2018中考数学专题08 解直角三角形的实际应用题(解答题重难点题型)(解析版)

中考指导：解直角三角形的实际应用是中考数学必考的内容之一，解直角三角形的实际应用是将实际生活中的问题转化为数学模型，通过构建直角三角形，利用勾股定理、锐角三角函数、直角三角形的边角关系来解决问题。解直角三角形的应用可解决的问题有： 1.测量物体的高度； 2.测量河的宽度； 3.解决航海航空问题； 4.解决坡度问题； 5.解决实际生活中其它问题. 解直角三角形的实际应用题在中考数学试题中所占的分值大约在8-10分.

典型例题解析

【例1】（河南省商丘市柘城县2018年中考数学一模）如图，山顶建有一座铁塔，塔高BC=80米，测量人员在一个小山坡的P处测得塔的底部B点的仰角为45°，塔顶C点的仰角为60°．已测得小山坡的坡角为30°，坡长MP=40米．求山的高度AB（精确到1米）．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）

【答案】山高AB约为129米．

点睛：本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．

【例2】（四川省青神县2017届九年级教学质量监测）南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向东南方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后在C处成功拦截不明船只，问我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里？

【答案】即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了

106

102+

3

海里．

试题解析：

过B作BD⊥AC，

∵∠BAC=75°﹣30°=45°，

∴在Rt△ABD中，∠BAD=∠ABD=45°，∠ADB=90°，

由勾股定理得：BD=AD=×20=10（海里），

在△ABC中, ∠BAC=45°，∠ABC=75°，可得∠C=60°

∴在Rt△CBD中，

∴tan∠BCD =，即tan60°=，即CD=

则AC=AD+DC=10+

答：即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了10+海里．#网

【例3】（广东省梅州市梅江区实验中学2017届九年级下学期第一次月考）如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．（结果都保留根号）

（1）求点P到海岸线l的距离；

（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点

C与点B之间的距离．

【答案】（1）点P到海岸线l的距离为（﹣1）km；（2）点C与点B之间的距离为km．

试题解析：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．设PD=m．

在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°﹣45°=45°，

∴BD=PD=m．

在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°﹣60°=30°，

∴AD33m．

∵BD+AD=AB，

∴x3=2，x31，

∴点P到海岸线l31）km；

【例4】（2017年河南省安阳市林州市中考数学二模）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：3，AB=10米，AE=15米．（i=1：3是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）

（1）求点B距水平面AE的高度BH；

（2）求广告牌CD的高度．

（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732）

【答案】（1）5；（2）2.7m.

【解析】试题分析：（1）过B作DE的垂线，设垂足为G．分别在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH、AH；

（2）在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度．

试题解析：（1）过B作BG⊥DE于G，

Rt△ABH中，i=tan∠BAH=

3

3

，

∴∠BAH=30°，

∴BH=1

2

AB=5；

【例5】（江苏省连云港市2017届九年级中考模拟）一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=35cm，（点A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A，⊙A与水平地面切于点D，AE∥DN，某一时刻，点B距离水平面38cm，点C距离水平面59cm．

（1）求圆形滚轮的半径AD的长；

（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面73.5cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角∠CAE的大小（精确到1°，参考数据：sin50°

≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．

【答案】（1）圆形滚轮的半径AD的长是8cm；

（2）∠CAF=50°．

（2）CF=73.5﹣8=65.5（m）．

则sin∠CAF==≈0.77，

则∠CAF=50°．

强化训练

1.（2017湖南株洲第23题）如图示一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α其

中tan α=23，无人机的飞行高度AH 为5003米，桥的长度为1255米． ①求点H 到桥左端点P 的距离；

②若无人机前端点B 测得正前方的桥的右端点Q 的俯角为30°，求这架无人机的长度A B ．

【答案】①求点H 到桥左端点P 的距离为250米；②无人机的长度AB 为5米．

②设BC ⊥HQ 于C ．

在Rt △BCQ 中，∵BC =AH =5003，∠BQC =30°，

∴CQ =

tan 30BC

=1500米，∵PQ =1255米，∴CP =245米，

∵HP =250米，∴AB =HC =250﹣245=5米． 答：这架无人机的长度AB 为5米．.

2.（2017内蒙古通辽第22题）如图，物理老师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA 的位置时俯角

030=⊥EOA ，在OB 的位置时俯角060=∠FOB .若EF OC ⊥，点A 比点B 高cm 7.

求（1）单摆的长度（7.13≈）；

（2）从点A 摆动到点B 经过的路径长（1.3≈π）.

【答案】（1）单摆的长度约为18.9cm （2）从点A 摆动到点B 经过的路径长为29.295cm[:网]

则在Rt△AOP中，OP=OAcos∠AOP=1

2

x，

在Rt△BOQ中，OQ=OBcos∠BOQ=

3

2

x，

由PQ=OQ﹣OP可得

3

2

x﹣

1

2

x=7，

解得：x318.9（cm），.

答：单摆的长度约为18.9cm；

（2）由（1）知，∠AOP=60°、∠BOQ=30°，且OA=OB3[:学+科+网Z+X+X+K] ∴∠AOB=90°，

则从点A摆动到点B 907+73

π⨯（）

≈29.295，

答：从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm．学#科网

3.（2017湖南张家界第19题）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD 的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）

【答案】4.2m．

4.（2017海南第22题）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度B C．

（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）

【答案】水坝原来的高度为12米．.

