数学奥林匹克初中训练题11

数学奥林匹克初中训练题11

第一试

一、选择题(每小题7分，共42分)

1.设a n =7n +9n (n ∈N+).则a 2 008被64除的余数为( ) . (A) 0 (B) 2 (C) 16 (D) 22

2.图1的各图中，不是立方体的侧面展开图的个数为( ) .

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

3.多项式|x+1|+|x+2|+…+|x+2 008|+|x -1|+|x-2|+…+|x -2 008|的最小值是( ). (A)4 034 072 (B)4 030 056(C)2 008 (D)0

4.有四位同学参加一场竞赛.竞赛规则规定:每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得-100分;选乙题答对得90分，答错得-90分.若四位同学的总分为0，则这四位同学不同得分情况的种数是( ) . (A)18 (B) 24 (C)36 (D)48

5.不定方程

2

1 (x+y)(y+z) (z+x)+(x+y+z)3=1-xyz 的所有整数解有( )组.

(A) 2 (B)4 (C)5 (D)6

6.有一个实心多面体，从左往右看、右往左看，都如图2(a);从前往后看、从后前看，都如图2(b);从下往上看如图2(c).且图中的正方形的边长都是6.那么，这个心多面体的体积是( ).

(A)72 (B)108 (C)144 (D)180

二、填空题(每小题7分，共28分)

1.在2 008/3的分子、分母上分别加上同的整数a(a>0)，使该分数成为整数.则加的这个整数a 共有 个.

2.共有 个正整数n 使1+7n 完全平方数，并且1+3n ≤2 007.

3.关于x 的方程

)111(

2c

b a ab

c x ac

b x bc

a x ++=-=-=-其中a+b+c ≠0，方程的解为 .

4.如图，在圆周上有十个等分点，每隔两个等分点用一条线段连接两个

等分点，共十条线段，它们彼此相交，构成了各种几何图形.则构成的图形中共有 个四边形.

第二试

一、(20分)把自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图4的三角形数表(每行比上一行多一个数).设a ij (i 、j ∈N+)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数的第j 个数(如a 42=8).(1)若a ij =2 008，求i 、j 的值.

(2)记三角形数表从上往下数第n 行各数的和为b n ，令???

??≥-==2

,1 ,1n n b n n c n

n .若数列{c n }的

前n 项和为T n ，求T n .

二、(25分)设l 是锐角△ABC 所在平面内的一条直线，直线l 分别关于△ABC 三边的对称直线两两交于点A ′、B ′、C ′.证明:△A ′B ′C ′的内心在△ABC 的外接圆上.

三、(25分)如果将自然数N 放在任一个自然数的右面所得的新数总可被N 整除，则称N 为“魔术数”.试求出所有的魔术数.

数学奥林匹克初中训练题11参考答案

第一试

一、1.B.

a 2 008==(8-1)2 008+(8+1)2 008=64k+2. 2.B.

(a)、(b)、(d)、(e)、(g)、(h)、(i)、(j)、(k)、(l)是立方体的侧面展开图，(c)、(f)不是. 3.A.

由题设知在-1≤x ≤1时，多项式有最小值2(1+2+…+2 008)=2 008×2 009=4 034 072. 4.C.

(1)若四人全选甲(或乙)，其中两人答对，两人答错，共有2C 24=12种;(2)若两人选甲，两人选乙，每题各有一人答对，一人答错，共有22C 24=24种.综合知，四位同学不同的得分情况为36种. 5.D.

设x+y=u ，y+z=v ，z+x=w.则方程变形为4uvw+(u+v+w)3=8-(u+v-w)(u-v+w)· (-u+v+w) . 整理得

4(u 2v+v 2w+w 2u+uv 2+vw 2+wu 2)+8uvw=8， 即 u 2v+v 2w+w 2u+uv 2+vw 2+wu 2+2uvw=2. 对上式左边因式分解得

(u+v)(v+w)(w+u)=2.于是，(u+v ，v+w ，w+u)=(1，1，2)，(-1，-1，2)，(1，-2，-1) 及对称的情形.分别求解得

(u ，v ，w)=(1，0，1)，(1，-2，1)，(1，0，-2).进而(x ，y ，z)=(1，0，0)，(2，-1，-1). 综上所述，结合对称性，可知原方程的整数解共有6组.

6.C.

如图，这个实心多面体实际就是一个棱长为6的正方体截去两个角所形成的立体图形.它的体积为63-(6×6×6÷6)×2=144.

二、1.3. 由题意可知，

a

3a 008 2++应为一个整数，即a

3a 008 2++=a

+32005+1应为一个整数.所以，

(3+a)|2 005=5×401.

由于2 005有4个约数，此时，a 分别取

2 002、398、2，还有一个约数对应的a 的取值 小于0.所以，符合题意的a 共有3个. 2·18.

