钟表上的追及问题
钟表上的追及问题
20！=08Y7664X000，请问X-Y=多谢回复！
解：5*10*15*20*2=30000 => X=0
此数能被99整除 =＞2+43+29+02+8Y+76+64是99的倍数 =＞ Y=1
钟表上的追及问题
一个n(n≥2)位正整数M中的相邻的一个、两个、...(n-
1)个数码组成的数叫的片段数(
新课标提倡，数学走进生活，教科书中出现了与日常生活密切相关的钟表问题。例如：在3点和4点之间的哪个时刻，钟表的时针与分针：（1）重合；（2）成平角；（3）成直角。许多同学面对此题，束手无策，不知如何解决。实际上，因为分针旋转的速度快，时针旋转的速度慢，而旋转的方向却是一致的。因此上面这类问题也可看做追及问题。通常有以下两种解法：
一. 格数法
钟表面的外周长被分为60个“分格”，时针1小时走5个分格，所以时针一分钟转1
12
分格，分针一分钟转1个分格。因此可以利用时针与分针旋转的“分格”数来解决这个问题。
解析
（1）设3点x分时，时针与分针重合，则分针走x个分格，时针走
x
12
个分格。因为
在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，所以当分针与时针在3点与4点之间重合
时，分针比时针多走15个分格，于是得方程x
x
-=
12
15，解得x=16
4
11
。
所以3点164
11
分时，时针与分针重合。
（2）设3点x分时，时针与分针成平角。因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，而在3点到4点之间，时针与分针成一平角时，分针在时针前30分格处，此
时分针比时针多走了45分格，于是得方程x
x
-=
12
45，解得x=49
1
11
。
所以3点491
11
分时，时针与分针成平角。
（3）设3点x分时，时针与分针成直角。此时分针在时针前15分格处，所以在3点到4点之间，时针与分针成直角时，分针比时针多走了30分格，于是得方程
x
x
-=
12
30，解得x=32
8
11
。
所以3点32
8
11
分时，时针与分针成直角。
二. 度数法
对钟表而言，时针12小时旋转一圈，分针1小时旋转一圈，转过的角度都是360
°，所以时针1分钟转过的角度是°，分针1分钟转过的角度是6°。故也可以利用时针与分针转过的度数来解决这道题。
解析
（1）设3点x分时，时针与分针重合，则时针旋转的角度是°，分针旋转的角度是6x °。整3点时，时针与分针的夹角是90°，当两针重合时，分针比时针多转了90°，于
是得方程60590
x x
-=
.，解得x=164
11
。
（2）设3点x分时，时针与分针成平角。此时分针比时针多转了90°+180°=270°
，于是得方程605270
x x
-=
.，解得x=491
11
。
（3）设3点x分时，时针与分针成直角。此时分针比时针多转了9090180
?+?=?
，于是得方程605180
x x
-=
.，解得x=328
11
。
练一练
1. 钟表上9点到10点之间，什么时刻时针与分针重合
2. 钟表上5点到6点之间，什么时刻时针与分针互相垂直
3. 钟表上3点到4点之间，什么时刻时针与分针成40°的角
4. 钟表上2点到3点之间，什么时刻时针与分针成一直线
（参考答案：1. 9点491
11
分； 2. 5点43
7
11
或5点10
10
11
分；
3. 3点91
11
分或3点23
7
11
分； 4. 2点43
7
11
分。）
时钟指针重合问题的公式
根据钟表的构造我们知道，一个圆周被分为12个大格，每一个大格代表1小时；同时每一个大格又分为5个小格，即一个圆周被分为60个小格，每一个小格代表1分钟。这样对应到角度问题上即为一个大格对应36
0°/12=30 °；一个小格对应360°/60=6°。现在我们把12点方向作为角的始边，把两指针在某一时刻时针所指方向作为角的终边，则m时n分这个时刻时针所成的角为30（m+n/60）度，分针所成的角为6n度，而这两个角度的差即为两指针的夹角。若用α表示此时两指针夹的度数，则α=30（m+n/60）-
6n。考虑到两针的相对位置有前有后，为保证所求的角恒为正且不失解，我们给出下面的关系式：
α=|30（m+n/60）-6n|=|30m-11n/2|。
这就是计算某一时刻两指针所夹角的公式，例如：求5时40分两指针所夹的角。把m =5，n =4代入上式，得α=|150-220|=70（度）
利用这个公式还可计算何时两指针重合问题和两指针成任意角问题。因为两指针重合时，他们所夹的角为0，即公式中的α为0，再把时数代入就可求出n。例如：求3时多少分两指针重合。解：把α=0，m=3代入公式得：0=|30*3-
11n/2|，解得n=180/11，即3时180/11分两指针重合。又如：求1点多少分两指针成直角。解：把α=90°，m=1代入公式得：90=|30*1-
11n/2|解得n=240/11。（另一解为n=600/11）
上述公式也可写为|30m+|。因为时针1小时转过30度，1分钟转过度，分针1分钟转过6度.
