2020年初中数学竞赛辅优知识点
初中数学竞赛知识点归纳
一、数的整除(一)
如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除.
一些数的整除特征
能被7整除的数的特征:
①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除。
如1001 100-2=98(能被7整除)
又如7007 700-14=686,68-12=56(能被7整除)
能被11整除的数的特征:
①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除
如1001 100-1=99(能11整除)
又如10285 1028-5=1023 102-3=99(能11整除)
二、倍数.约数
1、两个整数A和B(B≠0),如果B能整除A(记作B|A),那么A叫做B的倍数,B叫做A的约数。例如3|15,15是3的倍数,3是15的约数。
2、因为0除以非0的任何数都得0,所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数,非0整数都是0的约数。如0是7的倍数,7是0的约数。
3、整数A(A≠0)的倍数有无数多个,并且以互为相反数成对出现,0,±A,±2A,……都是A的倍数,例如5的倍数有±5,±10,……。
4 、整数A(A≠0)的约数是有限个的,并且也是以互为相反数成对出现的,其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1,±2,±3,±6。
5、通常在正整数集合里研究公倍数和公约数,几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6、公约数只有1的两个正整数叫做互质数(例如15与28互质)。
7 、在有余数的除法中,被除数=除数×商数+余数若用字母表示可记作:
A=BQ+R,当A,B,Q,R都是整数且B≠0时,A-R能被B整除
例如23=3×7+2 则23-2能被3整除。
三、质数.合数
1、正整数的一种分类:
质数的定义:如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数(质数也称素数)。
合数的定义:一个正整数除了能被1和本身整除外,还能被其他的正整数整除,这样的正整数叫做合数。
2、根椐质数定义可知
①质数只有1和本身两个正约数,
②质数中只有一个偶数2
如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2,
如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2,
3、任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。
四、零的特性
一,零既不是正数也不是负数,是介于正数和负数之间的唯一中性数。零是自然数,是整数,是偶数。
1,零是表示具有相反意义的量的基准数。
例如:海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高收支衡可记作结存0元。
2,零是判定正、负数的界限。
3,在一切非负数中有一个最小值是0。
例如绝对值、平方数都是非负数,它们的最小值都是0。
记作:|a|≥0,当a=0时,|a|的值最小,是0,
a2≥0,a2有最小值0(当a=0时)。
4,在一切非正数中有一个最大值是0。
例如-|X|≤0,当X=0时,-|X|值最大,是0,(∵X≠0时都是负数),
-(X-2)2 0,当X=2时,-(X-2)2的值最大,是0。
二,零具有独特的运算性质
1,乘方:零的正整数次幂都是零。
2,除法:零除以任何不等于零的数都得零;
零不能作除数。从而推出,0没有倒数,分数的分母不能是0。
3,乘法:零乘以任何数都得零。即a×0=0,
反过来如果ab=0,那么a、b中至少有一个是0。
要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。
4,加法互为相反数的两个数相加得零。反过来也成立。
即a、b互为相反数?a+b=0
5,减法两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定,
若a-b=0,则a=b; 若a-b>0,则a>b; 若a-b<0,则a<b。
反过来也成立,当a=b时,a-b=0;当a>b时,a-b>0;当a
三,在近似数中,当0作为有效数字时,它表示不同的精确度。
例如近似数1.6米与1.60米不同,前者表示精确到0.1米(即1分米),误差不超过5厘米;后者表示精确到0.01米(即1厘米),误差不超过5毫米。可用不等式表示其值范
围如下:1.55≤近似数1.6<1.65 1.595≤近似数1.60<1605
五、a n的个位数
1、整数a的正整数次幂a n,它的个位数字与a的末位数的n次幂的个位数字相同。例如20023与23的个位数字都是8。
2、对 0,1,5,6,的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。例如57的个位数是5,620的个位数是6。
3.对2,3,7的正整数次幂的个位数字的规律见下表:
其规律是:2的正整数次幂的个位数是按2、4、8、6四个数字循环出现,即24k+1与21,24K +2与22,24K+3与23,24K+4与24的个位数是相同的(K是正整数)。3和7也有类似的性质。
4、对 4,8,9的正整数次幂的个位数,可仿照上述方法,也可以用4=22,
8=23,9=32转化为以2、3为底的幂。
5、综上所述,整数a的正整数次幂的个位数有如下的一般规律:
a4K+m与a m的个位数相同(k,m都是正整数)
六、数学符号
数学符号是表达数学语言的特殊文字。每一个符号都有确定的意义,即当我们把它规定为某种意义后,就不再表示其他意义。
数学符号一般可分为:
1, 元素符号:通常用小写字母表示数,用大写字母表示点,用⊙和△表示园和三角形等。2, 关系符号:如等号,不等号,相似∽,全等≌,平行∥,垂直⊥等。
3, 运算符号:如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。
4, 逻辑符号:略
5, 约定符号和辅助符号:例如我们约定正整数a和b中,如果a除以b的商的整数部份
记作Z(
b
a
),而它的余数记作R(
b
a
),那么
Z(
3
10
)=3,R(
3
10
)=1;又如设[]x表示不大于x的最大整数,那么[]2.5=5,[]2.5-
=-6,?
