北师大版初中数学因式分解 同步教案

1因式分解

1.使学生了解因式分解的意义,理解因式分解的概念.

2.认识因式分解与整式乘法的关系——互逆关系(即相反变形),并能运用这种关系寻求因式分解的方法.

1.通过解决实际问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,并用所学到的数学知识解决问题,体验解决问题策略的多样性,发展实践应用意识.

2.通过对因式分解与整式乘法的观察与比较,学习代数式的变形和转化,培养学生分析问题的能力与综合应用能力.

培养学生接受矛盾的对立统一观点,独立思考、勇于探索的精神和实事求是的科学态度.

【重点】因式分解的概念.

【难点】理解因式分解与整式乘法的关系,并运用它们之间的关系寻求因式分解的方法.

【教师准备】多媒体课件.

【学生准备】复习有关整式乘法的知识.

导入一:

【问题】简便运算.

(1)736×95+736×5;

(2)-2.67×132+25×2.67+7×2.67.

[设计意图]观察实例,分析两个问题的共同属性:解决问题的关键是把一个数式化成几个数的积的形式,此时学生对因式分解还相当陌生,但学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉.这一步的目的是设计问题情境,复习相关知识点与计算,引入新课,让学生通过回顾用简便方法计算——因数分解这一特殊算法,运用类比很自然地过渡到因式分解的概念上,从而为因式分解的理解和掌握打下基础.

导入二:

【问题】(1)993-99能被99整除吗?为了回答这个问题,你该怎样做?把你的想法与同学交流.

因为993-99=99×992-99×1=99(992-1),

所以993-99能被99整除.

(2)993-99能被100整除吗?为了回答这个问题,你该怎样做?把你的想法与同学交流.

小明是这样做的:

993-99=99×992-99×1

=99(992-1)

=99×9800

=99×98×100,

所以993-99能被100整除.

[设计意图]以一连串的知识性问题引入,在学生已有的知识基础上,先让学生解决一些具体的数的运算问题,通过简便运算把一个式子化成几个数的乘积的形式,并且问题的设置由浅入深,逐步让学生体会因数分解的过程和意义.这一环节的设置对学生理解下面因式分解的概念起到了很大作用,体现了知识螺旋上升的特点.

一、因式分解的概念

思路一

用a表示任意一个常数,则:

a3-a=a·a2-a·1

=a·(a2-1)

=a·(a+1)(a-1)

=(a-1)·a·(a+1).

(1)你能理解吗?你能与同伴交流每一步是怎么变形的吗?

(2)这样变形是为了达到什么样的目的?

像这样,把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.

[设计意图]从知识性的问题过渡到思考性的问题,巧妙设问:“如果我们将数字换成字母,上述结论仍然成立吗?”引发学生联想到用字母表示数的方法,得出a3-a=(a-1)·a·(a+1),这个过程对学生来说是思维上的一次飞跃,是从对具体、个别事物的认识上升到对一般事物规律性、结构性的认识,是对学生思维能力水平的一次提高,同时很自然地从因数分解过渡到因式分解,初步树立起学生对因式分解概念的直观认识.

思路二

观察下面的拼图过程,写出相应的关系式.

解答:(1)ma+mb+mc=m(a+b+c).

(2)x2+2x+1=(x+1)2.

像这样,把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.

[设计意图]以拼图前后面积不变的方式,加深学生对因式分解的理解,形象地说明因式分解是整式的恒等变形,对学生的思维发展具有实际价值.学生通过观察,给出填空的答案,可能有不同的形式,只要合理就都应给予鼓励.要注意的是,这里拼图前后的数量关系主要指向面积,教师要适当引导.

二、例题讲解

(教材做一做)计算下列各式:

(1)3x(x-1)=;

(2)m(a+b-1)=;

(3)(m+4)(m-4)=;

(4)(y-3)2=.

根据上面的算式进行因式分解:

(1)3x2-3x=()();

(2)ma+mb-m=()();

(3)m2-16=()();

(4)y2-6y+9=()().

思考:因式分解与整式乘法有什么关系?举例说明.

[设计意图]通过两组练习,类比两种不同的运算,进一步让学生体会什么是因式分解,以及因式分解与整式乘法之间的互逆关系,这个时候,因式分解的概念已基本在学生头脑中确立.由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解,发展学生的逆向思维.

[知识拓展]对于因式分解应注意以下几点:(1)分解的对象必须是多项式;(2)分解的结果一定是几个整式的乘积的形式;(3)要分解到不能分解为止.

1.把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解,因式分解也可称为分解因式.

2.因式分解与整式乘法是互逆过程.

3.因式分解要注意以下几点:

(1)分解的对象必须是多项式;

(2)分解的结果一定是几个整式的乘积的形式;

(3)要分解到不能分解为止.

1.下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是()

A.x2-x-2=x(x-1)-2

B.(a+b)(a-b)=a2-b2

C.x2-4=(x+2)(x-2)

D.x2-=

解析:主要考查因式分解的概念.故选C.