时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题。钟面的一周分为60格。当分针走60格时，时针正好走5格，所以时针的速度是分针的5÷60=1／12，分针每走60÷（1－5／60）=65+5／11（分），于时针重合一次，时钟问题变化多端，也存在着不少学问。这里列出一个基本的公式：在初始时刻需追赶的格数÷（1－1／12）=追及时间（分钟），其中，1－1／12为每分钟分针比时针多走的格数。
时钟问题解法与算法公式
发表时间：2009-08-28编辑：Jakie来源：培优教育
编者按：时钟问题属于行程问题中的追及问题。钟面上按“时”分为12大格，按“分”分为60小格。
解题关键：时钟问题属于行程问题中的追及问题。钟面上按“时”分为12大格，按“分”分为60小格。每小时，时针走1大格合5小格，分针走12大格合60小格，时针的转速是分针的，两针速度差是分针的速度的，分针每小时可追及。
1、二点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合
分析：两点钟的时候，分针指向12，时针指向2，分针在时针后5×2＝10（小格）。而分针每分钟可追及1－＝（小格），要两针重合，分针必须追上10小格，这样所需要时间应为（10÷）分钟。
解：（5×2）÷（1－）＝10÷＝10（分）
答：2点10分时，两针重合。
30×2÷（）
=60÷=120/11=10又10/11分即2时10又10/11分分针和时针重合
追问
我要解释
回答
这是另一种追击问题
追击时间=路程差÷速度差
分针每分钟走6度，时针每分钟走度2时整分针与时针相差30×2=60度
在三点与四点钟之间,时针和分针什么时候重合,什么时候成一条直线
这个就是一个追击问题呗
分针的速度是时针速度的12倍
又时针的速度是30度/小时（即度/分），则分针的速度是360度/小时（即6度/分）
则重合时（）t1=90,
解得t1=180/11,所以在大约3点17分的时候重合
成直线时（）t2=90+180解得t2=540/11，所以在大约3点49分的时候成一条直线
分针每分行6度，时针每分行度，以12时为0度，3点钟时时针在90度，分针为0度，设需要x分钟重合，根据追及问题得方程：
6x=+90
=90
x=180/11=16又11分之4
即分针在3点16又11分之4分的时候与时针重合
分针和时针在一条直线上有2种情况:
第一种情况:重合
分针和时针在3点整时相差15个小格
分针每分钟追时针11/12个小格(分针前进1小格,时针前进5÷60＝1/12小格)
那么分针追上时针需要:15÷（11/12）＝180/11（分）＝16又4/11（分）在3点与4点之间，3点16又4/11分时分针与时针在一条直线上（化成代分数可以让你知道大概的重合时间，所以这种题化成代分数较好）第二种情况：分针超前时针180度分针和时针在3点整时相差15个小格分针要超前时针180度，也就是要超前30个小格分针要追时针：15＋30＝45（格）一共需要：45÷（11/12）＝540/11（分）＝49又1/11（分）在3点与4点之间，3点49又1/11分时分针与时针在一条直线上
2、在4点钟至5点钟之间，分针和时针在什么时候在同一条直线上
分析：分针与时针成一条直线时，两针之间相差30小格。在4点钟的时候，分针指向12，时针指向4，分针在时针后5×4＝20（小格）。因分针比时针速度快，要成直线，分针必须追上时针（20小格）并超过时针（30小格）后，才能成一条直线。因此，需追及（20＋30）小格。
解：（5×4＋30）÷（1－1/12）＝50÷＝54（分）
答：在4点54分时，分针和时针在同一条直线上。
3、在一点到二点之间，分针什么时候与时针构成直角
分析：分针与时针成直角，相差15小格（或在前或在后），一点时分针在时针后5×1＝5小格，在成直角，分针必须追及并超过时针，才能构成直角。所以分针需追及（5×1＋15）小格或追及（5×1＋45）小格。
解：（5×1＋15）÷（1－1/12）＝20÷11/12＝21（分）
或（5×1＋45）÷（1－1/12）＝50÷11/12＝54（分）
答：在1点21分和1点54分时，两针都成直角。
4、星期天，小明在室内阳光下看书，看书之前，小明看了一眼挂钟，发现时针与分针正好处在一条直线上。看完书之后，巧得很，时针与分针又恰好在同一条直线上。看书期间，小明听到挂钟一共敲过三下。（每整点，是几点敲几下；半点敲一下）请你算一算小明从几点开始看书看到几点结束的
分析：连半点敲声在内，一共敲了三下，说明小明看书的时间是在中午12点以后。12点以后时针与分针：
第一次成一条直线时刻是：（0＋30）÷（1－1/12）＝30÷11/12＝32（分）
即12点32分。
第二次成一条直线时刻是：（5×1＋30）÷（1－
1/12）＝35÷11/12＝38（分） 即 1点38分。
第三次成一条直线的时刻是：（5×2＋30）÷（1－1/12）＝40÷11/12＝43（分）即
2点43分。如果从12点32分开始，到1点38分，只敲2下，到2点43分，就共敲5下（不合题意）
如果从1点38分开始到2点43分，共敲3下。因此，小明应从1点38分开始看书，到2点43分时结束的。
5、一只挂钟，每小时慢5分钟，标准时间中午12点时，把钟与标准时间对准。现在是标准时间下午5点30分，问，再经过多长时间，该挂钟才能走到5点30分 分析：1、这钟每小时慢5分钟，也就是当标准钟走60分时，这挂钟只能走60－5＝55（分），即速度是标准钟速度的＝。
2、因每小时慢5分，标准钟从中午12点走到下午5点30分时，此挂钟共慢了5×（17－12）＝27（分），也就是此挂钟要差27分才到5点30分。
比较分数大小的若干方法与技巧