?
?
??
?
3
2
=0,[]3-=-3。
正确使用符号的关健是明确它所表示的意义(即定义)
对题设中临时约定的符号,一定要扣紧定义,由简到繁,由浅入深,由具体到抽象,逐步
加深理解。
在解题过程中为了简明表述,需要临时引用辅助符号时,必须先作出明确的定义,所用符
号不要与常规符号混淆。
七、用字母表示数
1,用字母表示数最明显的好处是能把数量间的关系简明而普遍地表达出来,从具体的字
计算到用抽象的字母概括运算规律上,是一种飞跃。
2,用字母表示数时,字母所取的值,应使代数式有意义,并使它所表示的实际问题有意
义。
例如①写出数a的倒数②用字母表示一切偶数
解:①当a≠0时,a的倒数是
a
1
②设n为整数,2n可表示所有偶数。
3,命题中的字母,一般要注明取值范围,在没有说明的情况下,它表示所学过的数,并
且能使题设有意义。
例题①化简:⑴|x -3|(x<3)⑵| x+5|
解:⑴∵x<3,∴x-3<0,
∴|x-3|=-(x-3)=-x+3
⑵当x≥-5时,|x+5|=x+5,
当x <-5时,|x+5|=-x-5(本题x 表示所有学过的数)
例② 己知十位上的数是a,个位数是b ,试写出这个两位数 解:这个两位数是10a+b
(本题字母a 、b 的取值是默认题设有意义,即a 表示1到9的整数,b 表示0到9的整数) 4, 用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式时,一般左边作为题设,所用的字母是使左边代数式有意义的,所以只对变形到右边所增加的字母的取值加以说明。 例如用字母表示:①分数的基本性质 ②分数除法法则 解:①分数的基本性质是
am bm a b =
(m ≠0),m a m
b a b ÷÷= (m ≠0) a 作为左边的分母不另说明a ≠0, ②
d
c
a b c d a b ?=÷(d ≠0) d 在左边是分子到了右边变分母,故另加说明。
5, 用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式,不仅可从左到右顺用,还可从右到左逆用;公式可以变形,变形时字母取值范围有变化时应加说明。例如: 乘法分配律,顺用a(b+c)=ab+ac,
=?-)178********(8121724172-
=17
12
逆用5a+5b=5(a+b), 6.25×3.14-5.25×3.14=3.14(6.25-5.25)=3.14
路程S=速度V ×时间T , V=
T S
(T ≠0), T=
V
S
(V ≠0)
6, 用因果关系表示的性质、法则,一般不能逆用。
例如:加法的符号法则 如果a>0,b>0, 那么 a+b>0,不可逆
绝对值性质 如果a>0,那么|a|=a 也不可逆(若|a|=a 则a ≥0) 7, 有规律的计算,常可用字母表示其结果,或概括成公式。 例1:正整数中不同的五位数共有几个?不同的n 位数呢?
解:不同的五位数可从最大 五位数99999减去最小五位数10000前的所有正整数,即99999-9999=90000.
