高一数学必修一 第一章 知识点与习题讲解

必修1第一章集合与函数基础知识点整理

第1讲 §1.1.1 集合的含义与表示

¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、

集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.

¤知识要点：

1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.

2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ???，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集.

3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ???表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .

4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、?表示，例如3N ∈，2N -?.

¤例题精讲：

【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：

（1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合；

（2）大于2且小于7的整数. 解：（1）用描述法表示为：2{|(23)0}x R x x x ∈--=； 用列举法表示为{0,1,3}-.

（2）用描述法表示为：{|27}x Z x ∈<<； 用列举法表示为{3,4,5,6}.

【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B .

解：由3217k +=，解得5k Z =∈，所以17A ∈； 由325k +=-，解得7

3

k Z =

?，所以5A -?； 由6117m -=，解得3m Z =∈，所以17B ∈. 【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2

y x =

的自变量的值组成的集合. 解：（1）3

{(,)|}{(1,4)}26y x x y y x =+?=?

=-+?

. （2）2{|4}{|4}y y x y y =-=≥-. （3）2{|}{|0}x y x x x

==≠.

点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.

*【例4】已知集合2{|1}2

x a

A a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ． 解：化方程

2

12

x a

x +=-为：2(2)0x x a --+=．应分以下三种情况：

⑴方程有等根且不是 △=0，得94a =-，此时的解为1

2

x =，合．

A B

B A A B A B A ． B ．

C ．

D ．

x =

代入得a =

1x =

⑶方程有一解为

x =

代入得a =

1x =，合．

综上可知，9{,4

A =-．

点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现

象.

第2讲 §1.1.2 集合间的基本关系

¤学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集

的含义；能利用Venn 图表达集合间的关系.

¤知识要点：

1. 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A 是集合B 的子集（subset ），记作A B ?（或B A ?），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.

2. 如果集合A 是集合B 的子集（A B ?），且集合B 是集合A 的子集（B A ?），即集合A 与集合B 的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A B =.

3. 如果集合A B ?，但存在元素x B ∈，且x A ?，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作A ≠

?B （或B ≠?A ）.

4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set ），记作?，并规定空集是任何集合的子集.

5. 性质：A A ?；若A B ?，B C ?，则A C ?；

若A B A =，则A B ?；若A B A =，则B A ?. ¤例题精讲：

【例1】用适当的符号填空：

（1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.

（2）? 2

{|20}x R x ∈+=； 0 {0}； ? {0}； N {0}. 解：（1）， ；

（2）=， ∈， ，. 【例2】设集合1

,,}22

{|,{|n n x n n A x x B x =

∈=+∈==Z}Z ，

则下列图形能表示A 与B 关系的是（ ）.

解：简单列举两个集合的一些元素，3

113{,1,,0,,1,,}2

2

2

2

A =???---???，3113{,,,,,}2

222

B =???--???，

易知B ≠

?A ，故答案选A ．

另解：由21

,}2

{|n x n B x +=

∈=Z ，易知B ≠?A ，故答案选A ．

【例3】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ?，求实数a 的值.

解：由26023x x x +-=?=-或，因此，{}2,3M =-. （i ）若0a =时，得N =?，此时，N M ?； （ii ）若0a ≠时，得1{}N a =. 若N M ?,满足1123a a ==-或，解得1123

a a ==-或. 故所求实数a 的值为0或

12或1

3

-. 点评：在考察“A B ?”这一关系时，不要忘记“?” ，因为A =?时存在A B ?. 从而需要分情况讨

论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.

【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}. 若A =B ，求实数x 的值.

解：若2

2a b ax a b ax

+=??

+=??a +ax 2-2ax =0, 所以a (x -1)2=0，即a =0或x =1.

当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去； 当x =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去.

若22a b ax a b ax

?+=?+=??2ax 2-ax -a =0. 因为a ≠0，所以2x 2-x -1=0, 即(x -1)(2x +1)=0. 又x ≠1，所以只有12

x =-. 经检验，此时A =B 成立. 综上所述12

x =-. 点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.

第3讲 §1.1.3 集合的基本运算（一）

¤学习目标：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一

个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.

¤知识要点：

集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到

B （读作“B （读作“{|B x x ={|B x x =

¤例题精讲：

【例1】设集合,{|15},{|39},,()U R A x x B x x A B A

B ==-≤≤=<<求e.

解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤，

(){|1,9}U C A

B x x x =<-≥或， 【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B

C ==，求：

（1）()A B

C ； （2）()A A B

C e.

解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------. （1）又{}3B C =，∴()A B C ={}3；

（2）又{}1,2,3,4,5,6B

C =，

得{}()6,5,4,3,2,1,0A C B C =------.

