数值分析实验报告-插值、逼近

实验报告：函数逼近&插值多项式补充

问题1：对于给函数21()1+25f x x =

，取点21

cos 22k

k x n π+=+，k 取0，1，…，n 。n 取10或20。试画出拟合曲线并打印出方程，与第二章计算实习题2的结果进行比较。 问题2：对于给函数2

1

()1+25f x x =

在区间[-1，1]上取x i =-1+0.2i （i=0,1,2,…,10），试求3次

曲线拟合，试画出拟合曲线并打印出方程，与第二章计算实习题2的结果进行比较。

实验目的：通过编程实现牛顿插值方法和函数逼近，加深对多项式插值的理解。应用所编程序解决实际算例。

实验要求：

1． 认真分析问题，深刻理解相关理论知识并能熟练应用； 2． 编写相关程序并进行实验； 3． 调试程序，得到最终结果； 4． 分析解释实验结果； 5． 按照要求完成实验报告。

实验原理：

详见《数值分析第5版》第二章、第三章相关内容。

实验内容： （1）问题1：

这里我们可以沿用实验报告一的代码，对其进行少量修改即可。 当n=10时，代码为：

clear all clc k=0:10; n=length(k);

x1=cos((2*k+1)/2/n*pi); y1=1./(1+25.*x1.^2); f=y1(:); for j=2:n for i=n:-1:j

f(i)=(f(i)-f(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1)); end end syms Fxp ;

F(1)=1;p(1)=y1(1); for i=2:n

F(i)=F(i-1)*(x-x1(i-1));

p(i)=f(i)*F(i);

end

syms P

P=sum(p);

P10=vpa(expand(P),5);

x0=-1:0.001:1;

y0=subs(P,x,x0);

y2=subs(1/(1+25*x^2),x,x0);

plot(x0,y0,x0,y2)

grid on

xlabel('x')

ylabel('y')

由此我们可以得到P10(x)=-46.633*x^10+3.0962e-14*x^9+130.11*x^8-7.2714e-14*x^7-133.44*x^6+7.1777e-14*x^5 +61.443*x^4-1.5805e-14*x^3-12.477*x^2-1.6214e-16*x+1.0

并可以得到牛顿插值多项式在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比，得Fig. 1。

Fig.1 牛顿插值多项式（n=10）函数和原函数图形

当n=20，将上述代码中的“k=0:10;”改为“k=0:20;”即可。

由此我们可以得到P20(x)=6466.6*x^20+8.0207e-13*x^19-34208.0*x^18-3.5038e-12*x^17+77754.0*x^16-993 00.0*x^14+3.7253e-9*x^13+78236.0*x^12-39333.0*x^10+12636.0*x^8-4.6566e-10*x^7-2 537.3*x^6+306.63*x^4-21.762*x^2+1.0

并可以得到牛顿插值多项式在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比，得Fig. 2。

Fig.2

牛顿插值多项式（n=20

）函数和原函数图形

回顾一下实验一的结果（见Fig. 3），我们不难发现，仅仅是改变了x的取值，结果发生了很大的变化。实验一中，插值多项式与原函数产生了很大的偏差，并且随着分的段数的增加，其误差不断变大，但是在本次实验中，我们不难发现，虽然多项式依旧存在震荡现象，但是误差小了很多，而且随着分的段数的增加，插值多项式曲线与原函数曲线已经十分接近了。

Fig.3实验一结果

这个例子说明：采用切比雪夫节点替代等距节点可以消除龙格现象。

（2）问题2：

分析问题，发现在这个问题中，我们已经知道了原函数，同时它也告诉我们所需取的11个点的值，所以这里可以用两种方法进行函数逼近得到拟合曲线。

首先采用最小二乘法来考虑这个问题，编写代码如下（这里没有直接调用polyfit函数）：clear all

clc

n=3;

x1=-1:0.2:1;

y1=1./(1+25.*x1.^2);

syms SGdax;

for i=1:n+1;

for j=1:n+1;

G(i,j)=sum(x1.^(i+j-2));

end

end

for i=1:n+1;

d(i)=sum(x1.^(i-1).*y1);

end

a=G^-1*d';

for i=1:n+1

X(i)=x^(i-1);

end

S=vpa(X*a,5)

x0=-1:0.001:1;

y0=subs(S,x,x0);

y2=subs(1/(1+25*x^2),x,x0);

plot(x0,y0,x0,y2)

grid on

xlabel('x')

ylabel('y')