推广到n 位正整数,则要观察其规律 一位正整数,从1到9共9个, 记作9×1 二位正整数从10到99共90个, 记作9×10
三位正整数从100到999共900个, 记作9×10
2
四位正整数从1000到9999共9000个, 记作9×10
3
(指数3=4-1)
…… ……
∴n 位正整数共9×10
n-1
个
例2 _____________________________________________________
A C D E
B 在线段AB 上加了3个点
C 、
D 、
E 后,图中共有几条线段? 加n 点呢? 解:以A 为一端的线段有: AC 、AD 、AE 、AB 共4条 以C 为一端的线段有:(除CA 外) CD 、CE 、CB 共3条 以D 为一端的线段有:(除DC 、DA 外) DE 、DB 共2条 以E 为一端的线段有:(除ED 、EC 、EA 外) EB 共1条 共有线段1+2+3+4=10 (条) 注意:3个点时,是从1加到4, 因此 如果是n 个点,则共有线段1+2+3+……+n+1=
n n 211++=
2
)
2(+n n 条 八、抽屉原则
1, 4个苹果放进3个抽屉,有一种必然的结果:至少有一个抽屉放进的苹果不少于2个(即等于或多于2个);如果7个苹果放进3个抽屉,那么至少有一个抽屉放进的苹果不少于3个(即的等于或多于3个),这就是抽屉原则的例子。 2, 如果用
{}
n m 表示不小于n
m
的最小整数,例如
{}
37=3,
{}2
36= 。那么抽屉
原则可定义为:m 个元素分成n 个集合(m 、n 为正整数m>n ),则至少有一个集合里元素不少于
{n m 个。
3, 根据{n m 的定义,己知m 、n 可求
{n m ;
己知
{n m ,则可求n
m
的范围,例如己知
{}
n m =3,那么2<n
m
≤3;己知
{}
3x =2,
则 1<3
x
≤2,即3<x ≤6,x 有最小整数值4
九、一元一次方程解的讨论
1, 方程的解的定义:能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。
例如:方程 2x +6=0, x (x-1)=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解 分别是: x=-3, x=0或x=1, x=±6, 所有的数,无解。 2, 关于x 的一元一次方程的解(根)的情况:化为最简方程ax=b 后,
讨论它的解:当a ≠0时,有唯一的解 x=a
b
;
当a=0且b ≠0时,无解;
当a=0且b =0时,有无数多解。(∵不论x 取什么值,0x =0都成立) 3, 求方程ax=b(a ≠0)的整数解、正整数解、正数解
初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题10 最优化_答案[精品]
专题10 最优化 例1. 4 提示:原式=1 12 - 62 -+)(x . 例2. B 提示:由-1≤y ≤1有0≤≤1,则=22 +16+3y 2 =142 +4+3是开口向上,对称轴为7 1 -=x 的抛物线. 例3. 分三种情况讨论:①0≤a +?)(,∴f (a )=2a ,即2a =2132-2+a ,则?? ? ??=--=413 172b a 综上,(a ,b )=(1,3)或(17-2-, 4 13 ) 例4. (1) 121≤≤x ,y 2 = 21+216143-2+-)( x .当=4 3时,y 2 取得最大值1,a =1; 当21= x 或=1时,y 2取得最小值21,b =22.故a 2+b 2=2 3. (2) 如图,AB =8,设AC =,则BC =8- ,AD =2,CD =42+x ,BE =4,CE =16)-8(2+x BF =AD =2. 10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x 当且仅当D ,C ,E 三点共线时,原式取最小值.此时△EBC ∽△DAC ,有 22 4 ===DA EB CA BC , 从而=AC = 3831=AB .故原式取最小值时,=3 8. (3)如图, 原式= [] 22222 2 2)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+)()(
-初中数学竞赛知识点
初中数学竞赛知识点归纳 一、数的整除(一) 如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除. ①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除。 如1001100-2=98(能被7整除) 又如7007700-14=686,68-12=56(能被7整除) 能被11整除的数的特征: ①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除 如1001100-1=99(能11整除) 又如102851028-5=1023102-3=99(能11整除) 二、倍数.约数 1 两个整数A和B(B≠0),如果B能整除A(记作B|A),那么A叫做B的倍数,B叫做A的约数。例如3|15,15是3的倍数,3是15的约数。 2 因为0除以非0的任何数都得0,所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数,非0整数都是0的约数。如0是7的倍数,7是0的约数。 3 整数A(A≠0)的倍数有无数多个,并且以互为相反数成对出现,0,±A,±2A,……都是A的倍数,例如5的倍数有±5,±10,……。 4 整数A(A≠0)的约数是有限个的,并且也是以互为相反数成对出现的,其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1,±2,±3,±6。 5 通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数,几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。 6 公约数只有1的两个正整数叫做互质数(例如15与28互质)。 7 在有余数的除法中,被除数=除数×商数+余数若用字母表示可记作: A=BQ+R,当A,B,Q,R都是整数且B≠0时,A-R能被B整除 例如23=3×7+2则23-2能被3整除。 三、质数.合数 1正整数的一种分类:
人教版九年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共30讲)
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专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式,分母有理化等概念,常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点,也是难点,这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识,又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法,解题的基本思路是: 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论,同时变条件与结论,再代入求值. 数学思想: 数学中充满了矛盾,如正与负,加与减,乘与除,数与形,有理数与无理数,常量与变量、有理式与无理式,相等与不等,正面与反面、有限与无限,分解与合并,特殊与一般,存在与不存在等,数学就是在矛盾中产生,又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数) 例题与求解 【例1】 当x = 时,代数式32003 (420052001)x x --的值是( ) A 、0 B 、-1 C 、1 D 、2003 2- (绍兴市竞赛试题) 【例2】 化简 (1(b a b ab b -÷-- (黄冈市中考试题) (2 (五城市联赛试题)
(3 (北京市竞赛试题) (4 (陕西省竞赛试题) 解题思路:若一开始把分母有理化,则计算必定繁难,仔细观察每题中分子与分母的数字特点,通过分解、分析等方法寻找它们的联系,问题便迎刃而解. 思想精髓:因式分解是针对多项式而言的,在整式,分母中应用非常广泛,但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中,恰当地作类似于因式分解的变形,可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少? (西安交大少年班入学试题) 解题思路:直接展开,计算较繁,可引入有理化因式辅助解题,即设x y == 想一想:设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. (“祖冲之杯”邀请赛试题) 的根式为复合二次根式,常用配方,引入参数等方法来化简复合二次根式.
初中奥林匹克数学竞赛知识点总结及训练题目-求根公式
初中数学竞赛辅导讲义---走进追问求根公式 形如02=++c bx ax (0≠a )的方程叫一元二次方程,配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。 求根公式a ac b b x 2422,1-±-=内涵丰富:它包含了初中阶段已学过的全部代数运算;它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题;它展示了数学的简洁美。 降次转化是解方程的基本思想,有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题,直接求解可能给解题带来许多不便,往往不是去解这个二次方程,而是对方程进行适当的变形来代换,从而使问题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。 【例题求解】 【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个。 思路点拨:从指数运算律、±1的特征人手,将问题转化为解方程。 【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根,那么1942231+-x x 的值等于( ) A 、一4 B 、8 C 、6 D 、0 思路点拨:求出1x 、2x 的值再代入计算,则计算繁难,解题的关键是利用根的定义及变形,使多项式降次,如1213x x -=,2223x x -=。 【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a 。 思路点拨:因不知晓原方程的类型,故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论。 【例4】 设方程04122=---x x ,求满足该方程的所有根之和。 思路点拨:通过讨论,脱去绝对值符号,把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等,且x a d d c c b b a =+=+=+=+1111, 试求x 的值。 思路点拨:运用连等式,通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示,由解方程求得x 的值。 注:一元二次方程常见的变形形式有: (1)把方程02=++c bx ax (0≠a )直接作零值多项式代换; (2)把方程02=++c bx ax (0≠a )变形为c bx ax --=2,代换后降次; (3)把方程02=++c bx ax (0≠a )变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2,代换后使之转化关系或整体地消去x 。 解合字母系数方程02=++c bx ax 时,在未指明方程类型时,应分0=a 及0≠a 两种情况讨论;解绝