∴ ()A A

C B

C {}6,5,4,3,2,1,0=------.

【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A =，求实数m 的取值范围. 解：由A B A =，可得A B ?.

在数轴上表示集合A 与集合B ，如右图所示： 由图形可知，4m ≥.

点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，

得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.

【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()U C A B ，()U C A B ，

()()U U C A C B ， ()()U U C A C B ，并比较它们的关系.

解：由{1,2,3,4,5,8}A B =，则(){6,7,9}U C A

B =.

由{5,8}A

B =，则(){1,2,3,4,6,7,9}

U C A

B =

由{1,3,6,7,9}U C A =，{2,4,6,7,9}U C B =， 则()

(){6,7,9}U U C A C B =， ()

(){1,2,3,4,6,7,9}U U C A C B =.

由计算结果可以知道，()()()U U U C A C B C A

B =，

()()()U U U C A C B C A B =.

另解：作出Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.

点评：可用Venn 图研究()()()U U U C A C B C A B =与()()()U U U C A C B C A B = ，在理解的基础记住

此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.

第4讲 §1.1.3 集合的基本运算（二）

¤学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中

的一些数学思想方法.

¤知识要点：

1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：()()()U U U C A B C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =.

2. 集合元素个数公式：()()()()n A B n A n B n A B =+-.

3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维. ¤例题精讲：

【例1】设集合{}

{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，若{}9A B =，求实数a 的值.

解：由于{}

{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，且{}9A

B =，则有：

当219 a -＝时，

解得5a ＝，此时={4, 9, 25}={9, 0, 4}A B －，－，不合题意，故舍去； 当29a ＝时，解得33a ＝或－.

3 ={4,5,9} ={9,2,2}a A B ＝时，－，－－，不合题意，故舍去；

3={4, 7 9}={9, 8, 4}a A B ＝－，－－，，－，合题意. 所以，3a ＝－.

【例2】设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求A B , A B .（教材P 14 B 组题2）

解：{1,4}B =.

当3a =时，{3}A =，则{1,3,4}A B =，A B =?； 当1a =时，{1,3}A =，则{1,3,4}A B =，{1}A B =； 当4a =时，{3,4}A =，则{1,3,4}A B =，{4}A B =；

当3a ≠且1a ≠且4a ≠时，{3,}A a =，则{1,3,4,}A B a =，A B =?.

点评：集合A 含有参数a ，需要对参数a 进行分情况讨论. 罗列参数a 的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.

【例3】设集合A ={x |240x x +=}， B ={x |222(1)10x a x a +++-=，a R ∈}，若A B =B ，求实数a 的值．

解：先化简集合A ={4,0}-. 由A B =B ，则B ?A ，可知集合B 可为?，或为{0}，或{－4}，或{4,0}-.

(i )若B =?，则224(1)4(1)0a a ?=+--<，解得a ＜1-； (ii )若0∈B ，代入得2a 1-=0?a =1或a =1-， 当a =1时，B =A ，符合题意；

当a =1-时，B ={0}?A ，也符合题意．

(iii )若－4∈B ，代入得2870a a -+=?a =7或a =1， 当a =1时，已经讨论，符合题意；

当a =7时，B ={－12，－4}，不符合题意． 综上可得，a =1或a ≤1-．

点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A =B 和B =?的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.

【例4】对集合A 与B ，若定义{|,}A B x x A x B -=∈?且，当集合*{|8,}A x x x N =≤∈，集合{|(2)(5)(6)0}B x x x x x =---=时，有A B -= . （由教材P 12 补集定义“集合A 相对于全集U 的补集为{|,}U C A x x x A =∈?且”而拓展）

解：根据题意可知，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =，{0,2,5,6}B =

由定义{|,}A B x x A x B -=∈?且，则 {1,3,4,7,8}A B -=.

点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A 中排除B 的元素. 如果再给定全集U ，则A B -也相当于()U A C B .

第5讲 §1.2.1 函数的概念

¤学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学

习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.

¤知识要点：

1. 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作y =()f x ，x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.

2. 设a 、b 是两个实数，且a

符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则

{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞. 3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.

¤例题精讲：

【例1】求下列函数的定义域： （1）1

21

y x =

+-；（2）y =

.

解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-， 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞.

（2）由

30

20

x -≥??≠，解得3x ≥且9x ≠，

所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞.

【例2】求下列函数的定义域与值域：（1）32

54x y x

+=

-； （2）22y x x =-++. 解：（1）要使函数有意义，则540x -≠，解得54x ≠. 所以原函数的定义域是5

{|}4

x x ≠.

