数学二2015年考研真题及答案解析

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一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

１．下列反常积分收敛的是（ ）

（A

）2+∞

? （B ）2ln x dx x +∞

? （C ）21ln dx x x

+∞? （D ）2x x dx e +∞? 【详解】21p dx x +∞

?当且仅当1p >时才收敛，所以（A

）2+∞?是发散的； （B ）22212ln (ln )|x dx x x +∞+∞==+∞?

是发散的； （C ）22

1ln ln ln dx x x x +∞

+∞==+∞?是发散的； 事实上，对于（D ）22213()|x x x dx x e e e

+∞

-+∞-=-+=?，应该选（D ）． 2．函数201sin ()lim x t t t f x x →?

?=+ ???

在(,)-∞+∞内（ ） （A ）连续 （B ）有可去间断点（C ）有跳跃间断点 （D ）有无穷间断点 【详解】2

2

0010sin lim sin ()lim ,t x t x t x x t t t f x e e x x →?→??=+==≠ ???

函数在0x =处没有定义，而00

1lim ()lim x x x f x e →→==，所以应该选（B ）． 3．设函数 100000cos ,(),(,),x x f x x x αβαβ?>?=>>??≤?

，若()f x '在0x =处连续，则（ ） （A ）1αβ-> （B ）01αβ<-≤ （C ）2αβ-> （D ）02αβ<-≤

【详解】当0x >时，1111()cos sin f x x x x x

ααβββαβ---'=+，当0x <时，0()f x '=， 1001

1000cos

(),()lim lim cos x x x x f f x x x

αβαβ++--+→→''=== 要使函数在0x =处可导，必须满足101αα->?>；