2020-2021学年浙江省温州市苍南县灵溪学区八年级上学期期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年浙江省温州市苍南县灵溪学区八年级第一学期期中数
学试卷
一、选择题
1．（3分）下列微信表情图标属于轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．（3分）下列线段长度不能组成三角形的是（）
A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cm
C．5cm，5cm，6cm D．5cm，12cm，13cm
3．（3分）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（）
A．10°B．15°C．20°D．25°
4．（3分）在数轴上表示不等式﹣1＜x≤3，正确的是（）
A．B．
C．D．
5．（3分）下列选项中a，b的取值，可以说明“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的反例为（）A．a＝﹣5 b＝﹣6B．a＝6 b＝5C．a＝﹣6 b＝5D．a＝6 b＝﹣5 6．（3分）等腰三角形的两边长分别为6和12，则这个三角形的周长为（）A．18B．24C．30D．24或30
7．（3分）如图，∠ABC＝∠DCB，要说明△ABC≌△DCB，添加的条件不能是（）
A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．BE＝CE D．AC＝DB
8．（3分）如图，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝6，DE＝2，则△BCE的面积是（）
A．4B．6C．8D．12
9．（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE ＝75°，则∠CDE的度数是（）
A．60°B．65°C．75°D．80°
10．（3分）如图，在等腰△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AB＝2，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，并保持该直角三角板的两直角边分别与两边AC、BC相交，交点分别为D、E，则AD+BE的值是（）
A．1B．2C．D．2
二、细心填一填：（每小题3分，共24分）
11．（3分）根据数量关系列不等式：x的2倍与3的差大于7．
12．（3分）如图，已知△ABD≌△ACE，∠A＝53°，∠B＝22°，则∠BEC＝°．
13．（3分）写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是高线，E是AC的中点，若AB＝4，则DE＝．
15．（3分）若不等式（m﹣6）x＞m﹣6，两边同除以（m﹣6），得x＜1，则m的取值范围为．
16．（3分）如图，△ABC的周长为22，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，若AE＝5，则△ADB的周长是．
17．（3分）在五边形ABCDE中，△ACD为等边三角形．若AB＝DE，BC＝AE，∠E＝125°，则∠BAE的度数为．
18．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．
三、用心做一做（有6大题，共46分）
19．（5分）已知：如图，DB⊥AB，DC⊥AC，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC．完成下面的证明过程．
证明：∵DB⊥AB，DC⊥AC（），
∴∠ABD＝∠ACD＝90°．
∵∠1＝∠2，
∴DB＝DC（）．
∵AD＝AD，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（）．
∴∠BAD＝∠CAD（）．
∴AD平分∠BAC．
20．（6分）如图，已知∠BAD＝∠CAE，AB＝AD，AC＝AE．求证：∠B＝∠D．
21．（6分）在下面三个2×2的方格中，各作出一个与图中三角形成轴对称的图形，且所
画图形的顶点与方格中小正方形的顶点重合，并给所画图形涂上阴影（所画的三个图形不能重复）．
22．（8分）如图，在△ABC中，AM是△ABC的高线，AN是△ABC的角平分线，已知∠B＝50°，∠BAC＝100°，分别求出∠C和∠MAN的度数．
23．（10分）如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D是边AB上一点，DE与AC相交，AB＝13．
（1）求证：∠EAC＝∠B．
（2）若BD＝5，求DE的长．
24．（12分）已知：如图1，线段AD＝5，点B从点A出发沿射线AD方向运动，以AB 为底作等腰△ABC，使得AC＝BC＝AB．
（1）如图2，当AB＝10时，求证：CD⊥AB；
（2）当△BCD是以BC为腰的等腰三角形时，求BC的长；
（3）当AB＞5时，在线段BC上是否存在点E，使得△BDE与△ACD全等，若存在，求出BC的长；若不存在，请说明理由；
（4）作点A关于直线CD的对称点A′，连结CA′当CA′∥AB时，CA′＝（请
直接写出答案）．
参考答案
一、仔细选一选（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列微信表情图标属于轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
解：A、不是轴对称图形，本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，本选项不合题意；
C、是轴对称图形，本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，本选项不合题意．
故选：C．
2．（3分）下列线段长度不能组成三角形的是（）
A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cm
C．5cm，5cm，6cm D．5cm，12cm，13cm
解：A、1+2＝3，不能组成三角形，故此选项符合题意；
B、3+4＞5，能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、5+5＞6，能组成三角形，故此选项不符合题意；