七年级数学竞赛培优(含解析)专题27 以形借数
27 以形借数——借助图形思考 阅读与思考 数学是研究数量关系与空间形式的科学,数与形以及数和形的关联与转化,这是数学研究的永恒主题,就解题而言,数与形的恰当结合,常常有助于问题的解决,美国数学家斯蒂恩说:“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形,那么思维就整体地把握了问题,并且能创造性地思考问题的解法”.将问题转化为一个图形,把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来,是一个十分重要的解题方法,现阶段借助图形思考是指以下两个方面: 1.从给定的图形获取解题信息 数学问题的表述方法很多,既有用文字叙述的,也有通过图形(如数轴、图表、平面图形等)来呈现的,善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能. 2.有意地画图辅助解题 图形能直观、形象地表示数量及关系,解题中有意地画图(如画直线图、列表、构造图形等)能帮助分析理顺复杂数量关系,使问题获得简解. 阅读与思考 【例1】如图,圆周上均匀地钉了9枚钉子,钉尖朝上,用橡皮筋套住 其中的3枚,可套得一个三角形,所有可以套出来的三角形中,不同 形状的共有____________种。 (“五羊杯”竞赛试题) x y z则解题思路:圆周长保持不变,设圆周长为9,套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,, ≤≤,借助图形分析,找出满足条件的整数解即可。 ++=。不妨设x y z 9 x y z
【例2】一列快车从甲地驶往乙地,一列慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发,设慢车行驶的时间为x(h),两车之间的距离为 ........y(km),图中的折线表示y与x之间的函数关系。根据图像进行一下探究: 信息读取 (1)甲、乙两地之间的距离为___________km。 (2)请解释图中点B的实际意义。 图像理解 (3)求慢车和快车的速度。 (4)求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围。 问题解决 (5)若第二列快车也从甲地出发驶往乙地,速度与第一列快车相同。在第一列快车与慢车相遇30分钟后,第二列快车与慢车相遇。求第二列快车比第一列快车晚车发多少小时? (江苏省南京市中考试题)解题思路:函数图像包含了两种不同层次的信息:有慢车行驶900km用了12h等可直接感知的浅层结构信息,也有在0~4小时之间以及稍后的一段时间内,快车和慢车的速度之和为定值和C点表示快车在某一时刻已到达终点等需要经过分析或运算才能获得的深层结构的信息。
初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题25 配方法-精编
专题 25 配方法 阅读与思考 把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式,这种方法叫配方法,配方法是代数变形的重要手段,是研究相等关系,讨论不等关系的常用技巧. 配方法的作用在于改变式子的原有结构,是变形求解的一种手段;配方法的实质在于揭示式子的非负性,是挖掘隐含条件的有力工具. 配方法解题的关键在于“配方”,恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧,常见的等式有: 1、222 2()a ab b a b ±+=± 2、2 a b ±= 3、2222 222()a b c ab bc ca a b c +++++=++ 4、2 2 2 2221 [()()()]2 a b c ab bc ac a b b c a c ++---= -+-+- 配方法在代数式的求值,解方程、求最值等方面有较广泛的应用,运用配方解题的关键在于: (1) 具有较强的配方意识,即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系,如2 a = 能 联想起配方法. (2) 具有整体把握题设条件的能力,即善于将某项拆开又重新分配组合,得到完全平方式. 例题与求解 【例1】 已知实数x ,y ,z 满足2 5,z 9x y xy y +==+- ,那么23x y z ++=_____ (“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路:对题设条件实施变形,设法确定x , y 的值. 【例2】 若实数a ,b , c 满足222 9a b c ++= ,则代数式2 2 2 ()()()a b b c c a -+-+- 的 最大值是 ( ) A 、27 B 、18 C 、15 D 、12 (全国初中数学联赛试题) 解题思路:运用乘法公式 ,将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.