32112813(45)233233305445445445444

x x x y x x x x ++-+==?=?=-+≠-+=-----，所以值域为3{|}4y y ≠-.

（2）22192()24y x x x =-++=--+. 所以原函数的定义域是R ，值域是9

(,]4

-∞.

【例3】已知函数1()1x

f x x

-=+. 求：

（1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式

解：（1）由

121x x -=+，解得13x =-，所以1

(2)3f =-. （2）设11x t x -=+，解得11t x t -=

+，所以1()1t f t t -=+，即1()1x

f x x

-=+. 点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需

要结合换元法、特值代入、方程思想等.

【例4】已知函数2

2

(),1x f x x R x =∈+. （1）求1()()f x f x +的值；（2）计算：111

(1)(2)(3)(4)()()()234

f f f f f f f ++++++.

解：（1）由22222222

2

1

111()()1111111x x x x f x f x x x x x x ++=+=+==+++++.

（2）原式11117

(1)((2)())((3)())((4)())323422

f f f f f f f =++++++=+=

点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.

第6讲 §1.2.2 函数的表示法

¤学习目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数；

通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；了解映射的概念.

¤知识要点：

1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.

2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）.

3. 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →”. 判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f .

¤例题精讲：

【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．

解：盒子的高为x ，长、宽为2a x －，所以体积为V ＝2(2)x a x －.

又由20a x >－，解得2

a x <

. 所以，体积V 以x 为自变量的函数式是2(2)V x a x =－，定义域为{|0}2

a x x <<.

【例2】已知

f (x )=33x x

-+?? (,1)(1,)x x ∈-∞

∈+∞，求f [f (0)]的值.

解：∵ 0(,1)∈-∞， ∴

f

又 ∵

，

∴ f

(

3+(-3=2+

12=52，即f [f (0)]=52

. 【例3】画出下列函数的图象：

（1）|2|y x =-； （教材P 26 练习题3） （2）|1||24|y x x =-++.

解：（1）由绝对值的概念，有2,2

|2|2,2x x y x x x -≥?=

-=

?

-

.

所以，函数|2|y x =-的图象如右图所示.

（2）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>??

=-++=+-≤≤??--<-?

，

所以，函数|1||24|y x x =-++的图象如右图所示.

点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.

【例4】函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，当( 2.5,3]x ∈-时，写出()f x 的解析式，并作出函数的图象.

解：3, 2.522,211,10()0,011,122,233,3

x x x f x x x x x --<<-??--≤<-?--≤

=≤

=?. 函数图象如右：

点评：解题关键是理解符号[]m 的概念，抓住分段函数的对应函数式.

第7讲 §1.3.1 函数的单调性

¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理

解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别.

¤知识要点：

1. 增函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1

2. 如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x )的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右

是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.

3. 判断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1

¤例题精讲：

【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1

x

f x x =

-在区间（0，1）上的单调性. 解：任取12,x x ∈(0,1)，且12x x <. 则1221121212222()

()()11(1)(1)

x x x x f x f x x x x x --=-=----. 由于1201x x <<<，110x -<，210x -<，210x x ->，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >.

所以，函数2()1

x

f x x =

-在（0，1）上是减函数. 【例2】求二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<的单调区间及单调性. 解：设任意12,x x R ∈，且12x x <. 则

22121122()()()()f x f x ax bx c ax bx c -=++-++221212()()a x x b x x =-+-1212()[()]x x a x x b =-++.

若0a <，当122b x x a <≤-

时，有120x x -<，12b

x x a

+<-，即12()0a x x b ++>，从而12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在(,2b a -∞-上单调递增. 同理可得()f x 在[,)2b

a

-+∞上单调递减.

【例3】求下列函数的单调区间：

（1）|1||24|y x x =-++；（2）22||3y x x

=

-

+

+.

解：（1）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>??

=-++=+-≤≤??--<-?

，其图象如右.

由图可知，函数在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数.

（2）22

223,0

2||323,0x x x y x x x x x ?-++≥?=-++=?--+

，其图象如右.

由图可知，函数在(,1]-∞-、[0,1]上是增函数，在[1,0]-、[1,)+∞上是减函数.

点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到(||)f x 的图象. 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.

【例4】已知31

()2x f x x +=+，指出()f x 的单调区间. 解：∵ 3(2)55

()322x f x x x +--==+

++， ∴ 把5

()g x x

-=的图象沿x 轴方向向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，

得到()f x 的图象，如图所示.

由图象得()f x 在(,2)-∞-单调递增，在(2,)-+∞上单调递增.