2.下列各式因式分解正确的是()

A.a+b=b+a

B.4x2y-8xy2+1=4xy(x-2y)+1

C.a(a-b)=a2-ab

D.a2-2ab+2a=a(a-2b+2)

解析:主要考查因式分解的概念.故选D.

3.把一个多项式化成的形式,这种变形叫做因式分解.

答案:几个整式的积

4.因式分解与整式乘法的关系是.

答案:互为逆过程

5.计算×13-×6+×2的结果是.

解析:利用因式分解可以简化计算.原式=×(13-6+2)=×9=7.故填7.

1因式分解

一、因式分解的概念

二、例题讲解

一、教材作业

【必做题】

教材第93页随堂练习的1,2题.

【选做题】

教材第94页习题4.1的1,2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.(柳州中考)下列式子是因式分解的是()

A.x(x-1)=x2-1

B.x2-x=x(x+1)

C.x2+x=x(x+1)

D.x2-x=(x+1)(x-1)

2.下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是()

A.x2-9+6x=(x+3)(x-3)+6x

B.(x+5)(x-2)=x2+3x-10

C.x2-8x+16=(x-4)2

D.(x-2)(x+3)=(x+3)(x-2)

3.观察下面计算962×95+962×5的过程,其中最简单的方法是()

A.962×95+962×5=962×(95+5)=962×100=96200

B.962×95+962×5=962×5×(19+1)=962×(5×20)=96200

C.962×95+962×5=5×(962×19+962)=5×(18278+962)=96200

D.962×95+962×5=91390+4810=96200

【能力提升】

4.计算(1)~(3)题,并根据计算结果将(4)~(6)题进行因式分解.

(1)(x-2)(x-1)=;

(2)3x(x-2)=;

(3)(x-2)2=;

(4)3x2-6x=()();

(5)x2-4x+4=()();

(6)x2-3x+2=()().

【拓展探究】

5.下列从左到右的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?请说明理由.

(1)a(x+y)=ax+ay;

(2)x2+2xy+y2-1=x(x+2y)+(y+1)(y-1);

(3)ax2-9a=a(x+3)(x-3);

(4)x2+2+=;

(5)2a3=2a·a·a.

【答案与解析】

1.C(解析:因式分解就是把一个多项式化成几个整式的积的形式,对各选项分析判断后利用排除法求解.故选

C.)

2.C(解析:根据因式分解的概念可知只有C是因式分解.故选C.)

3.A(解析:利用因式分解进行计算比较简单.故选A.)

4.(1)x2-3x+2(2)3x2-6x(3)x2-4x+4(4)3x x-2(5)x-2x-2(6)x-2x-1(解析:利用因式分解与整式乘法互为逆过程解答.)

5.解:因为(1)(2)的右边都不是整式的积的形式,所以它们不是因式分解;(4)中,都不是整式,所以不是因式分解;(5)中的2a3不是多项式,所以它也不是因式分解.只有(3)的左边是多项式,右边是整式的积的形式,所以(3)是因式分解.

本节课以学生的思维进程发展为主线,采用逐步渗透和类比的思想方法.在概念引入时从因数分解与因式分解的类比,到概念强化阶段整式乘法与因式分解的过程的类比,再到等式恒等变形与因式分解的类比,逐渐加深学生的认识.主要体现在从一开始以一连串的知识性问题引入,到后来教学环节中多次提出思考性的问题,启发、引导学生做进一步的猜想、探究,这种循序渐进的思维进程有助于学生理解接受新知识.

本课的设计过多强调学生用高度抽象的语言来描述概念.在例题的讲解过程中,没有让学生尝试自己独立完成.

注意引导学生从几何的角度理解因式分解.最好将因式分解的方法也一起适当地融入到本节课的教学内容中.

随堂练习(教材第93页)

1.解:

2.解:(2)(4)是因式分解.因为(2)(4)满足因式分解的定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式.

习题4.1(教材第94页)

1.解:

2.解:(2)(3)是因式分解.

3.解:原式=I(R1+R2+R3)=2.5×(2

4.2+36.4+39.4)=250.故代数式的值为250.

4.解:如右图所示.x2+x+2x+2=x2+3x+2=(x+2)·(x+1).

5.解:(1)原式=1999×(1999+1)=1999×2000,所以19992+1999能被1999整除,也能被2000整除.(2)原式

=×(16.9+15.1)=4,故16.9×+15.1×能被4整除.

学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算,并且学习了整式的乘法运算,因此对于因式分解的引入,学生不会感到陌生,它为今天学习因式分解打下了良好基础.由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程,而逆向思维对于八年级学生来说还比较生疏,接受起来还有一定的困难,另外本节还没有涉及因式分解的具体方法,所以对于学生来说,寻求因式分解的方法是一个难点.

已知a=2,b=3,c=5.求代数式a(a+b-c)+b(a+b-c)+c(c-a-b)的值.

解:当a=2,b=3,c=5时,

a(a+b-c)+b(a+b-c)+c(c-a-b)

=a(a+b-c)+b(a+b-c)-c(a+b-c)

=(a+b-c)(a+b-c)

=(a+b-c)2