七年级数学竞赛常见题型及解析
七年级数学竞赛常见题型 有理数及其运算篇 【核心提示】 有理数部分概念较多,其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方. 通过数轴要尝试使用―数形结合思想‖解决问题,把抽象问题简单化.相反数看似简单,但互为相反数的两个数相加等于0这个性质有时总忘记用..绝对值是中学数学中的难点,它贯穿于初中三年,每年都有不同的难点,我们要从七年级把绝对值学好,理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用,也要会逆向用,难点往往出现在逆用法则方面. 【核心例题】 例1计算: 2007 20061 ......431321211?++?+?+? 分析 此题共有2006项,通分是太麻烦.有这么多项,我们要有一种―抵消‖思想,如能把一些项抵消了,不就变得简单了吗?由此想到拆项,如第一项可拆成 2 1 11211-=?,可利用通项 ()1 1 111+-=+?n n n n ,把每一项都做如此变形,问题会迎刃而解. 解 原式= )2007 1 20061( (413131212) 11 1-++-+-+-)()()( =20071 20061......41313121211-++-+-+- =20071 1- =20072006 例2 已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C(如右图).化简b c b a a -+-+. 分析 从数轴上可直接得到a 、b 、c 的正负性,但本题关键是去绝对值,所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道―在数轴上,右边的数总比左边的数大‖,大数减小数是正数,小数减大数是负数,可得到a -b<0、c -b>0. 解 由数轴知,a<0,a -b<0,c -b>0 所以,b c b a a -+-+= -a -(a -b)+(c -b)= -a -a+b+c -b= - 2a+c
初中奥林匹克数学竞赛知识点总结及训练题目-定值与最值
初中数学竞赛辅导讲义---几何的定值与最值 几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题,解几何定值问题的基本方法是:分清问题的定量及变量,运用特殊位置、极端位置,直接计算等方法,先探求出定值,再给出证明. 几何中的最值问题是指在一定的条件下,求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值,求几何最值问题的基本方法有: 1.特殊位置与极端位置法; 2.几何定理(公理)法; 3.数形结合法等. 注:几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中,由冷点变为热点.这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确),解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、 逻辑推理与合情想象相结合等思想方法. 【例题就解】 【例1】 如图,已知AB=10,P 是线段AB 上任意一点,在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ,则CD 长度的最小值为 . 思路点拨 如图,作CC ′⊥AB 于C ,DD ′⊥AB 于D ′,DQ ⊥CC ′,CD 2=DQ 2+CQ 2,DQ= 2 1 AB 一常数,当CQ 越小,CD 越小,本例也可设AP=x ,则PB=x 10,从代数角度探求CD 的最小值. 注:从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示,常能找到解题突破口,特殊位置与极端位置是指: (1)中点处、垂直位置关系等; (2)端点处、临界位置等. 【例2】 如图,圆的半径等于正三角形ABC 的高,此圆在沿底边AB 滚动,切点为T ,圆 交AC 、BC 于M 、N ,则对于所有可能的圆的位置而言, MTN 为的度数( ) ⌒
初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题16 不等式
专题16 不等式(组) 阅读与思考 客观世界与实际生活既存在许多相等关系,又包含大量的不等关系,方程(组)是研究相等关系的重要手段,不等式(组)是探求不等关系的基本工具,方程与不等式既有相似点,又有不同之处,主要体现在: 1. 解一元一次不等式与解一元一次方程类似,但解题时要注意两者之间的重要区别;等式两边都乘(或除)以同一个数时,只要考虑这个数是否为零,而不等式两边都乘以(或除以)同一个数时,不但要考虑这个数是否为零,而且还要考虑这个数的正负性. 2. 解不等式组与解方程组的主要区别是:解方程组时,我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”式的加工,但在解不等组时,我们只能对某个不等式进行变形,分别求出每个不等式的解集,然后再求公共部分.通俗地说,解方程组时,可以“统一思想”,而解不等式组时只能“分而治之”. 例题与求解 【例1】已知关于x 的不等式组?????<-+->-+x t x x x 2 35 35 2恰好有5个整数解,则t 的取值范围是( ) A 、2116-<<-t B 、2116-<≤-t C 、2116-≤<-t D 、2 116-≤≤-t (2013 年全国初中数学竞赛广东省试题) 解题思路:把x 的解集用含t 的式子表示,根据题意,结合数轴分析t 的取值范围. 【例2】如果关于x 的不等式7 10 05)2(< >---x n m x n m 的解集为那么关于x 的不等式)0(≠>m n mx 的解集为 . (黑龙江省哈尔滨市竞赛试题) 解题思路:从已知条件出发,解关于x 的不等式,求出m ,n 的值或m ,n 的关系. 【例3】已知方程组?? ?=+=-6 2y mx y x 若方程组有非负整数解,求正整数m 的值. (天津市竞赛试题) 解题思路:解关于x ,y 的方程组,建立关于m 的不等式组,求出m 的取值范围. 【例4】已知三个非负数a ,b ,c 满足3a +2b +c =5和2a +b -3c =1,若m =3a +b -7c ,求m 的最大 值和最小值. (江苏省竞赛试题) 解题思路:本例综合了方程组、不等式(组)的知识,解题的关键是用含一个字母的代数式表示m ,通过解不等式组,确定这个字母的取值范围,在约束条件下,求m 的最大值与最小值.