点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知()f x a b ++平移变换规律.

第8讲 §1.3.1 函数最大（小）值

¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数

图像理解和研究函数的性质. 能利用单调性求函数的最大（小）值.

¤知识要点：

1. 定义最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有()f x ≤M ；存在x 0∈I ，使得0()f x = M . 那么，称M 是函数()y f x =的最大值（Maximum Value ）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value ）的定义.

2. 配方法：研究二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值，先配方成2

24()24b ac b y a x a a

-=++后，

当0a >时，函数取最小值为244ac b a -；当0a <时，函数取最大值2

44ac b a

-.

3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单

调性求函数的最大值或最小值.

4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲：

【例1】求函数26

1y x x =

++的最大值.

解：配方为2613()24y x =++，由2133

()244x ++≥，得260813()24

x <

≤++. 所以函数的最大值为8.

【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.

解：设他将售出价定为x 元，则提高了(10)x -元，减少了10(10)x -件，所赚得的利润为

(8)[10010(10)]y x x =---.

即2210280160010(14)360y x x x =-+-=--+. 当14x =时，max

360y =.

所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为360元. 【例3

】求函数2y x =的最小值.

解：此函数的定义域为[)1,+∞，且函数在定义域上是增函数， 所以当1x =

时，min 22y =，函数的最小值为2.

点评：

形如y ax b =+也可以用换元法研究.

t =，则0t ≥，21x t =+，所以22115222(48

y t t t =++=++，在0t ≥时是增函数，当0t =时，min 2y =，故函数的最小值为2.

【例4】求下列函数的最大值和最小值：

（1）25332,[,]22

y x x x =--∈-； （2）|1||2|y x x =+--.

解：（1）二次函数232y x x =--的对称轴为2b

x a

=-

，即1x =-. 画出函数的图象，由图可知，当1x =-时，max 4y =； 当32x =时，min 9

4y =-.

所以函数253

32,[,]22

y x x x =--∈-的最大值为4,最小值为94-.

（2） 3 (2)|1||2|2 1 (12)3 (1)

x y x x x x x ≥??

=+--=--<

作出函数的图象，由图可知，[3,3]y ∈-. 所以函数的最大值为3, 最小值为-3.

点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.

第9讲 §1.3.2 函数的奇偶性

¤学习目标：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、

偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性.

¤知识要点： 1. 定义：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）. 如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-），那么函数()f x 叫奇函数（odd function ）. 2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y 轴轴对称.

3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别()f x -与()f x 的关系.

¤例题精讲：

【例1】判别下列函数的奇偶性：

（1）31

()f x x x

=-

； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-. 解：（1）原函数定义域为{|0}x x ≠，对于定义域的每一个x ，都有

3311

()()()()f x x x f x x x

-=--=--=--， 所以为奇函数.

（2）原函数定义域为R ，对于定义域的每一个x ，都有 ()|1||1||1||1|f x x x x x f x -=--+-+=-++=，所以为偶函数. （3）由于23()()f x x x f x -=+≠±，所以原函数为非奇非偶函数. 【例2】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1

()()1

f x

g x x -=+，求()f x 、()g x . 解：∵ ()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ∴ ()()f x f x -=-，()()g x g x -=

.

则1()()11()()1f x g x x f x g x x ?-=??+??---=?-+?，即1()()11()()1f x g x x f x g x x ?

-=??+??--=

?-+?

.

两式相减，解得2()1x f x x =-；两式相加，解得21

()1

g x x =-.

【例3】已知()f x 是偶函数，0x ≥时，2()24f x x x =-+，求0x <时()f x 的解析式.

解：作出函数22242(1)2,0y x x x x =-+=--+≥的图象，其顶点为(1,2). ∵ ()f x 是偶函数， ∴ 其图象关于y 轴对称.

作出0x <时的图象，其顶点为(1,2)-，且与右侧形状一致， ∴ 0x <时，22()2(1)224f x x x x =-++=--.

点评：此题中的函数实质就是224||y x x =-+. 注意两抛物线形状一致，则二次项系数a 的绝对值相同. 此类问题，我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求，过程如下.

【另解】当0x <时，0x ->，又由于()f x 是偶函数，则()()f x f x =-，

所以，当0x <时，22()()2()4()24f x f x x x x x =-=--+-=--.

【例4】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(,0)-∞上是减函数，实数a 满足不等式

22(33)(32)f a a f a a +-<-，求实数a 的取值范围.

解：∵ ()f x 在区间(,0)-∞上是减函数， ∴ ()f x 的图象在y 轴左侧递减. 又 ∵ ()f x 是奇函数，

∴()f x 的图象关于原点中心对称，则在y 轴右侧同样递减.