比较分数大小问题是初中数学竞赛的一类常见问题，现介绍几种常用解法，以供同学们学习参考。
一、巧加数字
例1. （1992年第九届“缙云杯”初中数学邀请赛试题） 把-
---
1991199291921992199392
93
，，，四个分数从小到大排列是____________ 解：将每个分数都加上1，可得：
-+=-+=
19911992111992919211
92， -
+=19921993111993，-+=
929311
93
所以
11993119921931
92<<<
所以-<-<-<-
1992199319911992929391
92
二、巧减数字
例2. （1996年第七届“希望杯”全国数学邀请赛初二试题）
设a b c d =
===
19961995199519951996199619951996199519961995
1996
，，，，则下列不等式关系中成立的是（ ）
A. a>b>c>d
B. c>a>d>b
C. d>b>c>a
D. a>c>d>b
解：设每个分数都减去1，可得
a b -=-=
1199600001995119950000
1996
， c d -=
-=
1199500011995119959999
1996
， 显然a>c>d>b 故选D
三、巧乘数字
例3. （1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛初二培训题） 设a b =
=
199419951993
1994
，，则a 、b 的大小有（ ） A. a>b B. a
解：因为199419951994199519942
=? 1993199419931995
19951994
=
?? =
-+?()()
199411994119951994
=-?1994119951994
2 所以
199319941994
1995
<
即a>b 故应选A
四、巧除数字
例4. （1997年《中小学数学》（北京）数学奥林匹克初一综合练习题）
若a b c =
==
1995199519961996199619961997199719971997
19981998
，，，则（ ） A. a D. a 解：用1除以a ，得 119961996199519951996100011995100011996199511 1995 a ==??==+ 同理：1111996111 1997b c =+=+ ， 111a b c >> 所以a b c << 故应选A 五、巧倒数法 例5. （第二届“华罗庚金杯”少年邀请赛试题） 比较 1111111和1111 11111 的大小。 解：因为 1111111111101111101 111 =?+=+ 11111111111111011111101 1111 =?+=+ 因为11111 1111 > 即 111111111111 1111 > 所以11111111111 11111 < 六、巧求差法 例6. 同例2 解：因为a c -=->1996199519951996 1995 0，所以a c > 因为d b -= ->1996199519951996 1996 0，所以d b > 又因为c d -= ?+-?+=->1995101996199519961019951996199619951995 1996 044 所以c d > 综合以上可得a c d b >>> 故选D 七、巧求商法 例7. （2000年“鲁中杯”绍兴四市、县初中数学联赛试题） 已知A B C = ??=??= ??1998199920002001199820001999200119982001 19992000 ，，，则有（ ） A. A>B>C B. C>B>A C. B>A>C D. B>C>A 解：因为A B = <1999200012 2 所以A B <，同理可求得B C < 所以C B A >>，故选B 八、巧代换法 例8. （江苏省泰州市初中数学竞赛试题） 已知：A B = -=- 1997199819961997199619971995 1996 ，，比较A 、B 的大小。 解：设1997=a ，则 A a a a a a a =+--=+1111() B a a a a a a = ----=-1211 1() 因为a a a a ()()+>->110 所以A 一元一次不等式解题技巧大放送 解一元一次不等式，教材中介绍的是基本方法，但题目千变万化，遇到每一个题目要善于观察所给不等式的特点，结合其他知识，灵活巧妙地变通解题步骤，才可收到事半功倍的效果。 1、巧去括号 例1 解不等式1x 2 3 841x 21 3443+>??? ???-??? ??- 分析：因为13 4 4 3 =? ，所以先去中括号比先去小括号简便。 解：先去中括号，得1x 2 3 641x 21+>-- 两边同时减去1x 21 +，得4 17x -<。 2、巧添括号 例2 解不等式 17)17x (4151)17x (31x 321x +->?? ????---- 分析：不等式两边都有（x －17），因此我们不是去括号，而是添括号，将各项整理出（x －17）。 解：原不等式可化为： 0)17x (4 1)17x (31)17x (321)17x (>--??????---- - 即0)17x (4 1)17x (38 21)17x (>---?-- 17x 017x 0)17x (41341<<->-??? ? ? --∴，， 3、巧用分式基本性质 例3 解不等式 1 .02 .4x 5.05.1x 22.06.0x 3+- -<-。 分析：直接去分母较繁，若先用分式的基本性质，可以使化小数为整数和去分 母一次到位。 解：由分式的基本性质，得 1 .010) 2.4x (105.02)5.1x 2(22.05)6.0x 3(5?+?- ?