D、5+12＞13，能组成三角形，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．（3分）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（）
A．10°B．15°C．20°D．25°解：由题意得，∠ABD＝60°，∠C＝45°，
∴∠α＝∠ABD﹣∠C＝15°，
故选：B．
4．（3分）在数轴上表示不等式﹣1＜x≤3，正确的是（）
A．B．
C．D．
解：∵﹣1≤x＜3，
∴在数轴上表示为：
故选：D．
5．（3分）下列选项中a，b的取值，可以说明“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的反例为（）A．a＝﹣5 b＝﹣6B．a＝6 b＝5C．a＝﹣6 b＝5D．a＝6 b＝﹣5解：当a＝﹣5，b＝﹣6时，a＞b，但|a|＜|b|，
∴“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题，
故选：A．
6．（3分）等腰三角形的两边长分别为6和12，则这个三角形的周长为（）A．18B．24C．30D．24或30
解：（1）当三边是6，6，12时，6+6＝12，不符合三角形的三边关系，应舍去；
（2）当三边是6，12，12时，符合三角形的三边关系，此时周长是30；
所以这个三角形的周长是30．
故选：C．
7．（3分）如图，∠ABC＝∠DCB，要说明△ABC≌△DCB，添加的条件不能是（）
A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．BE＝CE D．AC＝DB
解：∵∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，
∴选项A，可以根据SAS证明△ABC≌△DCB，
选项B，可以根据AAS证明△ABC≌△DCB，
选项C，可以根据ASA证明△ABC≌△DCB，
选项D，SSA不能判定三角形全等，
故选：D．
8．（3分）如图，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝6，DE＝2，则△BCE的面积是（）
A．4B．6C．8D．12
解：作EF⊥BC于F，
∵AC＝BC＝6，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，
∴CD⊥AB，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝6，
故选：B．
9．（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三
等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE ＝75°，则∠CDE的度数是（）
A．60°B．65°C．75°D．80°
解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，
∴∠ODC＝25°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，
∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．
故选：D．
10．（3分）如图，在等腰△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AB＝2，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，并保持该直角三角板的两直角边分别与两边AC、BC相交，交点分别为D、E，则AD+BE的值是（）
A．1B．2C．D．2
解：连接CO，
∵O是AB中点，AC＝BC，
∴CO⊥AB且∠OCD＝45°．
∵三角形ACB是等腰直角三角形，
∴CO＝BO．
∵∠COE+∠EOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，
∴∠COD＝∠BOE．
在△COD和△BOE中，
，
∴△COD≌△BOE（ASA）．
∴CD＝BE．
∴AC＝AD+CD＝AD+BE．
∵等腰直角三角形的斜边AB＝2，
∴AC＝．
∴AD+BE＝．
故选：C．
二、细心填一填：（每小题3分，共24分）
11．（3分）根据数量关系列不等式：x的2倍与3的差大于72x﹣3＞7．解：根据题意可得：2x﹣3＞7．
故答案为：2x﹣3＞7．
12．（3分）如图，已知△ABD≌△ACE，∠A＝53°，∠B＝22°，则∠BEC＝75°．
解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠C＝∠B＝22°，
∵∠A＝53°，
∴∠BEC＝∠A+∠C＝22°+53°＝75°，
故答案为：75．
13．（3分）写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题“面积相等的两个三角形全等”．
解：命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题“面积相等的两个三角形全等”，故答案为：“面积相等的两个三角形全等”．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是高线，E是AC的中点，若AB＝4，则DE＝2．
解：∵AB＝AC，AB＝4，
∴AC＝4．
在△ABC中，CD是高线，
∴∠ADC＝90°，
又∵E是AC的中点，
∴DE＝AC＝2．
故答案为：2．
15．（3分）若不等式（m﹣6）x＞m﹣6，两边同除以（m﹣6），得x＜1，则m的取值范围为m＜6．
解：若不等式（m﹣6）x＞m﹣6，两边同除以（m﹣6），得x＜1，
则m﹣6＜0，
解得m＜6，
故答案为：m＜6．
16．（3分）如图，△ABC的周长为22，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，若AE＝5，则△ADB的周长是12．
解：∵△ABC的周长为22，
∴AB+BC+AC＝22，
∵DE是线段AC的垂直平分线，AE＝5，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝10，
∴AB+BC＝12，
∴△ADB的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝12，
