正方体展开图规律的探讨研究

正方体展开图规律

一、基本知识

1.点、线、面、区域的关系---平面图形和立体图形的欧拉公式

2.截面形状的确定

①立方体被某平面所截，可以得到截面形状有：三角形、四边形、五边形、六边形。

②其他图形的截面。

例：圆锥被被某平面所截，可以得到截面形状有：三角形、圆、椭圆、抛物线、双曲线等。尤其是圆锥被平行于轴对称面的竖直平面截取，截面形状不是三角形，而是抛物线。

二、正方体展开图规律的研究

试着将一个正方体的盒子剪开，我们会发现：随着剪纸的方向不同，展开图完全不同，似乎没有什么规律可遵循，但不要着急，换个角度来考虑问题。我们知道，所有正方体都是六个面，同时找6个面展开图的分布规律的确很困难，我们能不能先找出其中4个面展开的分布规律，然后再研究其他两个面的分布规律呢？

4个面展开的分布规律有两个。

最容易想到的分布规律是第一个，如图1，我们称其为“长方形结构”

它组合起来恰好是一个无两个底的立方体桶状图形，仅缺少上下两个底面，而上下两个底面的位置恰好可由上图中的的上下两条边来定，图2中标号为1的面其位置有4个，代表上底面，标号为2

第2个分布规律如图3所示，我们可以形象地称它为“Z字结构”，大家一定能想象到，它拼合起来是个什么图形，对，应该是个类似撮箕的东西，现在缺少两个面：上边的面和前边的面，我们现在研究如何把2个面补上。

另一个面连接在AE、FG、GH边上时，可以封闭前面的面。由于Z字结构可看成是由两个图形“┐”和“└”叠加而成，而拼合时，C和D两点重合，E和F两点重合，故AB、BC、DH恰好位于“┐”边上， AE、FG、GH则恰好是位于“└”边上。

找到规律后，我们便可以很方便的确定具有Z字结构的分布规律。图4给出了两种具有

Z 字结构的正方体展开图，其中图4 A 是正写的Z 字，图4 B 是反写的Z 字。反写的Z 字，其分布规律和正写的Z 字类似，区别仅仅是将反写Z 看成是两个图形┌和叠加而成。

我们研究不难发现，

如果展开图旋转、翻转，移动可以重合的算同一种情况，则正方体展开图不同的共有11种情况。

三、展开图的特点

1.对面的确定，

①Z 字结构的头和尾属于对面，②对于

面1和面3为对面。

2.展开图中的垂直边，在组成正方体时会重合。

3.重合的顶点确定

图4 Z 字结构展开图例

(A) 正写Z 字结构 (B) 反写Z 字结构

4．展开图中某些面上线的画法。

四、右手法则：

面2、面3和面1的组成符合右手法则，因此不论立方体如何旋转，面2、面3和面1的组成符合右手法则的规律不变，通过右手法则，可以很容易判断立方体所对应的展开图。

例1：把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如右下图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（ ）

例2： 如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形，则展开图可以是 ( )

五、视图的规律

将俯视图看做是一块地，地中长了很多麦子，将左视图和主视图想象为土地上长出的麦子的投影，因为麦子有高有低。所以对应的左视图和主视图将不同。

例1. 下图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图。这些相同的小正方体的个数是（ ）

例2. 由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图（如图7）。

（正方体纸盒）

（A ）

（B ）

（C ）

（D ）

图7

（1）请你画出这个几何体的一种左视图；

（2）若组成这个几何体的小正方形的块数n，请你写出n的所有可能值。