5.（2017新疆乌鲁木齐第21题）一艘渔船位于港口A 的北偏东60o

方向，距离港口20海里B 处，它沿北偏西37

o

方向航行至C 处突然出现故障，在C 处等待救援，,B C 之间的距离为10海里，救援船从港口A 出发20分钟到达C

处，求救援的艇的航行速度.(sin 370.6,cos370.8,3 1.732≈≈≈o o

，结果取整数）

【答案】救援的艇的航行速度大约是64海里/小时． 【解析】

试题分析：辅助线如图所示：BD ⊥AD ，BE ⊥CE ，CF ⊥AF ，在Rt △ABD 中，根据勾股定理可求AD ，在Rt △BCE 中，根据三角函数可求CE ，EB ，在Rt △AFC 中，根据勾股定理可求AC ， 再根据路程÷时间=速度求解即可． 试题解析：辅助线如图所示：

答：救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．

6.（2017浙江省绍兴市）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．

（1）求∠BCD的度数．

（2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）

【答案】（1）38°；（2）20.4m．

试题解析：（1）过点C作CE⊥BD，则有∠DCE=18°，∠BCE=20°，∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°；

（2）由题意得：CE=AB=30m，在Rt△CBE中，BE=CE•tan20°≈10.80m，在Rt△CDE中，DE=CD•tan18°≈9.60m，∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4m，则教学楼的高约为20.4m．

7.（2016·湖北随州·8分）某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E 处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．

解：如图，

过点E作EF⊥AC，EG⊥CD，

在Rt△DEG中，∵DE=1620，∠D=30°，

∴EG=DEsin∠D=1620×=810，

∵BC=857.5，CF=EG，

∴BF=BC﹣CF=47.5，

在Rt△BEF中，tan∠BEF=，

∴EF=BF，

答：雕像AB的高度为95尺．

8．（江苏省盐都市盐都初级中学2017届九年级下学期第一次学情调研）如图，一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上，小李在P处测得居民楼顶A的仰角为60°，然后他从P处沿坡角为45°的山坡向上走到C处，这时，PC=30 m，点C与点A恰好在同一水平线上，点A、B、P、C在同一平面内．

（1）求居民楼AB的高度；

（2）求C、A之间的距离．（结果保留根号）

【答案】（1）AB=152≈21.2（m）（2）CA=56152

+≈略（注意精确度）

【解析】试题分析：（1）首先分析图形：根据题意构造直角三角形，利用在Rt△CPE中，由sin45°=CE

PC

，得出

EC的长度，进而可求出答案．

（2）在Rt△CPE中，tan60°=AB

BP

，得出BP的长，进而得出PE的长，即可得出答案．

试题解析：（1）过点C作CE⊥BP于点E，

在Rt△CPE中

∵PC=30m，∠CPE=45°，

∴sin45°=CE PC

，

∴CE=PC•sin45°=302

=152，

∵点C与点A在同一水平线上，∴AB=CE221.2m，

答：居民楼AB的高度约为21.2m；

【点睛】此题主要考查了仰角、坡角问题的应用，要求学生借助仰角、坡角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数求解．

9．（陕西西安市西北工业大学附属中学2017届九年级五模）如图，学校一幢教学楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣传牌，已知米．小宏在点测得点的仰角为，再向教学楼前进米到达点，测得点的仰角为．若小宏的身高米，不考虑其它因素，求教学楼的高度．（结果精确到米）．（参考数据：，，）

【答案】28.8

【解析】试题分析：过作于点，解直角三角形即可.

试题解析：

设教学楼高米，

过作于点，则（米），（米），

10．（广东省深州市2017届初三七校联考）小明想测量位于池塘两端的A 、B 两点的距离．他沿着与直线AB 平行的道路EF 行走，当行走到点C 处，测得∠ ACF =45°，再向前行走100米到点D 处，测得∠ BDF =60°．若直线AB 与EF 之间的距离为60米，求A 、B 两点的距离．（结果保留三位有效数字，参考数据： 2≈1.414； 3≈1.732.）

【答案】74.6米

【解析】试题分析：过点A AM EF B BN EF M N ⊥⊥作，过点作，垂足分别为点、，然后通过解直角三角形求解即可.

试题解析：过点A AM EF B BN EF M N ⊥⊥作，过点作，垂足分别为点、

11．（安徽省合肥市庐阳区2017届九年级第二次模拟）“低碳环保，你我同行”．今年合肥市区的增设的“小黄车”、“摩拜单车”等公共自行车

给市民出行带来了极大的方便．图①是某种公共自行车的实物图，图②是该种公共自行车的

车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD=30cm，DF=20cm，AF=25cm，FD⊥AE于点D，

座杆CE=15cm，且∠EAB=75°．求点E到AB的距离．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°

≈0.26，tan75°≈3.73）

【答案】58.2cm.

解：在Rt△ADF中，由勾股定理得

则AE=AD+CD+EC=15+30+15=60（cm）

如图 ，

过点E作EH⊥AB于H，在Rt△AEH中，sinEAH=，

故EH=AEsinEAH=ABsin75°≈60×0.97=58.2（cm）

答：点E到AB的距离为58.2cm.

12．（广东省深圳市宝安区2017届中考数学二模）如图，在楼房MN前有两棵树与楼房在同一直线上，且垂直于地面，为了测量树AB、CD的高度，小明爬到楼房顶部M处，光线恰好可以经过树CD的顶站C点到达树AB的底部B 点，俯角为45°，此时小亮测得太阳光线恰好经过树CD的顶部C点到达楼房的底部N点，与地面的夹角为30°，树CD的影长DN为15米，请求出树AB、CD的高度．（结果保留根号）

【答案】树高AB是（3CD是3

【解析】试题分析: 在Rt△CDN中，由于tan30°=CD

DN

，得到CD=tan30°•3于是得到3Rt

△ABN中，根据三角函数的定义即可得到结论．