函数解析式的七种求法

一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f

解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则

b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([

∴???=+=342b ab a ∴??????=-===321

2b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或

二、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。

例2 已知221)1(x

x x x f +=+

)0(>x ，求 ()f x 的解析式解：2)1()1(2-+=+x x x x f Θ， 21≥+x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x

三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f

解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x Q x x x f 2)1(+=+

∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f

1)(2-=∴x x f )1(≥x

x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例4已知：函数)(2

x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点

则?????=+'-=+'32

22y y x x ，解得：???-='--='y y x x 64 ， Θ点),(y x M '''在)(x g y =上

x x y '+'='∴2

把???-='--='y

y x x 64代入得： )4()4(62--+--=-x x y

整理得672

---=x x y ∴67)(2---=x x x g

五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例5 设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f

解 Θx x f x f =-)1(2)( ①

显然,0≠x 将x 换成x

1，得： x

x f x f 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：

x x f 323)(--= 例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1

1)()(-=

+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式

解 Θ)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，

)()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴

又1

1)()(-=+x x g x f ① ，用x -替换x 得：11)()(+-

=-+-x x g x f 即1

1)()(+-=-x x g x f ② 解① ②联立的方程组，得

11)(2-=x x f ， x

x x g -=21)( 六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，

求)(x f

解Q 对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，

不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2

+-=-+=+--=-y y y y y y f y f 再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2

++=x x x f 七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过

迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。

例8 设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f

解Θ +∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，，

∴不妨令1,==b x a ，得：x x f f x f -+=+)1()1()(，

又1)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故 ①

分别令①式中的1,21x n =-L 得：

(2)(1)2,

(3)(2)3,()(1),

f f f f f n f n n -=-=--=L L

将上述各式相加得：n f n f Λ++=-32)1()(，

2)1(321)(+=

+++=∴n n n n f Λ +∈+=∴N x x x x f ,2

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