故答案为：12．
17．（3分）在五边形ABCDE中，△ACD为等边三角形．若AB＝DE，BC＝AE，∠E＝125°，则∠BAE的度数为115°．
解：∵∠E＝125°，
∴∠EDA+∠EAD＝180°﹣∠E＝180°﹣125°＝55°，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，∠CAD＝60°，
在△ABC和△DEA中
，
∴△ABC≌△DEA（SSS），
∴∠B＝∠E＝125°，∠BAC＝∠EDA，∠ACB＝∠EAD，
∴∠BAE＝∠CAD+∠BAC+∠EAD＝60°+∠ADE+∠EAD＝60°+55°＝115°，故答案为：115°．
18．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为3或6．
解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E＝∠B＝90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，如图，∴EB＝EB′，AB＝AB′＝6，
∴CB′＝10﹣6＝4，
设BE＝x，则EB′＝x，CE＝8﹣x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2＝CE2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴BE＝3；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．
此时ABEB′为正方形，
∴BE＝AB＝6．
综上所述，BE的长为3或6．
故答案为：3或6．
三、用心做一做（有6大题，共46分）
19．（5分）已知：如图，DB⊥AB，DC⊥AC，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC．完成下面的证明过程．
证明：∵DB⊥AB，DC⊥AC（已知），
∴∠ABD＝∠ACD＝90°．
∵∠1＝∠2，
∴DB＝DC（等角对等边）．
∵AD＝AD，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）．
∴∠BAD＝∠CAD（全等三角形的对应角相等）．
∴AD平分∠BAC．
解：∵DB⊥AB，DC⊥AC（已知），
∴∠ABD＝∠ACD＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴DB＝DC（等角对等边），
∵AD＝AD，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
∴∠BAD＝∠CAD（全等三角形的对应角相等），
∴AD平分∠BAC．
故答案为：已知，等角对等边，HL，全等三角形的对应角相等．
20．（6分）如图，已知∠BAD＝∠CAE，AB＝AD，AC＝AE．求证：∠B＝∠D．
【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE．
∵AB＝AD，AC＝AE，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
∴∠B＝∠D．
21．（6分）在下面三个2×2的方格中，各作出一个与图中三角形成轴对称的图形，且所画图形的顶点与方格中小正方形的顶点重合，并给所画图形涂上阴影（所画的三个图形不能重复）．
解：如图，三角形即为所求作．
22．（8分）如图，在△ABC中，AM是△ABC的高线，AN是△ABC的角平分线，已知∠B＝50°，∠BAC＝100°，分别求出∠C和∠MAN的度数．
解：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣100°＝30°．
在△ABM中，∠B＝50°，AM⊥BM，
∴∠AMB＝90°，
∴∠BAM＝90°﹣∠B＝40°．
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN＝∠BAC＝50°，
∴∠MAN＝∠BAN﹣∠BAM＝50°﹣40°＝10°．
23．（10分）如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D是边AB上一点，DE与AC相交，AB＝13．
（1）求证：∠EAC＝∠B．
（2）若BD＝5，求DE的长．
【解答】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠EAC＝∠B；
（2）解：由（1）得△ACE≌△BCD，
∴∠CAE＝∠CBD，AE＝BD＝5，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝∠CBA＝∠CAE＝45°，
∴∠EAD＝45°+45°＝90°，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE＝＝＝．
24．（12分）已知：如图1，线段AD＝5，点B从点A出发沿射线AD方向运动，以AB 为底作等腰△ABC，使得AC＝BC＝AB．
（1）如图2，当AB＝10时，求证：CD⊥AB；
（2）当△BCD是以BC为腰的等腰三角形时，求BC的长；
（3）当AB＞5时，在线段BC上是否存在点E，使得△BDE与△ACD全等，若存在，求出BC的长；若不存在，请说明理由；
（4）作点A关于直线CD的对称点A′，连结CA′当CA′∥AB时，CA′＝5（请直接写出答案）．
解：（1）如图2中，
∵AB＝10，AD＝5，
∴AD＝DB，
∵CA＝CB，AD＝DB，
∴CD⊥AB．
（2）如图1中，当AB＜AD时，BC＝BD．
设AB＝10k，则AC＝BC＝6k，
∵AD＝5，
∴10k+6k＝5，
∴k＝，
∴BC＝6k＝．
如图1﹣1中，当AB＞AD时，BC＝BD，同法可得10k﹣6k＝5，解得k＝，
∴BC＝6k＝，
综上所述，BC的值为或．
（3）如图3﹣1中，当△ADC≌△BED时，BD＝AC＝BC，
由（2）可知，BC＝．
如图3﹣2中，当△ADC≌△BCE时，点E与C重合，此时AB＝10k＝5，
∴AB＝，BC＝6k＝3．
综上所述，BC的值为或3．
（4）如图3中，当CA′∥AB时，
∵CA′∥AB，
∴∠ADC＝∠A′CD，
由翻折可知，∠A′CD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴AC＝AD＝5，
∴CA′＝CA＝5．