又 (0)(0)f f -=-，解得(0)0f =， 所以()f x 的图象在R 上递减.

∵ 22(33)(32)f a a f a a +-<-，

∴ 223332a a a a +->-，解得1a >.

点评：定义在R 上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.

集合与函数基础测试

一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求) 1．函数y ＝＝x 2－6x ＋10在区间（2，4）上是（ ）

A ．递减函数

B ．递增函数

C ．先递减再递增

D ．选递增再递减． 2．方程组2

0{

=+=-y x y x 的解构成的集合是

（ ）

A ．)}1,1{(

B ．}1,1{

C ．（1，1）

D ．}1{

3．已知集合A ={a ，b ，c },下列可以作为集合A 的子集的是 （ ） A. a B. {a ，c } C. {a ，e } D.{a ，b ，c ，d } 4．下列图形中，表示N M ?的是 （ ）

5．下列表述正确的是 （ ） A.}0{=? B. }0{?? C. }0{?? D. }0{∈?

6、设集合A ＝{x|x 参加自由泳的运动员}，B ＝{x|x 参加蛙泳的运动员}，对于“既参

M N A M

N B N M C M N D

加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( ) A.A∩B B.A ?B C.A ∪B D.A ?B

7.集合A={x Z k k x ∈=,2} ,B={Z k k x x ∈+=,12} ,C={Z k k x x ∈+=,14}又,,B b A a ∈∈则有（ ）

A.（a+b ）∈ A

B. (a+b) ∈B

C.(a+b) ∈ C

D. (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个

8．函数f （x ）＝－x 2＋2（a －1）x ＋2在（－∞，4）上是增函数，则a 的范围是（ ） A ．a ≥5 B ．a ≥3 C ．a ≤3 D ．a ≤－5 9.满足条件{1,2,3}?≠M ?≠

{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 （ ）

A. 8 B . 7 C. 6 D. 5 10.全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是 （ ）

A. A B

B. B A

C. B C A C U U

D. B C A C U U 11.下列函数中为偶函数的是（ ）

A ．x y =

B ．x y =

C ．2x y =

D ．13+=x y

12. 如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是 （ ） A ．0 B ．0 或1 C ．1 D ．不能确定 二、填空题(共4小题，每题4分，把答案填在题中横线上) 13．函数f （x ）＝2×2－3｜x ｜的单调减区间是___________．

14．函数y ＝

1

1

＋x 的单调区间为___________． 15.含有三个实数的集合既可表示成}1,,{a

b

a ，又可表示成}0,,{2

b a a +，则=+20042003b a .

16.已知集合}33|{≤≤-=x x U ，}11|{<<-=x x M ，}20|{<<=x x N C U 那么集合=N ，=?)(N C M U ，=?N M .

三、解答题(共4小题，共44分）

17. 已知集合}04{2=-=x x A ，集合}02{=-=ax x B ，若A B ?，求实数a 的取值集合．

18. 设f （x ）是定义在R 上的增函数，f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），f （3）＝1，求解不等式f （x ）＋f （x －2）＞1．

19. 已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2

—1，求f （x ）在R 上的表达式．

20. 已知二次函数222)1(2)(m m x m x x f -+-+-=的图象关于y 轴对称，写出函数的解析表达式，并求出函数)(x f 的单调递增区间.

必修1 第一章 集合测试

集合测试参考答案：

一、1~5 CABCB 6~10 ABACC 11~12 cB 二、13 ［0，

43］，（－∞，－4

3） 14 （－∞，－1），（－1，＋∞） 15 -1 16 03|{≤≤-=x x N 或}32≤≤x ；

}10|{)(<<=?x x N C M U ；

13|{<≤-=?x x N M 或}32≤≤x .

三、17 .{0.-1,1}； 18. 解：由条件可得f （x ）＋f （x －2）＝f ［x （x －2）］，1＝f （3）． 所以f ［x （x －2）］＞f （3），又f （x ）是定义在R 上的增函数，所以有x （x －2）＞3，可解得x ＞3或x ＜－1．

答案：x ＞3或x ＜－1．

19. ．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力． f （x ）＝x 3

＋2x 2

－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝-1．

当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3

＋2（－x ）2

－1＝－x 3

＋2x 2

－1， ∴f （x ）＝x 3

－2x 2

＋1．

20. 二次函数2

2

2)1(2)(m m x m x x f -+-+-=的图象关于y 轴对称，

∴1=m ，则1)(2

+-=x x f ，函数)(x f 的单调递增区间为(]0,∞-.

．