数学知识点新知杯上海市初中数学竞赛试题及答案-总结
2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答 一、填空题(第1-5小题每题8分,第6-10小题每题10分,共90分) 1、对于任意实数a,b ,定义,a ?b=a (a +b ) +b, 已知a ?2.5=28.5,则实数a 的值是 。 【答案】4,132 - 2、在三角形ABC 中,22b 1,,2a AB BC a CA =-==,其中a,b 是大于1的整数,则b-a= 。 【答案】0 3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形,它的周长可能是 。 【答案】50,94 4、已知关于x 的方程4322(3)(2)20x x k x k x k ++++++=有实根,并且所有实根的乘积为?2,则所有实根的平方和为 。 【答案】5 5、如图,直角三角形ABC 中, AC=1,BC =2,P 为斜边AB 上一动点。PE ⊥BC ,PF ⊥CA ,则线段EF 长的最小值为 。 6、设a ,b 是方程26810x x ++=的两个根,c ,d 是方程2 8610x x -+=的两个根,则(a+ c )( b + c )( a ? d )( b ? d )的值 。 【答案】2772 7在平面直角坐标系中有两点P (-1,1) , Q (2,2),函数y =kx ?1 的图像与线段PQ 延长线相交(交点不包括Q ),则实数k 的取值范围是 。 【答案】133 2 k << 8方程xyz =2009的所有整数解有 组。 【答案】72 9如图,四边形ABCD 中AB =BC =CD ,∠ABC =78°,∠BCD =162°。设AD ,BC 延长线交于E ,则∠AEB = 。 第五题图 B A
全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义(28—33)讲
全国初中数学竟赛辅导讲义修订(2) 三角形的边角性质 内容提要 三角形边角性质主要的有: 1. 边与边的关系是:任意两边和大于第三边,任意两边差小于第三边,反过来要使三条线 段能组成一个三角形,必须任意两条线段的和都大于第三条线段,即最长边必须小于其 他两边和。用式子表示如下: a,b,c 是△ABC 的边长b a c b a b a c a c b c b a +<-??? ????????>+>+>+?< 推广到任意多边形:任意一边都小于其他各边的和 2. 角与角的关系是:三角形三个内角和等于180 ;任意一个外角等于和它不相邻的两个 内角和。 推广到任意多边形:四边形内角和=2×180 , 五边形内角和=3×180 六边形内角和=4×180 n 边形内角和=(n -2) 180 3. 边与角的关系 ① 在一个三角形中,等边对等角,等角对等边; 大边对大角,大角对大边。 ② 在直角三角形中, △ABC 中∠C=Rt ∠2 22c b a =+?(勾股定理及逆定理) △ABC 中?? ??=∠∠=∠ 30A Rt C a :b :c=1:3:2 △ABC 中?? ??=∠∠=∠ 45A Rt C a :b :c=1:1:2 例题 例1.要使三条线段3a -1,4a+1,12-a 能组成一个三角形求a 的取值范围。 (1988年泉州市初二数 学双基赛题) 解:根据三角形任意两边和大于第三边,得不等式组 ?????+>-+-->-++->++-141312131214121413a a a a a a a a a 解得?? ???<->>51135.1a a ∴1.5 初中数学目录 第一章有理数 ①框架正整数( 1, 2, 3) 整数0 有理数负整数( -1 ,-2 ) 正分数( 1/2,1/3,) 分数 负分数( -1/2,,1/3,) ②相反数:两数相加为0 ;0 的相反数为0 绝对值:0的绝对值为0 倒数:两数相乘为1; 1 的倒数为 1;0 没有倒数 ③正负数比较大小-8/21 -3/7;-()│ -1/3│ ④计算 ab=ba abc=a(bc) a(b+c)=ab+ac 有乘方:先乘法——再乘除——后加减;如有括号,先算括号内 ⑤科学记数法a*10n (a大于或等于1&小于10) 235000 000 ⑥近似数(四舍五入) (精确到) (精确到)(精确到万分位)(精确到个位)(精确到个位) (精确到千分位) (精确到) (精确到) 巩固: 