-? 即42x 103x 43x 15---<- 2x 42x 21-<-<∴，。 4、巧化分母为1 例4 解不等式 5.702 .0x 202.05.601.0x 64--<-- 分析：此题按常规应先利用分数的基本性质将不等式中的小数化为整数，然后按步骤求解。但我们发现x 100102 .0x 202.0)x 64(10001.0x 6415.65.7-=--=--=+-，， 。巧妙地去掉分母，从而简化了解题过程。 解：原式可化为5.7x 10015.6)x 64(100--<--。 移项合并，得400500-<-，即5 4 x >。 5、巧凑整 例5 解不等式 9 x 374513x 953x 432x 2-> -+-++。 分析：观察各项未知数的系数和常数项，注意到29 34595432=+++ ，19 745135332=+++- ，因此把各项拆开移项凑整，比直接去分母简便。 解：原不等式可化为 x 3 1974513x 5153x 5432x 32->-+-++。 移项合并，得1x 2>。所以2 1 x >。 6、巧组合 例6 解不等式 9 3 x 243x 85x 35x ++ ->++-。 分析：注意到左边的第一项和右边的第二项中的分母有公约数3，左边的第二项和右边的第一项的分母有公约数4，移项局部通分化简，可简化解题过程。 解：移项通分，得8 5 x 6x 293x 215x 3---> ---。 化简，得 8 11 x 918x -> -。 去分母，得99x 9144x 8->-。解得45x -<。 7、巧变形 例7 解不等式 )3x (4 1 3)2x (31)1x (21---<-+-。 解：原不等式可化为 0143x 132x 121x ??+-+??? ??+-+??? ??+- 即041x 31x 21x <+++++ 0)1x (413 121<+?? ? ??++∴ 04 1 3121>++ 01x <+∴，即1x -<。 “……”的运算技巧 在初中数学竞赛的有理数运算中，经常碰到含省略号“……”的有理数计算问题，不少同学对这种题型的计算感到无所适从，本文说明：可通过观察寻找规律，问题即迎刃而解，下面举例说明。 1. 分组结合 例1. 计算：12345678920042005+-++-++--+… 解：原式=+-++-+++-+()()()1234562002200320042005… =++++=?++=()(3620012005667320012 2005670339…） 2. 化积约分 例2. 计算：1121131141119112022222-? ? ???-?? ???-?? ???-?? ???-?? ?? ?… 解：原式= ????? 2328315436019399 202222 … = ????????=?=1232234318192019192021 201221202140 … 另解：由a b a b a b 22-=+-()()，知 1111112-=+?? ???-?? ?? ?n n n 所以，原式=+? ? ???+?? ???+?? ???+?? ???+?? ???-?? ????11211311411191120112… 11311411191120-? ? ???-?? ???-?? ???-?? ? ? ?… =??????? ??????????? ???= ?=32435 420192120122334181919202121202140…… 3. 用奇偶性 例3. 计算：()()()123420052006---… 解：原式=---()()()1111003 … =-=-()11 1003 例4. 计算：()()()()-+-+-++-1111232004… 解：原式=-+-++-+111111… =0 4. 去绝对值相消 例 5. 计算： 12113121200612005 -+-++-… 解：原式=- +-++- 1121213120051 2006 … =-= 11 2006 20052006 5. 裂项相消 例 6. 计算： 1121231341 20052006?+?+?++ ?… 解：原式=- +-+-++- 11212131314120051 2006 … =-= 11 2006 20052006 6. 逆序相加 例7. 计算：1232006++++… 解：设S =++++12320061…() 则S =++++20062005200412…() 由（1）+（2），得 2200720072007200720062006 S =+++=?… 故S =2013021 例8. 计算：121434163 6 561 20063200620052006++?? ???+++?? ???+++++?? ?? ?…… 解：设S = ++?? ???+++?? ???+++++?? ?? ?1214341636561 20063200620052006 (1) 则有S = ++?? ???+++?? ???+++++?? ?? ?123414563616200520062003 200612006 (2) 由（1）+（2），得 21231003100310042 S =++++= ?… 所以S =251753 7. 错位相减 例9. 计算：2222232006++++... 解：设S =++++2222232006 (1) 则有222222320062007S =++++ (2) 由（2）-（1），得2222007S S -=- 即S =-222007 8. 整体换元 例10. 计算：112131200512131412006----? ? ???++++?? ???-…·… 112131200612131412005----? ? ???++++?? ?? ?