2010级吉林大学离散数学试题答案 杨凤杰

2004级《离散数学》试题答案

一、选择题（每小题 2 分，共 20 分）

1、A

2、A

3、B

4、B

5、A

6、A

7、D

8、D

9、C 10、C

二、填空题（每题2分，共10分）

1、)(x A x ??

2、{<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>}

3、ф {1}

4、3,35

,K K

5、

??????

? ?

?00

1001101011110

, 2

三、计算题（每题8分，共 48分） 1、))(())(()(r q p r q p r q p ?∨∨?∧∨∨????

→

))(())((r q p r q p ?∨∨?∧∨?∧?

)()()()(r q r p r q r p ?∨∧?∨?∧∨?∧∨?

)()()()()()(r q p r q p r q p r q p r q p r q p ?∨∨∧?∨?∨?∧?∨∨?∧∨?∨?∧∨?∨∧∨∨?

17

5620M M

M

M

M

M

∧∧∧∧∧?

2、(1) R 1-1={<2,1>,<3,1>,<3,2>,<3,3>} (2)

12R R ={<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,4>,<3,4>}

(3)R 1不是函数。

3、(1)叙述等价关系的定义；见课本。

(2) R 是A 上的等价关系。 A/R={{1},{2,3},{4}} 4、(1)>?+<,),(2R M

的零位元是???? ?

?0000

,单位元是???

?

?

?1001

(2) ????

??0001,∈???? ??1000

)(2R M ,都不是零矩阵，但?????

??0001

???

?

??=???? ??00001000

所以：>?+<,),(2

R M

不是无零因子环；

(3)

????

? ?

?0001

???? ??????? ??=???? ?

?0000

00011000

，00001

≠????

??但是???

?

??≠???? ??000010

00

。

所以：?不满足消去律。 5、

A 到其余顶点的最短路是：

1(AC)，2(AF)， 3(ACB) ，3(AFE)， 5(AFED)

64

A

B

C

D

E

6、

关键路径：acghj

四、证明题（22分）

1、前提：))

x

H

G

x

x

x

∧

?

→

F

?

F

x∧

)),

(

(

)

x

(

(

(

(x

R

)

(

)

结论: ))

x

R

F

x∧

∧

x

?

(

)

G

)

(

(

(x

1、证明：

①))

x

F

x∧

R

?

(x

)

(

(

②))

F∧

R

c

)

(c

(

③))

x

G

F

?

x

→

x∧

)

H

(

(

)

(

(x

④))

c

G

→

c

F∧

(

H

)

(

)

(c

⑤)(c

F②

⑥)(

c

H

G∧

(c

)

⑦)(c

G⑥

⑧)(

R

c

c

F∧

∧②⑦

)

)

(

(c

G

⑨ ))()()((x G x R x F x ∧∧? 2、证明

(1) H 不空：因为单位元H e ∈；

(2)关于乘法封闭: H y x ∈?,,则N s t ∈?,,使得e

y

e x

s

t

==,,

e ee e e y x xy t

s

t

s

s

t

ts

====)()()

(,

所以,H xy ∈

(3)关于逆封闭: H x ∈?,则N t ∈?,使得e x

t

=,

作为G 中的元素,t

t t t

t t

x

x

e x

x xx

e e )

()())(()(1

1

1

1

----=====,

所以,H

x

∈-1

从而,H 是G 的子群

3、证明：（1）当n=1时，最优二叉树没有边，定义零度点也为树叶，分

支点0个，结论成立。

（2）假定对于≤n 片树叶的最优二叉树结论成立。对于n+1片树叶的最优二叉树T ，删除它的根结点，由最优二叉树的构造方法知，其左右子树都是最优二叉树，设左子树上有1

M 片树叶，右子树上有2

M 片树叶，

n M M =+21，右归纳假设，左子树有11-M 个分支点，右子树有12

-M

个分支

点，所以原二叉树上有(11

-M )+(12

-M

)+1=n-1个分支点。

得证。