1、下列说法正确的是() A整数就是正整数和负整数B负整数的相反数就是非负整数 C有理数中不是负数就是正数D零是自然数,但不是正整数 2、下列各对数中,数值相等的是() A -27与(- 2) 7B-32与( -3)2C-3× 23与- 32×2D―( ―3) 2 与―(―2)3 3、在- 5,- 9,-,-,- 2,- 212 各数中,最大的数是() A-12B- 9C-D-5 4、如果一个数的平方与这个数的差等于0,那么这个数只能是() A0B- 1C1D0 或 1 5、绝对值大于或等于1,而小于 4 的所有的正整数的和是() A8B7C6D5 6、计算: ( - 2) 100+( - 2) 101的是() A2 100B- 1C-2D-2100 7、比-大,而比 1 小的整数的个数是() A6B7C8D9 8、 2003 年 5 月 19 日,国家邮政局特别发行万众一心,抗击“非典”邮票,其邮票发行为 枚,用科学记数法表示正确的是() A.× 7874 10B.× 10C.× 10D.× 10 9、下列代数式中,值一定是正数的是() A. x2 B.| - x+1| C.(- x) 2+2 D. - x2+1 10、已知=,若x2=,则 x 的值等于() A86. 2B862C±D± 862 11.下列说法正确的是() A.- a 一定是负数; B .a 定是正数; C. a 一定不是负数; D .- a 一定是负数 12.如果一个数的平方等于它的倒数.那么这个数一定是() 专题24 相交线与平行线 阅读与思考 在同一平面内,两条不同直线有两种位置关系:相交或平行. 当两条直线相交或两条直线分别与第三条直线相交,就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角,善于从相交线中识别出以上不同名称的角是解相关问题的基础,把握对顶角有公共顶点,而同位角、内错角、同旁内角没有公共顶点且有一条边在截线上,这是识图的关键. 两直线平行的判定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据. 1.平行线的判定 (1)同位角相等、内错角相等,或同旁内角互补,两直线平行; (2)平行于同一直线的两条直线平行; (3)在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行. 2.平行线的性质 (1)过直线外一点,有且只有一条直线和这条直线平行; (2)两直线平行,同位角相等、内错角相等、同旁内角互补; (3)如果一条直线和两条平行线中的一条垂直,那么它和另一条也垂直. 熟悉以下基本图形: 例题与求解 【例1】 (1) 如图①,AB ∥DE ,∠ABC =0 80,∠CDE =0 140,则∠BCD =__________. (安徽省中考试题) (2) 如图②,已知直线AB ∥CD ,∠C =0 115,∠A =0 25,则∠E =___________. (浙江省杭州市中考试题) 图② A 解题思路:作平行线,运用内错角、同旁内角的特征进行求解. 【例2】如图,平行直线AB ,CD 与相交直线EF ,GH 相交,图中的同旁内角共有( ). A .4对 B .8对 C .12对 D .16对 (“希望杯”邀请赛试题) 解题思路:每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角,从对原图进行分解入手. C D B 例2题图 例3题图 【例3】 如图,在△ABC 中,CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F ,AC //ED ,CE 是∠ACB 的平分线,求证:∠EDF =∠BDF . (天津市竞赛试题) 解题思路:综合运用垂直定义、角平分线、平行线的判定与性质,由于图形复杂,因此,证明前注意分解图形. 【例4】 如图,已知AB ∥CD ,∠EAF = 41∠EAB ,∠FCF =41∠ECD .求证:∠AFC =4 3 ∠AEC . (湖北省武汉市竞赛试题) D E C A B 图1人教版初中数学知识点总结.docx
七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线
初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题10 最优化