2018版高中数学北师大版必修五学案：第一章 3.2 等比数列的前n项和(一)
3.2 等比数列的前n 项和(一) 学习目标 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．
知识点一 等比数列的前n 项和公式的推导
思考 对于S 64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S 64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S 64?
梳理 设等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，前n 项和S n 可用下面的“错位相减法”求得． S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －
1.① 则qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －
1＋a 1q n .② 由①－②得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n .
当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q
. 当q ＝1时，由于a 1＝a 2＝…＝a n ，所以S n ＝na 1.
结合通项公式可得：
等比数列前n 项和公式：
S n ＝?????
a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1).
知识点二 等比数列的前n 项和公式的应用
思考 要求等比数列前8项的和：
(1)若已知数列的前三项，用哪个公式比较合适？
(2)若已知a 1，a 9和q ，用哪个公式比较合适？
梳理 一般地，使用等比数列求和公式时需注意：
(1) 一定不要忽略q ＝1的情况；
(2) 知道首项a 1、公比q 和项数n ，可以用a 1(1－q n )1－q ；知道首尾两项a 1，a n 和q ，可以用a 1－a n q 1－q
； (3) 在通项公式和前n 项和公式中共出现了5个量：a 1，n ，q ，a n ，S n .知道其中任意三个，可求其余两个．简称为：“知三求二”．
类型一 等比数列前n 项和公式的应用
命题角度1 前n 项和公式的直接应用
例1 求下列等比数列前8项的和：
(1)12，14，18
，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243
，q <0. 反思与感悟 求等比数列前n 项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q ＝1是否成立．
跟踪训练1 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.
命题角度2 通项公式、前n 项和公式的综合应用
例2 在等比数列{a n }中，S 2＝30，S 3＝155，求S n .
反思与感悟 (1) 在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．
(2)在前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．
跟踪训练2 在等比数列{a n }中，a 1＝2，S 3＝6，求a 3和q .
类型二 等比数列前n 项和的实际应用
例3 某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800
万元，以后每年投入将比上年减少15
，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长14
.求n 年内的总投入与n 年内旅游业的总收入．
反思与感悟 解应用题先要认真阅读题目，理解题意后，将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学知识解决问题．
跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m 吗？
1．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 等于( )
A.1－x n
1－x B.1－x n －
11－x
C.????? 1－x n 1－x ，x ≠1，n ，x ＝1
D.?????
1－x n －11－x ，x ≠1，n ，x ＝1 2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2
等于( ) A ．2B ．4C.152D.172
3．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是( )
A ．179
B ．211
C ．243
D ．275
4．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．
1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．
2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即当q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S 64，即S 64＝1－264
1－2
＝264－1. 知识点二
思考 (1)用S n ＝a 1(1－q n )1－q
； (2)用S n ＝a 1－a n q 1－q
. 题型探究
例1 解 (1)因为a 1＝12，q ＝12
， 所以S 8＝12[1－(12)8]1－12
＝255256. (2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得1243＝27·q 8.又由q <0，可得q ＝－13
. 所以S 8＝27[1－(－13)8]1－(－13)＝164081. 跟踪训练1 2 2n ＋
1－2 解析 设等比数列的公比为q ，
∵a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，
∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，
解得q ＝2，且a 1＝2.
因此S n ＝a 1(1－q n )1－q
＝2n ＋1－2. 例2 解 方法一 由题意知?????
a 1(1＋q )＝30，a 1(1＋q ＋q 2)＝155， 解得????? a 1＝5，q ＝5或????? a 1＝180，q ＝－56.
从而S n ＝5(1－5n )1－5
＝54(5n －1)
或S n ＝180[1－(－56)n ]1－(－56) ＝1080[1－(－56)n ]11
，n ∈N ＋. 方法二 若q ＝1，则S 3∶S 2＝3∶2，
而事实上，S 3∶S 2＝31∶6，故q ≠1.
所以????? a 1(1－q 2)1－q ＝30， ①a 1(1－q 3)1－q ＝155，②
两式作比，得1＋q 1＋q ＋q 2＝631
， 解得????? a 1＝5，q ＝5或????? a 1＝180，q ＝－56，
从而S n ＝5(1－5n )1－5
＝54(5n －1) 或S n ＝180[1－(－56)n ]1－(－56) ＝1080[1－(－56)n ]11
，n ∈N ＋. 跟踪训练2 解 由题意，得若q ＝1，则S 3＝3a 1＝6，符合题意．
此时，q ＝1，a 3＝a 1＝2.
若q ≠1，则由等比数列的前n 项和公式，
得S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝2(1－q 3)1－q
＝6， 解得q ＝－2.
此时，a 3＝a 1q 2＝2×(－2)2＝8.
综上所述，q ＝1，a 3＝2或q ＝－2，a 3＝8.
例3 解 第1年投入800万元，第2年投入800×????1－15万元，…，第n 年投入800×???
?1－15n －1万元，
所以每年的投入构成首项为800，公比为(1－15)的等比数列．故n 年内的总投入a n ＝800＋