25．（1）

1

2

n

n

a

n

+

=；（2）3

【解析】

试题分析：

(1)结合递推关系可证得b n +1-b n =2，且b 1＝2，即数列{b n }是首项为2，公差为2的等差数列，据此可得数列{}n a 的通项公式为1

2n n a n

+=． (2)结合通项公式裂项有21122n n c c n n ，+??=-

?+??

求和有1

11213212n T n n ??=+--< ?++??

．据此结合单调性讨论可得正整数m 的最小值为3．

试题解析： （1）证明：b n +1-b n 12

2

2121

n n a a +=

-

--

2

2

2112114n n a a =

-

-??

-- ?

??

42

22121

n n n a a a =

-=--． 又由a 1＝1，得b 1＝2，所以数列{b n }是首项为2，公差为2的等差数列，所以b n ＝2+(n -1)×2＝2n ，由221

n n b a =-，得1

2n n a n

+=

． （2）解：2

n c n =

，()2411222n n c c n n n n +??==- ?++??

所以

1

11213212n T n n ??=+--< ?++??

． 依题意，要使11n m m T c c +<

对于n ∈N *恒成立，只需()

134

m m +≥，解得m ≥3或m ≤-4．又

m ＞0，所以m ≥3，所以正整数m 的最小值为3． 26．(1)60,5607

;(2)45.

【解析】 【分析】

（1）直接利用频率分布直方图求得平均数和中位数即可；

（2）利用分层抽样可得6人中年龄在[]35,45内有2人，设为a 、b ，在[]65,86内有4人,设为1,2,3,4，写出基本事件，利用古典概型即可. 【详解】

(1)这100位留言者年龄的样本平均数,

300.05400.1500.15600.35700.2800.1560?+?+?+?+?+?=,

年龄在[)25,55中的频率为:0.050.100.150.30++=, 年龄在[)25,65中的频率为:0.050.100.150.350.65+++=,