…·… 解：设A =- --- 112131 2005 … B = ++++ 1213141 2005 … 则原式=+?? ???--?? ?? ?A B A B 1200612006 =+ -+= += ----+++++= AB A AB B A B 2006200620061121312005121314120052006 12006…… 9. 逐级降次 例11. 计算：222222320052006----+… 解：原式=----+222222006200520042… =----+==+=221222226 2005200422 ()……… 10. 用运算律 例12. 已知：1231 6 1212222++++=++...n n n n ()()，那么246222+++ (502) __________。 解：原式=?+?+?++?()()()()1222232252222… =?+++=???+?+=2122541 6252512251221002222()()()… 11. 公式运用 例13. 计算：123420052006222222-+-++-… 解：原式=-++-+++-+()()()()()()121234342005200620052006… =-++++=-+?=-()()37114011340111033 2 2013021… 12. 凑整求和 例14. 计算：192993999499998999999999999999999++++++… 解：原式=-+-+-+-+-()()()()()201300140001500001100000000001… =+++++-=-=10000000000900000000800000007000000209 109876543209 10987654311… 练习： 1. 计算：123456782005200620072008+--++--+++--… 2. 计算：1121231341 99100?+?+?++ ?… 3. 计算：1199521995319953989 1995 ++++ … 答案： 1. -2008 2. 99100 3. 3989 乘法公式的用法 本文向同学们介绍乘法公式的一些常见用法。 一、套用 这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确 地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。 例1. 计算：()() 53532222x y x y +- 解：原式()() =-=-5325922 22 44x y x y 二、连用 连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。 例2. 计算：()()()() 111124-+++a a a a 解：原式()()() =-++111224a a a ()( )=-+=-111448a a a 例3. 计算：()()32513251x y z x y z +-+-+-- 解：原式()()[]()()[] =-++--+25312531y z x y z x ()() =--+=-+---253149252061 22 2 2 2 y z x y x z yz x 三、逆用 学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。 例4. 计算：()()5785782 2 a b c a b c +---+ 解：原式()()[]()()[] =+-+-++---+578578578578a b c a b c a b c a b c ()=-=-101416140160a b c ab ac 四、变用 题目变形后运用公式解题。 例5. 计算：()()x y z x y z +-++26 解：原式()[]()[]=++-+++x y z z x y z z 2424 ()() =++-=+-+++x y z z x y z xy xz yz 24122442 2 2 2 2 五、活用 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式： ()()()()( ) ()()122232442 222222 2 2 2 22 ....a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a b ab +-=+-+=+++-=++--= 灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养学生综合运用知识的能力。 例6. 已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。 解：()a b a b ab 222 2242526+=-+=+?= 例7. 计算：()()a b c d b c d a ++-+++-22 解：原式()()[]()()[ ] =++-++--b c a d b c a d 22 ()() [ ] =++-=++++-222224422 2 2 2 2 b c a d a b c d bc ad 例8. 已知实数x 、y 、z 满足x y z xy y +==+-592，，那么x y z ++=23（ ） 解：由两个完全平方公式得：()()[] ab a b a b =+--1 4 22 从而 ()[] z x y y 222 14 59= --+- ()( ) () = --+-=-+-=--+=--25414 529696932 22 2 y y y y y y y ()∴∴，∴∴z y z y x x y z 22 30032 2322308+-====++=+?+=