《线段垂直平分线》经典练习题(优选.)
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《线段垂直平分线》中一道习题的变式
例1：如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线
交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.
点评：此题是△ABC 中一边AB 的垂直平分线AC 相交;那么当AB 的垂直平分线与BC 相交时，(如图2),对应的是△ACE 的周长，它的周长也等于AC+BC.图形变化，但结论不变.
变式1：如图1，在△ABC 中， AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若∠BEC=70°，则∠A=？
.
点评：此题变式求角的计算方法，应用了两个定理.按照同样的方法,图2中也能得出相应的结论：∠AEC=2∠B.
变式2：
B
C
A
E
D
图1 A
B
D
E
图2
如图3，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。若BE=2，∠B =15°求：AC 的长。
点评：此题为图形变式，由一般三角形变为直角三角形，上面我们总结的结论不变，然后再应用直角三角形的有关性质。
[变式练习1]
如图4，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点 E.若BE=2，∠B =22.5°求：AC 的长.
例2: 如图5，在△ABC 中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N. (1) 求∠EAN 的度数. (2) 求△AEN 的周长. (3) 判断△AEN 的形状.
A
E
D C B
图3
A
E
D
C
B
图4
A
B
C
D
E M
N
[变式练习2]:如图6，在△ABC 中，AB=AC, BC=12,∠BAC =130°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N. (1) 求△AEN 的周长. (2) 求∠EAN 的度数. (3) 判断△AEN 的形状.
[变式练习3]:如图7，在△ABC 中， BC=12,∠BAC =100°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N. (1) 求△AEN 的周长. (2) 求∠EAN 的度数.
A
B
C
D
E
M
N
图6
C
图7
.
点评：例2和它的两道变式练习题中发现：三个图形由特殊到一般，从顶角是120°的等腰三角形到顶角是钝角的一般的等腰三角形到一般钝角三角形，△AEN 的形状也不断的变化，∠EAN 的度数也变化，但△AEN 的周长不变，因此得出结论：1）△AEN 的周长=BC 长.2）△AEN 的形状变化规律是由等边三角形到等腰三角形到一般三角形，与△ABC 的形状有关.3）∠EAN 的度数与∠BAC 的度数有关.因为∠EAN=180°-2∠B-2∠C=180°-2（∠B+∠C ）=180°-2（180°-∠BAC ）=2∠BAC -180°.从等式中也得出∠BAC 必须大于90°.
[变式练习4]
如图
8，△ABC 中, ∠BAC =70°, BC=12,AB 的垂直平分线
交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N.
求:∠EAN 的度数.
点评:由上题的方法得出∠AEC+∠BNA =2∠B+2∠C,由平角性质可得: ∠AEB+∠CNA=360°-(2∠B+2∠C),由三角形内角和定理得∠EAN=180°-2∠BAC
总评：从上述两道例题及变式题中得出无论是图形变化还是题条件变化，都和基本图形及由基本图形得出的结论有关.因此同学们在以后的学习或解题中，善于在复杂图形中找出基本图形，这样就会将图形简单化.应用由基本图形得出的相关结论，就会找出解题思路.
A
图8
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