由条件1+3n ≤2 007，得n ≤668.设1+7n=m 2

∴n=

7

12

-m .

既然n 是正整数，

7

12

-m 必是正整数.

不妨设m+1=7k 或m-1=7k. (1)当m+1=7k 时， n=

7

12

-m =

7

14k 49k

2

-

=7k 2-2k ≤668.

因为k 是正整数，当k ≤9时， 7k 2-2k ≤7k 2≤668;

当k=10时，7k 2-2k=680>668.

此时，有9个正整数n 使1+7n 是完全 平方数，并且1+3n ≤2 007. (2)当m-1=7k 时， n=

7

12

-m =

7

14k 49k

2

+=7k 2+2k ≤668.

当k=9时，7k 2+2k=585<668; 当k=10时，7k 2+2k=720>668.

此时，有9个正整数n 使1+7n 是完全平方数，并且1+3n ≤2 007. 所以，符合题意的正整数n 共有18个. 3.x=a+b+c. 将原方程变形为)11(

)11(

)11(b

a ab

c x c a ac

b x

c b bc

a x ---+---+---由此可解得x=a+b+c.

4.4

5.

图中有10条弦，取其中一条弦AB ，以这条弦上的六个点依顺序取两个点计算有多少个四边形:

(1)以A 、C 为两个顶点的四边形的一类有10个. (2)以A 、D 为两个顶点的凹四边形的一类有10个. (3)以A 、E 为两个顶点的四边形的一类有10个.

(4)以A 、F 为顶点的梯形的一类有10个(因为梯形中仅有一条边是弦).

(5)以A 、F 为顶点的平行四边形的一类有5个(因为平行四边形的一对平行边在一对平行的弦上).

(6)以A 、B 为顶点的四边形包括在上述第(3)、(4)类中.

(7)以不在圆周上的两个点为顶点的四边形包括在第(1)、(2)、(4)类中. 第二试

一、(1)三角形数表中前n 行共有1+2+…+n=n(n+1)/2个，即第i 行的最后一个数是i(i+1)/2. 因此，使a ij = 2 008的i 是不等式i(i+1)/2≥2 008的最小正整数解.因为62×63/2=1 953，而63×64/2=2 016，所以，i=63.于是，第63行的第一个数是62×63/2+1=1 954.故j=(2 008-1 954)+1=55.

(2)前n 行的所有自然数的和为Sn=]12)1([2)1(21

+++?n n n n =8

2)

n 1)(n n(n 2

+++.

则b n =S n -S n-1=n(n 2+1)/2.所以，当n ≥2时，c n =

1

11

1+-

-=

-n n n

b n n ，

T n =1

112

5+--n n

.

二、如图，设直线l 与边BC 、CA 、AB 交于点D 、E 、F ，且直

线l 关于BC 、CA 、AB 的对称直线分别为k 、m 、n ，且设直线m 与n 、n 与k 、k 与m 的交点分别为A ′、B ′、C ′.

因为BF 、BD 分别为∠B ′FD 、∠B ′DF(或其外角)的平分线， 故B 为△B ′FD 的内心(或旁心).从而，B ′B 平分∠A ′B ′C ′(或其外角).

同理，CC ′平分∠B ′C ′A ′(或其外角). 设直线BB ′与CC ′交于点I ，则I 为△A ′B ′C ′的内心.

设∠B ′A ′C ′=∠EA ′F=α.则∠B ′IC=90°+2

1 α，

即 ∠BIC=90°-2

1 α(或∠BIC=90°+

2

1 α).①

在△A ′EF 中，FA 、EA 分别为∠A ′FE 、∠A ′EF 的平分线，故A 为△A ′EF 的内心(或旁心).于是∠FAE=90°+2

1 α(或∠FAE=90°-

2

1 α)，即 ∠BAC=90°-

2

1 α(或∠

BAC=90°+

2

1 α).

②由式①、②得∠BIC+∠BAC=180°(或∠BIC=∠BAC)，即A、B、C、I四点共圆.

故△A′B′C′的内心在△ABC的外接圆上.

三、设N为魔术数，其位数为m.则将N放在1的右面所得新数为10m+N.

因为N|(10m+N)，所以，N|10m.从而，N=2a·5b(a、b为不超过m的非负整数)，即N=2r·10k 或10k或5r·10k(k为a、b中较小者，r为正整数，r+k≤m且r+k为a、b中较大者).

当N=5r·10k时，由于54=625，若r≥4，则有5r= 54·5r-4，它的位数≤3 +(r-4)=r-1.所以，5r·10k 的位数≤r-1+k

故r≤3，即N=5·10k，52·10k，53·10k.同样，当N=2r·10k时，只有N=2·10k是魔术数. 反之，N为2·10k，5r·10k(r=0，1，2，3，k为非负整数)之一时为魔术数，此时，N为所求.