我们可以得到一个三次多项式：S3=1.1665e-16*x^3 - 0.57518*x^2 - 9.4553e-17*x + 0.48412。同时我们也可以得到它与原函数的图形，如图Fig. 4。

Fig.4 最小二乘法n=3的结果

我们发现得到的结果和原函数产生了巨大的误差。首先观察得到的多项式，我们发现它的3次项系数非常小，原因是原函数是一个偶函数，这将导致奇次项系数基本为0。

这里我们调整n，对结果进行观察，取n=4，6，8，10，20。我们可以得到Fig.5-Fig.9。

S4=1.4852*x^4+1.3703e-16*x^3-2.0604*x^2-1.1769e-16*x+0.65522

S6=-4.633*x^6+4.0789e-14*x^5+8.4769*x^4-5.28e-14*x^3-4.5969*x^2+1.3229e-14*x+0.78 461

S8=20.466*x^8-3.8972e-12*x^7-43.601*x^6+6.9014e-12*x^5+30.817*x^4-3.4363e-12*x^3-8.5318*x^2+4.2796e-13*x+0.88802

S10=-220.94*x^10-5.1978e-9*x^9+494.91*x^8+1.0649e-8*x^7-381.43*x^6-6.9693e-9*x^5+ 123.36*x^4+1.6139e-9*x^3-16.855*x^2-9.6021e-11*x+1.0

S20=-318.82*x^20+74.132*x^19+43.205*x^18-83.871*x^17+91.867*x^16+68.562*x^15+29. 364*x^14-56.393*x^13+260.42*x^12-32.957*x^11+79.822*x^10+1.8279*x^9-139.85*x^8+49.56 4*x^7-121.95*x^6-23.918*x^5+90.922*x^4+3.1437*x^3-15.933*x^2-0.090653*x+1.0

Fig.5 最小二乘法n=4的结果

Fig.6 最小二乘法n=6的结果

Fig.7 最小二乘法n=8的结果

Fig.8 最小二乘法n=10的结果

Fig.9 最小二乘法n=20的结果

不难发现，拟合结果并不理想，当n=8时与原函数较为接近，而当n取其他值时，都有着比较大的误差，说明采用最小二乘法考虑这个问题并不是一个十分好的方法，对y i进行适当变形可能可以得到更好的结果。

同时，由于知道f（x），这道题我们也可以采用最佳平方逼近的方法，编写代码如下：clear all

clc

syms SHadx;

n=3;

for i=1:n+1

d(i)=int(x^(i-1)/(1+25*x^2),x,-1,1);

end

for i=1:n+1

for j=1:n+1

H(i,j)=int(x^(i+j-2),x,-1,1);

end

end

a=H^-1*d';

for i=1:n+1

X(i)=x^(i-1);

end

S=vpa(X*a,5)

x0=-1:0.001:1;

y0=subs(S,x,x0);

y2=subs(1/(1+25*x^2),x,x0);

plot(x0,y0,x0,y2)

grid on

xlabel('x')

ylabel('y')

由此我们可以得到一个三次多项式，（事实上这是一个二次多项式）：

S3=0.50923-0.70366*x^2，同时我们也可以得到该多项式与原函数的图像，见Fig. 10。

Fig.10 最佳平方逼近n=3的结果

不然发现采用这种方法有着和最小二乘法相同的问题，同样我们这里也对n取不同的值进行观察，取n=4，6，8，10，20。我们可以得到Fig.11-Fig.15。

S4=1.8689*x^4-2.3055*x^2+0.66942

S6=-4.9969*x^6+8.6828*x^4-4.5768*x^2+0.77758

S8=13.392*x^8-29.995*x^6+23.105*x^4-7.199*x^2+0.85042

S10=-35.931*x^10+98.491*x^8-100.08*x^6+46.465*x^4-9.8945*x^2+0.89942

S20=5023.5*x^20-26343.0*x^18+59469.0*x^16-75642.0*x^14+59603.0*x^12-30157.0*x^10 +9844.2*x^8-2038.8*x^6+259.82*x^4-19.945*x^2+0.9862

Fig.11 最佳平方逼近n=4的结果

Fig.12 最佳平方逼近n=6的结果

Fig.13 最佳平方逼近n=8的结果

Fig.14 最佳平方逼近n=10的结果

Fig.15 最佳平方逼近n=20的结果

显然，当知道原函数的情况下，当n取较大值时，多项式结果可以很好的逼近原函数。

实验感想：

通过本次实验，我对插值函数和函数逼近有了更加清晰的认识。